0 Überblick

0.1 Der historische Weg zur Dirac-Gleichung

1900 Plancksches Strahlungsgesetz erklärt erstmals Strahlungsspektrum schwarzer Körper, theoretische Herleitung erfordert Strahlungsquanten der Energie ℏω

1905 Quantenhypothese erklärt ebenfalls den photoelektrischen Effekt (Einstein)

1913 Bohrsches Atommodell: Bahnen des Elektrons im Atom haben diskrete Wirkung ℏ

1925 Matrixmechanik (Heisenberg): Theorie soll ausschließlich durch Observable beschrieben werden, beobachtbar sind Spektrallinien, Kombination der Frequenzen ist Matrixmultiplikation

1926 “Quantisierung als Eigenwertproblem” (Schrödinger): Differentialoperatoren haben diskretes Spektrum und erklären so die Quantisierung der Energieniveaus

Schrödinger-Gleichung für Elektron im elektrischen Feld

iℏ\frac{∂}{∂t}ψ(t, r⃗) = ( − \frac{ℏ^{2}}{2m} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} + eV (r⃗))ψ(t, r⃗)

Dabei ist t ∈ ℝ die Zeit und r⃗ ∈ ℝ^{3} der Ortsvektor, −\frac{∂^{2}}{∂r^{2}} ist der Laplace-Operator und V (r⃗) das Coulomb-Potential. Schließlich ist ψ(t, r⃗) die Wellenfunktion. Ursprünglich als echte Elektronenwelle gedacht, später umgedeutet in der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik:

∫_{X} d^{3}r⃗ |ψ(t, r⃗)|^{2}

ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t im Raumgebiet X ⊂ ℝ^{3} anzutreffen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(t, r⃗) := |ψ(t, r⃗)|^{2} erfüllt die Kontinuitätsgleichung

\frac{∂ρ(t, r⃗)}{∂t} = div j⃗(t, r⃗) ,  j⃗(t, r⃗) = \frac{iℏ}{2m}(ψ^{∗}(t, r⃗) grad ψ(t, r⃗)−(grad ψ^{∗}(t, r⃗)) ψ(t, r⃗))

(wichtig für Kausalität).

Erweiterung auf Magnetfelder: Ableitungen werden zu kovarianten Ableitungen, außerdem muß Spin (Stern-Gerlach, 1920) beschrieben werden. Führt auf Pauli-Gleichung (1927)

iℏ(\frac{∂}{∂t} + \frac{ie}{ℏ}V ) ( \begin{matrix}ψ_{1}(t, r⃗) \\ ψ_{2}(t, r⃗) \end{matrix} ) = (−\frac{ℏ^{2}}{2m}(\frac{∂}{∂r⃗} + \frac{ie}{ℏ}A⃗)^{2} − \frac{eℏ}{2m}σ⃗ · B⃗) ( \begin{matrix}ψ_{1}(t, r⃗) \\ ψ_{2}(t, r⃗) \end{matrix} )

mit den Pauli-Matrizen

σ_{1} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ,  σ_{2} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix} ) ,  σ_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

Problem: nichtrelativistisch, offensichtliche Asymmetrie zwischen räumlichen und zeitlichen Ableitungen. Erste Lösung: Klein-Gordon-Gleichung

(\frac{∂^{2}}{∂t^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} )ψ(t, r⃗) = 0 .

Problem: nichtlinear in der Zeit, Wahrscheinlichkeitsdichte nicht positiv (deshalb von Schrödinger nicht betrachtet)

Diracs Projekt: relativistische Wellengleichung für das Elektron, die linear in der Zeitableitung ist, beruhend auf der fälschlichen Annahme, daß dann die Wahrscheinlichkeitsdichte positiv ist.

Idee: Nehme die Wurzel aus dem d’Alembert-Operator (wörtliche Umsetzung ist nichtlokal), aufzufassen als Lösung D der Gleichung

D^{2} = \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂r^{2}}

Das ist lösbar in Matrizen (vgl. Pauli)!

Dirac-Gleichung (für Elektron im elektromagnetischen Feld, 1928)

( ∑_{μ=0}^{3} iℏγ^{μ}(\frac{∂}{∂x^{μ}} + \frac{ie}{ℏ}A_{μ}) − mc)ψ = 0 .

Dabei besteht die Wellenfunktion des Elektrons ψ aus 4 Komponenten, und γ^{μ} sind 4 × 4-Matrizen. Nichtrelatistischer Grenzfall liefert die Pauli-Gleichung.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist nicht positiv. Umdeutung als Ladungsdichte, Komponenten mit “falscher” Ladung beschreiben Antiteilchen (Positronen), die kurz darauf (1932) entdeckt wurden. Ebenso ist Klein-Gordon-Gleichung physikalisch korrekt, sie beschreibt Teilchen und Antiteilchen mit Spin 0.

Die 4 Komponenten von ψ beschreiben Elektron und Positron jeweils mit Spin ↑ und ↓. Die Komponenten transformieren sich unter Lorentz-Transformationen (Koordinatentransformationen in Raum und Zeit) in merkwürdiger Weise: Drehungen um 2π liefern ein Vorzeichen, erst Drehung um 4π ist die Identität. Das wird so interpretiert, daß es etwas fundamentaleres als Lorentz-Transformationen gibt, nämlich Spingruppen-Transformationen.

In den 60er Jahren wurde in der Mathematik entdeckt, daß diese Spin-Strukturen eine sehr viel feinere Charakterisierung von Geometrie und Topologie ermöglichen als die bisherige Differentialgeometrie. Der Höhepunkt dieser Entwicklung war das Atiyah-Singer-Indextheorem. Es berechnet den Index eines elliptischen Operators (eine topologisch invariante ganze Zahl) durch ein Integral über lokale Differentialformen (ähnlich dem Gauß-Bonnet-Theorem, das die Euler-Charakteristik als Integral über die Krümmung berechnet).

0.2 Programm

Ziel der Vorlesung ist ein geometrisches Verständnis der Dirac-Gleichung und der in ihr auftretenden Größen

1. Riemannsche  Mannigfaltigkeiten,  Repèrebündel,  Levi-Civita-

Zusammenhang

2. Clifford-Algebra, Spin-Gruppe

3. Spin-Struktur, Spin-Bündel, Dirac-Operator

4. Zur Bedeutung in der Mathematik: Index-Theoreme

0.3 Literatur

[1] H. B. Lawson & M.-L. Michelsohn, “Spin Geometry,” Princeton University Press, 1989.

[2] N. Berline, E. Getzler, M. Vergne, “Heat Kernels and Dirac Operators,” Springer-Verlag, 1992.

[3] H. Baum, “Spin-Strukturen und Dirac-Operatoren über pseudoriemannschen Mannigfaltigkeiten,” Teubner, 1981.

1 Differentialgeometrische Grundlagen

1.1 Mannigfaltigkeiten

Definition 1 Eine topologische Mannigfaltigkeit M ist ein gutartiger topologischer Raum, der lokal einem ℝ^{n} homöomorph ist, d.h. für jeden Punkt x ∈ M existiert eine Umgebung U und ein Homöomorphismus κ : U ↦ κ(U) ⊂ ℝ^{n} (d.h. κ ist bijektiv und κ, κ^{−1} sind stetig). Das Paar (U, κ) heißt lokale Karte.

Definition 2 Ein glatter Atlas A einer topologischen Mannigfaltigkeit M ist eine Kollektion lokaler Karten {(U_{α}, κ_{α})}_{α∈I} mit

• M = ⋃_{α∈I} U_{α}, κ_{α} : U_{α} → ℝ^{n} sind Homöomorphismen

• die Karten sind miteinander verträglich, d.h. ∀(U_{α}, κ_{α}), (U_{β}, κ_{β}) mit U_{α} ∩U_{β} ≠ ∅ ist die Abbildung

κ_{β} ∘ κ_{α}^{−1} : ℝ^{n} ⊃ κ_{α}(U_{α} ∩ U_{β}) → κ_{β}(U_{α} ∩ U_{β}) ⊂ ℝ^{n}

beliebig oft differenzierbar. Diese Abbildung heißt Kartenwechsel.

[figure: M; U_{1}; U_{2}; U_{1}∩U_{2}; κ_{2}; κ_{1}; κ_{1}(U_{1}); κ_{2}(U_{2}); κ_{1}(U_{1} ∩ U_{2}); κ_{2}(U_{1} ∩ U_{2}); κ_{2} ∘ κ_{1}^{−1}]

Definition 3 Seien U ⊂ ℝ^{n} und V ⊂ ℝ^{m} offene Untermengen. Eine Abbildung f : U → V heißt differenzierbar in x ∈ U, falls eine stetige lineare Abbildung f′(x) : ℝ^{n} → ℝ^{m} existiert, so daß

f(x + h) − f(x) = f′(x)(h) + r(x, h) und lim_{h→0} {∥r(x, h)∥ \atop ∥h∥} = 0 , h ∈ ℝ^{n} .

Die Abbildung f′(x) heißt Differential von f in x im Sinne von Fréchet. Die Abbildung f : U → V heißt differenzierbar auf U, wenn sie in jedem Punkt x ∈ U differenzierbar ist.

Definition 4 Eine Karte (U, κ) heißt verträglich mit einem Atlas A^{k}, wenn A^{k} ∪ (U, κ) wieder ein Atlas der Klasse C^{k} ist. Zwei Atlanten A_{1}^{k}, A_{2}^{k} heißen verträglich, wenn A_{1}^{k} ∪ A_{2}^{k} wieder ein Atlas der Klasse C^{k} ist.

Verträglichkeit von Atlanten ist eine Äquivalenzrelation.

Definition 5 Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer Äquivalenzklasse [A] von glatten Atlanten auf M.

1.2 Tangentialraum und Vektorfelder

Sei M eine (differenzierbare) Mannigfaltigkeit. Wir bezeichnen mit C^{∞}(M) die Algebra der (beliebig oft) differenzierbaren reellen Funktionen auf M, d.h. der Abbildungen f : M ∋ x → f(x) ∈ ℝ, so daß für eine Karte (U, κ) mit x ∈ U die Abbildung f ∘ κ^{−1} : ℝ^{n} ∋ κ_{1}(U) → ℝ differenzierbar ist. Die Algebra-Struktur ist punktweise definiert, d.h. (α_{1}f_{1} + α_{2}f_{2})(x) = α_{1}f_{1}(x) + α_{2}f_{2}(x) und (f_{1}f_{2})(x) = f_{1}(x)f_{2}(x).

Definition 6 Sei M eine Mannigfaltigkeit. Ein Tangentialvektor v_{x} im Punkt x ∈ M ist eine lineare Abbildung v_{x} : C^{∞}(M) → ℝ, die die Leibniz-Regel erfüllt:

v_{x}(α_{1}f_{1} + α_{2}f_{2}) = α_{1}v_{x}(f_{1}) + α_{2}v_{x}(f_{2}) ,
v_{x}(f_{1}f_{2}) = v_{x}(f_{1})f_{2}(x) + f_{1}(x)v_{x}(f_{2})

für f_{1}, f_{2} ∈ C^{∞}(M) und α_{1}, α_{2} ∈ ℝ.

Äquivalent kann man Tangentialvektoren v_{x} als Äquivalenzklassen von Kurven auffassen, die im Punkt x die gleiche Tangente haben.

Der Raum T_{x}M aller Tangentialvektoren im Punkt x ∈ M wird durch (αv_{x} + βu_{x})(f) = αv_{x}(f) + βu_{x}(f) zu einem linearen Raum, dem Tangentialraum der Mannigfaltigkeit im Punkt x.

Definition 7 Der Kotangentialraum T_{x}^{∗}M in x ∈ M ist der Raum der linearen Funktionale auf T_{x}M, d.h. der linearen Abbildungen T_{x}^{∗}M ∋ ω_{x} : T_{x}M → ℝ.

Definition 8 Ein Vektorfeld X ist eine lineare Abbildung X : C^{∞}(M) → C^{∞}(M), die punktweise mit einem Tangentialvektor übereinstimmt, (Xf)(x) = X_{x}(f) für ein X_{x} ∈ T_{x}M, und die die Leibniz-Regel erfüllt:

X(f_{1}f_{2}) = X(f_{1}) · f_{2} + f_{1} · X(f_{2}) .

Wir bezeichnen mit 𝔛(M) den unendlich-dimensionalen Vektorraum der Vektorfelder auf M.

Der Raum 𝔛(M) aller Vektorfelder auf M ist eine Lie-Algebra mit Lie-Klammer gegeben durch [X, Y](f) := X(Y (f)) − Y (X(f)).

Definition 9 Ein Vektorraum L mit einer bilinearen Abbildung [ , ] : L × L → L, der Lie-Klammer, für die [X, X] = 0 ∀X ∈ L gilt und die die Jacobi-Identität [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 ∀X, Y, Z ∈ L erfüllt, heißt Lie-Algebra.

Der Raum 𝔛(M) aller Vektorfelder auf M ist ein C^{∞}(M)-Modul, d.h. für X ∈ 𝔛(M) und f ∈ C^{∞}(M) ist fX ∈ 𝔛(M) mit (fX)(f_{1}) = f · X(f_{1}). Es gilt (f_{1}f_{2})X = f_{1}(f_{2}X) sowie die üblichen linearen Strukturen der Operation.

Definition 10 Eine differentielle k-Form α auf M ist eine C^{∞}(M)-multilineare vollständig antisymmetrische Abbildung α : ×_{i=1}^{k} 𝔛(M) → C^{∞}(M) mit

α(X_{1}, …, X_{i−1}, X_{i}, X_{i+1}, …, X_{j−1}, X_{j}, X_{j+1}, …, X_{k})
= −α(X_{1}, …, X_{i−1}, X_{j}, X_{i+1}, …, X_{j−1}, X_{i}, X_{j+1}, …, X_{k}) ,
α(fX + f_{1}X_{1}, X_{2}, …, X_{k}) = fα(X, X_{2}, …, X_{k}) + f_{1}α(X_{1}, X_{2}, …, X_{k}) ,

für X, X_{I} ∈ 𝔛(M) und f, f_{1} ∈ C^{∞}(M).

Wir bezeichnen mit Ω^{k}(M) den Raum der differentiellen k-Formen auf M.

1.3 Bündel der linearen Bezugssysteme

Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Ein lineares Bezugssystem u im Punkt x ∈ M ist eine geordnete Basis p_{x} = (X_{1}, …, X_{n}) des Tangentialraumes T_{x}M. Sei L(M) die Menge aller linearen Bezugssysteme p_{x} an allen Punkten von M. Durch π : p_{x} ↦ x wird eine surjektive Abbildung π : L(M) → M definiert, die einem linearen Bezugssystem im Punkt x diesen Punkt der Mannigfaltigkeit zuordnet.

Die lineare Gruppe GL(n, ℝ) der invertierbaren reellen n × n-Matrizen wirkt auf natürliche Weise von rechts auf L(M), indem die invertierbare Matrix a = (a_{ij}) ∈ GL(n, ℝ) ein Bezugssystem p_{x} = (X_{1}, …, X_{n}) in ein neues Bezugssystem p_{x} · a := (Y_{1}, …, Y_{n}) mit Y_{j} = ∑_{i=1}^{n} X_{i}a_{ij} im gleichen Punkt x überführt. Die Gruppe GL(n, ℝ) wirkt frei auf dem Urbild π^{−1}(x), also der Menge aller Bezugssysteme im Punkt x: für ein beliebiges p_{x} ∈ π^{−1}(x) folgt aus p_{x} · a = p_{x} stets a_{ij} = δ_{ij}. Außerdem wirkt GL(n, ℝ) transitiv auf π^{−1}(x): Für beliebige p_{x}, q_{x} ∈ π^{−1}(x) existiert ein a ∈ GL(n, ℝ) mit p_{x} = q_{x} · a. Insbesondere ist π(p_{x}) = π(q_{x}) genau dann, wenn p_{x} = q_{a} · a für ein a ∈ GL(n, ℝ).

Die Menge L(M) wird nun zu einer Mannigfaltigkeit durch folgende Konstruktion. Zunächst betrachtet man die Koordinaten-Funktionen x ↦ x^{i}. Sei t = (t^{1}, … t^{n}) ∈ ℝ^{n} und π^{i} : ℝ^{n} ∋ t ↦ t^{i} ∈ ℝ die kanonische Projektion, dann sind die Koordinaten-Funktionen in einer gegebenen Karte (U, κ) definiert als x^{i} := π^{i} ∘ κ : U → ℝ, also x^{i}(x) = π^{i}(κ(x)). Sei v_{x} ∈ T_{x}M ein Tangentialvektor, dann liefert die Anwendung auf die Koordinatenfunktionen ein Tupel von Zahlen v_{i} := v_{x}(x^{i}). Symbolisch kann man den Tangentialvektor deshalb in gegebener Karte (U, κ) als v_{x} = ∑_{i=1}^{n} v_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} darstellen, mit v_{i} ∈ ℝ, wobei \frac{∂}{∂x_{i}} ∈ T_{x}M durch \frac{∂}{∂x^{i}} (x^{j}) = δ_{ij} definiert ist.

Sei p_{x} = (X_{1}, …, X_{n}) ein lineares Bezugssystem im Punkt x ∈ U, dann werden die X_{i} ∈ T_{x}U bezüglich der Karte (U, κ) dargestellt durch X_{i} = ∑_{j=1}^{n} X_{ji} \frac{∂}{∂x^{j}}. Damit p_{x} ein Bezugssystem ist, muß die Matrix (X_{ji}) invertierbar sein. Das bedeutet, daß bezüglich der Karte (U, κ) von M gilt π^{−1}(U) ≃ U × GL(n, ℝ).

Mit den so konstruierten Strukturen ist L(M) ein Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe GL(n, ℝ), das Bündel der linearen Bezugssysteme (oder auch Repère-Bündel, engl. frame bundle).

Definition 11 Seien P, M differenzierbare Mannigfaltigkeiten, G eine Lie-Gruppe und es gelte

1. ψ : P × G ∋ (p, g) ↦ ψ_{g}(p) ∈ P ist eine freie rechte Gruppenwirkung

2. M ist der Faktorraum der Gruppenwirkung, M = P/G mit der kanonischen Projektion π : P → P/G = M

3. Es existiert eine Überdeckung (U_{i})_{i∈I} von M und eine Familie von Diffeomorphismen χ_{i} : π^{−1}(U_{i}) → U_{i} × G, den lokalen Trivialisierungen, so daß

• [figure: π^{−1}(U_{i}); U_{i} × G; U_{i}; χ_{i}; π; ^{pr^{1}}] ein kommutatives Diagramm ist

• pr_{2} ∘ χ_{i}(ψ_{g}(p)) = (pr_{2} ∘ χ_{i}(p)) · g

Dann heißt die Struktur (P, M, G, π, ψ, {χ_{i}}) ein Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe G.

Zu zeigen bleibt nur die Äquivarianzeigenschaft der rechten Gruppenwirkung. Für p = p_{x} = (X_{1}, …, X_{n}) ist ψ_{a}(p) = (Y_{1}, …, Y_{n}) mit Y_{i} = ∑_{k=1}^{n} X_{k}a_{ki}. Die Trivialisierung χ ist bezüglich der Karte (U, κ) definiert, wo X_{k} = ∑_{k=1}^{n} X_{jk} \frac{∂}{∂x_{j}}. Damit erhalten wir

Y_{i} = ∑_{j,k=1}^{n} X_{jk}a_{ki} \frac{∂}{∂x_{j}} = ∑_{j=1}^{n} Y_{ji} \frac{∂}{∂x_{j}} .

Die Trivialisierung beider Punkte p und ψ_{a}(p) ist

χ(p) = (x, X_{ji})  und  χ(ψ_{a}(p)) = (x, Y_{ji}) = (x, ∑_{k=1}^{n} X_{jk}a_{ki}) .

1.4 Das Tangentialbündel als assoziiertes Vektorbündel

Die Gruppe GL(n, ℝ) wirkt auf natürliche Weise von links auf dem Vektorraum ℝ^{n} (Matrixmultiplikation). Wir bezeichnen diese Gruppenwirkung mit λ. Auf der Produktmannigfaltigkeit L(M) × ℝ^{n} betrachten wir die folgende Äquivalenzrelation:

(p_{1}, y_{1}) ∼ (p_{2}, y_{2}) ⇔ ∃a ∈ GL(n, ℝ) so daß p_{2} = p_{1} · a und y_{2} = a^{−1} · y_{1} .

Insbesondere ist (p · a, y) ∼ (p, a · y). Wir bezeichnen mit T M := L(M) × ℝ^{n}/GL(n, ℝ) den Quotientenraum von L(M)×ℝ^{n} nach dieser Äquivalenzrelation. Die kanonische Projektion π : L(M) → M induziert eine Projektion π_{T M} : T M → M durch π_{T M}[(p, y)] = π(p). Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn π(p) ist unabhängig vom gewählten Repräsentaten. Die allgemeinen Strukturen garantieren, daß T M ein zum Hauptfaserbündel L(M) assoziiertes Vektorbündel über M ist mit Strukturgruppe GL(n, ℝ) und typischer Faser ℝ^{n}.

Wir fassen nun p_{x} = (X_{1}, …, X_{n}) ∈ L(M) als nichtsinguläre lineare Abbildung

p_{x} : ℝ^{n} → T_{x}M , p_{x} : e_{i} ↦ X_{i} ,

auf, indem p_{x} den Vektor e_{i} der Standardbasis {e_{i}}_{i=1}^{n} im ℝ^{n} auf X_{i} ∈ T_{x}M abbildet. Entsprechend betrachten wir p_{x} · a als Hintereinanderausführung der Abbildungen ℝ^{n} ⟶^{λ_{a}} ℝ^{n} ⟶^{p_{x}} T_{x}M. Bezüglich der durch die Karten (U, κ) definierten Trivialisierungen gilt p_{x}(e_{i}) = ∑_{i,j=1}^{n} X_{ji} \frac{∂}{∂x_{j}}.

Satz 1 Die Abbildung

j : π_{T M}^{−1}(x) ∋ [(p_{x}, y)] ↦ p_{x}(y) ∈ T_{x}M

ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Beweis. Sei X ∈ T_{x}M gegeben, dann läßt sich eine Basis p_{x} = (X, X_{2}, …, X_{n}) von T_{x}M finden. Nun ist p_{x}(e_{1}) = X, also ist die Abbildung j surjektiv.

Sei p_{x}(y) = p̃_{x}(ỹ) ∈ T_{x}M. Dann sind p_{x}, p̃_{x} ∈ π^{−1}(x), so daß es ein a ∈ GL(n, ℝ) gibt mit p̃_{x} = p_{x} · a. Also ist

p̃_{x}(ỹ) = (p_{x} · a)(ỹ) = p_{x}(a · ỹ) =^{!} p_{x}(y) .

Da p_{x} nicht singulär ist, folgt ỹ = a^{−1} · y und damit [(p_{x}, y)] = [(p̃_{x}, ỹ)]. □

Damit läßt sich T M als Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit M auffassen. Die Struktur bezüglich einer lokalen Trivialisierung ergibt sich aus folgendem Satz:

Satz 2 Der Diffeomorphismus χ : π^{−1}(U) → U × GL(n, ℝ) mit U ⊂ M offen induziert einen Diffeomorphismus χ^{T M} : π_{T M}^{−1}(U) → U × ℝ^{n}, so daß das folgende Diagramm kommutiert:

L(M) × ℝ^{n} ⊃ π^{−1}(U) × ℝ^{n} ⟶^{χ×id_{ℝ^{n}}} (U × GL(n, ℝ)) × ℝ^{n}
ι ↓  ↓ id_{U} × λ
T M ⊃  π_{T M}^{−1}(U)  ⟶^{χ^{T M}}  U × ℝ^{n}
π_{T M} ↘  ↙ pr_{1}
U

1.5 Tensorbündel

Sei V ein Vektorraum und V^{∗} sein Dualraum, d.h. der Raum der linearen Funktionale auf V. Dann heißt T_{s}^{r}(V) := \underbrace{V ⊗ ⋯ ⊗ V}_{r} ⊗ \underbrace{V^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ V ∗}_{s} der Tensorraum

vom Typ (r, s) über V. Dabei ist das Tensorprodukt U ⊗ V zweier Vektorräume U, V gegeben durch die Menge der Paare (u, v), u ∈ U, v ∈ V mit den Identifizierungen

(r_{1}u_{1}+r_{2}u_{2}, v) = r_{1}(u_{1}, v)+r_{2}(u_{2}, v) , (u, r_{1}v_{1}+r_{2}v_{2}) = r_{1}(u, v_{1})+r_{2}(u_{2}, v_{2}) ,

für r_{1}, r_{2} ∈ ℝ. (Exakter: man bildet den Quotientenraum von U × V nach der so erhaltenen Äquivalenzrelation.) Der Raum T (V) := ⨁_{r,s=0}^{∞} T_{s}^{r}(V) ist eine assoziative Algebra mit dem Tensorprodukt ⊗ : T_{s_{1}}^{r_{1}}(V) × T_{s_{2}}^{r_{2}}(V) → T_{s_{1}+s_{2}}^{r_{1}+r_{2}}(V) als Multiplikation. Eine weitere wichtige Operation ist die Kontraktion

C_{q}^{p} : T_{s}^{r}(V) → T_{s−1}^{r−1}(V)
C_{q}^{p} : (v_{1}, …, v_{r}, v_{1}^{∗}, …, v_{s}^{∗}) ↦ v_{q}^{∗}(v_{p})(v_{1}, … v̌_{p}, …, v_{r}, v_{1}^{∗}, … v̌_{q}^{∗}, …, v_{s}^{∗}) .

Satz 3 Die Gruppe der Automorphismen von V ist isomorph zur Gruppe jener Automorphismen der Tensoralgebra T (V), welche den Typ erhalten und mit Kontraktionen kommutieren.

Beweis. Sei f ein Autorphismus von T (V) mit den geforderten Eigenschaften. Die Einschränkung von f auf V = T_{0}^{1}(V) liefert ein A ∈ Aut(V). Dann ist die Einschränkung von f auf ℝ = T_{0}^{0}(V) ist die Identität, denn f(αv) = f(α)f(v) =^{!} αf(v) für alle α ∈ ℝ. Dann gilt

(fv^{∗})(Av) = (fv^{∗})(fv) = C_{1}^{1}(fv ⊗ fv^{∗}) = C_{1}^{1}(f(v ⊗ v^{∗})) = fC_{1}^{1}(v ⊗ v^{∗})
= f(v^{∗}(v)) = v^{∗}(v)

für alle v ∈ V, v^{∗} ∈ V^{∗}. Das bedeutet fv^{∗} = (A^{∗})^{−1}v^{∗}, wobei A^{∗} der zur A adjungierte Automorphismus ist. Also ist

f(v_{1}, …, v_{r}, v_{1}^{∗}, …, v_{s}^{∗}) = (Av_{1}, …, Av_{r}, (A^{∗})^{−1}v_{1}^{∗}, …, (A^{∗})^{−1}v_{s}^{∗}) .  □

Für V = ℝ^{n} ist Aut(V) = GL(n, ℝ), so daß es eine natürliche linke Gruppenwirkung λ : GL(n, ℝ) × T_{s}^{r}(ℝ^{n}) → T_{s}^{r}(ℝ^{n}) gibt. Völlig analog zu T M läßt sich dann das Tensorbündel T_{s}^{r}M = L(M) × T_{s}^{r}(ℝ^{n})/GL(n, ℝ) als zum Hauptfaserbündel L(M) assoziiertes Vektorbündel konstruieren.

Durch Dualisieren der Abbildung p_{x} : ℝ^{n} → T_{x}M erhalten wir eine Abbildung

p_{x}^{∗} : T_{x}^{∗}M → (ℝ^{n})^{∗} ≃ ℝ^{n} , ⟨p_{x}^{∗}α_{x}, y⟩ := α_{x}(p_{x}(y)) ,

für α_{x} ∈ T_{x}^{∗}M und y ∈ ℝ^{n}. Damit läßt sich eine Abbildung

j_{s}^{r} : π_{T_{s}^{r}M}^{−1}(x) ∋ [(p_{x}, y_{1} ⊗ ⋯ ⊗ y_{r} ⊗ y_{1}^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ y_{s}^{∗})]

↦ p_{x}(y_{1}) ⊗ ⋯ ⊗ p_{x}(y_{r}) ⊗ (p_{x}^{∗})^{−1}(y_{1}^{∗}) ⊗ ⋯ ⊗ (p_{x}^{∗})^{−1}(y_{s}^{∗}) ∈ T_{s}^{r}(T_{x}M)

konstruieren, welche wie zuvor j : π_{T M}^{−1} → T_{x}M ein Isomorphismus von Vektorräumen ist. Somit werden die Fasern von T_{s}^{r}M mit der Tensoralgebra des Tangentialraums von M identifiziert, was die Bezeichnung von T_{s}^{r}M als Tensorbündel rechtfertigt.

Definition 12 Ein lokaler glatter Schnitt eines Faserbündels B über M ist eine differenzierbare Abbildung s : U → B mit π ∘ s = id_{U}, wobei π : B → M die kanonische Projektion ist und U ⊂ M offen.

Definition 13 Ein Tensorfeld vom Typ (r, s) ist ein glatter Schnitt des Tensorbündels T_{s}^{r}M. Ein Tensorfeld vom Typ (1, 0) heißt Vektorfeld.

Bemerkungen:

• Der Raum aller Tensorfelder wird auf natürliche Weise zu einem Modul über C^{∞}(M), indem man punktweise (ft_{s}^{r})(x) = f(x)t_{s}^{r}(x) definiert für t_{s}^{r} : M → T_{s}^{r}M und f ∈ C^{∞}(M).

• Die so definierten Vektorfelder X sind auf natürliche Weise identifiziert mit Vektorfeldern im zuvor definierten Sinn als Abbildungen X : C^{∞}(M) → C^{∞}(M), welche die Leibniz-Regel erfüllen.

Satz 4 Es existiert eine 1 : 1-Korrespondenz zwischen Tensorfeldern t_{s}^{r} vom Typ (r, s) und äquivarianten Abbildungen t̃_{s}^{r} : L(M) → T_{s}^{r}(ℝ^{n}), d.h. t̃_{s}^{r} ∘ψ_{a} = λ_{a^{−1}} ∘t̃_{s}^{r}, so daß

L(M) ⟶^{(id_{L(M)},t̃_{s}^{r})} L(M) × T_{s}^{r}(ℝ^{n})
π ↓  ↓ ι
M  ⟶^{t_{s}^{r}}  T_{s}^{r}M

ein kommutatives Diagramm ist.

Damit haben wir

t̃_{s}^{r}(p) = (\underbrace{p^{−1} ⊗ ⋯ ⊗ p^{−1}}_{r} ⊗ \underbrace{p^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ p^{∗}}_{s})(t_{s}^{r}(π(p)))

und insbesondere X̃(p) = p^{−1}(X(π(p))) für Vektorfelder X ∈ 𝔛(M).

1.6 Allgemeine Koordinatentransformationen

Definition 14 Ein Diffeomorphismus θ̂ : L(M) → L(M) heißt Automorphismus des Hauptfaserbündels L(M), falls

• das folgende Diagramm ist kommutativ

[figure: L(M); L(M); θ̂; π; M; M; id; π]

• θ̂ kommutiert mit der rechten Gruppenwirkung, θ̂ ∘ ψ_{a} = ψ_{a} ∘ θ̂ ∀a ∈ GL(n, ℝ).

Die Gruppe G der vertikalen Automorphismen von L(M) heißt Gruppe der allgemeinen Koordinatentransformationen.

Satz 5 Es gibt eine 1 : 1-Korrespondenz zwischen allgemeinen Koordinatentransformationen θ̂ und äquivarianten Abbildungen u : L(M) → GL(n, ℝ) (differenzierbar) mit u(p · a) = a^{−1}u(p)a.

Beweis. Setze θ̂(p) = p · u(p). □

Ein vertikaler Automorphismen θ̂ induziert eine Koordinatentransformation von Tensorfeldern durch

(θ̂^{∗}t̃_{s}^{r})(p) = t̃_{s}^{r}(θ̂(p)) = t̃_{s}^{r}(p · u(p)) = λ_{u(p)^{−1}} t̃_{s}^{r}(p) = u(p)^{−1} · t̃_{s}^{r}(p) .

Dem entspricht eine Koordinatentransformation der Schnitte

t_{s}^{r}(x) ↦ t̂_{s}^{r}(x) = [(p, (θ̂^{∗}t̃_{s}^{r})(p))] = [(p, λ_{u(p)^{−1}} t̃_{s}^{r}(p))] = [(p · u(p)^{−1}, t̃_{s}^{r}(p))]

Diese Konstruktion ist unabhängig von p ∈ π^{−1}(x), denn

[(p·a·u(p·a)^{−1}, t̃_{s}^{r}(p·a))] = [(p·a·a^{−1} ·u(p)^{−1} ·a, λ_{a^{−1}} t̃_{s}^{r}(p))] = [(p·u(p)^{−1}, t̃_{s}^{r}(p))] .

Im Falle von Vektorfeldern X ∈ 𝔛(M) haben wir X̃(p) = p^{−1} · X(x) und X̂(x) = p · (θ̂^{∗}X̃)(p) = p · u(p)^{−1} · p^{−1} · X(x). Da diese Konstruktion unabhängig von p ∈ π^{−1}(x) ist, können wir bezüglich der Karte (U, κ) von M jenes lineare Bezugssystem p_{0} ∈ π^{−1}(x) wählen, für das p_{0}(e_{i}) = \frac{∂}{∂x_{i}} ist. Dann gilt für X(x) = ∑_{j=1}^{n} X_{j}(x)\frac{∂}{∂x_{j}}

X̂_{i}(x) = ∑_{j=1}^{n}(u(p_{0})^{−1})_{ij}X_{j}(x) .

Für die duale Abbildung haben wir e^{i} = p_{0}^{∗}(dx^{i}), denn

δ_{j}^{i} = ⟨e^{i}, e_{j}⟩ = ⟨p_{0}^{∗}(dx^{i}), (p_{0})^{−1}(\frac{∂}{∂x^{j}})⟩ = dx^{i}(\frac{∂}{∂x^{j}}) .

Wenn also das Tensorfeld die Kartendarstellung

t_{s}^{r}(x) = ∑_{i_{a},j_{b}=1}^{n} t_{j_{1}...j_{s}}^{i_{1}...i_{r}}(x)\frac{∂}{∂x^{i_{1}}} ⊗ ⋯ ⊗ \frac{∂}{∂x^{i_{r}}} ⊗ dx^{j_{1}} ⊗ … dx^{j_{s}}

hat, so ist

{ \atop t_{l_{1}...l_{s}}^{k_{1}...k_{r}}}(x) = ∑_{i_{a},j_{b}=1}^{n}(u(p_{0})^{−1})_{k_{1}i_{1}} ⋯ (u(p_{0})^{−1})_{k_{r}i_{r}}(u(p_{0})^{∗})_{l_{1}j_{1}} ⋯ (u(p_{0})^{∗})_{l_{s}j_{s}}t_{j_{1}...j_{s}}^{i_{1}...i_{r}}(x) .

1.7 Lineare Zusammenhänge

Ein linearer Zusammenhang ist ein Zusammenhang im Bündel L(M) der linearen Bezugssysteme.

Definition 15 Sei P ein Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe G und 𝔤 die Lie-Algebra von G. Eine differentielle Einsform ω auf P mit Werten in 𝔤 heißt Zusammenhangsform, wenn

• ω_{p}(σ(A)) = A,

• ψ_{a}^{∗}ω = Ad(a^{−1})ω.

Dabei ist σ(A) = A_{∗} das durch

(A_{∗}f)(p) = \frac{d}{dt}(f ∘ ψ_{exp(tA)}(p))|_{t=0} , f ∈ C^{∞}(P) .

definierte fundamentale Vektorfeld (oder Killing-Feld) auf P.

Ist ω eine Zusammenhangsform, dann definiert H_{p} := ker ω_{p} ⊂ T_{p}M einen linearen Unterraum des Tangentialraums, den horizontalen Unterraum. Die durch die Zusammenhangsform ω definierte Zuordnung p ↦ H_{p} heißt Zusammenhang auf P.

Ist V_{p} = σ_{p}(𝔤) ⊂ T_{p}P der vertikale Unterraum (Tangentialraum an die Faser π^{−1}(π(p)) durch p), dann gilt

• Komplementarität: T_{p}P = H_{p} ⊕ V_{p} ∀p ∈ P

• Rechtsinvarianz: ψ′_{g}(H_{p}) = H_{ψ_{g}(p)}

• die Zuordnung p ↦ H_{p} ist glatt

Die allgemeinen Definitionen und Eigenschaften gelten natürlich auch für das Bündel L(M). Es gibt auf L(M) aber noch eine wichtige Besonderheit:

Definition 16 Die durch

ϑ_{p}(X) := p^{−1}(π′_{p}(X)) , X ∈ T_{p}P

definierte Einsform auf P mit Werten im ℝ^{n} heißt kanonische Einsform oder Verschmelzungsform.

Es gilt ψ_{a}^{∗}ϑ = a^{−1} · ϑ, denn für X ∈ T_{p}P ist

(ψ_{a}^{∗}ϑ)_{p}(X) = ϑ_{p·a}(ψ′_{a}X) = (p · a)^{−1}(π′_{pa}(ψ′_{a}X)) = a^{−1} · p^{−1}(π′_{p}(X)) = a^{−1} · ϑ_{p}(X) .

Also ist die Verschmelzungsform eine Einsform auf P mit Werten im ℝ^{n} vom Typ GL(n, ℝ).

Sei Γ ein linearer Zusammenhang (definiert durch eine Zusammenhangsform ω auf L(M)). Jedem y ∈ ℝ^{n} ordnen wir ein horizontales Vektorfeld B(y) auf L(M) zu, indem (B(y))_{p} ∈ H_{p} der eindeutige horizontalen Vektor ist, für den π′_{p}(B(y))_{p} = p(y) ∈ T_{π(p)}M ist.

Satz 6 1. ϑ_{p}(B(y)) = y und ω_{p}(B(y)) = 0 für alle p ∈ L(M) und y ∈ ℝ^{n}

2. ψ′_{a}(B(y)) = B(a^{−1} · y)

3. Wenn y ≠ 0, dann verschwindet B(y) nirgends.

Beweis. 1. folgt aus der Definition. Wenn X = (B(y))_{p} ∈ H_{p}, dann ist ψ′_{a}(X) ∈ H_{p·a} und π′_{p}(X) = π′_{p·a}(ψ′_{a}X). Also ist

π′_{p}(B(y))_{p} = p(y) = (p · a)(a^{−1} · y) = π′_{p·a}(B(a^{−1} · y))_{p·a} = π′_{p·a}(ψ′_{a}(B(y))_{p}) .

Schließlich sei (B(y))_{p} = 0 für irgendein p ∈ L(M), dann ist p(y) = π′_{p}(B(y)) = 0. Da p : ℝ^{n} → T_{x}M ein Isomorphismus von Vektorräumen ist, folgt y = 0. □

Definition 17 Sei α eine differentielle k-Form auf L(M) mit Werten in einem beliebigen Vektorraum. Dann definiert ein Zusammenhang Γ auf P eine kovariante Ableitung Dα durch

(Dα)_{p}(X_{1}, …, X_{k+1}) := (dα)_{p}(horX_{1}, …, horX_{k+1}) ,

für X_{i} ∈ 𝔛(L(M)).

Dabei ist das äußere Differential einer differentiellen k-Form α gegeben durch

(dα)(X_{0}, X_{1}, …, X_{k}) := ∑_{i=0}^{k}(−1)^{i}X_{i}(α(X_{0}, …, X̌_{i}, …, X_{k}))

+ ∑_{0≤i<j≤k}(−1)^{i+j}α([X_{i}, X_{j}], X_{0}, …, X̌_{i}, …, X̌_{j}, …, X_{k}) .

Definition 18 Sei ω eine lineare Zusammenhangsform auf L(M). Die kovariante Ableitung Ω := Dω von ω heißt Krümmmungsform und die kovariante Ableitung Θ := Dϑ von ϑ heißt Torsionsform.

Satz 7 Es gelten die Strukturgleichungen

Θ(X, Y) = (dϑ)(X, Y) + ω(X)ϑ(Y) − ω(Y)ϑ(X) ,
Ω(X, Y) = (dω)(X, Y) + [ω(X), ω(Y)] ,

für X, Y ∈ 𝔛(L(M)). Dabei ist ω(X)ϑ(Y) das Matrixprodukt von ω(X) ∈ 𝔤𝔩(n, ℝ) = M(n, ℝ) mit ϑ(Y) ∈ ℝ^{n}.

Beweis. Die 2. Gleichung wurde im letzten Semester bewiesen. Fallunterscheidung für 1. Gleichung: X, Y vertikal, dann Θ(X, Y) = 0 und ϑ(X) = ϑ(Y) = 0. Weiter dϑ(X, Y) = Xϑ(Y) − Y ϑ(X) − ϑ([X, Y]) = −ϑ([X, Y]). Da [X, Y] vertikal, verschwinden beide Seiten der Strukturgleichung. X, Y horizontal, dann ist ω(X) = ω(Y) = 0, und es verbleibt die Definition der kovarianten Ableitung. X vertikal, Y horizontal. Wir setzen X = A_{∗} = σ(A) und Y = B(y). Dann ist Θ(X, Y) = 0, ω(Y)ϑ(X) = 0 und ω(X)ϑ(Y) = ω(σ(A))ϑ(B(y)) = A · y. Andererseits ist

(dϑ)(X, Y) = A^{∗}ϑ(B((y)) − B(y)ϑ(A^{∗}) − ϑ([A^{∗}, B(y)]) = −ϑ([A^{∗}, B(y)])
= −ϑ(L_{A^{∗}}(B(y)))

Es gilt

L_{A^{∗}}(B(y)) = \frac{d}{dt}((ψ_{exp(−At)})_{∗}B(y)−B(y)) = \frac{d}{dt}(B(exp(At)·y)−B(y)) = B(A·y)

und deshalb (dϑ)(X, Y) = −A · y. □

Satz 8 Es gelten die Bianchi-Identitäten

(DΘ)(X, Y, Z) = Ω(X, Y)ϑ(Z) + Ω(Y, Z)ϑ(X) + Ω(Z, X)ϑ(Y) ,
(DΩ)(X, Y, Z) = 0 ,

für X, Y, Z ∈ 𝔛(L(M)).

Beweis. Die 2. Bianchi-Identität wurde im letzten Semester beweisen. Zum Beweis der ersten schreiben wir die Strukturgleichung als Θ = dϑ + ω ∧ ϑ. Dann ist

(DΘ)(X, Y, Z) = (dΘ)(horX, horY, horZ) = (dω ∧ ϑ)(horX, horY, horZ)
= (Ω ∧ ϑ)(X, Y, Z) .  □

1.8 Kovariante Ableitungen von Tensorfeldern nach Vektorfeldern

Wir bezeichnen mit Γ^{∞}(T_{s}^{r}M) den Raum der Tensorfelder vom Typ (r, s), d.h. die Menge der differenzierbaren Schnitte des entsprechenden Tensorbündels, und mit ϕ : t_{s}^{r} ↦ t̃_{s}^{r} die 1:1-Korrespondenz zwischen Tensorfeldern t_{s}^{r} ∈ Γ^{∞}(T_{s}^{r}M) und äquivarianten Abbildungen t̃_{s}^{r} : L(M) → T_{s}^{r}(ℝ^{n}). Wir haben

(ϕ(t_{s}^{r}))(p) = (\underbrace{p^{−1} ⊗ ⋯ ⊗ p^{−1}}_{r} ⊗ \underbrace{p^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ p^{∗}}_{s})(t_{s}^{r}(π(p))) .

Die Abbildung ϕ ist ein Homomorphismus der Tensoralgebren,

ϕ(t_{s_{1}}^{r_{1}} ⊗ t_{s_{2}}^{r_{2}}) = ϕ(t_{s_{1}}^{r_{1}}) ⊗ ϕ(t_{s_{2}}^{r_{2}})

welcher mit Kontraktionen kommuiert:

ϕ(C_{b}^{a}t_{s_{1}}^{r_{1}}) = C_{b}^{a}ϕ(t_{s_{1}}^{r_{1}}) .

Ein linearer Zusammenhang definiert eine kovariante Ableitung dieser äquivarianten Abbildungen durch

(Dt̃_{s}^{r})(Y) := (dt̃_{s}^{r})(hor(Y)) = (hor(Y))(t̃_{s}^{r}) , Y ∈ 𝔛(P) .

Hierbei ist t̃_{s}^{r} als T_{s}^{r}(ℝ^{n})-wertige Funktion auf L(M) betrachtet.

Das horizontale Vektorfeld hor(Y) in dieser Definition läßt sich als horizontaler Lift hor(Y) = X^{∗} eines Vektorfeldes X ∈ 𝔛(M) auffassen. Dieser horizontale Lift ist gegeben durch (X^{∗})_{p} = (B(p^{−1}(X)))_{p} und π′_{p}(X^{∗})_{p} = X_{p}. Nach Rücktransformation in ein Tensorfeld mittels ϕ^{−1} erhalten wir die kovariante Ableitung eines Tensorfeldes t_{s}^{r} ∈ Γ^{∞}(T_{s}^{r}M) nach einem Vektorfeld X ∈ 𝔛(M) zu

∇_{X}t_{s}^{r} := ϕ^{−1}((D(ϕ(t_{s}^{r})))(X^{∗})) = ϕ^{−1}(X^{∗}(ϕ(t_{s}^{r}))) .

Satz 9 Sei T (M) = ⨁_{r,s=0}^{∞} Γ^{∞}(T_{s}^{r}M) die Algebra der Tensorfelder über M und X, Y ∈ 𝔛(M). Die kovariante Ableitung hat folgende Eigenschaften:

1. ∇_{X} : T (M) → T (M) ist eine Typ-erhaltende Derivation, die mit beliebigen Kontraktionen kommutiert

2. ∇_{X}f = Xf für alle f ∈ C^{∞}(M) = Γ^{∞}(T_{0}^{0}M)

3. ∇_{X+Y} = ∇_{X} + ∇_{Y}

4. ∇_{fX}t_{s}^{r} = f · ∇_{X}t_{s}^{r} für alle t_{s}^{r} ∈ Γ^{∞}(T_{s}^{r}M)

Beweis. 1. folgt aus den gleichen Eigenschaften von ϕ und der Derivationseigenschaft von X^{∗}. Sei p(h) die Integralkurve von X^{∗} durch p(0) = p, dann ist

(X^{∗}(t ⊗ t′))(p) = \frac{d}{dh}(t(p(h)) ⊗ t′(p(h)))|_{h=0} = (X^{∗}t)(p) ⊗ t′(p) + t(p) ⊗ (X^{∗}t′)(p) .

2. Es gilt (ϕ(f))(p) = f(π(p)), also ϕ|_{C^{∞}(M)} = π^{∗}, und deshalb

(X^{∗}ϕ(f))(p) = \frac{d}{dh}(ϕ(f))(p(h))|_{h=0} = \frac{d}{dh}(f(π(p(h))))|_{h=0}

= \frac{d}{dh}(f(x(h)))|_{h=0} = (Xf)(x) = (ϕ(Xf))(p) .

3. und 4. folgen aus der Definition von ∇_{X}. □

Mittels der Abbildung p : ℝ^{n} → T_{π(p)}M lassen sich Torsions- und Krümmungsform in Torsions- und Krümmungstensoren überführen. Für X, Y, Z ∈ 𝔛(M) setzen wir

(T (X, Y))_{x} := p(Θ_{p}(X^{∗}, Y^{∗})) , (R(X, Y)Z)_{x} := p(Ω_{p}(X^{∗}, Y^{∗}) · p^{−1}(Z)) ,

wobei X^{∗}, Y^{∗} die horizontalen Lifte von X, Y sind und p ∈ π^{−1}(x) beliebig ist. Der Torsionstensor ist eine antisymmetrische bilineare Abbildung T : 𝔛(M) × 𝔛(M) → 𝔛(M), und R ist ein Tensorfeld vom Typ (1, 3) mit R(X, Y) = −R(Y, X).

Satz 10 Es gilt

T (X, Y) = ∇_{X}Y − ∇_{Y} X − [X, Y] ,
R(X, Y)Z = [∇_{X}, ∇_{Y}]Z − ∇_{[X,Y]}Z .

Beweis. Wir zuvor bezeichnen X^{∗}, Y^{∗} die horizontalen Lifte von X, Y. Sei außerdem p(t) die Integralkurve von X^{∗} durch p = p(0). Zunächst berechnen wir

(∇_{X}Y)_{x} = (ϕ^{−1}(X^{∗}(ϕ(Y))))_{x} = p(\frac{d}{dt}(p(t)^{−1}(Y_{π(p(t))}))|_{t=0})

= p(\frac{d}{dt}(p(t)^{−1}(π′_{p(t)}(Y_{π(p(t))}^{∗})))|_{t=0}) = p(\frac{d}{dt}(ϑ(Y^{∗})(p(t)))|_{t=0})

= p((X^{∗}ϑ(Y^{∗}))_{p}) .

Das ergibt

(T (X, Y))_{x} = p((dϑ)_{p}(X^{∗}, Y^{∗})) = p(X^{∗}(ϑ(Y^{∗})) − Y^{∗}(ϑ(X^{∗})) − ϑ([X^{∗}, Y^{∗}]))_{p}
= (∇_{X}Y − ∇_{Y} X)_{x} − π′_{p}([X^{∗}, Y^{∗}]))_{p} .

Die Behauptung folgt nun aus π′_{p}([X^{∗}, Y^{∗}]) = [X, Y]_{x}, denn sei f ∈ C^{∞}(M) und p(t) die Integralkurve von Y^{∗} durch p(0) = p, dann gilt

π′_{p}([X^{∗}, Y^{∗}]))_{p}f = ([X^{∗}, Y^{∗}](f ∘ π))_{p}

und

(Y^{∗}(f ∘ π))_{p} = \frac{d}{dt}(f ∘ π(p(t)))|_{t=0} = (Y f)_{π(p)} ,

also (X^{∗}(Y^{∗}(f ∘ π)))_{p} = (X(Y f))_{π(p)}.

Zum Beweis der zweiten Beziehung betrachten wir

([∇_{X}, ∇_{Y}]Z − ∇_{[X,Y]}Z)_{x} = p((X^{∗}(Y^{∗}ϑ(Z^{∗})) − Y^{∗}(X^{∗}ϑ(Z^{∗})) − [X, Y]^{∗}ϑ(Z^{∗}))_{p})
= p((([X^{∗}, Y^{∗}] − [X, Y]^{∗})ϑ(Z^{∗}))_{p}) .

Da π′_{p}([X^{∗}, Y^{∗}]) = [X, Y]_{x} = π′_{p}([X, Y]^{∗}), ist [X^{∗}, Y^{∗}] − [X, Y]^{∗} = ver([X^{∗}, Y^{∗}]) = A_{∗} = σ(A) ein vertikales Vektorfeld. Es ist das fundamentale Vektorfeld zu −Ω(X^{∗}, Y^{∗}) = −(dω)(X^{∗}, Y^{∗}) = ω([X^{∗}, Y^{∗}]) = ω(ver([X^{∗}, Y^{∗}])) = A. Damit gilt

([∇_{X}, ∇_{Y}]Z − ∇_{[X,Y]}Z)_{x} = p((σ(A)ϑ(Z^{∗}))_{p})

= p(\frac{d}{dt}ϑ(Z^{∗})_{p·exp(At)}|_{t=0})

= p(\frac{d}{dt}(p · exp(At))^{−1}(π′_{p·exp(At)}(Z_{π(p·exp(At))}^{∗}))|_{t=0})

= p(\frac{d}{dt}(p · exp(At))^{−1}(Z_{π(p)})|_{t=0})

= p(−A · p^{−1}(Z_{π(p)})) = p(Ω_{p}(X^{∗}, Y^{∗}) · p^{−1}(Z_{π(p)}))

= R(X, Y)Z .  □

Ohne Beweis erwähnen wir

Satz 11 Es gelten die Bianchi-Identitäten

R(X, Y)Z − (T (X, Y), Z) − (∇_{X}T)(Y, Z) + zyklisch = 0 .
(∇_{X}R)(Y, Z) + R(T (X, Y), Z) + zyklisch = 0 .

1.9 Darstellung in lokalen Koordinaten

Durch eine Karte (U, κ) werden die Koordinatenfunktionen x ↦ x^{μ}, μ = 1, …, n definiert und entsprechend die Tangentialvektoren \frac{∂}{∂x^{μ}} ∈ T_{x}M als Basis des Tangentialraumes. Die Koordinatendifferentiale dx^{μ} ∈ T_{x}^{∗}M bilden die dazu duale Basis des Kotangentialraumes. Die Tensorprodukte von \frac{∂}{∂x^{μ}} und dx^{μ} bilden eine lokale Basis der Tensoralgebra T (T_{x}M). Wir verwenden von nun an griechische Indizes für die Koordinatenbasen und lateinische für die Basis e_{i} im ℝ^{n}.

Ein linearer Zusammenhang definiert nun eine lokale Basis \{\frac{∂}{∂p^{μ}} , \frac{∂}{∂p_{ij}} \}_{μ,i,j=1,...,n} von T_{p}L(M). Dabei sind \frac{∂}{∂p^{μ}} = (\frac{∂}{∂x^{μ}})^{∗} die horizontalen Lifte der Basisvektoren von T_{x}M und \frac{∂}{∂p_{ij}} := σ_{p}(e_{ij}) die Killingvektorfelder der Standardbasis e_{ij} ∈ 𝔤𝔩(n, ℝ).

Die Verschmelzungsform ist nun gegeben durch

θ_{p} = ∑_{μ,i=1}^{n} θ_{μ}^{i}(p) e_{i} ⊗ dp^{μ} ,

denn θ verschwindet auf vertikalen Vektoren. Die Zusammanhangsform hat die Darstellung

ω_{p} = ∑_{i,j,k,l=1}^{n} ω_{kl}^{ij}(p) e_{ij} ⊗ dp^{kl} ,

denn sie verschwindet auf horizontalen Vektoren.

Entsprechend gilt für Torsions- und Krümmungsform

Θ_{p} = ∑_{μ,ν,i=1}^{n} \frac{1}{2}Θ_{μν}^{i}(p) e_{i} ⊗ dp^{μ} ∧ dp^{ν} , Ω_{p} = ∑_{μ,ν,i,j=1}^{n} \frac{1}{2}Ω_{μν}^{ij}(p) e_{ij} ⊗ dp^{μ} ∧ dp^{ν} .

Dabei ist ∧ das antisymmetrisierte Tensorprodukt.

Zwar kommutieren die Basisvektoren \frac{∂}{∂x^{μ}} von T_{x}M, jedoch ist das nicht mehr der Fall für ihre horizontalen Lifte \frac{∂}{∂p^{μ}}: Die 2. Strukturgleichung liefert

Ω_{p}(\frac{∂}{∂p^{μ}} , \frac{∂}{∂p^{ν}}) = ∑_{i,j=1}^{n} Ω_{μν}^{ij}(p) e_{ij} = (dω)_{p}(\frac{∂}{∂p^{μ}} , \frac{∂}{∂p^{ν}}) = −ω_{p}([\frac{∂}{∂p^{μ}} , \frac{∂}{∂p^{ν}}]) .

Folglich gilt

[\frac{∂}{∂p^{μ}} , \frac{∂}{∂p^{ν}}] = −Ω_{μν}^{ij}(p) \frac{∂}{∂p^{ij}} ,

denn ω_{p}(\frac{∂}{∂p^{ij}}) = ω_{p}(σ_{p}(e_{ij}) = e_{ij}. Die Krümmung ist also ein Maß für die Nichtkommutativität der horizontalen Basisvektoren von T_{p}L(M). Damit liefert die erste Strukturgleichung

Θ_{μν}^{i}(x) = Θ^{i}(\frac{∂}{∂p^{μ}} , \frac{∂}{∂p^{ν}}) = \frac{∂ϑ_{ν}^{i}(p)}{∂p^{μ}} − \frac{∂ϑ_{μ}^{i}(p)}{∂p^{ν}} .

Die kovarianten Ableitungen der Vektorfelder definieren Zusammenhangskoeffizienten

(∇_{\frac{∂}{∂x^{μ}}} \frac{∂}{∂x^{ν}} )_{x} = ∑_{ρ=1}^{n} Γ_{μν}^{ρ}(x)\frac{∂}{∂x^{ρ}}

und Koeffizienten der Torsions- und Krümmungstensoren

T (\frac{∂}{∂x^{μ}} , \frac{∂}{∂x^{ν}})_{x} = ∑_{ρ=1}^{n} T_{μν}^{ρ}(x) \frac{∂}{∂x^{ρ}} , (R(\frac{∂}{∂x^{μ}} , \frac{∂}{∂x^{ν}})\frac{∂}{∂x^{ρ}})_{x} = ∑_{σ=1}^{n} R_{μνρ}^{σ}(x) \frac{∂}{∂x^{σ}} .

Die Strukturgleichungen liefern

T_{μν}^{ρ} = Γ_{μν}^{ρ} − Γ_{νμ}^{ρ} , R_{μνρ}^{σ} = \frac{∂Γ_{νρ}^{σ}}{∂x^{μ}} − \frac{∂Γ_{μρ}^{σ}}{∂x^{ν}} + ∑_{τ=1}^{n}(Γ_{μτ}^{ρ}Γ_{νρ}^{τ} − Γ_{ντ}^{ρ}Γ_{μρ}^{τ}) .

Der Zusammenhang mit den Koeffizienten der Torsions- und Krümmungsformen ist durch p(e_{i}) = ∑_{μ=1}^{n} p_{i}^{μ} \frac{∂}{∂x^{μ}} gegeben. Es folgt

T_{μν}^{ρ}(x) = ∑_{i=1}^{n} p_{i}^{ρ}Θ_{μν}^{i}(p) , R_{μνρ}^{σ}(x) = ∑_{i,j=1}^{n} p_{i}^{σ}Ω_{μν}^{ij}(p)(p^{−1})_{ρ}^{j} .

1.10 Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Definition 19 Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist eine Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer Abbildung g : 𝔛(M) × 𝔛(M) → C^{∞}(M), dem metrischen Tensorfeld, so daß

• g : 𝔛(M) × 𝔛(M) → C^{∞}(M) ist symmetrisch,

• Für alle x ∈ M ist die Bilinearform g_{x} : T_{x}M × T_{x}M → ℝ nichtausgeartet, d.h. g_{x}(v, w) = 0 für alle v ∈ T_{x}M genau dann, wenn w = 0.

Im weiteren werden wir die Metrik g auch als nichtausgearteten Schnitt des Tensorbündels T_{2}^{0}M auffassen.

Falls g_{x}(v, v) > 0 für alle x ∈ M und v ∈ T_{x}M, v ≠ 0, so ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit im eigentlichen Sinn, ansonsten eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit, die durch die Signatur (s, n − s) charakterisiert ist, also die Zahlen p der positiven und n − p der negativen Eigenwerte von g_{x}. Im Riemannschen Fall liefert der metrische Tensor in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein inneres Produkt von Tangentialvektoren: ⟨v, w⟩ = g_{x}(v, w) für v, w ∈ T_{x}M.

Eine Metrik definiert eine Reduktion des Bündels L(M) der linearen Bezugssysteme auf das Bündel O(M) der (pseudo)orthonormalen Bezugssysteme.

Definition 20 Sei (P, M, G, π, ψ) ein Hauptfaserbündel und η : H → G eine Homomorphismus von Lie-Gruppen. Eine Reduktion von P ist gegeben durch ein Hauptfaserbündel (Q, M, H, π_{Q}, ψ^{Q}) und eine differenzierbare Abbildung ϱ : Q → P, so daß

• π ∘ ϱ = π_{Q}

• ϱ(ψ_{h}^{Q}q) = ψ_{η(h)}ϱ(q).

In unserem Fall ist η : O(s, n − s) → GL(n, ℝ) die Einbettung der pseudoorthonormalen Matrizen

O(s, n − s) = \{A ∈ GL(n, ℝ) , A^{t}ηA = η , η = diag(\underbrace{1, …, 1}_{s}, \underbrace{−1, …, −1}_{n−s})\}

in die invertierbaren. Das Bündel Q = O(M) ist faserweise definiert als

π_{Q}^{−1}(x) := {p_{x} = (X_{1}, …, X_{n}) ∈ π^{−1}(x) , g_{x}(X_{i}, X_{j}) = η_{ij}} .

Aquivalent dazu ist

π_{Q}^{−1}(x) := {p_{x} ∈ π^{−1}(x) , g_{x}(X, Y) = ⟨p_{x}^{−1}(X), η · p_{x}^{−1}(Y)⟩_{ℝ^{n}} ∀X, Y ∈ T_{x}M} .

Die O(s, n − s)-Invarianz von ⟨ , η ⟩_{ℝ^{n}} garantiert, daß q · A ∈ Q für alle q ∈ Q und A ∈ O(n, ℝ).

Umgekehrt definiert jede Bündelreduktion von L(M) auf O(M) eine pseudo-Riemannsche Metrik durch g_{x}(X, Y) = ⟨q_{x}^{−1}(X), ηq_{x}^{−1}(Y)⟩_{ℝ^{n}}. Da Bündelreduktionen in 1:1-Korrespondenz sind mit globalen Schnitten des zu L(M) assoziierten Bündels E = L(M)/O(n, ℝ) mit typischer Faser GL(n, ℝ)/O(n, ℝ), und ein solcher Schnitt immer existiert (wenn M parakompakt), existiert auf jeder parakompakten Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik.

Definition 21 Ein linearer Zusammenhang Γ heißt metrischer Zusammenhang, wenn für jede Kurve I ⊃ t ↦ γ(t) ∈ M auf M durch γ(0) = x der horizontale Lift γ^{∗}(t) durch jeden Punkt q ∈ π_{O(M)}^{−1}(x) vollständig in O(M) liegt, also γ^{∗}(t) ∈ O(M) für alle t ∈ I.

Sei t ↦ γ(t) eine Kurve auf M durch γ(0) = x und sei t ↦ p(t) := γ^{∗}(t) der horizontale Lift zu einer Kurve auf L(M), d.h. der Tangentialvektor in p(t) ist der horizontale Lift des Tangentialvektors in γ(t). Sei Y ∈ T_{x}M, dann ist der Paralleltransport Y ↦ τ_{t}(Y) ∈ T_{γ(t)}M definiert als τ_{t}(Y) = p(t)(p^{−1}(Y)). Die Metrik g heißt parallel, wenn g_{x}(X, Y) = g_{γ(t)}(τ_{t}(X), τ_{t}(Y)) für jede Kurve t ↦ γ(t).

Satz 12 Ein linearer Zusammenhang ist genau dann ein metrischer Zusammenhang, wenn die Metrik parallel ist.

Beweis. Ist Γ ein metrischer Zusammenhang und p ∈ O(M), dann ist p(t) ∈ O(M) für alle t, und

g_{γ(t)}(τ_{t}(X), τ_{t}(Y)) = ⟨p(t)^{−1}(τ_{t}(X)), η · p(t)^{−1}(τ_{t}(Y))⟩ = ⟨p^{−1}(X), η · p^{−1}(Y)⟩
= g_{x}(X, Y) .

Umgekehrt folgt aus g_{x}(X, Y) = g_{γ(t)}(τ_{t}(X), τ_{t}(Y)), daß p(t) ∈ O(M). □

Ist Γ ein metrischer Zusammenhang, dann gilt ∇_{X}g = 0 für alle X ∈ 𝔛(M). Denn seien p(t) die Integralkurve von X^{∗} und Y, Z ∈ 𝔛(M) und C die Kontraktion, so gilt

(∇_{X}g(Y, Z))_{x} = (C ∘ (∇_{X}g ⊗ Y ⊗ Z))_{x}

= (C ∘ (ϕ^{−1}(X^{∗}ϕ(g)) ⊗ ϕ^{−1}(ϕ(Y)) ⊗ ϕ^{−1}(ϕ(Z))))_{x}

= (ϕ^{−1}(C ∘ (X^{∗}ϕ(g) ⊗ ϕ(Y) ⊗ ϕ(Z))))_{x}

= (ϕ^{−1}(C ∘ (\frac{d}{dt}(ϕ(g))_{p(t)}|_{t=0} ⊗ p^{−1}(Y) ⊗ p^{−1}(Z))))_{x}

= (ϕ^{−1}(C ∘ (\frac{d}{dt}((p(t)^{∗} ⊗ p(t)^{∗})(g_{π(p(t))}))|_{t=0} ⊗ p^{−1}(Y) ⊗ p^{−1}(Z))))_{x}

= (ϕ^{−1}(\frac{d}{dt}g_{π(p(t))}(p(t)(p^{−1}(Y)), p(t)(p^{−1}(Z)))|_{t=0}))_{x} = 0 .

Da ∇_{X} eine Derivation der Tensoralgebra, gilt allgemein (∇_{X}g)(Y, Z) = X(g(Y, Z)) − g(∇_{X}Y, Z) − g(Y, ∇_{X}Z).

Satz 13 Auf einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit gibt es genau einen torsionsfreien metrischen Zusammenhang, den Levi-Civita-Zusammenhang.

Beweis. Da g nichtausgeartet, wird ∇_{X}Y definiert durch

2g(∇_{X}Y, Z) = Xg(Y, Z) + Y g(X, Z) − Zg(X, Y)
+ g([X, Y], Z) + g([Z, X], Y) + g(X, [Z, Y]) .  (*)

Es folgt

g(∇_{X}Y, Z) + g(Y, ∇_{X}Z) = Xg(Y, Z) ,

also ∇_{X}g = 0, und

2g(∇_{X}Y − ∇_{Y} X − [X, Y], Z) = 0 .

Damit ist jeder Zusammenhang, für den (*) gilt, ein metrischer torsionsfreier Zusammenhang. Seien zwei Zusammenhänge gegeben, für die (*) gilt, dann stimmen diese auf Vektorfeldern und Funktionen überein. Da Zusammenhänge Deriationen der Tensoralgebra sind, die mit Kontraktionen kommutieren, und die Tensoralgebra durch Vektorfeldern, Funktionen und Kontraktionen generiert ist, stimmen die Zusammenhänge auf der gesamten Tensoralgebra überein. □

In lokalen Koordinaten haben wir g(\frac{∂}{∂x^{μ}} , \frac{∂}{∂x^{ν}}) =: g_{μν} und für den Levi-Civita-Zusammenhang

2g(∇_{\frac{∂}{∂x^{μ}}} \frac{∂}{∂x^{ν}} , \frac{∂}{∂x^{ρ}}) = 2 ∑_{σ=1}^{n} Γ_{μν}^{σ}g_{σρ} = \frac{∂g_{νρ}}{∂x^{μ}} + \frac{∂g_{μρ}}{∂x^{ν}} − \frac{∂g_{μν}}{∂x^{ρ}} .

Bezeichnen g^{μρ} = g^{−1}(dx^{μ}, dx^{ν}) die Komponenten der inversen Matrix, ∑_{ν=1}^{n} g^{μν}g_{νρ} = δ_{ρ}^{μ}, so erhalten wir die Zusammenhangskeoffizienten für den Levi-Civita-Zusammenhang (die Christoffel-Symbole)

Γ_{μν}^{ρ} = ∑_{σ=1}^{n} \frac{1}{2}g^{ρσ}(\frac{∂g_{νσ}}{∂x^{μ}} + \frac{∂g_{μσ}}{∂x^{ν}} − \frac{∂g_{μν}}{∂x^{σ}} ) = Γ_{νμ}^{ρ} .

Der Krümmungstensor für den Levi-Civita-Zusammenhangs heißt Riemann-Tensor. Seine Komponenten R_{μνρ}^{σ} haben in Termen von Γ_{μν}^{ρ} die gleiche Form wie zuvor. Durch Kontraktion des oberen und mittleren unteren Index werden die Komponenten des Ricci-Tensors erhalten, R_{μρ} := ∑_{ν=1}^{n} R_{μνρ}^{ν}. Eine weitere Kontraktion mit der inversen Metrik liefert den Krümmungsskalar R = ∑_{μ,ρ=1}^{n} g^{μρ}R_{μρ}.

1.11 Einstein-Hilbert-Wirkung

Das Wirkungsfunktional der Einsteinschen Gravitationstheorie ist die Einstein-Hilbert-Wirkung

S_{EH} = \frac{1}{2κ} ∫ d^{4}x \sqrt{| det g|}R

Dabei ist κ = \frac{8πG}{c^{4}} die Einsteinsche Gravitationskonstante und G die Newtonsche.

Im Gegensatz zu den Eichtheorien werden nicht die Komponenten Γ_{μν}^{ρ} des Zusammenhangs, sondern die Komponenten g_{μν} der Metrik als fundamentale physikalische Objekte betrachtet. Die Variation der Wirkung, erweitert um andere nichtgravitative Teile S′ = ∫ d^{4}x \sqrt{| det g|}L, nach g_{μν} liefert die Einsteinschen Feldgleichungen

R^{μν} − \frac{1}{2}g^{μν}R = κT^{μν} ,

wobei R^{μν} := g^{μρ}g^{νσ}R_{ρσ} und

T^{μν} := \frac{2}{\sqrt{| det g|}} \frac{δ(\sqrt{| det g|} L)}{δg_{μν}}

der symmetrische Energie-Impulstensor ist.

Alternativ kann die Einstein-Hilbert-Wirkung auch mit Differentialformen ausgedrückt werden. Es gilt

S_{EH} = \frac{1}{2κ} ∫_{M} tr(s^{∗}(ϑ) ∧ s^{∗}(ϑ) ∧ ∗(s^{∗}Ω)) .

Dabei ist s : M → P ein beliebiger Schnitt von O(M), ⋆ der Hodge Operator und die Spur ist in folgender Weise zu verstehen: Wir fassen s^{∗}(ϑ) ∧ s^{∗}(ϑ) als M_{n}(ℝ)- wertige 2-Form auf M auf, die mit der M_{n}(ℝ)-wertigen (n − 2)-Form ∗(s^{∗}Ω) zu multiplizieren ist. Davon ist die Spur im Matrix-Anteil zu nehmen, so daß eine n-Form auf M entsteht, welche integriert werden kann.

2 Clifford-Algebra

2.1 Konstruktion

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ und q eine symmetrische Bilinearform auf V, also eine bilineare Abbildung q : V × V → 𝕂 mit q(v, w) = q(w, v). Sei T (V) = ⨁_{k=0}^{∞} ⊗^{k}V die kontravariante Tensoralgebra über V, mit ⊗^{0}V := 𝕂, und sei I_{q}(V) das zweiseitige Ideal von T (V) erzeugt von allen Elementen der Form

(v ⊗ v − q(v, v)1) .

Die Clifford-Algebra ist dann die Quotientenalgebra Cℓ(V, q) := T (V)/I_{q}(V). Ein Element von Cℓ(V, q) ist damit eine Äquivalenzklasse von Tensoren [t] mit t_{1} ∈ [t] ⇔ t_{1} − t ∈ I_{q}(V).

Die Projektion π_{q} : T (V) → Cℓ(V, q) auf die Äquivalenzklassen ist ein Homomorphismus von Algebren, da

[t][t′] := (t + I_{q}(V)) ⊗ (t′ + I_{q}(V)) = t ⊗ t′ + I_{q}(V) = [t ⊗ t′] .

Damit wird eine Einbettung γ = π_{q}|_{V} : V → Cℓ(V, q) des Vektorraumes V in die Clifford-Algebra induziert. Für diese gilt

0 = π_{q}(v ⊗ v − q(v, v)1) = γ(v)γ(v) − q(v, v) ,

also γ(v)γ(v) = q(v, v). Weiter folgt

q(v + w, v + w) = q(v, v) + q(w, w) + 2q(v, w) = γ(v + w)γ(v + w)
= γ(v)γ(v) + γ(w)γ(w) + γ(v)γ(w) + γ(w)γ(v)

und somit

γ(v)γ(w) + γ(w)γ(v) = 2q(v, w) .

Die ℤ_{2}-Graduierung der Tensoralgebra T (V) = T^{+}(V)⊕T^{−}(V) mit T^{+}(V) = ⨁_{k=0}^{∞} ⊗^{2k}V und T^{−}(V) = ⨁_{k=0}^{∞} ⊗^{2k+1}V induziert eine ℤ_{2}-Graduierung der Clifford-Algebra:

Cℓ(V, q) = Cℓ^{+}(V, q) ⊕ Cℓ^{−}(V, q) ,
Cℓ^{+}(V, q) := π_{q}(T^{+}(V)) ,  Cℓ^{−}(V, q) := π_{q}(T^{−}(V)) .

Die Clifford-Algebra ist universell im folgenden Sinn:

Satz 14 Sei C eine Algebra über 𝕂 mit folgenden Eigenschaften

i) Es existiert eine lineare Abbildung j : V → C, deren Bild C generiert ii) Für jede Algebra A über 𝕂 mit 1_{A} und für jede lineare Abbildung F : V → A

mit F (v)F (v) = q(v, v)1_{A} existiert ein Homomorphismus F̃ : C → A, so daß

V ⟶^{j} C
F ↘  ↙ F̃
A

ein kommutatives Diagramm ist.

Dann sind C und Cℓ(V, q) isomorph.

Satz 15 Seien e_{1}, …, e_{n} erzeugende Vektoren von V, die bezüglich q orthogonal sind, q(e_{i}, e_{j}) = 0 für alle 1 ≤ i < j ≤ n. Dann wird Cℓ(V, q) multiplikativ von γ(e_{1}), …, γ(e_{n}) erzeugt.

Die Elemente

1, γ(e_{i_{1}}), γ(e_{i_{1}})γ(e_{i_{2}}), …, γ(e_{i_{1}})γ(e_{i_{2}}) ⋯ γ(e_{i_{s}}), …, γ(e_{1})γ(e_{2}) ⋯ γ(e_{n}) (*)

mit 1 ≤ i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{s} ≤ n bilden eine Vektorraum-Basis von Cℓ(V, q), so daß Cℓ(V, q) als Vektorraum die Dimension 2^{n} hat.

Beweis. Da die e_{i} den Vektorraum V erzeugen, erzeugen ihre Tensorprodukte die Tensoralgebra T (V). Nach Projektion auf Cℓ(V, q) erzeugen deshalb Produkte der γ(e_{i}) die Clifford-Algebra.

Wegen γ(e_{i})^{2} = q(e_{i}, e_{i}) ∈ 𝕂 und γ(e_{i})γ(e_{j}) = −γ(e_{j})γ(e_{i}) für i ≠ j wird Cℓ(V, q) bereits durch die Elemente (*) linear erzeugt. Ihre Anzahl ist ∑_{s=0}^{n} \binom{n}{s} = 2^{n}. □

Die aus jeweils der gleichen Anzahl k ≤ n von Produkten aus γ(e_{i}) bestehenden Basiselemente spannen einen \binom{n}{k}-dimensionalen linearen Unterraum Cℓ^{k}(V, q) ⊂ Cℓ(V, q) auf,

Cℓ^{k}(V, q) = span_{𝕂}(γ(e_{i_{1}})γ(e_{i_{2}}) ⋯ γ(e_{i_{k}}))_{1≤i_{1}<i_{2}<···<i_{k}≤n}

2.2 Clifford-Moduln

Definition 22 Ein Clifford-Modul E ist ein ℤ_{2}-graduierter linearer Raum, E = E^{+} ⊕ E^{−}, so daß eine gerade Wirkung der Clifford-Algebra auf E existiert, d.h.

Cℓ^{±}(V, q) · E^{+} ⊂ E^{±} ,  Cℓ^{±}(V, q) · E^{−} ⊂ E^{∓} ,
c_{1}(c_{2} · α) = (c_{1}c_{2}) · α  für c_{1}, c_{2} ∈ Cℓ(V, q) , α ∈ E .

Die Clifford-Algebra ist selbst ein Clifford-Modul. Für v ∈ V sei γ(v) die Wirkung von V auf einem Clifford-Modul.

Ein weiteres wichtiges Beispiel für einen Clifford-Modul ist die äußere Algebra ΛV = ⨁_{k=0}^{n} Λ^{k}V mit Λ^{k}V := \underbrace{V ∧ ⋯ ∧ V}_{k}. Sie ist ℤ_{2}-graduiert mit Λ^{+}V = ⨁_{k=0}^{[n/2]} Λ^{2k}V und Λ^{−}V = ⨁_{k=0}^{[n/2]} Λ^{2k+1}V. Für v ∈ V und α ∈ ΛV definieren wir das äußere Produkt zu

ϵ(v)α := v ∧ α .

Zur Definition des inneren Produkts fassen wir die Bilinearform als Abbildung q : v → V^{∗} auf über q : v ↦ q(v, .). Es wird im Moment noch nicht verlangt, daß das ein Isomorphismus ist. Nun definieren wir die Kontraktion eines Kovektors v^{∗} ∈ V^{∗} mit v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k} zu

v^{∗}⌋(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k}) := ∑_{i=1}^{k}(−1)^{i+1}v^{∗}(v_{i})(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v̌_{i} ∧ ⋯ ∧ v_{k}) .

Nun können wir für v ∈ V und α ∈ ΛV das innere Produkt definieren zu

ι(v)α := q(v)⌋α .

Satz 16 Die äußere Algebra ist ein Clifford-Modul mit

γ(v) := ϵ(v) + ι(v) .

Beweis. Wir nutzen die Universalitätseigenschaft der Clifford-Algebra. Sei A = End(ΛV) und F = γ : V → A. Wenn γ(v)γ(v) = q(v, v)1_{A}, dann existiert ein Homomorphismus γ̃ : Cℓ(V, q) → End(ΛV) mit γ̃(v) = γ(v).

Sei α = e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}}, dann ist

γ(v)α = v ∧ e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}} + ∑_{j=1}^{k}(−1)^{j+1}q(v, e_{i_{j}})(e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ ě_{i_{j}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}})

und

γ(v)(γ(v)α)

= ∑_{j=1}^{k}(−1)^{j+1}q(v, e_{i_{j}})v ∧ e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ ě_{i_{j}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}}

+ q(v, v)e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}} + ∑_{j=1}^{k}(−1)^{j}q(v, e_{i_{j}})v ∧ e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ ě_{i_{j}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}})

+ ∑_{j=1}^{k} ∑_{h=1}^{j−1}(−1)^{j+h}q(v, e_{i_{j}})q(v, e_{i_{h}})e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ ě_{i_{h}} ∧ ⋯ ∧ ě_{i_{j}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}}

+ ∑_{j=1}^{k} ∑_{h=j+1}^{k}(−1)^{j+h+1}q(v, e_{i_{j}})q(v, e_{i_{h}})e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ ě_{i_{j}} ∧ ⋯ ∧ ě_{i_{h}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}}

= q(v, v)e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}} Das beendet den Beweis. □

Die Modul-Struktur induziert die Symbolabbildung σ : Cℓ(V, q) → ΛV durch

σ(c) := γ(c) · 1 , c ∈ Cℓ(V, q) .

Die Symbolabbildung ordnet einfach die Basen zu:

σ : γ(e_{i_{1}})γ(e_{i_{2}}) ⋯ γ(e_{i_{k}}) ↦ e_{i_{1}} ∧ e_{i_{2}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}} .

Deshalb hat die Symbolabbildung hat ein Inverses, die Quantisierungsabbildung,

σ^{−1} : e_{i_{1}} ∧ e_{i_{2}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{k}} ↦ γ(e_{i_{1}})γ(e_{i_{2}}) ⋯ γ(e_{i_{k}}) .

Durch die Symbolabbildung werden Vektorraum-Isomorphismusmen σ : Cℓ^{k}(V, q) → Λ^{k}V definiert. Diese Vektorraum-Isomorphismen induzieren ein vom äußeren Produkt verschiedenes Produkt in ΛV:

α ∗ β := σ(σ^{−1}(α) · σ^{−1}(β)) , α, β ∈ ΛV .

Das Produkt ∗ ist assoziativ. Es erhält die ℤ_{2}-Graduierung, aber nicht die ℕ-Graduierung (für q ≠ 0). Es stimmt für q = 0 mit dem äußeren Produkt überein. Deshalb heißt ∗ auch das quantisierte Produkt der äußeren Algebra.

Ist V = T_{x}^{∗}M der Raum der Kovektoren im Punkt x ∈ M und q = g^{−1} eine nichtausgeartete Metrik im Punkt x, dann ist ΛV der Raum der Differentialformen ausgewertet in x. Nehmen wir die Clifford-Wirkung des maximalen Elements γ(e_{1}) ⋯ γ(e_{n}) auf eine Differentialform α ∈ Λ^{k}(T_{x}^{∗}M), dann stimmt diese bis auf mögliche Vorzeichen mit dem Hodge-Operator überein. Die Clifford-Algebra enthält also mehr Struktur als die Algewbra der Differentialformen. In der nichtkommutativen Geometrie wird das ausgenutzt, um Yang-Mills-Wirkungsfunktionale ausschließlich in der Clifford-Algebra zu konstruieren, ohne die (nur im kommutativen definierte) äußere Algebra und den Hodge-Operator zu verwenden.

2.3 Pin- und Spin-Gruppe

Sei

Cℓ^{×}(V, q) := {a ∈ Cℓ(V, q) , ∃a^{−1} ∈ Cℓ(V, q) mit a · a^{−1} = a^{−1} · a = 1}

die Gruppe der invertierbaren Elemente der Clifford-Algebra. Diese Gruppe enthält alle γ(v) ∈ Cℓ^{1}(V, q) mit q(v, v) ≠ 0, denn γ(v) · \frac{1}{q(v,v)}γ(v) = 1.

Satz 17 Ist dim(V) = n, dann ist Cℓ^{×}(V, q) eine Lie-Gruppe der Dimension 2^{n}.

Beweis. Die Zuordnung der Basen definiert einen Vektorraum-Isomorphismus Cℓ(V, q) ≃ 𝕂^{2^{n}} und damit eine differenzierbare Struktur auf Cℓ(V, q). Wir zeigen, daß Cℓ^{×}(V, q) offen in Cℓ(V, q) ist und somit zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit wird.

Sei L : Cℓ(V, q) → End(Cℓ(V, q)) die Linksmultiplikation L_{a}(c) := a · c. Dann ist Cℓ^{×}(V, q) = L^{−1}(Aut(Cℓ(V, q))), denn L_{a} ∘ L_{a^{−1}} = L_{1}, so daß (L_{a})^{−1} = L_{a^{−1}}. Da L als lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen stetig ist und Aut(Cℓ(V, q)) offen in End(Cℓ(V, q)), ist Cℓ^{×}(V, q) offen in Cℓ(V, q).

Die Multiplikation μ : Cℓ(V, q) × Cℓ(V, q) → Cℓ(V, q) ist als bilineare Abildung differenzierbar. Dann ist auch die Einschränkung auf die offene Teilmenge Cℓ^{×}(V, q)×Cℓ^{×}(V, q) differenzierbar. Die Differenzierbarkeit der Inversenbildung folgt aus dem Satz über implizite Funktionen. □

Wir bezeichnen mit α : V → V den Vorzeichenwechsel α(v) = −v. Da γ(α(v))γ(α(v)) = q(v, v), folgt aus der Universalitätseigenschaft der Clifford-Algebra die Existenz eines Algebrenhomomorphismus α : Cℓ(V, q) → Cℓ(V, q). Dieser Homomorphismus ist gerade die ℤ_{2}-Graduierung. Es gilt α(c) = ±c für c ∈ Cℓ^{±}(V, q) und α^{2} = id.

Die Gruppe Cℓ^{×}(V, q) wirkt auf Cℓ(V, q) über die (getwistete) adjungierte Darstellung

Ad : Cℓ^{×}(V, q) → Aut(Cℓ(V, q)) , Ad_{a}c := α(a) · c · a^{−1} .

Satz 18 Sei v ∈ V mit q(v, v) ≠ 0. Identifizieren wir V mit γ(V), dann gilt Ad_{v}V = V, und explizit Ad_{v}w = w − 2\frac{q(v,w)}{q(v,v)}v für alle w ∈ V.

Beweis. Wegen v^{−1} = \frac{1}{q(v,v)}v haben wir

q(v, v)Ad(v)w = q(v, v)α(v)wv^{−1} = −vwv = vvw − v(vw + wv)
= q(v, v)w − 2q(v, w)v .  □

Geometrisch beschreibt die adjungierte Darstellung Ad_{v} also eine Reflexion von w an der Hyperebene v^{⊥} := {u ∈ V , q(u, v) = 0}.

Es ist nun sinnvoll, die Untergruppe jener Elemente a ∈ Cℓ^{×}(V, q) zu betrachten, für die Ad(a)V = V gilt:

P (V, q) := {a ∈ Cℓ^{×}(V, q) , Ad_{a}V = V } .

Da Ad_{a} : V → Cℓ(V, q) stetig in a ist, ist P (V, q) abgeschlossen (bezüglich der Konvergenz von Folgen) und damit eine Lie-Gruppe.

Definition 23 Die Untergruppe von P (V, q)

Pin(V, q) := {v_{1} · v_{2} ⋯ v_{r} , q(v_{i}, v_{i}) = ±1}

heißt Pin-Gruppe von (V, q). Die zugehörige Spin-Gruppe ist definiert als Spin(V, q) := Pin(V, q) ∩ Cℓ^{+}(V, q).

Die Pin- und Spin-Gruppen sind ebenfalls Lie-Gruppen als abgeschlossene Untergruppen von P (V, q). Ihre Dimensionen sind durch q bestimmt.

Satz 19 Sei dim(V) = n und q nichtausgeartet. Dann ist der Kern des Gruppenhomomorphismus Ad : P (V, q) → Aut(V) gegeben durch die Gruppe 𝕂^{×} der nichtverschwindenden Vielfache von 1.

Beweis. Wir wählen eine Orthogonalbasis (v_{1}, …, v_{n}) von V mit q(v_{i}, v_{i}) ≠ 0 und q(v_{i}, v_{j}) = 0 für i ≠ j. Angenommen, a ∈ Cℓ^{+}(V, q) ist im Kern von Ad, also α(a)v = va für alle v ∈ V. Wenn a = a^{+} + a^{−} mit a^{±} ∈ Cℓ^{±}(V, q), so ist a^{+}v = va^{+} und a^{−}v = −va^{−}.

Wir zerlegen a bezüglich der Basis von V und nutzen die Clifford-Relation vw+wv = 2q(v, w)1. Dann ist a^{+} = a_{0}+v_{1}a_{1}, wobei a_{0}, a_{1} Polynome in v_{2}, …, v_{n} sind (die also v_{1} nicht enthalten). Offenbar ist v_{0} gerade und a_{1} ungerade. Wählen wir v = v_{1}, so folgt (a_{0} + v_{1}a_{1})v_{1} = v_{1}(a_{0} + v_{1}a_{1}) und aus der Graduierung (a_{0} + v_{1}a_{1})v_{1} = v_{1}a_{0} − v_{1}v_{1}a_{1}. Da v_{1}v_{1} = q(v_{1}, v_{1}) ≠ 0, folgt a_{1} = 0. Durch Wiederholung der Schritte für a_{0} = a′_{0} + v_{2}a′_{1} usw. folgt schließlich a_{0} ∈ 𝕂. Analog folgt a^{−} = 0. □

Auf der Tensoralgebra definieren wir die Transposition als die Umkehrung der Reihenfolge der Tensorprodukte,

t : v_{1} ⊗ v_{2} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n} ↦ v_{n} ⊗ v_{n−1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{1} .

Die Transposition erhält das Ideal und projiziert sich deshalb auf einen Antiautomorphismus ^{t} : Cℓ(V, q) → Cℓ(V, q) der Clifford-Algebra mit (c_{1}c_{2})^{t} = c_{2}^{t}c_{1}^{t}. Dann definieren wir die Normabbildung

N : Cℓ(V, q) → Cℓ(V, q) , N(c) := α(c^{t}) · c .

Es gilt N(v) = −q(v, v)1 für alle v ∈ V.

Satz 20 Sei q nichtausgeartet und dim(V) = n. Dann liefert die Einschränkung von N auf die Gruppe P (V, q) einen Gruppenhomomorphismus

N : P (V, q) → 𝕂^{×} .

Beweis. Sei a ∈ P (V, q), also α(a)va^{−1} ∈ V für alle v ∈ V. Transposition ist die Identität auf V, also folgt α(a)va^{−1} = (a^{−1})^{t}vα(a^{t}) und damit

v = a^{t}α(a)va^{−1}(α(a^{t}))^{−1} = α(α(a^{t})a)v(α(a^{t})a)^{−1} = Ad_{α(a^{t})a}v .

Folglich ist α(a^{t})a im Kern von Ad. Mit a ∈ P (V, q) ist auch α(a^{t}) ∈ P (V, q) und damit a^{t}α(a) ∈ P (V, q). Dann liefert der vorige Satz α(a^{t})a ∈ 𝕂^{×}.

Dann folgt für a, b ∈ P (V, q)

N(ab) = α((ab)^{t})ab = α(b^{t})α(a^{t})ab = α(b^{t})N(a)b = N(a)N(b) ,

und N ist ein Gruppenhomomorphismus. □

Satz 21 Sei q nichtausgeartet. Die Transformationen Ad_{a} : V → V erhält die quadratische Form q für alle a ∈ P (V, q),

q(Ad_{a}v, Ad_{a}w) = q(v, w)

und liefert damit einen Gruppenhomomorphismus

Ad : P (V, q) → O(V, q) ,

wobei O(V, q) ⊂ Aut(V) die Gruppe der q-erhaltenden Automorphismen von V ist.

Beweis. Da N(a) ⊂ 𝕂^{×} für a ∈ P (V, q), ist α(N(a)) = N(a). Dann gilt für alle a ∈ P (V, q) und v ∈ V

−q(Ad_{a}v, Ad_{a}v) = N(Ad_{a}v) = N(α(a)va^{−1}) = α((a^{t})^{−1})α(v)a^{t}α(a)va^{−1}
= α(N(a))N(v)N(a^{−1}) = −q(v, v) .  □

Satz 22 Die Abbildung Ad : P (V, q) → O(V, q) ist surjektiv (wenn q nicht ausgeartet).

Beweis. Die Gruppe P (V, q) enthält zumindest Elemente der Form v_{1} · v_{2} ⋯ v_{r} mit q(v_{i}, v_{i}) ≠ 0. Dann ist

Ad_{v_{1}···v_{r}} = ρ_{v_{1}} ∘ ⋯ ∘ ρ_{v_{r}} ,

wobei ρ_{v}w = w − 2\frac{q(v,w)}{q(v,v)}v die Reflexion an der Hyperebene v^{⊥} ist. Ein klassisches Theorem besagt, daß jedes Element g ∈ O(V, q) als Produkt von r Reflexionen g = ρ_{v_{1}} ∘ ⋯ ∘ ρ_{v_{r}} dargestellt werden kann mit r ≤ dim(V). □

Wir führen nun die spezielle orthogonale Gruppe

SO(V, q) := {g ∈ O(V, q) , det g = 1}

und die spezielle Clifford-Gruppe

SP (V, q) := P (V, q) ∩ Cℓ^{+}(V, q)

ein. Es gilt det(ρ_{v}) = −1 für alle v ∈ V mit q(v, v) ≠ 0. Zur Überprüfung wählen wir eine Basis (v_{1} = v, v_{2}, …, v_{n}) von V mit q(v_{i}, v_{j}) = 0 für i ≠ j. Dann ist ρ_{v}v_{1} = −1 und ρ_{v}v_{i} = v_{i} für alle 2 ≤ i ≤ n. Also ist

SO(V, q) := {ρ_{v_{1}} ∘ ⋯ ∘ ρ_{v_{r}} , q(v_{i}, v_{i}) ≠ 0 und r gerade } .

Andererseits ist v_{1} ⋯ v_{r} ∈ SP (V, q) für r gerade und q(v_{i}, v_{i}) ≠ 0, so daß Ad : SP (V, q) → SO(V, q) surjektiv ist.

Es fragt sich nun, ob auch die Einschränkung von Ad auf Pin(V, q) bzw. SPin(V, q) bereits surjektiv ist.

Satz 23 Die Abbildungen

Ad : Spin(V, q) → SO(V, q) , Ad : Pin(V, q) → O(V, q) ,

sind surjektiv mit ker Ad = ±1 für 𝕂 = ℝ und ker Ad = {±1, ±i} für 𝕂 = ℂ.

Beweis. Sei a = v_{1} ⋯ v_{r} ∈ Pin(V, q) ∩ ker Ad. Dann ist a ∈ 𝕂^{×} und N(a) = α(a^{t})a = a^{2} = N(v_{1}) ⋯ N(v_{r}) ∈ {±1}. Daraus folgt a ∈ {+1, −1} für 𝕂 = ℝ und a ∈ {±1, ±i} für 𝕂 = ℂ.

Surjektivität folgt aus der Darstellung von O(V, q) und SO(V, q) als Reflexionen, zusammen mit der Invarianz von ρ_{v} unter Skalierungen ρ_{tv} = ρ_{v} für alle t ≠ 0, während q(tv, tv) = t^{2}q(v, v). Wir können also die Reflexionen auf q(v, v) = ±1 normieren. □

Im reellen Fall sagt man, daß Spin(V, q) bzw. P in(V, q) eine zweifache Überlagerung von SO(V, q) bzw. O(V, q) ist.

2.4 Die pseudoorthogonalen Clifford-Algebren

Sei V ein reeler Vektorraum. Ist q nichtausgeartet, dann existiert eine Basis (e_{1}, …, e_{n}) von V, so daß für v = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} gilt

q(v, v) = x_{1}^{2} + ⋯ + x_{r}^{2} − x_{r+1}^{2} − ⋯ − x_{r+s}^{2} .

mit r+s = n und 0 ≤ r ≤ n. Wir schreiben dann Cℓ(r, s) = Cℓ(V, q), P in(r, s) = P in(V, q), Spin(r, s) = Spin(V, q), O(r, s) = O(V, q) und SO(r, s) = SO(V, q). Ist s = 0, so wird s üblicherweise weggelassen.

Das orientierte Volumenelement ist definiert als γ^{n+1} := e_{1}e_{2} ⋯ e_{n}. Es ist unabhängig von der Basis definiert, denn ein Basiswechsel e_{i} ↦ ẽ_{i} = ∑_{j=1}^{n} g_{ij}e_{j}

ändert γ^{n+1} um det g = 1, da g ∈ SO(r, s). Es gilt (γ^{n+1})^{2} = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2} +s} und γ^{n+1}v = (−1)^{n−1}vγ^{n+1} für v ∈ ℝ^{n}. Damit ist

cγ^{n+1} = \{ \begin{matrix}γ^{n+1}c & für n ungerade \\ γ^{n+1}α(c) & für n gerade \end{matrix}

Daran sieht man bereits einen grundlegenden Unterschied z.B. der Clifford-Algebren Cℓ(1, 3) und Cℓ(4).

Ist (γ^{n+1})^{2} = 1, so definieren wir Projektionen P_{R} := \frac{1}{2}(1 + γ^{n+1}) und P_{L} := \frac{1}{2}(1 − γ^{n+1}) mit 1 = P^{L} + P_{R} und P_{L}^{2} = P_{L}, P_{R}^{2} = P_{R} sowie P_{L}P_{R} = P_{R}P_{L} = 0.

Satz 24 Ist (γ^{n+1})^{2} = 1 und n = r+s ungerade, so kann Cℓ(r, s) als direkte Summe isomorpher Unteralgebren zerlegt werden, Cℓ(r, s) = Cℓ^{(L)}(r, s) ⊕ Cℓ^{(R)}(r, s) mit Cℓ^{(L/R)}(r, s) = P_{L/R}Cℓ(r, s) = Cℓ(r, s)P_{L/R} und α(Cℓ^{(L/R)}(r, s)) = Cℓ^{(R/L)}(r, s).

Ist (γ^{n+1})^{2} = 1 und n = r + s gerade, so kann jeder Cliford-Modul E in die Eigenräume von γ^{n+1} zum Eigenwert ± zerlegt werden, E = E_{L} ⊕ E_{R} mit E_{L/R} := P_{L/R} · E. Jeder Vektor v ∈ V mit q(v, v) ≠ 0 definiert Isomorphismen v : E_{L} → E_{R} und v : E_{R} → E_{L}

Die einfachsten reellen Clifford-Algebren lassen sich leicht ausrechnen:

Cℓ(1, 0) = ℝ ⊕ ℝ ,  Cℓ(0, 1) = ℂ e_{1} =: i
Cℓ(2, 0) = M_{2}(ℝ) ,  Cℓ(1, 1) = M_{2}(ℝ)
Cℓ(0, 2) = ℍ

In vier Dimensionen ist

Cℓ(4, 0) = Cℓ(0, 4) = Cℓ(1, 3) = M_{2}(ℍ) ,
Cℓ(3, 1) = Cℓ(2, 2) = M_{4}(ℝ) .

Das bedeutet insbesondere, daß man für Sigmnatur (4, 0) und (1, 3) die γ-Matrizen durch Blöcke aus Pauli-Matrizen schreiben kann.

Man beweist weiter eine Periodizität der pseudoorthogonalen Clifford-Algebren mit Periode 8. Das ist von Bedeutung in der reellen K-Theorie, die ebenfalls periodisch modulo 8 ist, und in der String-Theorie, wo es Majorana-Weyl-Spinoren in 8n + 2 Dimensionen geben kann, wobei 2, 10, 26 besonders interessant sind.

Dagegen sind die komplexen Clifford-Algebren sehr viel einfacher, da es mit komplexen Linearkombinationen keinen Unterschied der Vorzeichen q(v, v) = ±1 mehr gibt. Wir können also q(e_{i}, e_{i}) = 1 annehmen. Dann kann stets (γ^{n+1})^{2} = 1 erreicht weden durch Hinzufügen einer geeigneten Potenz von i, also γ^{n+1} = i^{\frac{n(n−1)}{2}} e_{1} ⋯ e_{n}. Es gibt dann nur einen grundlegenden Unterschied zwischen geraden und ungeraden Dimensionen, was der Bott-Periodizität (modulo 2) der komplexen K-Theorie entspricht.

2.5 Die pseudoorthogonalen Pin- und Spingruppe

Ohne Beweis sei erwähnt:

• O(n) hat zwei Zusammenhangskomponenten, eine davon (mit Determinante 1) ist SO(n)

• P in(n) hat zwei Zusammenhangskomponenten, eine davon ist Spin(n)

• O(r, s) hat vier Zusammenhangskomponenten, SO(r, s) hat zwei Zusammenhangskomponenten

• P in(r, s) hat vier Zusammenhangskomponenten, Spin(r, s) hat zwei Zusammenhangskomponenten

Die adjungierte Darstellung Ad : P in(r, s) → O(r, s) bzw. Ad : SP in(r, s) → SO(r, s) ist jeweils eine zweifache Überlagerung jeder der Zusammenhangskomponenten. Für (r, s) ≠ (1, 1) sind diese Überlagerungen nichttrivial in dem Sinn, daß es einen Weg zwischen −1 und 1 in Spin(r, s) gibt. Ist q(e_{1}, e_{1}) = q(e_{2}, e_{2}) = ±1 und q(e_{1}, e_{2}) = 0, so können wir γ(t) = ± cos(2t) + e_{1}e_{2} sin(2t) = (e_{1} cos t − e_{2} sin t)(e_{1} cos t+e_{2} sin t) wählen. Wegen q(e_{1} cos t±e_{2} sin t, e_{1} cos t±e_{2} sin t) = ±1 ist γ(t) ∈ Spin(r, s) für alle t sowie γ(0) = ±1 und γ(\frac{π}{2}) = ∓1.

Ohne Beweis sei erwähnt, daß Spin(n) für n ≥ 3 einfach zusammenhängend ist, so daß Spin(n) die universelle Überlagerungsgruppe der SO(n) ist.

2.6 Die Lie-Algebra der Pin-Gruppe

Satz 25 (1) Der Raum Cℓ^{2}(V, q) := σ^{−1}(Λ^{2}V) ist eine Lie-Unteralgebra von Cℓ(V, q), wobei die Lie-Klammer durch den Kommutator gegeben ist.

(2) Ist q nichtausgeartet, dann ist die Lie-Algebra Cℓ^{2}(V, q) isomorph zur Lie-Algebra so(V, q) der Lie-Gruppe SO(V, q). Der Isomorphismus τ : Cℓ^{2}(V, q) → so(V, q) ist gegeben durch τ(x)v := [x, v] für x ∈ Cℓ^{2}(V, q) und v ∈ V.

(3) Ist q nichtausgeartet, dann ist Cℓ^{2}(V, q) = spin(V, q), also die Lie-Algebra von Spin(V, q).

Beweis. (1) Wir wählen eine bezüglich q orthogonale Basis (e_{i}) mit q(e_{i}, e_{j}) = 0 für i ≠ j. Es ist zu zeigen, daß span(e_{i}e_{j})_{1≤i<j≤n} abgeschlossen unter Kommutatorbildung ist. Man findet für i < j und k < l

[e_{i}e_{j}, e_{k}e_{l}] = \{ \begin{matrix}0 & für i = k, j = l oder i, j, k, l verschieden \\ −2q(e_{i}, e_{i})e_{j}e_{l} & für i = k, j ≠ l \\ 2q(e_{i}, e_{i})e_{j}e_{k} & für i = l, j ≠ k \\ −2q(e_{j}, e_{j})e_{i}e_{k} & für i ≠ k, j = l \\ 2q(e_{j}, e_{j})e_{i}e_{l} & für i ≠ l, j = k \end{matrix}

Die Jacobi-Identität [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 für x, y, z ∈ Cℓ^{2}(V, q) folgt aus der Assoziativität der Clifford-Algebra.

(2) Sei x = e_{i}e_{j} mit 1 ≤ i < j ≤ n und v = e_{k}, dann ist

τ(x)v = [x, v] = e_{i}e_{j}e_{k} − e_{k}e_{i}e_{j}
= e_{i}(e_{j}e_{k} + e_{k}e_{j}) − (e_{k}e_{i} + e_{i}e_{k})e_{j}
= 2q(e_{j}, e_{k}) e_{i} − 2q(e_{i}, e_{k}) e_{j} ∈ V .

Also ist τ(Cℓ^{2}(V, q)) ⊂ End(V).

Wir erinnern, daß

O(V, q) = {a ∈ Aut(V) , q(av, aw) = q(v, w) ∀v, w ∈ V } .

Die Lie-Algebra so(V, q) ist der Tangentialraum von O(V, q) im Einselement. Sei ℝ ∋ t ↦ γ(t) ∈ O(V, q) eine Kurve in O(V, q) mit γ(0) = 1. (Es gilt sogar γ(t) ∈ SO(V, q).) Dann ist

0 = \frac{d}{dt}q(γ(t)v, γ(t)w)|_{t=0} = q(γ̇(0)v, w) + q(v, γ̇(0)w) .

Das heißt,

so(V, q) = {A ∈ End(V) , q(Av, w) + q(v, Aw) = 0 ∀v, w ∈ V }

Für x = e_{i}e_{j} mit i < j sowie v = e_{k}, w = e_{l} berechnen wir

q(τ(x)v, w) + q(v, τ(x)w)

= 2q(e_{j}, e_{k})q(e_{i}, e_{l}) − 2q(e_{i}, e_{k}) q(e_{j}, e_{l}) + 2q(e_{j}, e_{l})q(e_{k}, e_{i}) − 2q(e_{i}, e_{l}) q(e_{k}, e_{j}) = 0 .

Folglich ist τ(Cℓ^{2}(V, q)) ⊂ so(V, q).

Ist q nicht ausgeartet, dann ist τ injektiv, da aus [x, v] = 0 für alle v ∈ V stets x = 0 folgt. Außerdem ist dim(Cℓ^{2}(V, q)) = \frac{n(n−1)}{2} = dim(so(V, q)), so daß τ surjektiv ist, also ein Isomorphismus.

(3) Wir wählen eine Orthogonalbasis (e_{i}) von V mit q(e_{i}, e_{j}) = 0 für i ≠ j und q(e_{i}, e_{i}) = ±1 für alle i. Wir konstruieren folgende Kurven ℝ ∋ t ↦ γ_{ij}(t) ⊂ Spin(V, q):

• Für für i ≠ j und q(e_{i}, e_{i})) = q(e_{j}, e_{j}) betrachten wir

γ_{ij}(t) = (e_{i} cos t − e_{j} sin t)(e_{i} cos t + e_{j} sin t) = q(e_{i}, e_{i}) cos 2t + e_{i}e_{j} sin 2t .

Wir haben γ_{ij}(t) ∈ Spin(V, q), denn

q(e_{i} cos t ± e_{j} sin t, e_{i} cos t ± e_{j} sin t) = q(e_{i}, e_{i}) = ±1 .

Andererseits ist \frac{d}{dt}γ(t)|_{t=0} = 2e_{i}e_{j}, so daß e_{i}e_{j} ∈ Cℓ^{2}(V, q) Tangentialvektor an eine Kurve in Spin(V, q) durch 1 ist, und damit ein Element der Lie-Algebra spin(V, q).

• Für für i ≠ j und q(e_{i}, e_{i})) = −q(e_{j}, e_{j}) betrachten wir

γ_{ij}(t) = (e_{i} cosh t−e_{j} sinh t)(e_{i} cosh t+e_{j} sinh t) = q(e_{i}, e_{i}) cosh 2t+e_{i}e_{j} sinh 2t .

Wir haben γ_{ij}(t) ∈ Spin(V, q), denn

q(e_{i} cosh t ± e_{j} sinh t, e_{i} cosh t ± e_{j} sinh t) = q(e_{i}, e_{i}) = ±1 .

Andererseits ist \frac{d}{dt}γ(t)|_{t=0} = 2e_{i}e_{j}, so daß e_{i}e_{j} ∈ Cℓ^{2}(V, q) Tangentialvektor an eine Kurve in Spin(V, q) durch 1 ist, und damit ein Element der Lie-Algebra spin(V, q).

Aus der doppelten Überlagerung Ad : Spin(V, q) → SO(V, q) mit ker Ad = ±1 folgt, daß dim(spin(V, q)) = dim(so(V, q)) = \frac{n(n−1)}{2} und somit Cℓ^{2}(V, q) = spin(V, q) □

2.7 Spinor-Darstellungen

Es ist üblich, die Darstellungstheorie für komplexifizierte Clifford-Algebren zu entwickeln. Wir bezeichnen mit Cℓ^{ℂ}(V, q) := Cℓ(V, q) ⊗_{ℝ} ℂ die Komplexifizierung der Clifford-Algebra (Es werden komplexe Linearkombinationen der reellen Basisvektoren genommen).

Satz 26 Ist V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum und ist q nicht ausgeartet, dann gilt

Cℓ^{ℂ}(V, q) ≃ \{ \begin{matrix}M_{2^{m}}(ℂ) & für n = 2m \\ M_{2^{m}}(ℂ) ⊕ M_{2^{m}}(ℂ) & für n = 2m + 1 \end{matrix}

Beweis. (n = 2m) Seien e_{i} bezüglich q orthogonale Basisvektoren von V mit q(e_{i}, e_{j}) = 0 für i ≠ j und q(e_{i}, e_{i}) ≠ 0. Wir betrachten Einheitsmatrix und die Pauli-Matrizen

E = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , σ_{1} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , σ_{2} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix} ) , σ_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

Wir definieren eine Abbildung Φ : Cℓ^{ℂ}(V, q) → M_{2^{m}}(ℂ) durch

Φ_{n}(e_{2j−1}) = \sqrt{q(e_{2j−1}, e_{2j−1})} \underbrace{σ_{3} ⊗ ⋯ ⊗ σ_{3}}_{j−1} ⊗σ_{1} ⊗ \underbrace{E ⊗ ⋯ ⊗ E}_{m−j}

Φ_{n}(e_{2j}) = \sqrt{q(e_{2j}, e_{2j})} \underbrace{σ_{3} ⊗ ⋯ ⊗ σ_{3}}_{j−1} ⊗σ_{2} ⊗ \underbrace{E ⊗ ⋯ ⊗ E}_{m−j}

Dann ist Φ_{n}(e_{i})Φ_{n}(e_{k}) + Φ_{n}(e_{k})Φ_{n}(e_{i}) = 2q(e_{i}, e_{k})1. Wegen der Universalitätseigenschaft der Clifford-Algebra ist Φ_{n} ein Isomorphismus. Das Bild hat die komplexe Dimension 2^{n} und ist damit gleich der gesamten Algebra M_{2^{n}}(ℂ).

(n = 2m + 1) Wir definieren

Φ_{n}(e_{j}) = (Φ_{n−1}(e_{j}), Φ_{n−1}(e_{j})) für 1 ≤ j < n
Φ_{n}(e_{n}) = (\sqrt{q(e_{n}, e_{n})} \underbrace{σ_{3} ⊗ ⋯ ⊗ σ_{3}}_{m}, −\sqrt{q(e_{n}, e_{n})} \underbrace{σ_{3} ⊗ ⋯ ⊗ σ_{3}}_{m}) .

Analog zum geraden Fall ist Φ_{n} wieder ein Isomorphismus □

Definition 24 Die durch Einschränkung auf Spin(V, q) ⊂ Cℓ(V, q) ⊂ Cℓ^{ℂ}(V, q) gewonnene Darstellung

Φ_{2m} : Spin(V, q) → Aut(ℂ^{m})  für dim(V) = 2m
pr_{α} ∘ Φ_{2m+1} : Spin(V, q) → Aut(ℂ^{m})  für dim(V) = 2m + 1 , α = 1, 2 ,

der Spin-Gruppe heißt Spinor-Darstellung. Ihr Darstellungsraum Δ_{n} = ℂ^{m} heißt Spinor-Modul.

Im n = 2m-dimensionalen Fall betrachten wir γ^{n+1} = \frac{(−i)^{m}}{\sqrt{q(e_{1},e_{1})···q(e_{n},e_{n})}}e_{1}e_{2} ⋯ e_{n}.

Dann gilt Φ_{n}(γ^{n+1}) = \underbrace{σ_{3} ⊗ ⋯ ⊗ σ_{3}}_{m}. Das ist eine Diagonalmatrix, in der die Ein-

träge +1 und −1 in gleicher Anzahl auftreten. Entsprechend bezeichne Δ_{2m}^{±} den Eigenunterraum von Φ_{2m}(γ^{n+1}) zum Eigenwert ±1. Es ist leicht zu überprüfen, daß γ^{n+1} mit allen Elementen aus Spin(V, q) kommutiert. Die Unterräume Δ_{2m}^{±} sind also invariant unter Spin(V, q). Ohne Beweis erwähnen wir:

Satz 27 Die Spin(V, q)-Darstellungen Δ_{2m}^{±} und Δ_{2m+1}^{α} sind irreduzibel.

Für v ∈ V und ψ ∈ Δ_{n} bezeichnen wir mit v · ψ := Φ_{n}(v)ψ die Clifford-Multiplikation. Diese ist ein Homomorphismus der Spin(V, q)-Darstellungen, wobei Spin(V, q) über die adjungierte Darstellung auf V wirkt:

Ad_{a}(v) · Φ_{n}(a)ψ = Φ_{n}(a)(v · ψ) .

2.8 Bilinearformen auf dem Spinor-Modul

Wir bezeichnen mit ( , )_{Δ_{n}} das kanonische positiv-definite Skalarprodukt auf dem Spinor-Modul Δ_{n} = ℂ^{[n/2]}. Wir wählen nun eine geordnete pseudo-orthonormale Basis (e_{i}) von V mit q(e_{i}, e_{i}) = 1 für 1 ≤ i ≤ r, q(e_{i}, e_{i}) = −1 für r + 1 ≤ i ≤ n und q(e_{i}, e_{j}) = 0 für i ≠ j.

Das kanonische Skalarprodukt ist für indefinites q nicht invariant unter der Spin-Gruppe. Angenommen, ( , )_{Δ_{n}} wäre Spin(r, n−r)-invariant, also (ϕ, ψ)_{Δ_{n}} = (aϕ, aψ)_{Δ_{n}} für a ∈ Spin(r, n − r). Da die Lie-Algebra von Spin(r, n − r) durch Produkte e_{i}e_{j} mit i < j aufgespannt wird, wäre (e_{i}e_{j}ϕ, ψ)_{Δ_{n}} + (ϕ, e_{i}e_{j}ψ)_{Δ_{n}} = 0. Wir wählen i ≤ r und j > r, also q(e_{i}, e_{i}) = 1 und q(e_{j}, e_{j}) = −1. Für a ∈ Spin(r, n − r) ist auch e_{i}e_{j}a ∈ Spin(r, n − r). Ist ϕ, ψ ≠ 0, so wäre

(ϕ, ψ)_{Δ_{n}} = (e_{i}e_{j}aϕ, e_{i}e_{j}aψ)_{Δ_{n}} = −(aϕ, e_{i}e_{j}e_{i}e_{j}aψ)_{Δ_{n}} = −(aϕ, aψ)_{Δ_{n}} = −(ϕ, ψ)_{Δ_{n}} .

Der beste Kompromiß ist die folgende Konstruktion: Wir führen ein Element

b := i^{\frac{r(r−1)}{2}} e_{1} ⋯ e_{r} ∈ Cℓ(r, n − r)

ein. Es gilt b^{2} = 1. Dann definieren wir eine indefinites Skalarprodukt auf Δ_{n} durch

⟨ϕ, ψ⟩_{Δ_{n}} = (b · ϕ, ψ)_{Δ_{n}} .

Wir bezeichnen mit Spin^{+}(V, q) := Spin(V, q) ∩ N^{−1}(1) die positive Spin-Gruppe. Man kann zeigen, daß sie die Zusammenhangskomponente der Eins in Spin^{+}(V, q) ist.

Satz 28 ⟨ϕ, ψ⟩_{Δ_{n}} ist invariant unter der Wirkung von Spin^{+}(r, n − r).

Beweis. Wegen der Selbstadjungiertheit der Pauli-Matrizen gilt (e_{i} · ϕ, ψ)_{Δ_{n}} = (ϕ, e_{i} · ψ)_{Δ_{n}} für 1 ≤ i ≤ r und (e_{i} · ϕ, ψ)_{Δ_{n}} = −(ϕ, e_{i} · ψ)_{Δ_{n}} für r + 1 ≤ i ≤ n. Sei v = v′ + v′′ ∈ V mit v′ ∈ span(e_{1}, …, e_{r}) und v′′ ∈ span(e_{r+1}, …, e_{n}). Wir berechnen

⟨v · ϕ, ψ⟩_{Δ_{n}} = (b · v′ · ϕ, ψ)_{Δ_{n}} + (b · v′′ · ϕ, ψ)_{Δ_{n}}
= (−1)^{r−1}(v′ · b · ϕ, ψ)_{Δ_{n}} + (−1)^{r}(v′′ · b · ϕ, ψ)_{Δ_{n}}
= (−1)^{r−1}(b · ϕ, v′ · ψ)_{Δ_{n}} + (−1)^{r−1}(b · ϕ, v′′ · ψ)_{Δ_{n}}
= (−1)^{r−1}⟨ϕ, v · ψ⟩_{Δ_{n}}

Sei nun a = v_{1} ⋯ v_{2l} ∈ Spin^{+}(r, n − r), dann haben wir

⟨a · ϕ, a · ψ⟩_{Δ_{n}} = ⟨ϕ, a^{t} · a · ψ⟩_{Δ_{n}} = ⟨ϕ, ψ⟩_{Δ_{n}} .

3 Spin-Struktur

Die in Verbindung mit der Clifford-Algebra eines Vektorraumes eingeführten Strukturen werden nun auf die gesamte Mannigfaltigkeit ausgedehnt, so daß sie sich punktweise im (Ko-)Tangentialraum auf die bisherigen Strukturen reduzieren.

3.1 Vorbemerkungen

Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Das Hauptfaserbündel O(M) der pseudo-orthonormalen Bezugssysteme war faserweise erhalten durch

π_{O(M)}^{−1}(x) := {(X_{1}, …, X_{n}) ∈ T_{x}M × ⋯ × T_{x}M , linear unabhängig ,
g_{x}(X_{i}, X_{j}) = η_{ij}} .

Dabei nehmen wir η = diag(\underbrace{1, …, 1}_{r}, \underbrace{−1, …, −1}_{n−r}) an. Je nach Orientierbarkeit

zerfällt O(M) in mehrere Zusammenhangskomponenten. Die Lie-Gruppe G = O(r, n − r) besitzt die abgeschlossene Lie-Untergruppe H = O(r) × O(n − r). Aus allgemeinen Eigenschaften des homogenen Raumes G/H folgt, daß O(M) reduzierbar ist auf ein Unterbündel O_{r,n−r}(M) über M mit Strukturgruppe O(r)× O(n − r).

Wir fassen das Tangentialbündel T M als assoziiert zu O(M) auf, T M = O(M) ×_{O(r,n−r)} ℝ^{n}. Es gibt einen Isomorphismus T M ≃ O_{r,n−r}(M) ×_{O(r)×O(n−r)} ℝ^{n}, durch den sich T M in eine direkte Summe T M = T^{(Z)}M ⊕ T^{(R)}M zerlegt. Dabei sind Schnitte τ von T^{(Z)}M zeitartigen Tangentialvektoren mit g_{x}(τ, τ) > 0, und Schnitte ρ von T^{(R)}M sind raumartige Tangentialvektoren mit g_{x}(ρ, ρ) < 0. Diese Aufteilung ist orthogonal bezüglich der Metrik, g_{x}(τ, ρ) = 0.

Definition 25 Die pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt orientierbar/zeitorientierbar/raumorientierbar, wenn das Bündel T M/T^{(Z)}M/T^{(R)}M orientierbar ist.

Satz 29 Ist (M, g) orientierbar, dann hat O(M) zwei Zusammenhangskomponenten und läßt sich auf das Bündel SO(M) mit Strukturgruppe SO(r, n − r) reduzieren. Ist (M, g) raum- und zeitorientierbar, dann hat O(M) vier Zusammenhangskomponenten und läßt sich auf das Bündel SO^{+}(M) mit Strukturgruppe SO^{+}(r, n − r) reduzieren, also die Untergruppe der eigentlichen Lorentz-Transformationen

SO^{+}(r, n − r) = \{a = ( \begin{matrix}a_{1} & b \\ c & a_{2} \end{matrix} ) ∈ O(r, n − r) , det a_{1} > 0 und det a_{2} > 0\} .

3.2 Definition

Definition 26 Sei (M, g) eine pseudoriemannsche Mannigfaltigkeit und, je nach Orientierbarkeit, P = O(M), P = SO(M) bzw. P = SO^{+}(M) die Bündel der orthonormalen, speziellen orthonormalen und eigentlichen speziellen orthonormalen Bezugssysteme mit Strukturgruppe G = O(r, n − r), G = SO(r, n − r) bzw. G = SO^{+}(r, n − r).

Eine Spin-Struktur auf (M, g) besteht, je nach Orientierbarkeit, aus einem Hauptfaserbündel P̃ = P in(M), P̃ = Spin(M), P̃ = Spin^{+}(M) über M mit Strukturgruppe G̃ = Pin(r, n − r), G̃ = Spin(r, n − r) bzw. G̃ = Spin^{+}(r, n − r), so daß folgendes gilt:

• Es gibt eine zweifache Überlagerung ξ : P̃ → P

• Die rechte Gruppenwirkung ψ̃ : P̃ × G̃ → P̃ ist verträglich mit der rechten Gruppenwirkung ψ : P × G → P, d.h.

ξ(ψ̃g̃p̃) = ψ_{Adg̃}(ξ(p̃)) ∀p̃ ∈ p̃ , g̃ ∈ G̃ .

Besitzt (M, g) eine Spin-Struktur, so heißt (M, g) Spinmannigfaltigkeit. Das Hauptfaserbündel Spin(M) heißt Spin-Bündel.

Lokal sind diese Eigenschaften immer erfüllt. Sei χ̃(p̃) = (π̃(p), κ̃(p̃)) ∈ M ×G̃ die lokale Trivialisierung von P̃, dann erfüllt ξ = id_{M} × Ad die beiden Eigenschaften. Es kann aber globale Obstruktionen für die Existenz einer Spin-Struktur geben. Ohne Erläuterungen und Beweis sei bemerkt:

Satz 30 Eine pseudoriemannsche Mannigfaltigkeit besitzt genau dann eine Spin-Struktur, wenn ihre zweite Stiefel-Whitney-Klasse verschwindet. In diesem Fall werden die Spin-Strukturen von (M, g) durch die erste Stiefel-Whitney-Klasse klassifiziert.

Über die Spinor-Darstellung Spin(r, n−r) → Aut(Δ_{n}) können wir das Spinor-Bündel S(M) als ein zum Spin-Bündel assoziiertes komplexes Vektorbündel definieren:

S(M) := Spin(M) ×_{Spin(r,n−r)} Δ_{n} .

Schnitte s : M → S(M) des Spinor-Bündels heißen Spinorfelder oder kurz Spinoren. Sie sind, wie üblich, in 1:1-Korrespondenz zu äquivarianten Abbildungen s̃: Spin^{+}(M) → Δ_{n} = ℂ^{[n/2]} mit s̃(ψ̃g̃p̃) = Φ_{n}(g̃) ∘ s̃(p̃), für ã ∈ Spin(r, n − r) ⊂ Cℓ^{ℂ}(ℝ^{n}, η) und p̃ ∈ Spin(M).

Ebenso läßt sich das Tangentialbündel T M als assoziiert zu Spin(M) auffassen durch

T M = Spin(M) ×_{Spin(r,n−r)} ℝ^{n} .

Dabei ist die linke Gruppenwirkung durch die adjungierte Darstellung gebeben, Ad : Spin(r, n − r) × ℝ^{n} → ℝ^{n}.

3.3 Der Spin-Zusammenhang

Sei Γ ein Zusammenhang auf SO(M), z.B. der Levi-Civita-Zusammenhang. Dieser ist durch eine Zusammenhangsform ω auf SO(M) charakterisiert. Die Spin-Struktur induziert dann so(r, n − r)-wertige Einsform

ω̃ = τ^{−1}(ξ^{∗}ω) ,  ω̃p̃(X̃) = τ^{−1}(ω_{ξ(p̃)}(ξ′(X̃))) ,

auf Spin(M). Dabei ist τ : spin(r, n − r) = Cℓ^{2}(r, n − r) → so(r, n − r) der Isomorphismus der Lie-Algebren, τ(Ã)v = [Ã, v].

Satz 31 Die Einsform ω̃ = τ^{−1}(ξ^{∗}ω) ist eine Zusammenhangsform auf Spin(M).

Beweis. (1) Per Konstruktion nimmt ω̃ Werte in der Lie-Algebra spin(r, n − r) der Strukturgruppe Spin(r, n − r) von Spin(M) an. Ein Ã ∈ spin(r, s) generiert das fundamentale Vektorfeld σ̃(Ã) durch

σ̃p̃(Ã)(f̃) = \frac{d}{dt}f̃(ψ̃_{exp(tÃ)}p̃)|_{t=0}

für f̃ ∈ C^{∞}(Spin(M)). Damit ist σ̃p̃(Ã) ∈ Tp̃Spin(M) der Tangentialvektor an die Kurve t ↦ ψ̃_{exp(tÃ)}p̃ in t = 0. Entsprechend ist ξ′σ̃p̃(Ã) ∈ T_{ξ(p̃)}SO(M) der Tangentialvektor an die Kurve

t ↦ ξ(ψ̃_{exp(tÃ)}p̃) = ψ_{Ad_{exp(tÃ)}}(ξ(p̃))

in t = 0. Wir betrachten die Kurve t ↦ Ad_{exp(tÃ)} ∈ SO(r, n − r) ⊂ Aut(ℝ^{n}) durch das Einselement. Deren Tangentialvektor ist offenbar τ(Ã) ∈ so(r, n − r), so daß

Ad_{exp(tÃ)} = exp(tτ(Ã))

gilt (zunächst für infinitesimale t, aus der eindeutigen Lösung der Differentialgleichungen aber auch für endliche t). Damit ist ξ′σ̃p̃(Ã) ∈ T_{ξ(p̃)}SO(M) der Tangentialvektor an die Kurve t ↦ ψ_{exp(tτ(Ã))}(ξ(p̃)). Diese generiert aber das fundamentale Vektorfeld zu τ(Ã) auf SO(M), so daß

ξ′σ̃p̃(Ã) = σ_{ξ(p̃)}(τ(Ã)) .

Folglich haben wir

ω̃p̃(σ̃(Ã)) = τ^{−1}(ω_{ξ(p̃)}(ξ′(σ̃(Ã)))) = τ^{−1}(ω_{ξ(p̃)}(σ(τ(Ã)))) = Ã .

(2) Bleibt die Überprüfung der Kompatibilität der rechten Gruppenwirkung: Für Tangentialvektoren X̃ ∈ Tp̃Spin(M) an die Kurve t ↦ p̃(t) ist

(ψ̃∗ ; g̃ω̃)p̃(X̃) = ω̃_{ψ̃g̃p̃}(ψ̃′ ; g̃X̃) = τ^{−1}((ξ^{∗}ω)_{ψ̃g̃p̃}(ψ̃′ ; g̃X̃)) = τ^{−1}(ω_{ξ(ψ̃g̃p̃)}(ξ′ψ̃′ ; g̃X̃)) .

Es gilt

ξ(ψ̃g̃p) = ψ_{Adg̃}ξ(p̃) , ξ′ψ̃′ ; g̃X̃ = ψ′_{Adg̃}ξ′(X̃) .

Denn ψ̃′ ; g̃X̃ ist der Tangentialvektor an die Kurve t ↦ ψ̃g̃(p̃(t)), und entsprechend ist ξ′ψ̃′ ; g̃X̃ der Tangentialvektor an die Kurve

t ↦ ξ(ψ̃g̃(p̃(t))) = ψ_{Adg̃}ξ(p̃(t)) .

Damit erhalten wir

(ψ̃∗ ; g̃ω̃)p̃(X̃) = τ^{−1}(ω_{ψ_{Adg̃}ξ(p̃)}(ψ′_{Adg̃}ξ′X̃)) = τ^{−1}((ψ_{Adg̃}^{∗}ω)_{ξ(p̃)}(ξ′X̃))
= τ^{−1}(Ad_{(Adg̃)^{−1}}(ω_{ξ(p̃)}(ξ′X̃))) = τ^{−1}(Ad_{Adg̃^{−1}}(τ(ω̃p̃(X̃)))) .

Somit verbleibt zu zeigen, daß für beliebige Ã ∈ spin(r, n − r) = Cℓ^{2}(r, n − r) gilt

Ad_{Ad_{g̃^{−1}}}(τ(Ã)) = τ(Ad_{}_{g̃^{−1}}(Ã)) ∈ so(r, n − r) ⊂ End(ℝ^{n}) .

Wir wenden die rechte Seite auf v ∈ ℝ^{n} ⊂ Cℓ(r, n − r) an und berücksichtigen A ∈ Cℓ^{2}(r, n − r):

τ(Ad_{}_{g̃^{−1}}(Ã))v = τ(g̃^{−1}Ãg̃)v = [g̃^{−1}Ãg̃, v] = g̃^{−1}[Ã, g̃vg̃^{−1}]g̃
= Ad_{}_{g̃^{−1}} ∘ τ(Ã) ∘ Adg̃(v) = Ad_{Ad_{g̃^{−1}}}(τ(Ã))v .

Somit ist ω̃ eine Zusammenhangsform. □

Definition 27 Sei Γ der Levi-Civita-Zusammenhang auf SO(M) und ω seine Zusammenhangsform. Dann heißt der durch die Zusammenhangsform ω̃ = τ^{−1}(ξ^{∗}ω) auf Spin(M) definierte Zusammenhang Γ̃ der Spin-Zusammenhang auf Spin(M).

3.4 Kovariante Ableitungen der Spinoren

Der Spin-Zusammenhang definiert kovariante Ableitungen von Schnitten in jedem zu Spin(M) assoziierten Vektorbündel. Das liefert insbesondere die kovarianten Ableitungen der Spinoren (Schnitte im Spinor-Bündel). Wir können jedoch wie zuvor in den Tensorbündeln auch kovariante Ableitungen der Schnitte nach einem Vektorfeld auf der Basismannigfaltigkeit M definieren:

Sei s ∈ Γ^{∞}(S(M)) ein Spinorfeld und ϕ : s → s̃ die 1 : 1-Korrespondenz zu äquivarianten Abbildungen s̃ : Spin(M) → Δ_{n}. Dann definiert der Spin-Zusammenhang die kovariante Ableitung dieser äquivarianten Abbildungen durch

(Ds̃)(X̃) := (ds̃)(hor(X̃)) = (hor(X̃))(s̃)

für X̃ ⊂ 𝔛(Spin(M)). Wie im ersten Kapitel fassen wir hor(X̃) als horizontalen Lift hor(X̃) = X^{∗} eines Vektorfeldes X ∈ 𝔛(M) auf. Der horizontale Lift ist bestimmt durch die beiden Gleichungen

π̃′(X^{∗})p̃ = X_{π̃(p̃)} ∈ T_{π̃(p̃)}M ,  ω̃p̃(X^{∗}) = 0 .

Nun erhalten wir die kovariante Ableitung des Spinorfeldes s ∈ Γ^{∞}(S(M)) nach einem Vektorfeld X ∈ 𝔛(M) zu

∇_{X}^{S}s := ϕ^{−1}((D(ϕ(s)))(X^{∗})) = ϕ^{−1}(X^{∗}(ϕ(s))) .

3.5 Der Dirac-Operator des Spin-Zusammenhangs

Entscheidend ist nun, die kovariante Ableitung ∇^{S} aufzufassen als Abbildung

∇^{S} : Γ^{∞}(S(M)) → Γ^{∞}(T^{∗}M ⊗ S(M)) .

Die pseudoriemannsche Metrik g auf M induziert eine Abbildung der Kovektorfelder in Vektorfelder,

g^{−1} : Γ^{∞}(T^{∗}M) → Γ^{∞}(T M)

und somit eine Abbildung

(g^{−1} ⊗ id) ∘ ∇^{S} : Γ^{∞}(S(M)) → Γ^{∞}(T M ⊗ S(M)) .

Wir definieren nun die Clifford-Multiplikation μ : Γ^{∞}(T M ⊗S(M)) → Γ^{∞}(S(M)) wie folgt: Das Bündel T M ⊗ S(M) ist assoziiert zum Spin-Bündel Spin(M), so daß eine 1 : 1-Korrespondenz ϕ zwischen Schnitten t ∈ Γ^{∞}(T M ⊗ S(M)) und äquivarianten Abbildungen t̃ : Spin(M) → ℝ^{n} ⊗ Δ_{n} existiert. Fassen wir ℝ^{n} ⊂ Cℓ^{ℂ}(r, n − r) auf, dann gibt es einen Isomorphismus Φ : ℝ^{n} → End(Δ_{n}). Rückführung mittels ϕ^{−1} in Schnitte von S(M) ergibt die Clifford-Multiplikation

μ = ϕ^{−1} ∘ Φ ∘ ϕ : Γ^{∞}(T M ⊗ S(M)) → Γ^{∞}(S(M)) .

Definition 28 Der durch Komposition dieser Abbildungen

Γ^{∞}(S(M)) ⟶^{∇^{S}} Γ^{∞}(T^{∗}M ⊗ S(M)) ⟶^{g^{−1}⊗id} Γ^{∞}(T M ⊗ S(M)) ⟶^{μ} Γ^{∞}(S(M))

definierte Operator D : Γ^{∞}(S(M)) → Γ^{∞}(S(M)) heißt der Dirac-Operator des Spin-Zusammenhangs.

Wir berechnen den Dirac-Operator in lokalen Koordinaten, die durch die Koordinatenfunktionen x ↦ x^{μ}, μ = 1, …, n zu gegebener Karte (U, κ) von M induziert werden. Dann ist \{\frac{∂}{∂x^{μ}} \} eine Basis von T_{x}M und \{dx^{μ}\} die dazu duale Basis von T_{x}^{∗}M. Die Koordinaten der Metrik in diesen Basen sind g_{μν} = g(\frac{∂}{∂x^{μ}} , \frac{∂}{∂x^{ν}}).

Die Faser π^{−1}(x) ⊂ SO(M) des Bündels der pseudo-orthonormalen Bezugssysteme ist gegeben durch

π^{−1}(x) = {Basen (X_{1}, …, X_{n}) von T_{x}M mit g(X_{i}, X_{j}) = η_{ij}}

und Orientierbarkeit des Kartenwechsels. Ein Schnitt e : U → π^{−1}(U) ⊂ SO(M) ist die Zuordnung eines pseudoorthonormalen Bezugssystems zu jedem Punkt x ∈ U, d.h. e(x) = (e_{1}, …, e_{n}) ist eine pseudo-orthonormale Basis von T_{x}M mit g(e_{i}, e_{j}) = η_{ij}. Wir fassen Punkte p ∈ SO(M) als Abbildung p : ℝ^{n} → T_{x}M auf. Ist ϵ_{i} der i-te Basisvektor im ℝ^{n}, so ist

e(x)(ϵ_{i}) = e_{i} = ∑_{μ=1}^{n} e_{i}^{μ}(x) \frac{∂}{∂x^{μ}} .

Dann folgt

∑_{μ,ν=1}^{n} g_{μν}e_{i}^{μ}e_{j}^{ν} = η_{ij} .

Als Transformationsmatrizen sind die e_{i}^{μ} in jedem Punkt x ∈ U invertierbar,

∑_{i=1}^{n} e_{ν}^{i}e_{i}^{μ} = δ_{ν}^{μ} ,  ∑_{m=1}^{n} e_{μ}^{j}e_{i}^{μ} = δ_{i}^{j} .

Somit finden wir g_{μν} = ∑_{i,j=1}^{n} e_{μ}^{i}e_{ν}^{j}η_{ij}.

Sei (X_{1}, …, X_{n}) ∈ π^{−1}(x) eine andere Basis von T_{x}M, so gibt es zunächst A ∈ GL(n, ℝ) mit

X_{i} = ∑_{k=1}^{n} A_{ik}e_{k} = ∑_{k=1}^{n} ∑_{μ=1}^{n} A_{ik}e_{k}^{μ} \frac{∂}{∂x^{μ}} .

Dann gilt

η_{ij} = g(X_{i}, X_{j}) = ∑_{k,l=1}^{n} ∑_{μ,ν=1}^{n} A_{ik}A_{jl}e_{k}^{μ}e_{l}^{ν}g_{μν} = ∑_{k,l=1}^{n} A_{ik}A_{jl}η_{kl} = (AηA^{T})_{ij} .

Damit ist A ∈ SO(r, n−r). Somit definiert der lokale Schnitt e eine lokale Trivialisierung χ(p) = (x, A), wenn p = (X_{1}, …, X_{n}) ∈ π^{−1}(x) und X_{i} = ∑_{k=1}^{n} A_{ik}e_{k}.

Satz 32 Der Dirac-Operator ist über U gegeben durch D = ∑_{i=1}^{n} η^{ij}e_{j}·∇_{e_{i}}^{S}. Dabei bezeichnet · die Clifford-Multiplikation.

Beweis. Wir bezeichnen mit τ die zu e duale Basis von T_{x}^{∗}M τ^{j}(e_{i}) = δ_{i}^{j}. Andererseits definiert die Metrik einen Isomorphismus g : T_{x}M → T_{x}M durch g(e_{i})(e_{j}) = g(e_{i}, e_{j}) = η_{ij}, so daß τ^{j} = ∑_{i=1}^{n} η^{ji}g(e_{i}), wenn η^{ji} die Komponenten der zu η inversen Matrix sind. Entsprechend ist g^{−1}(e_{i}) = ∑_{j=1}^{n} η_{ij}τ^{j}.

Sei ∇_{e_{i}}^{S}s die kovariante Ableitung des Spinorfeldes s nach dem Vektorfeld e_{i}, dann gilt

∇^{S}s = ∑_{i=1}^{n} τ^{i} ⊗ ∇_{e_{i}}^{S}s = ∑_{i,j=1}^{n} η^{ij}g(e_{j}) ⊗ ∇_{e_{i}}^{S}s .

Anwendung der inversen Metrik ergibt

(g^{−1} ⊗ id)(∇^{S}s) = ∑_{i,j=1}^{n} η^{ij}e_{j} ⊗ ∇_{e_{i}}^{S}s .

Damit ist der Dirac-Operator gegeben durch

D = ∑_{i,j=1}^{n} η^{ij}μ(e_{j}, ∇_{e_{i}}^{S}s) ,

wobei μ die Clifford-Multiplikation bezeichnet. □

3.6 Der Dirac-Operator in lokalen Koordinaten

Satz 33 Zwischen den Christoffel-Symbolen und den Komponenten A_{μj}^{i} des lokalen Eichpotentials A = e^{∗}ω zum Levi-Citita-Zusammenhang besteht die Beziehung

\frac{∂e_{ν}^{i}}{∂x^{μ}} + ∑_{j=1}^{n} A_{μj}^{i}e_{ν}^{j} − ∑_{ρ=1}^{n} Γ_{μν}^{ρ}e_{ρ}^{i} = 0 , \frac{∂e_{i}^{ρ}}{∂x^{μ}} − ∑_{j=1}^{n} e_{j}^{ρ}A_{μi}^{j} + ∑_{ν=1}^{n} Γ_{μν}^{ρ}e_{i}^{ν} = 0 .

Beweis. Wir betrachten zunächst den Levi-Civita-Zusammenhang. Sei ω seine Zusammenhangsform. Wir stellen die kovariante Ableitung einmal über die Christoffel-Symbole dar und zum anderen aus der Definition. Im ersten Fall ist

∇_{\frac{∂}{∂x^{μ}}} \frac{∂}{∂x^{ν}} = ∑_{ρ=1}^{n} Γ_{μν}^{ρ}(x)\frac{∂}{∂x^{ρ}} , Γ_{μν}^{ρ} = Γ_{νμ}^{ρ} .

Im zweiten Fall ist

(∇_{\frac{∂}{∂x^{μ}}} \frac{∂}{∂x^{ν}} )_{x} = ϕ_{p}^{−1} ∘ ((\frac{∂}{∂x^{μ}} )_{p}^{∗}ϕ(\frac{∂}{∂x^{ν}} )) , p ∈ π^{−1}(x) .

Für Tangentialvektoren gilt

(ϕ(\frac{∂}{∂x^{ν}}))(e(x)) = e(x)^{−1}(\frac{∂}{∂x^{ν}} ) ,

wobei e(x) : T_{x}M → ℝ^{n} ist. Des weiteren ist (\frac{∂}{∂x^{μ}})^{∗} der horizontale Lift. Zunächst ist

e(x)^{−1}(\frac{∂}{∂x^{ν}}) = ∑_{i=1}^{n} e(x)^{−1}(e_{ν}^{i}(x)e_{i}(x)) = ∑_{i=1}^{n} e_{ν}^{i}(x)ϵ_{i} = ∑_{i=1}^{n} e_{ν}^{i}(π(e))ϵ_{i} .

Der Schnitt e definiert einen kanonischen Lift

e′ : T_{x}M → T_{e(x)}SO(M) , π′(e′(\frac{∂}{∂x^{μ}})) = \frac{∂}{∂x^{μ}} .

Jedoch wird dieser im allgemeinen nicht horizontal sein. Sei B_{μ} ∈ so(r, n − r), dann ist σ_{e}(B_{μ}) ein vertikaler Vektor. Wir setzen also

(\frac{∂}{∂x^{μ}})^{∗} = e′(\frac{∂}{∂x^{μ}}) − σ_{e}(B_{μ}) .

Anwenden von ω liefert

0 = ω((\frac{∂}{∂x^{μ}})^{∗}) = ω(e′(\frac{∂}{∂x^{μ}})) − B_{μ} .

Nun ist ω(e′(\frac{∂}{∂x^{μ}})) = (e^{∗}ω)_{x}(\frac{∂}{∂x^{μ}}) = A_{μ}(x) ∈ so(r, n − r) das lokale Eichpotential. Damit gilt

(\frac{∂}{∂x^{μ}})^{∗} = e′(\frac{∂}{∂x^{μ}}) − σ_{e}(A_{μ}(x)) .

Folglich erhalten wir

(∇_{\frac{∂}{∂x^{μ}}} \frac{∂}{∂x^{ν}} )_{x} = ϕ_{e(x)}^{−1}((\frac{∂}{∂x^{μ}})^{∗}(∑_{i=1}^{n} e_{ν}^{i}(x)ϵ_{i}))

= ϕ_{e(x)}^{−1}((e′(\frac{∂}{∂x^{μ}}) − σ_{e(x)}(A_{μ}(x)))( ∑_{i=1}^{n}(e_{ν}^{i} ∘ π)(e(x))ϵ_{i})) .

Nun war ϕ(\frac{∂}{∂x^{ν}}) : SO(M) → ℝ^{n} eine äquivariante Abbildung mit (ϕ(\frac{∂}{∂x^{ν}})(p) = (∑_{i=1}^{n} e_{ν}^{i}(π(p))ϵ_{i}), p = e(x). Im ersten Term sei \frac{∂}{∂x^{μ}} tangential and die Kurve t ↦ γ(t) ∈ U. Dann haben wir

(e′(\frac{∂}{∂x^{μ}})(e_{ν}^{i} ∘ π))(e(x)) = \frac{d}{dt}(e_{ν}^{i} ∘ π)(e(γ(t))|_{t=0} = (\frac{∂}{∂x^{μ}} e_{ν}^{i})(x) .

Für die Anwendung des vertikalen Vektors erhalten wir unter Verwendung der Äquivarianzeigenschaft:

σ_{e(x)}(A_{μ}(x))( ∑_{i=1}^{n}(e_{ν}^{i} ∘ π)(e(x))ϵ_{i}) = \frac{d}{dt} ∑_{i=1}^{n}(e_{ν}^{i} ∘ π)(e(x) · exp(tA_{μ}(x)))ϵ_{i}|_{t=0}

= \frac{d}{dt} ∑_{i=1}^{n}(e_{ν}^{i} ∘ π)(e(x))( exp(−tA_{μ}(x)) · ϵ_{i})|_{t=0}

= −A_{μ}(x) · ( ∑_{i=1}^{n} e_{ν}^{i}(x) ϵ_{i}) .

In der letzten Zeile steht dabei das Matrixprodukt von A(x) ∈ so(r, n − r) ⊂ M_{n}(ℝ) mit einem Vektor aus ℝ^{n}.

Sei E_{i}^{j} ∈ M_{n}(ℝ) die Standardmatrix mit E_{i}^{j} · ϵ_{k} = δ_{k}^{j}ϵ_{i}. Wir zerlegen A = ∑_{i,j=1}^{n} A_{j}^{i}E_{i}^{j} ∈ M_{n}(ℝ) nach der Standardbasis und berechnen mit ⟨ϵ_{i}, ϵ_{j}⟩ = η_{ij} die Bedingung für A ∈ so(r, n − r):

A · ϵ_{k} = ∑_{i=1}^{n} A_{k}^{i}ϵ_{i} ⇒ ⟨A · ϵ_{i}, ϵ_{j}⟩ + ⟨ϵ_{i}, A · ϵ_{j}⟩ = ∑_{k=1}^{n}(A_{i}^{k}η_{kj} + A_{j}^{k}η_{ik}) = 0 .

Somit erhalten wir

(∇_{\frac{∂}{∂x^{μ}}} \frac{∂}{∂x^{ν}} )_{x} = ϕ_{e(x)}^{−1}( ∑_{i=1}^{n} \frac{∂e_{ν}^{i}}{∂x^{μ}} ϵ_{i} + ∑_{i,j=1}^{n} e_{ν}^{i}(x)A_{μi}^{j}(x) ϵ_{j})

= ∑_{i=1}^{n} \frac{∂e_{ν}^{i}}{∂x^{μ}} e_{i}(x) + ∑_{i,j=1}^{n} e_{ν}^{i}(x) A_{μi}^{j}(x) e_{j}(x)

= ∑_{ρ=1}^{n} ( ∑_{k=1}^{n} \frac{∂e_{ν}^{k}}{∂x^{μ}} e_{k}^{ρ}(x) + ∑_{k,j=1}^{n} e_{ν}^{j}(x) A_{μj}^{k}(x) e_{k}^{ρ}(x))\frac{∂}{∂x^{ρ}} ≡ ∑_{ρ=1}^{n} Γ_{μν}^{ρ} \frac{∂}{∂x^{ρ}} .

Folglich gilt

\frac{∂e_{ν}^{i}}{∂x^{μ}} + ∑_{j=1}^{n} A_{μj}^{i}e_{ν}^{j} − ∑_{ρ=1}^{n} Γ_{μν}^{ρ}e_{ρ}^{i} = 0 ,  \frac{∂e_{i}^{ρ}}{∂x^{μ}} − ∑_{j=1}^{n} e_{j}^{ρ}A_{μi}^{j} + ∑_{ν=1}^{n} Γ_{μν}^{ρ}e_{i}^{ν} = 0 . □

Wir geben nun die lokale Darstellung des Spin-Zusammenhangs an.

Satz 34 Für A = ∑_{i,j=1}^{n} A_{j}^{i}E_{i}^{j} ∈ so(r, n − r), d.h. ∑_{k=1}^{n}(A_{i}^{k}η_{kj} + A_{j}^{k}η_{ik}) = 0 gilt

τ^{−1}(A) = \frac{1}{8} ∑_{i,j,l=1}^{n} A_{l}^{i}η^{lj}(ϵ_{i}ϵ_{j} − ϵ_{j}ϵ_{i}) ∈ spin(r, n − r) .

Beweis. Es gilt

τ(\frac{1}{8} ∑_{i,j,l=1}^{n} A_{l}^{i}η^{lj}(ϵ_{i}ϵ_{j} − ϵ_{j}ϵ_{i}))ϵ_{k} = \frac{1}{8} ∑_{i,j,l=1}^{n} A_{l}^{i}η^{lj}[(ϵ_{i}ϵ_{j} − ϵ_{j}ϵ_{i}), ϵ_{k}]

= \frac{1}{8} ∑_{i,j,l=1}^{n} A_{l}^{i}η^{lj}(4η_{jk}ϵ_{i} − 4η_{ik}ϵ_{j}) = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} A_{k}^{i}ϵ_{i} + \frac{1}{2} ∑_{i,j,l=1}^{n} A_{k}^{i}η^{lj}η_{il}ϵ_{j}

= ∑_{i=1}^{n} A_{k}^{i}ϵ_{i} = A · ϵ_{k}  □

Satz 35 Sei ξ : Spin(M) → SO(M) die Spin-Struktur und s̃ : Spin(M) → ℂ^{2^{[n/2]}} die das Spinorfeld s = ϕ̃^{−1}(s̃) ∈ Γ^{∞}(S(M)) beschreibende äquivariante Abbildung. Sei ẽ : U → π̃^{−1}(U) ein Schnitt des Spinor-Bündels Spin(M). Dann hat der Dirac-Operator die lokale Darstellung

(ϕ̃(Dϕ̃^{−1}(s̃)))(ẽ(x)) = ∑_{i,j=1}^{n} ∑_{μ=1}^{n} e_{i}^{μ}(x)η^{ij}γ_{j} · (\frac{∂ψ}{∂x^{μ}} + \frac{1}{8} ∑_{k,l,m=1}^{n} A_{μm}^{k}η^{ml}(γ_{k}γ_{l} − γ_{l}γ_{k}) · ψ) .

Dabei ist e(x) = ξ(ẽ(x)) ∈ SO(M), mit π̃(ẽ(x)) = π(e(x)) = x, und ψ(x) = (s̃∘ẽ)(x) sowie γ_{i} = Φ(ϵ_{i}) ∈ M_{2^{[n/2]}}(ℂ). Schließlich sind die A_{μm}^{k} die Komponenten des lokalen Eichpotentials A = e^{∗}ω zum Levi-Civita-Zusammenhang.

Beweis. Wir betrachten

ϕ̃(∇_{e_{i}}^{S}s)(ẽ(x)) = ((e_{i})^{∗}s̃)_{ẽ(x)}

wobei (e_{i})^{∗} ∈ 𝔛(Spin(M)) der horizontale Lift von e_{i} ∈ T_{x}M ist. Dieser drückt sich im Punkt ẽ(x) durch den kanonischen Lift ẽ′(e_{i}(x)) und einen vertikalen Anteil aus:

((e_{i})^{∗})_{ẽ(x)} = ẽ′(e_{i}(x)) − σ̃_{ẽ(x)}(B̃_{i}) ,

für B̃_{i} ∈ spin(r, n − r). Anwenden der Zusammenhangsform ω̃ = τ^{−1}(ξ^{∗}ω) liefert

0 = ω̃_{ẽ(x)}((e_{i})^{∗}) = ω̃_{ẽ(x)}(ẽ′(e_{i}(x))) − B̃_{i}
= τ^{−1}((ẽ^{∗}(ξ^{∗}ω))_{x}(e_{i}(x))) − B̃_{i} = τ^{−1}((ξ ∘ ẽ)^{∗}ω)_{x}(e_{i}(x)) − B̃_{i}
= τ^{−1}(A_{i}(x)) − B̃_{i} ,

mit A = e^{∗}ω und A_{i}(x) = A_{x}(e_{i}(x)). Folglich gilt

ϕ̃(∇_{e_{i}}^{S}s)(ẽ(x)) = (ẽ′(e_{i}(x))s̃)_{ẽ(x)} − (σ̃_{ẽ(x)}(τ^{−1}(A_{i}(x)))s̃)_{ẽ(x)}

= e_{i}(x)(ẽ^{∗}s̃) − \frac{d}{dt}s̃(ψ̃_{exp(tτ^{−1}(A_{i}(x)))}(ẽ(x)))|_{t=0}

= ∑_{μ=1}^{n} e_{i}^{μ}(x)\frac{∂(ẽ^{∗}s̃)}{∂x^{μ}}(x) − \frac{d}{dt}(Φ( exp(−tτ^{−1}(A_{i}(x)))) · s̃)(ẽ(x))|_{t=0}

= ∑_{μ=1}^{n} e_{i}^{μ}(x)(\frac{∂(ẽ^{∗}s̃)}{∂x^{μ}}(x) + Φ(τ^{−1}(A_{μ}(x))) · (e^{∗}s̃)(x)) .

Nun erhalten wir den Dirac-Operator zu

(ϕ̃(Ds))_{ẽ(x)} = ∑_{i,j=1}^{n} η^{ij}Φ(ϕ̃_{ẽ(x)}(e_{j})) · (ϕ̃(∇_{e_{i}}^{S}s))_{ẽ(x)}

= ∑_{i,j=1}^{n} η^{ij}Φ(ϵ_{j}) · ∑_{μ=1}^{n} e_{i}^{μ}(x)(\frac{∂(ẽ^{∗}s̃)}{∂x^{μ}}(x) + Φ(τ^{−1}(A_{μ}(x))) · (e^{∗}s̃)(x)) .

Setzen wir (ẽ^{∗}s̃)(x) = ψ(x) und Φ(ϵ_{i}) = γ_{i} ∈ M_{2^{[n/2]}}ℂ, so erhalten wir

(ϕ̃(Ds))_{ẽ(x)} = ∑_{i,j=1}^{n} ∑_{μ=1}^{n} e_{i}^{μ}(x)η^{ij}γ_{j} · (\frac{∂ψ}{∂x^{μ}} + \frac{1}{8} ∑_{k,l,m=1}^{n} A_{μm}^{k}η^{ml}(γ_{k}γ_{l} − γ_{l}γ_{k}) · ψ) .□

3.7 Eichtransformationen und Dirac-Wirkung

Per Konstruktion ist (ϕ̃(Ds)) : Spin(M) → ℂ^{2^{[n/2]}} eine äquivariante Abbildung, d.h. (ϕ̃(Ds))(p̃·ã) = Φ(ã^{−1})·(ϕ̃(Ds))(p̃) für alle p̃ ∈ Spin(M) und ã ∈ Spin(r, s).

Vertikale Automorphismen des Spin-Bündels θ̃ : Spin(M) → Spin(M), mit π̃ ∘ θ̃ = id_{M} und θ̃(p̃ · ã) = (θ̃(p̃)) · ã, liefern Eichtransformationen

s̃(p̃) ↦ ˆ s̃(p̃) := s̃(θ̃(p̃))

Ausgedrückt durch die über θ̃(p̃) =: p̃ · ũ(p̃) definierte äquivariante Abbidlung ũ : p̃ → Spin(r, n − r) erhalten wir so für die Eichtransformation

s̃(p̃) ↦ ˆ s̃(p̃) = Φ(ũ^{−1}(p̃)) · ˆ s̃(p̃) .

Dann gilt ganz allgemein für die Eichtransformation des Dirac-Operators

; (ϕ̃(Ds))(p̃) := (ϕ̃(Ds))(θ̃(p̃)) = Φ(ũ^{−1}(p̃)) · (ϕ̃(Ds)) .

Die Überprüfung in lokalen Koordinaten ist eine sehr umfangreiche Rechnung. Insbesondere ist zu beachten, daß sich die lokalen Basisvektoren e_{i} ∈ T_{x}M und die Komponenten des lokalen Eichpotentials A_{μj}^{i} ∈ so(r, n − r) mit den durch die Spin-Struktur projizierten Gruppenelementen (u ∘ e)(x) = Ad_{ũ(ẽ(x))} ∈ SO(r, n − r) transformieren, während die Spinorfelder sich mit ũ(ẽ(x)) ∈ spin(r, n − r) transformieren.

Wir können so (zu gegebener Spin-Struktur und mit Raum- und Zeitorientierung) die folgende Dirac-Wirkung definieren:

S_{D}[ψ, g] := ∫_{M} ∗⟨ψ, (D + m)ψ⟩_{ℂ^{2^{[n/2]}}}

Dabei ist ψ = ẽ^{∗}s̃: U → ℂ^{2^{[n/2]}} die lokale Darstellung des Spinorfeldes s̃ = ϕ̃(s) : Spin^{+}(M) → ℂ^{2^{[n/2]}} mittels eines beliebigen Schnittes ẽ : U → Spin^{+}(M) und Dψ := iẽ^{∗}ϕ̃(Ds). Außerdem ist ⟨ , ⟩_{ℂ^{2^{[n/2]}}} nicht das kanonische Skalarprodukt, das wir mit ( , )_{ℂ^{2^{[n/2]}}} bezeichnen, sondern das durch

⟨ψ_{1}, ψ_{2}⟩_{ℂ^{2^{[n/2]}}} := (b · ψ_{1}, ψ_{2})_{ℂ^{2^{[n/2]}}} , b := i^{\frac{r(r−1)}{2}} γ_{1} ⋯ γ_{r}

definierte Spin^{+}(r, n − r) invariante Skalarprodukt. Somit ergibt ⟨ψ, Dψ⟩_{ℂ^{2^{[n/2]}}} eine Funktion auf M, die über den Hodge-Operator ∗ in eine n-Form überführt wird. Mit m wird die Masse bezeichnet.

Damit ist die Dirac-Wirkung wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl des (durch ξ ∘ ẽ definierten) Bezugssystems. Außerdem ist die Dirac-Wirkung invariant unter lokalen Eichtransformationen, die durch vertikale Automorphismen von Spin^{+}(M) hervorgerufen werden.

In lokalen Koordinaten ergibt sich

S_{D}[ψ, g] := ∫_{M} d^{n}x \sqrt{| det g|} ψ^{∗}(i^{\frac{r(r−1)}{2}} γ_{1} ⋯ γ_{r})(mψ + ∑_{i,j=1}^{n} ∑_{μ=1}^{n} ie_{i}^{μ}(x)η^{ij}γ_{j} ·

·(\frac{∂ψ}{∂x^{μ}} + \frac{1}{8} ∑_{k,l,m=1}^{n} A_{μm}^{k}η^{ml}(γ_{k}γ_{l} − γ_{l}γ_{k}) · ψ)) .

3.8 Weitere Betrachtungen zum Dirac-Operator

Für die Physik interessant sind geladene Spinorfelder. Sei P ein Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe G, dann läßt sich ein Produktbündel SO(M) × P konstruieren, welches ein Hauptfaserbündel über M mit Strukturgruppe Spin(r, n − r) × G ist. Dabei kommuieren die Einschränkungen der rechten Gruppenwirkungen auf Spin(r, n − r) und G. Es wird wieder eine Spin-Struktur, also eine doppelte Überlagerung von SO(M) × P benötigt. Dabei hat man jetzt durch die zusätzliche Gruppe G etwas mehr Freiheit, was die schwächere Spin^{c}-Struktur ermöglicht. Es gibt also Mannigfaltigkeiten, die eine Spin^{c}-Struktur, aber keine Spin-Struktur erlauben. Die Zusammenhangsform ist dann eine spin(r, n − r) ⊕ 𝔤-wertige Einsform auf Spin(SO(M) × P).

Die Gruppenwirkung von Spin(r, n − r) × G auf C^{2^{[n/2]}} ⊗ Δ, wobei Δ ein geeignter Darstellungsraum von G ist, liefert dann geladene Spinorfelder als äquivariante Abbildungen s̃: SO(M) × P → C^{2^{[n/2]}} ⊗ Δ. Da die Gruppenwirkungen von Spin(r, n−r) und G miteinander kommutieren, ergibt sich in der lokalen Form des Dirac-Operators die Summe aus gravitativem so(r, n − r)-Anteil und Yang-Mills 𝔤-Anteil.

Damit die Dirac-Wirkung existiert, muß ψ ein geeigneter, zumindest quadratintegrabler lokaler Repräsentant des Spinorfeldes sein. Im Riemannschen Fall positiv definiter Metrik wird so ein Hilbert-Raum H = L^{2}(Γ^{∞}(S(M))) erhalten, und der Dirac-Operator ist dann ein unbeschränkter linearer Operator auf H. Man kann zeigen, daß eine selbstadjungierte Erweiterung existiert, mit der dann D identifiziert wird. Im gerade-dimensionalen Fall definieren dann die Eigenräume H^{±} von γ^{n+1} = i^{?}γ_{1} ⋯ γ_{n} zum Eigenwert ±1 eine ℤ_{2}-Graduierung. Der Dirac-Operator (einschließlich Yang-Mills-Anteil) ist ungerade und hat somit die Darstellung

D = ( \begin{matrix}0 & D^{−} \\ D^{+} & 0 \end{matrix} ) , D^{+} : H^{+} → H^{−} , D^{−} = (D^{+})^{∗} : H^{−} → H^{+} .

Operatoren F, für die ker(F) und ker(F^{∗}) endlich-dimensional sind und für die im(F) abgeschlossen ist, heißen Fredholm-Operatoren. Es läßt sich zeigen (durch den Kalkül der Pseudodifferentialoperatoren), daß D^{+} ein Fredholm-Operator ist. Dann ist der Index des Dirac-Operators definiert als

ind(D) = dim(ker(D^{+})) − dim(ker(D^{−})) .

Der Index ist eine topologische Invariante der Mannigfaltighkeit. Obwohl also zur Konstruktion des Dirac-Operators die Metrik und die Spin-Struktur benötigt werden, ist der Index nur von der Topologie abhängig. Das Atiyah-Singer-Indextheorem berechnet diesen Index durch ein lokales Integral über eine geeignete Differentialform (in der Chern-Klassen auftreten).