0 Einleitung

Die Lineare Algebra ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt. Solche Fragestellungen sind typisch in der Physik. Näherungsweise besteht eigentlich immer eine lineare Beziehung zwischen einer (als klein genug angenommenen) Ursache und ihrer Wirkung (Taylorsche Formel aus dem letzten Semester). Physikalische Gesetze liefern die Beziehung zwischen Ursache und Wirkung und sind deshalb in guter Näherung lineare Abbildungen.

Inhalt

1. Grundbegriffe (z.T. als Wiederholung). Mengen, Abbildungen, Zahlen, Gruppen, Ringe, Körper

2. Vektorräume und Lineare Abbildungen. Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

3. Eigenwerte. Charakteristisches Polynom, Diagonalisierbarkeit

4. Euklidische und unitäre Vektorräume. Skalarprodukte, Spektralsatz

5. Tensoren. Dualräume, Tensorprodukte, multilineare Algebra

Literatur

[1] G. Fischer, “Lineare Algebra,” Vieweg (2005).

[2] F. Lorentz, “Lineare Algebra 1,” Spektrum (2003).

[3] K. Jänich, “Lineare Algebra,” Springer (2003).

1 Grundbegriffe

1.1 Mengen

Endliche Mengen kann man durch eine vollständige Liste ihrer Elemente angeben, Schreibweise X = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}}. Dabei ist die Reihenfolge beliebig, und das gleiche Element darf nicht mehrmals auftreten. Die x_{i}, i = 1, …, n, heißen Elemente der Menge X, Schreibweise x_{i} ∈ X. Wenn x kein Element von X ist, schreiben wir x ∉ X. Die leere Menge ∅ enthält kein Element. Die Verallgemeinerung auf unendliche Mengen ist Gegenstand der Mengenlehre. Für unsere Zwecke genügt es sich vorzustellen, daß auch unendliche Mengen aus Elementen bestehen und sich die folgenden Konstruktionen übertragen lassen.

Eine Menge Y heißt Teilmenge einer Menge X, wenn für jedes Element y ∈ Y gilt y ∈ X. Wir haben X = Y ⇔ X ⊂ Y und Y ⊂ X. Dabei steht ⇔ für “genau dann, wenn”. Wenn zuvor A ⇒ B definiert ist als “aus A folgt B”, dann bedeutet A ⇔ B das gleiche wie “sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A”.

Typische Charakterisierung von Teilmengen Y ⊂ X:

Y := {x ∈ X : x hat die Eigenschaft E} .

Dabei bedeutet :=, daß der links stehende Ausdruck durch den rechts stehenden definiert wird.

Sind X_{i}, …, X_{n} Mengen, so kann man die Vereinigung definieren als

X_{i} ∪ ⋯ ∪ X_{n} := {x : es gibt ein i ∈ {1, 2, …, n} mit x ∈ X_{i}}

und den Durchschnitt als

X_{i} ∩ ⋯ ∩ X_{n} := {x : x ∈ X_{i} für alle i ∈ {1, 2, …, n}} .

Abkürzende Schreibweise: ∃ für “es existiert ein” und ∀ für “für alle”. Ist Y ⊂ X, dann ist das Komplement definiert als

X \ Y := {x ∈ X : x ∉ Y } .

Seien X_{1}, …, X_{n} Mengen, dann betrachten wir die geordneten n-Tupel

x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) mit x_{1} ∈ X_{1} , x_{2} ∈ X_{2} , … x_{n} ∈ X_{n} .

Nun erklären wir das direkte Produkt der Mengen X_{1}, …, X_{n} als die Menge aller geordneten n-Tupel:

X_{1} × X_{2} × ⋯ × X_{n} := {(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) : x_{i} ∈ X_{i}} .

Speziell schreiben wir X^{n} := \underbrace{X × ⋯ × X}_{n}.

Relationen zwischen Elementen einer Menge X werden beschrieben durch eine Teilmenge R ⊂ X × X. Für x, y ∈ X schreiben wir x ∼ y ⇔ (x, y) ∈ R. Solche Relationen (mit speziellen Eigenschaften) sind sehr wichtig, deshalb ein Beispiel: Sei X die Menge aller Studierenden in diesem Hörsaal, dann betrachten wir

R = {(x, y) ∈ X × X : sowohl x als auch y haben sich für die Übungen im

Raum SR0 eingeschrieben, oder nicht} .

Offenbar gilt (x, x) ∈ R, aus (x, y) ∈ R folgt (y, x) ∈ R und aus (x, y) ∈ R sowie (y, z) ∈ R folgt (x, z) ∈ R. Eine Relation mit solchen Eigenschaften heißt Äquivalenzrelation:

Definition 1.1 Eine Relation ∼ auf X heißt Äquivalenzrelation, wenn für beliebige Elemente x, y, z ∈ X gilt

(Ä1) x ∼ x (Ä2) x ∼ y ⇒ y ∼ x

(Ä3) x ∼ y und y ∼ z ⇒ x ∼ z

Ist eine Menge X und auf ihr eine Äquivalenzrelation gegeben, so heißt eine Teilmenge A ⊂ X Äquivalenzklasse bezüglich ∼, falls

i) A ≠ ∅
ii) x, y ∈ A ⇒ x ∼ y
iii) x ∈ A , y ∈ X und x ∼ y ⇒ y ∈ A

Satz 1.1 Ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge X, so gehört jedes Element a ∈ X zu genau einer Äquivalenzklasse. Insbesondere gilt für zwei beliebige Äquivalenzklassen A, A′ ∈ X entweder A = A′ oder A ∩ A′ = ∅.

Beweis. Sei A_{a} := {x ∈ X : x ∼ a}. Dann ist A_{a} eine Äquivalenzklasse, die a enthält (Eigenschaften überprüfen!). Seien A, A′ zwei Äquivalenzklassen mit A ∩ A′ ≠ ∅, dann nehmen wir a ∈ A ∩ A′. Per Konstruktion ist für jedes x ∈ A auch x ∈ A′, also A ⊂ A′ und umgekehrt A′ ⊂ A, also A = A′. □

Die Menge aller Äquivalenzklassen auf X bezüglich ∼ wird mit X/ ∼ bezeichnet. Sie heißt Quotientenmenge von X nach der Äquivalenzrelation ∼. Im Beispiel gibt es zwei Äquivalenzklassen:

A_{1} = {Studierende, die sich für die Übungen in SR0 eingeschrieben haben}
A_{2} = {Studierende, die sich nicht für die Übungen in SR0 eingeschrieben haben}

Somit haben wir X/ ∼ = {A_{1}, A_{2}}. Ein Element a ∈ A heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse A. Für Beweise mit Äquivalenzklassen ist es oft zweckmäßig, die Aussage zunächst für einen ausgewählten Repräsentanten zu beweisen und dann zu zeigen, daß der Beweis unabhängig vom Repräsentanten ist. Wir schreiben auch [a] für die eindeutig bestimmte Äquivalenzklasse, die den Repräsentanten a enthält.

1.2 Abbildungen

Abbildungen beschreiben Beziehungen zwischen Mengen. Seien X, Y Mengen, dann versteht man unter einer Abbildung von X nach Y eine Vorschrift f, die jedem x ∈ X eindeutig ein f(x) ∈ Y zuordnet. Wir schreiben f : X → Y für die Abbildung zwischen Mengen und f : x ↦ f(x) für die Zuordnung der Elemente.

Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen Mengen und seien M ⊂ X und N ∈ Y Teilmengen. Dann heißt

f(M) := {y ∈ Y : ∃x ∈ M mit y = f(x)} ⊂ Y

das Bild von M in Y unter f und

f^{−1}(N) := {x ∈ X : f(x) ∈ N} ⊂ Y

das Urbild von N in X. Zu beachten ist, daß für eine einelementige Teilmenge N = {y} das Urbild f^{−1}(y) := f^{−1}({y}) ⊂ X aus mehreren Elementen bestehen kann oder auch leer sein kann. Deshalb ist f^{−1} im allgemeinen keine Abbildung von Y nach X.

Definition 1.2 Eine Abbildung f : X → Y heißt

• injektiv, falls für x, x′ ∈ X aus f(x) = f(x′) stets x = x′ folgt

• surjektiv, falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X gibt mit y = f(x)

• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist

Falls f bijektiv ist, dann ist die Umkehrabbildung f^{−1} : Y → X gegeben durch f^{−1} : y ↦ x = f^{−1}(y) mit y = f(x).

Wichtige surjektive Abbildungen sind die kanonischen Projektionen des direkten Produkts von Mengen auf die i-te Komponente

π_{i} : X_{1} × ⋯ × X_{n} → X_{i} , π_{i} : (x_{1}, …, x_{n}) ↦ x_{i} .

Kanonisch bedeutet dabei, daß die Abbildung in der gegebenen Situation ohne Zusatzinformationen eindeutig definiert ist. Ebenso wird im Fall der Äquivalenzrelationen die Abbildung

π : X → X/ ∼ , π : a ↦ A_{a} := {x ∈ X : x ∼ a}

als kanonische Projektion bezeichnet.

Bemerkung: Sei X eine endliche Menge von paarweise verschiedenen Elementen und f : X → X eine Abbildung, so sind die Eigenschaften injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent.

Seien X, Y, Z Mengen und f : X → Y sowie g : Y → Z Abbildungen, so ist die Komposition dieser Abbildungen gegeben durch

g ∘ f : X → Z , x ↦ (g ∘ f)(x) := g(f(x)) .

Satz 1.2 Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, d.h. für Abbildungen f : X → Y, g : Y → Z und h : Z → W gilt

h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f : X → W .

Beweis. Für x ∈ X gilt

((h ∘ g) ∘ f)(x) = (h ∘ g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ∘ f)(x)) = (h ∘ (g ∘ f))(x) . □

1.3 Zahlen

Die einfachste unendliche Menge ist die Menge

ℕ = {0, 1, 2, 3, … }

der natürlichen Zahlen. Man kann sie wie folgt einführen:

Definition 1.3 Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge ℕ, in der ein Element 0 ∈ ℕ ausgezeichnet ist und auf der eine Selbstabbildung S : ℕ → ℕ, die Nachfolgerabbildung, definiert ist, so daß die folgenden Axiome erfüllt sind:

(S1) S : ℕ → ℕ ist injektiv

(S2) 0 ∉ S(ℕ)

(S3) Wenn eine Teilmenge M ⊂ ℕ das Element 0 enthält und durch S in sich abgebildet wird (d.h. S(M) ⊂ M), dann ist M = ℕ.

Das ist die mengentheoretische Beschreibung des Zählens. Die Vorstellung ist, daß S jeder natürlichen Zahl n ihren Nachfolger zuordnet, also 1 := S(0), 2 := S(1) usw. (S1) präzisiert, daß man beim Zählen nicht mehrmals auf dieselbe Zahl stößt. (S2) besagt, daß 0 der Ausgangspunkt ist, der durch den Zählprozeß nicht erreicht wird (damit ist S nicht surjektiv). (S3) beinhaltet das Prinzip der vollständigen Induktion: Wenn eine Eigenschaft E der Zahl 0 zukommt (Induktionsanfang) und für jede Zahl n, welche die Eigenschaft E hat, auch der Nachfolger die Eigenschaft E hat (Induktionsschluß), dann kommt diese Eigenschaft allen natürlichen Zahlen zu.

Mittels der Abbildung S lassen sich rekursiv • Addition durch m + 0 := m und m + S(n) := S(m + n)

• Multiplikation durch m · 0 und m · S(n) := m · n + m definieren, für m, n ∈ ℕ.

Die Menge der ganzen Zahlen ℤ kann man sich als Differenzen m − n von natürlichen Zahlen m, n vorstellen. Dabei ist zu beachten, daß die gleiche ganze Zahl auf verschiedene Weise als Differenz darstellbar ist. Die korrekte mengentheoretische Konstruktion geht wie folgt: Wir betrachten auf der Menge ℕ × ℕ die Relation

(m, n) ∼ (k, l) ⇔ m + l = n + k .

Man zeigt, daß ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Dann ist ℤ = (ℕ × ℕ)/ ∼ . Eine ganze Zahl ist also eine Äquivalenzklasse, wobei die Äquivalenzrelation gerade der naiven Differenzbildung entspricht. Addition, Multiplikation und Negativbildung lassen sich leicht für die Paare (m, n) und deren Äquivalenzklassen definieren.

Die Menge der rationalen Zahlen ℚ wird durch eine analoge Konstruktion erhalten, indem man den Bruch \frac{m}{n} korrekt definiert. Wir betrachten auf der Menge ℤ × (ℤ \ {0}) die Relation

(p, q) ∼ (r, s) ⇔ p · s = q · r .

Man zeigt, daß ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Dann ist ℚ = (ℤ × (ℤ \ {0}))/ ∼, und die Äquivalenzrelation entspricht gerade der naiven Quotientenbildung.

Die reellen Zahlen ℝ werden in der Analysis konstruiert. Zunächst betrachtet man Folgen (r_{n}) = {r_{0}, r_{1}, … } rationaler Zahlen r_{i}, welche durch natürliche Zahlen i ∈ ℕ indiziert sind. Eine solche Folge heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, falls es zu jedem ϵ > 0 (hier rational angenommen) einen Index k ∈ ℕ gibt, so daß |r_{n} − r_{m}| < ϵ für alle n, m ≥ k gilt. Wir erklären eine Äquivalenzrelation für Fundamentalfolgen

(r_{n}) ∼ (s_{n}) ⇔ (r_{n} − s_{n}) konvergiert gegen 0 .

Dabei bedeutet “Konvergenz gegen 0”, daß es zu jedem rationalen ϵ > 0 einen Index k ∈ ℕ gibt, so daß |r_{n} − s_{n}| < ϵ für alle n ≥ k gilt. Eine reelle Zahl ist nun eine Äquivalenzklasse von Fundamentalfolgen.

1.4 Gruppen

Unter einer Verknüpfung oder Komposition auf einer Menge G versteht man eine Vorschrift, die zwei gegebenen Elementen a, b ∈ G ein neues Element a ∗ b ∈ G zuordnet, d.h. eine Abbildung

∗ : G × G → G , ∗ : (a, b) ↦ a ∗ b := ∗(a, b) .

Beispiele sind die Addition ∗ = + und Multiplikation ∗ = · in ℕ, ℤ, ℚ, ℝ. Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die Menge G = Abb(X, X) = {f : X → X} der Selbstabbildungen von X mit der Komposition ∗ = ∘ als Verknüpfung, f, g ∈ Abb(X, X) ⇒ f ∘ g ∈ Abb(X, X).

Definition 1.4 Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ∗ heißt Gruppe, falls die folgenden Axiome erfüllt sind

(G1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) für alle a, b, ∈ G (Assoziativgesetz)

(G2) Es gibt ein neutrales Element e ∈ G mit e ∗ a = a für alle a ∈ G

(G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein a^{−1} ∈ G (das zu a inverse Element) mit a^{−1} ∗ a = e

Die Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), falls außerdem a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ G.

Satz 1.3 Ist G eine Gruppe, so gilt:

i) Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt, und außerdem gilt a∗e = a für alle a ∈ G.

ii) Das inverse Element a^{−1} ist für jedes a ∈ G eindeutig bestimmt, und außerdem gilt a ∗ a^{−1} = e sowie (a^{−1})^{−1} = a und (ab)^{−1} = b^{−1} ∗ a^{−1}.

iii) Es gelten die Kürzungsregeln a ∗ b′ = a ∗ b ⇒ b = b′  und  b′ ∗ a =
b ∗ a ⇒ b = b′.

Beweis. Sei e ∈ G eines der neutralen Elemente und a ∈ G. Zum Inversen a^{−1} ∈ G gibt es wieder ein Inverses (a^{−1})^{−1} ∈ G, und es gilt

a ∗ a^{−1} = e ∗ (a ∗ a^{−1}) = ((a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1}) ∗ (a ∗ a^{−1}) = (((a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1}) ∗ a) ∗ a^{−1}

= ((a^{−1})^{−1} ∗ (a^{−1} ∗ a)) ∗ a^{−1} = ((a^{−1})^{−1} ∗ e) ∗ a^{−1} = (a^{−1})^{−1} ∗ (e ∗ a^{−1})

= (a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1} = e

und daraus

a ∗ e = a ∗ (a^{−1} ∗ a) = (a ∗ a^{−1}) ∗ a = e ∗ a = a .

Sei ẽ ∈ G ein weiteres neutrales Element, so gilt aus Sicht von e die Gleichung e ∗ ẽ = ẽ und aus Sicht von ẽ die Gleichung e ∗ ẽ = e, also e = ẽ. Damit ist i) bewiesen und a ∗ a^{−1} = e aus ii).

Sei ã^{−1} ein weiteres Inverses zu a, so gilt

ã^{−1} = ã^{−1} ∗ e = ã^{−1} ∗ (a ∗ a^{−1}) = (ã^{−1} ∗ a) ∗ a^{−1} = e ∗ a^{−1} = a^{−1} ,

also ist das Inverse eindeutig. Damit ist wegen a ∗ a^{−1} = e das Inverse von a^{−1} durch a selbst gegeben. Schließlich gilt

(b^{−1}∗a^{−1})∗(a∗b) = ((b^{−1}∗a^{−1})∗a)∗b = (b^{−1}∗(a^{−1}∗a))∗b = (b^{−1}∗e)∗b = b^{−1}∗b = e

so daß b^{−1} ∗ a^{−1} das Inverse zu a ∗ b ist.

Die Kürzungsregeln folgen nach Verknüpfung von links/rechts mit a^{−1} unter Verwendung der Assoziativität. □

Beispiele 1.1 (für Gruppen)

• ℤ, ℚ, ℝ mit der Addition als Verknüpfung, mit e = 0 als neutralem Element und dem Negativem a ↦ −a als Inversen.

• ℚ^{∗} := ℚ \ {0} und ℝ^{∗} := ℝ \ {0} mit der Multiplikation als Verknüpfung und e = 1 als neutralem Element.

• S(X) := {f ∈ Abb(X, X) : f ist bijektiv} mit der Komposition ∘ als Verknüpfung und der identischen Abbildung id_{X} : x ↦ x als neutralem Element. Diese Gruppe heißt die symmetrische Gruppe der Menge X. Falls X = {1, 2, …, n}, so schreibt man S_{n} := S({1, 2, …, n}). Die Elemente σ ∈ S_{n} sind Permutationen der Zahlen 1, …, n.

• Drehungen eines starren Körpers um seinen festgehaltenen Schwerpunkt im ℝ^{3}.

• Drehungen eines unendlichen Kristalls um den Winkel \frac{2π}{n} um eine geeignete Achse im Kristall, so daß der Kristall in sich selbst überführt wird.

Definition 1.5 Sei G eine Gruppe mit Verknüpfung ∗. Eine nichtleere Teilmenge H ⊂ G heißt Untergruppe, wenn für alle a, b ∈ H auch a ∗ b ∈ H und a^{−1} ∈ H gilt.

Es folgt automatisch e ∈ H (durch Wahl von b = a^{−1}). Ist G eine Gruppe, so sind die Teilmengen H = G und H = {e} Untergruppen. Sie heißen triviale Untergruppen.

Beispiele sind ℚ^{∗} ⊂ ℝ^{∗} bezüglich der Multiplikation oder G als Gruppe der Drehungen eines Körpers und H als Untergruppe der Drehungen um eine feste Achse.

Für das Studium von Untergruppen spielen die Nebenklassen eine wichtige Rolle.

Definition 1.6 Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Dann heißt die Menge Hg := {h ∗ g : h ∈ H} die Rechtsnebenklasse von G nach H und die Menge gH := {h ∗ g : h ∈ H} die Linksnebenklasse von G nach H. (Das Element g ∈ G bleibt festgehalten.)

Satz 1.4 Ist g ∈ H und H Untergruppe von G, so ist Hg = H.

Beweis. Nach Definition der Untergruppe ist Hg ⊂ H. Für beliebiges h ∈ H ist h ∗ g^{−1} ∈ H und damit h = (h ∗ g^{−1}) ∗ g ∈ Hg. □

Satz 1.5 Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Dann gilt für zwei Rechtsnebenklassen Hg und Hk von G nach H entweder Hg = Hk oder Hg ∩ Hk = ∅.

Beweis. Angenommen, Hg und Hk haben ein gemeinsames Element, d.h es existieren h_{1}, h_{2} ∈ H mit h_{1} ∗ g = h_{2} ∗ k. Durch Verknüpfung mit h_{2}^{−1} von links und mit g^{−1} von rechts erhalten wir

h_{2}^{−1} ∗ h_{1} ∗ g ∗ g^{−1} = h_{2}^{−1} ∗ h_{2} ∗ k ∗ g^{−1} ,

d.h. h_{2}^{−1} ∗ h_{1} = k ∗ g^{−1}. Die linke Seite dieser Gleichung ist Element von H und somit auch die rechte Seite k ∗ g^{−1}. Bildung der Rechtsnebenklasse liefert H(k∗g^{−1}) = H. Durch Verknüpfung mit g von rechts entsteht H(k∗g^{−1})∗g = Hg, also Hk = Hg. □

Für eine beliebige Menge M bezeichnen wir mit |M| die Anzahl ihrer Elemente.

Satz 1.6 Sei G eine Gruppe mit |G| < ∞ Elementen und H eine Untergruppe von G. Dann gilt für ein beliebiges g ∈ G die Beziehung |Hg| = |H|, und insbesondere ist |G| ein Vielfaches von |H|.

Beweis. Sei k ∈ Hg, also k = h ∗ g für ein h ∈ H. Dann ist h = k ∗ g^{−1} eindeutig bestimmt. Wenn H = {h_{1}, …, h_{n}}, dann sind also sämtliche h_{1}∗g, …, h_{n}∗g ∈ Hg verschieden. Damit enthält Hg genauso viele Elemente wie H.

Jedes g ∈ G tritt in mindestens einer Rechtsnebenklasse auf, z.B. in Hg (da e ∈ H). Wenn es in mehreren Rechtsnebenklassen auftritt, dann sind diese gleich. Deshalb zerfällt G in disjunkte nichtleere Rechtsnebenklassen. Ihre Anzahl sei r. Da jede Rechtsnebenklasse |H| Elemente enthält, gilt |G| = r|H|. □

Insbesondere besitzt eine aus p Elementen bestehende Gruppe, wenn p eine Primzahl ist, nur die trivialen Untergruppen G und {e}.

Definition 1.7 Seien G und H Gruppen mit Verknüpfungen ∗ und ·. Eine Abbildung ϕ : G → H heißt Homomorphismus (von Gruppen), falls

ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) · ϕ(b) für alle a, b ∈ G .

Ein Homomorphismus heißt Isomorphismus, wenn er bijektiv ist.

Satz 1.7 Sei ϕ : G → H ein Homomorphismus von Gruppen, dann gilt i) ϕ(e) = ϵ, wenn e und ϵ die neutralen Elemente von G und H sind.

ii) ϕ(a^{−1}) = ϕ(a)^{−1} für alle a ∈ G.

iii) Ist ϕ ein Isomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung ϕ^{−1} : H → G ein Gruppen-Homomorphismus.

Beweis.

ϵ · ϕ(a) = ϕ(a) = ϕ(e ∗ a) = ϕ(e) · ϕ(a) ,

daraus aus der Kürzungsregel ϵ = ϕ(e). Weiter

ϵ = ϕ(e) = ϕ(a^{−1} ∗ a) = ϕ(a^{−1}) · ϕ(a) ,

also ϕ(a^{−1}) = ϕ(a)^{−1}.

Sei ϕ nun bijektiv und α = ϕ(a) und β = ϕ(b), dann gilt

ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) · ϕ(b) = α · β

und daraus

ϕ^{−1}(α · β) = a ∗ b = ϕ^{−1}(α) ∗ ϕ^{−1}(β) .  □

Beispiele 1.2 (für Gruppenhomomorphismen)

• G = ℝ mit der Addition als Verknüpfung, H = ℝ_{+} := {r ∈ ℝ , r > 0} mit der Multiplikation als Verknüpfung, und ϕ = exp : ℝ → ℝ_{+}. Es gilt exp(a + b) = exp(a) · exp(b). Dann folgt automatisch exp(0) = 1 und exp(−a) = \frac{1}{exp(a)}.

Da exp bijektiv ist, ist auch ln := exp^{−1} : ℝ_{+} → ℝ ein Homomorphismus. Es gilt ln(x · y) = ln(x) + ln(y). Es folgt automatisch ln(1) = 0 und ln(\frac{1}{a}) = − ln(a).

• Wir wählen G = ℤ mit der Addition als Verknüpfung. Für jedes m ∈ ℤ ist die Abbildung

ϕ_{m} : ℤ → ℤ , ϕ_{m} : a ↦ m · a

ein Homomorphismus wegen ϕ_{m}(a)+ϕ_{m}(b) = m·a+m·b = m·(a+b) = ϕ_{m}(a + b). Sein Bild

mℤ := {m · a : a ∈ ℤ}

ist eine Untergruppe von ℤ, da (m · a) + (m · b) = m · (a + b) ∈ mℤ und −(m · a) = m · (−a) ∈ mℤ.

Zum Abschluß ein wichtiges Beispiel für Gruppen. Sei m ∈ ℤ mit m > 0. Wir definieren eine Äquivalenzrelation für a, b ∈ ℤ

a ∼ b ⇔ a − b ∈ mℤ .

Diese zerlegt ℤ in m disjunkte Teilmengen

[r]_{m} := {r + m · n : n ∈ ℤ} , für r = {0, 1, …, m − 1} .

Die Äquivalenzklassen [r]_{m} heißen Restklassen, da jedes Element a ∈ [r]_{m} bei der Division durch m den Rest r läßt. Wenn m festgelegt ist, schreibt man auch r̄ statt [r]_{m}. Für die Quotientenmenge führen wir die folgende Bezeichnung ein:

ℤ/mℤ := ℤ/ ∼ = {[0]_{m}, [1]_{m}, …, [m − 1]_{m}} .

Am bekanntesten ist die Situation für m = 10, wo die Restklasse bei natürlichen Zahlen durch die letzte Ziffer gegeben ist, z.B. 27, 197, −13 ∈ [7]_{10} oder 4, 1024, −26 ∈ [4]_{10}. Wichtig ist auch m = 2, wo [0]_{2} alle geraden Zahlen enthält und [1]_{2} alle ungeraden.

Die einzelnen Elemente a ∈ [r]_{m} sind die Repräsentanten der Restklasse. Die Beschränkung auf r = {0, 1, …, m − 1} ist nur eine sinnvolle Bezeichnung; die Definition liefert auch [r + m · n]_{m} = [r]_{m} für beliebiges n ∈ ℤ. Dann können wir eine Addition für die Restklassen definieren als

[a]_{m} + [b]_{m} := [a + b]_{m} .

Wir haben z.B. [7]_{10} + [4]_{10} = [1]_{10}. Zu zeigen wäre, daß diese Definition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. Ein Beispiel soll genügen: [27]_{10} + [4]_{10} = [31]_{10} = [1]_{10} oder auch [197]_{10} + [−26]_{10} = [171]_{10} = [1]_{10}. Das Beispiel zeigt, daß die Menge ℤ/mℤ mit dieser Addition, mit [r]_{m}^{−1} := [−r]_{m} als Inversem und e = [0]_{m} als neutralem Element eine kommutative Gruppe bildet, die als zyklische Gruppe der Ordnung m bezeichnet wird.

1.5 Ringe

Bei Gruppen hat man eine einzige Verknüpfung, z.B. Addition oder Multiplikation. Im weiteren brauchen wir Mengen, deren Elemente mittels Addition und Multiplikation verknüpft werden können (z.B. die Zahlen). Solche Mengen (mit brauchbaren Eigenschaften) heißen Ringe.

Definition 1.8 Eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen

+ :R × R → R ,  + : (a, b) ↦ a + b  (Addition)
· :R × R → R ,  · : (a, b) ↦ a · b  (Multiplikation)

heißt Ring, wenn folgendes gilt:

(R1) R zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe.

(R2) Die Multiplikation ist assoziativ.

(R3) Es gelten die Distributivgesetze

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c

für alle a, b, c ∈ R.

Ein Ring heißt kommutativ, falls a · b = b · a für alle a, b ∈ R. Ein Element 1 ∈ R heißt Einselement, wenn 1 · a = a · 1 = a für alle a ∈ R.

In (R3) ist die Konvention benutzt, daß die Multiplikation stärker bindet als die Addition.

Ist R ein Ring und 0 ∈ R das Nullelement, d.h. das neutrale Element der kommutativen Gruppe (R, +), dann gilt 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a, also 0 · a = 0 und analog a · 0 = 0.

Beispiele 1.3 (für Ringe)

• die Zahlbereiche ℤ, ℚ, ℝ,

• die Menge der reellwertigen stetigen Funktionen über einem Intervall,

R = {f : I → ℝ} , I ⊂ ℝ

mit

(f_{1} + f_{2})(x) := f_{1}(x) + f_{2}(x) und (f_{1} · f_{2})(x) := f_{1}(x) · f_{2}(x) .

• Die Gruppe (ℤ/mℤ, +) ist ebenfalls ein Ring mit der Multiplikation [a]_{m}· [b]_{m} := [a · b]_{m}.

Definition 1.9 Ein Ring R heißt nullteilerfrei, wenn aus a · b = 0 stets folgt a = 0 oder b = 0.

Satz 1.8 Der Restklassenring ℤ/mℤ ist genau dann nullteilerfrei, wenn m eine Primzahl ist.

Beweis. Ist m keine Primzahl, so gilt m = k·l mit k, l ≠ m, 0. Dann ist [k]_{m} ≠ [0]_{m} und [l]_{m} ≠ [0]_{m}, aber [k · l]_{m} = [m]_{m} = [0]_{m}. Ist andererseits m eine Primzahl und [k · l]_{m} = [0]_{m}, so gilt k · l = m · r für r ∈ ℤ, so daß k oder l durch m teilbar sind, also [k]_{m} = [0]_{m} oder [l]_{m} = [0]_{m}. □

Die für Gruppen kennengelernten Konzepte von Untergruppen und Homomorphismen von Gruppen übertragen sich auf Ringe:

Definition 1.10 Ist R ein Ring und R′ ⊂ R eine Teilmenge, so heißt R′ Unterring, wenn R′ bezüglich der Addition eine kommutative Untergruppe ist und bezüglich der Multiplikation gilt a′ · b′ ∈ R′ für alle a′, b′ ∈ R.

Sind R und S Ringe mit Verknüpfungen +, · bzw. ⊕, ⊙, so heißt die Abbildung ϕ : R → S ein Homomorphismus von Ringen, falls für alle a, b ∈ R gilt

ϕ(a + b) = ϕ(a) ⊕ ϕ(b) und ϕ(a · b) = ϕ(a) ⊙ ϕ(b) .

Beispiele für Unterringe sind ℤ ⊂ ℚ ⊂ R und mℤ ⊂ ℤ. Die Abbildung ϕ : ℤ → ℤ/mℤ, ϕ : a ↦ [a]_{m} ist ein Beispiel für einen Ringhomomorphismus.

1.6 Körper

Wenn in einem Ring auch die Multiplikation zu einer Gruppe wird (abgesehen vom Nullelement), sprechen wir von einem Körper.

Definition 1.11 Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen

+ :K × K → K ,  + : (a, b) ↦ a + b  (Addition)
· :K × K → K ,  · : (a, b) ↦ a · b  (Multiplikation)

heißt Körper, wenn folgendes gilt:

(K1) K zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 0 bezeichnet und das zu a ∈ K inverse Element mit −a.

(K2) Sei K^{∗} := K \{0}, dann ist für a, b ∈ K^{∗} auch a·b ∈ K^{∗}, und K^{∗} mit dieser Multiplikation ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 1 bezeichnet und das zu a ∈ K^{∗} inverse Element mit a^{−1} = 1/a. Man schreibt auch a/b = a^{−1} · b = b · a^{−1}.

(K3) Es gelten die Distributivgesetze

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c

für alle a, b, c ∈ K.

Körper spielen eine zentrale Rolle in linearen Abbildungen. Beispiele für Körper sind ℚ und ℝ. In einem Körper gilt

i) 1 ≠ 0 (da 1 ∈ K^{∗} und 0 ∉ K^{∗})

ii) a · 0 = 0 · a = 0 (wie zuvor)

iii) a · b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 (aus (K2))

iv) a · (−b) = −(a · b) und (−a) · (−b) = a · b

v) a · b = a · c und a ≠ 0 ⇒ b = c

Satz 1.9 Ist p ∈ ℕ eine Primzahl, so ist ℤ_{p} := ℤ/pℤ ein Körper.

Beweis. Zu zeigen ist, daß K^{∗} := (ℤ/pℤ) \ {[0]_{p}} eine kommutative Gruppe ist. Kommutativität und Assoziativität folgt aus der Definition. Das neutrale Element ist [1]_{p}. Bleibt die Existenz des inversen Elements. Das kann auf verschiedene Weise bewiesen werden. Wir geben das Inverse explizit an durch den

Kleinen Satz von Fermat Ist p eine Primzahl und a ∈ ℤ, so ist a^{p} − a durch p teilbar.

Ist a selbst nicht durch p teilbar, so muß a^{p−1} − 1 durch p teilbar sein. Das

bedeutet ([a]_{p})^{−1} = ([a]_{p})^{p−2} = \underbrace{[a]_{p} ⋯ [a]_{p}}_{(p−2) mal}.

Beweis des kleinen Satzes von Fermat. Wir können a ∈ ℕ annehmen, denn für ungerades p gilt (−a)^{p} −(−a) = −(a^{p} −a), während für p = 2 gilt (−a)^{2} −(−a) = a^{2} − a + 2a.

Der kürzeste Beweis verwendet die vollständige Induktion und die binomische Formel. Die Aussage ist richtig für a = 0, da 0^{p} − 0 = 0 durch p teilbar ist. Angenommen, a^{p} − a sei durch p teilbar. Dann betrachten wir

(a + 1)^{p} − (a + 1)

= (a^{p} + \underbrace{\binom{p}{1}a^{p−1} + \binom{p}{2}a^{p−2} + ⋯ + \binom{p}{p − 1}a}_{durch p teilbar} +1) − (a + 1) .

Die Binomialkoeffizienten \binom{p}{k} = \frac{p(p−1)···(p−k+1)}{1·2···k} sind ganze Zahlen und somit für 0 < k < p durch p teilbar. Damit folgt die Teilbarkeit von (a+1)^{p} −(a+1) durch p aus der Teilbarkeit von a^{p} − a durch p. □

Ist z.B. p = 5, so haben wir [2]_{5}^{−1} = [2^{3}]_{5} = [3]_{5} und [4]_{5}^{−1} = [4^{3}]_{5} = [4]_{5}. Da (ℤ/5ℤ) \ {[0]_{5}} bezüglich der Multiplikation eine aus 4 Elementen bestehende Gruppe ist, kann es Untergruppen aus zwei Elementen geben. Eine solche ist H = {[1]_{5}, [4]_{5}}.

Ein besonders wichtiger Körper ist der Körper ℂ der komplexen Zahlen. Wir definieren für die Menge ℝ × ℝ eine Addition durch

(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

und eine Multiplikation durch

(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc) .

Offensichtlich ist (0, 0) das neutrale Element der Addition, das Negative zu (a, b) ist (−a, −a), und (1, 0) ist das Einselements bezüglich der Multiplikation. Das multiplikative Inverse zu (a, b) ≠ (0, 0) ist

(a, b)^{−1} := (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} , \frac{−b}{a^{2} + b^{2}} ) .

Durch direktes (z.T. etwas längliches) Nachrechnen bestätigt man, daß ℝ × ℝ mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist. Er heißt Körper der komplexen Zahlen und wird mit ℂ bezeichnet.

Die durch ι : a ↦ (a, 0) definierte Abbildung ι : ℝ → ℂ ist injektiv. Wegen (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) und (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0) kann man deshalb ℝ mit seinem Bild ι(ℝ) = ℝ × {0} ⊂ ℂ identifizieren und somit die reellen Zahlen als Unterkörper der komplexen Zahlen auffassen. Es zeigt sich, daß viele Beziehungen für reelle Zahlen sehr viel einfacher beweisen und verstehen kann, wenn man sie als Einschränkung von Beziehungen für komplexe Zahlen auf ℝ × {0} auffaßt.

Wegen (a, b) = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) erlaubt es die Identifikation von ℝ mit ℝ × {0} ⊂ ℂ, eine komplexe Zahl zu schreiben als z = (a, b) = a + ib. Dabei heißt i := (0, 1) ∈ ℂ die imaginäre Einheit. Für sie gilt i^{2} = (0, 1)·(0, 1) = (−1, 0) = −1. Für z = a + ib ∈ ℂ heißt

• Re(z) := a ∈ ℝ der Realteil von z,

• Im(z) := b ∈ ℝ der Imaginärteil von z

• z̄:= a − ib die zu z konjugiert komplexe Zahl.

Die Abbildung z ↦ z̄ heißt komplexe Konjugation. Es gilt

\overline{z + w} = z̄ + w̄ ,
\overline{z · w} = z̄ · w̄ ,
z ∈ ℝ ⇔ z = z̄ .

Für z = a + ib ist z · z̄ = (a + ib) · (a − ib) = a^{2} + b^{2} stets eine nichtnegative reelle Zahl. Es läßt sich deshalb die Wurzel ziehen, und wir definieren

|z| := \sqrt{z · z̄} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} ∈ ℝ_{+}

als den Betrag von z. Für beliebige z, w ∈ ℂ gilt

|z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
|z · w| = |z| · |w|
|z̄| = |z|

Es ist nun sehr intuitiv, eine komplexe Zahl z = x + iy als Punkt (x, y) in einem kartesischen Koordinatensystem in der Ebene (Gaußsche Zahlenebene) darzustellen. Nach Pythagoras ist dann |z| gerade der Abstand dieses Punktes vom Ursprung 0 = (0, 0).

[figure: *; (x, y); y; x; ^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}; 0; α]

Real- und Imaginärteil ergeben sich zu x = |z| cos α und y = |z| sin α, so daß wir folgende Darstellung einer komplexen Zahl erhalten:

z = |z|(cos α + i sin α) , 0 ≤ α < 2π .

Es gilt Eulers Formel

cos α + i sin α = e^{iϕ} ,

wobei die Exponentialfunktion durch die Reihe

e^{z} := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!}

definiert wird. In der Analysis wird bewiesen, daß diese Reihe konvergiert. Es gilt e^{z} · e^{w} = e^{z+w} und \overline{e^{z}} = ez̄. Daraus folgt für α ∈ ℝ

e^{iα}e^{−iα} = e^{0} = 1 und 1 = |e^{iα}e^{−iα}| = |e^{iα}| · |e^{−iα}| = |e^{iα}|^{2}

also |e^{iα}| = 1 für alle α ∈ ℝ. Das bedeutet, daß es für jede komplexe Zahl z, welche in der Gaußschen Zahlenebene auf dem Einheitskreis um den Ursprung 0 mit Radius 1 liegt, ein α ∈ ℝ gibt mit z = e^{iα}. Tatsächlich sind cos α und sin α gerade als Real- und Imaginärteil von e^{iα} definiert. Der Winkel α = arg(z) heißt das Argument der komplexen Zahl z = |z|e^{iα}. Es gilt arg(z) = arctan \frac{Im(z)}{Re(z)}.

2 Vektorräume und lineare Abbildungen

2.1 Vektorräume

Vektorräume sind der zentrale Gegenstand der linearen Algebra.

Definition 2.1 Sei K ein Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung + : V × V → V (der Addition) und einer äußeren Verknüpfung · : K × V → V (Multiplikation mit Skalaren) heißt Vektorraum über K, wenn

(V1) V zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. (Wie üblich wird das neutrale Element wird mit 0 ∈ V bezeichnet und das zu v ∈ V inverse Element mit −v.)

(V2) Für die Multiplikation mit Skalaren gilt

(λ + μ) · v = λ · v + μ · v ,  λ · (v + w) = λ · v + λ · w ,
λ · (μ · v) = (λμ) · v ,  1 · v = v ,

für alle λ, μ ∈ K und v, w ∈ V.

Ein Element eines Vektorraumes V heißt Vektor.

Die wichtigsten Fälle sind Vektorräume über K = ℝ und K = ℂ. Wir sprechen dann von reellen bzw. komplexen Vektorräumen.

Satz 2.1 In einem Vektorraum über K gilt

i) 0 · v = 0 ∈ V ∀v ∈ V
ii) λ · 0 = 0 ∈ V ∀λ ∈ K
iii) (−1) · v = −v ∀v ∈ V
iv) λ · v = 0 ∈ V ⇔ λ = 0 oder v = 0

Beweis. Beweis von i),ii),iii) durch gleiche Methoden wie bei Ringen. iv): Ist λ · v = 0, aber λ ≠ 0, so gilt v = 1 · v = (λ^{−1}λ) · v = λ^{−1} · (λ · v) = 0. □

Beispiele 2.1 (für Vektorräume)

• K^{n} = {x = (x_{1}, …, x_{n}) : x_{i} ∈ K} ist ein Vektorraum mit Addition

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})

und skalarer Multiplikation

λ · (x_{1}, …, x_{n}) := (λx_{1}, …, λx_{n}) .

• Die Menge M(m × n, K) := \{( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) : a_{ij} ∈ K\}

der Matrizen mit m Zeilen und n Spalten und Einträgen aus K ist ein Vektorraum mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation: Schreiben wir A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) ∈ M(m × n, K), so ist

A + B := (a_{ij} + b_{ij}) , λ · A := (λa_{ij}) .

Es ist M(m × n, K) = K^{m·n}, jedoch ist die Schreibweise in rechteckiger Anordnung im weiteren sehr nützlich.

• ℂ kann als reeller Vektorraum aufgefaßt werden durch · : ℝ × ℂ → ℂ, (λ, x + iy) ↦ λx + iλy.

Definition 2.2 Sei V ein Vektorraum. Eine Teilmenge W ⊂ V heißt Untervektorraum, wenn

(UV1) W ≠ ∅

(UV2) v, w ∈ W ⇒ v + w ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen bezüglich der Addition)

(UV3) v ∈ W , λ ∈ K ⇒ λ · v ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit Skalaren)

Ein Untervektorraum ist automatisch ein Vektorraum. Beispiele sind

• der Nullvektor W = {0}

• Vielfache W = {λ · v : λ ∈ K} eines ausgewählten Vektors v ∈ V, speziell jede Gerade in der Ebene durch den Nullpunkt, W = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : ax + by = 0} für a, b ∈ ℝ.

Satz 2.2 Seien W_{i} mit i ∈ I (Indexmenge) jeweils Untervektorräume von V, so ist der Durchschnitt W := ⋂_{i∈I} W_{i} ⊂ V wieder ein Untervektorraum von V.

Beweis. 0 ∈ W_{i} ∀i ∈ I, also 0 ∈ W (damit ist W nicht leer). Seien v, w ∈ W, so sind v, w ∈ W_{i} ∀i ∈ I. Dann ist auch v + w ∈ W_{i} ∀i ∈ I und somit v + w ∈ W. Analog ist λ · v ∈ W. □

Dagegen ist die Vereinigung von Untervektorräumen im allgemeinen nicht wieder ein Untervektorraum. Man kann eine solche Vereinigung aber zu einen Vektorraum abschließen.

Seien v_{1}, …, v_{r} ∈ V (nicht notwendig verschiedene) Vektoren aus V. Ein Vektor v ∈ V heißt Linearkombination von v_{1}, …, v_{r}, wenn es λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K gibt, so daß

v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} .

Wir bezeichnen mit

span_{K}(v_{1}, …, v_{r}) = {∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} : λ_{i} ∈ K}

den Raum aller Linearkombinationen von v_{1}, …, v_{r}. Offenbar ist span_{K}(v_{1}, …, v_{r}) ein Untervektorraum von V, er heißt der durch v_{1}, …, v_{r} aufgespannte (oder erzeugte) Untervektorraum.

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf Untervektorräume, die von einer Familie (v_{i})_{i∈I} aus möglicherweise unendlich vielen Vektoren aufgespannt wird. Dann ist span_{K}(v_{i})_{i∈I} definiert als die Menge aller endlichen Linearkombinationen, d.h. zu jedem v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} gibt es Indizes i_{1}, …, i_{r} ∈ I und Skalare λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K, so daß v = ∑_{j=1}^{r} λ_{j}v_{i_{j}}.

Beispiele 2.2 (für Linearkombinationen)

• Für V = ℝ^{3} und v_{1}, v_{2} ∈ V ist span_{ℝ}(v_{1}) die Gerade durch 0 und v_{1}, falls v_{1} ≠ 0, und span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}) die Ebene durch 0, v_{1}, v_{2}, falls v_{1} ≠ 0 und

v_{2} ∉ span_{ℝ}(v_{1}).

• Im Vektorraum K^{n} setzen wir e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), wobei die 1 an

der i-ten Stelle steht. Dann ist span_{K}(e_{i})_{i=1,...,n} = K^{n}.

Im weiteren wird es wichtig sein, ob sich ein Vektor v ∈ V in eindeutiger Weise als Linearkombination von vorgegebenen Vektoren v_{1}, …, v_{r} darstellen läßt oder nicht.

Definition 2.3 Sei V ein Vektorraum über K. Eine Familie von endlich vielen Vektoren v_{1}, …, v_{r} heißt linear unabhängig (bzw. die Vektoren v_{1}, …, v_{r} heißen linear unabhängig), wenn aus λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} = 0 für λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K folgt λ_{1} = λ_{2} = ⋯ = λ_{r} = 0.

Eine beliebige Familie (v_{i})_{i∈I} heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Entsprechend heißt eine Familie (v_{i})_{i∈I}, die nicht linear unabhängig ist, linear abhängig. In diesem Fall gibt es also v_{i_{1}}, …, v_{i_{r}} ≠ 0 mit i_{1}, …, i_{r} ∈ I und λ_{1}, …, λ_{r} ≠ 0 mit ∑_{j=1}^{r} λ_{j} · v_{i_{j}} = 0.

Satz 2.3 Für eine Familie (v_{i})_{i∈I} sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) (v_{i})_{i∈I} ist linear unabhängig

ii) Jeder Vektor v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} läßt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von Vektoren aus (v_{i})_{i∈I} darstellen.

Beweis. i)⇒ii). Sei v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} auf zwei verschiedene Arten als Linearkombination darstellbar,

v = ∑_{i∈I} λ_{i} · v_{i} = ∑_{i∈I} μ_{i} · v_{i}

wobei nur endlich viele Skalare λ_{i}, μ_{i} ungleich Null sind. Es gibt also eine endliche Teilmenge J ∈ I (Vereinigung der Indizes i, für die λ_{i} ≠ 0 oder μ_{i} ≠ 0), so daß

∑_{i∈J}(λ_{i} − μ_{i}) · v_{i} = 0 .

Da nach Voraussetzung i) jede endliche Teilfamilie von (v_{i})_{i∈I} linear unabhängig ist, ist λ_{i} = μ_{i} für alle i ∈ J und weiter für alle i ∈ I (auf dem Komplement I \ J ist λ_{i} = μ_{i} = 0).

ii)⇒i). Der Nullvektor läßt sich als Linearkombination von (v_{i})_{i∈I} darstellen, in der sämtliche Skalare Null sind. Ist die Linearkombination eindeutig, so ist (v_{i})_{i∈I} linear unabhängig. □

2.2 Erzeugendensystem, Basis und Dimension

Definition 2.4 Eine Familie B = (v_{i})_{i∈I} von Vektoren v_{i} ∈ V heißt Erzeugendensystem von V, wenn V = span_{K}(v_{i})_{i∈I}, wenn also jeder Vektor v ∈ V eine endliche Linearkombination von (v_{i})_{i∈I} ist.

Ein Erzeugendensystem B = (v_{i})_{i∈I} heißt Basis von V, wenn B linear unabhängig ist.

Der Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls es ein endliches Erzeugendensystem B = (v_{1}, …, v_{r}) von V gibt.

Beispiele 2.3 (für Erzeugendensysteme und Basen)

• Im Vektorraum K^{n} ist B = (e_{1}, …, e_{n}), mit e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), ein Erzeugendensystem, denn jeder Vektor x = (x_{1}, …, x_{n}) läßt sich schreiben als x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} mit x_{i} ∈ K. Das Erzeugendensystem ist linear unabhängig und deshalb eine Basis, die Standardbasis des K^{n}.

• Im Vektorraum M(m × n, K) der m × n-Matrizen ist B = (E_{ij})_{{i=1,...m \atop j=1,...,n}} mit

E_{ij} = ( \begin{matrix}& & & 0 \\ & O & & ⋮ & & O \\ & & & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ & & & 0 \\ & O & & ⋮ & & O \\ & & & 0 \end{matrix} ) ,

wobei die 1 im Schnittpunkt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte steht, ein Erzeugendensystem. Jede Matrix A = (a_{ij}) läßt sich darstellen als A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}. Das Erzeugendensystem ist linear unabhängig und deshalb eine Basis, die Standardmatrixbasis.

• In ℂ, aufgefaßt als reeller Vektorraum, ist B = (1, i) eine Basis, denn jede komplexe Zahl kann als z = x · 1 + y · i mit x, y ∈ ℝ geschrieben werden.

Fassen wir ℂ = ℂ^{1} dagegen als komplexen Vektorraum auf, dann ist B = (1, i) zwar ein Erzeugendensystem, aber keine Basis mehr, denn 1 und i sind nicht mehr linear unabhängig über ℂ: 1 · 1 + i · i = 0.

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) eine endliches Erzeugendensystem bzw. eine endliche Basis, dann ist jede Permutation (Umordnung) der Vektoren v_{i} wieder ein endliches Erzeugendensystem bzw. eine endliche Basis. Z.B. ist B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) mit v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (0, 0, 1), v_{3} = (0, 1, 0) eine Basis von K^{3}, aber es ist übersichtlicher, statt B mit der durch Umordnung erhaltenen Standardbasis (v_{1}, v_{3}, v_{2}) zu arbeiten.

Für die Definition einer Basis gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten. Wir beschränken uns zunächst auf endlich erzeugte Vektorräume:

Satz 2.4 Für eine Familie B = (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{i} ∈ V, V ≠ {0}, sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V (also eine Basis).

ii) B ist ein Erzeugendensystem von V, aber (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r}, …, v_{n}) ist für jedes 1 ≤ r ≤ n kein Erzeugendensystem mehr.

iii) Zu jedem v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} (Eindeutigkeit der Zerlegung von v nach der Basis).

iv) B ist linear unabhängig, während (v_{1}, …, v_{n}, v) linear abhängig ist für alle v ∈ V.

Beweis. i)⇒ii). Wäre (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem, dann gibt es λ_{1}, …, λ_{r−1}, λ_{r+1}, …, λ_{n} ∈ K mit v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1} λ_{i} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} λ_{j} · v_{j}. Damit ist 0 = ∑_{i=1}^{r−1} λ_{i} · v_{i} + (−1) · v_{r} + ∑_{j=r+1}^{n} λ_{j}·, so daß B nicht linear unabhängig wäre.

ii)⇒iii). Angenommen, es gibt ein v ∈ V und für dieses zwei verschiedene Darstellungen

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} und v = ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · v_{i}

mit λ_{r} ≠ μ_{r} für mindestens ein r. (Es gibt mindestens eine Darstellung, da B Erzeugendensystem.) Subtraktion beider Gleichungen und Division durch (λ_{r} − μ_{r}) ergibt

v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1} \frac{λ_{i} − μ_{i}}{μ_{r} − λ_{r}} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} \frac{λ_{j} − μ_{j}}{μ_{r} − λ_{r}} · v_{j}

Das würde bedeuten, daß (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem wäre, denn in einer Linearkombination ließe sich v_{r} durch die v_{i}, v_{j} mit i, j ≠ r ausdrücken, im Widerspruch zu ii).

iii)⇒iv). Nach Satz 2.3 ist B linear unabhängig. Andererseits gibt es für jedes v ∈ V Skalare λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} + (−1) · v, so daß (v_{1}, …, v_{r}, v) nicht linear unabhängig ist.

iv)⇒i). Da (v_{1}, …, v_{n}, v) nicht linear unabhängig ist, gibt es λ_{1}, …, λ_{n}, λ ∈ K mit 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} + λ · v. Da B linear unabhängig, ist λ ≠ 0, so daß

v = ∑_{i=1}^{n} \frac{−λ_{i}}{λ} · v_{i} .

Damit ist B ein Erzeugendensystem. □

Die wichtigste Eigenschaft einer Basis ist wohl die Eindeutigkeit der Zerlegung eines gegebenen Vektors nach einer Basis des Vektorraums. Ist eine Basis fixiert, dann kann man an Stelle des Vektors v ∈ V mit einer Folge von Zahlen (λ_{1}, …, λ_{n}) mit λ_{i} ∈ K arbeiten. Diese Zahlen λ_{i} heißen die Koordinaten von v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} bezüglich der Basis (v_{1}, …, v_{n}).

Allgemeiner definiert jede Familie (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren aus V eine Abbildung K^{n} → V durch (λ_{1}, …, λ_{n}) ↦ ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i}. Diese Abbildung ist genau dann

• injektiv, wenn die v_{i} linear unabhängig sind,

• surjektiv, wenn die v_{i} ein Erzeugendensystem bilden,

• bijektiv, wenn die v_{i} eine Basis bilden. Man kann also viele Probleme, die Vektorräume beinhalten, auf Probleme im

Raum K^{n} der Koordinaten zurückführen. Damit das aber gelingt, ist es einerseits notwendig, erst einmal eine Basis zu identifizieren. Die äquivalenten Formulierungen aus Satz 2.4 sind dabei nützlich. Und dann ist zu klären, wie die Ergebnisse von der Wahl der Basis abhängen. Wir müssen uns dazu weitere Eigenschaften der Basen erarbeiten.

Satz 2.5 (Basisauswahlsatz) Aus jedem endlichen Erzeugendensystem läßt sich eine Basis auswählen. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis.

Beweis. Man nehme aus einem endlichen Erzeugendensystem einzelne Vektoren weg, so daß die reduzierte Familie immer noch ein Erzeugendensystem des Vektorraumes bleibt. Ist das nicht mehr möglich, so liegt eine Basis vor. □

Satz 2.6 (Austauschlemma von Steinitz) Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis eines Vektorraumes V über K und w ein weiterer vom Nullvektor verschiedener Vektor aus V, so kann man einen der Basisvektoren gegen w “austauschen”, d.h. es existiert ein Index 1 ≤ r ≤ n, so daß (v_{1}, …, v_{r−1}, w, v_{r+1}, …, v_{n}) ebenfalls eine Basis von V ist.

Beweis. Da B eine Basis, gibt es λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit w = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i}. Da w ≠ 0, gibt es mindestens einen Skalar λ_{r} ≠ 0. Damit gilt

v_{r} = \frac{1}{λ_{r}} · w + ∑_{i=1}^{r−1} \frac{−λ_{i}}{λ_{r}} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} \frac{−λ_{j}}{λ_{r}} · v_{j} .

Sei v ∈ V ein beliebiger Vektor, dann gibt es μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K mit v = ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · v_{i}. Einsetzen von v_{r} liefert

v = ∑_{i=1}^{r−1} (μ_{i} − \frac{λ_{i}}{λ_{r}} ) · v_{i} + \frac{μ_{r}}{λ_{r}} · w + ∑_{j=r+1}^{n} (μ_{j} − \frac{λ_{j}}{λ_{r}} ) · v_{j} .

Damit ist (v_{1}, …, v_{r−1}, w, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem.

Zur Untersuchung der linearen Unabhängigkeit sei

0 = ∑_{i=1}^{r−1} μ_{i} · v_{i} + μ · w + ∑_{j=r+1}^{n} μ_{j} · v_{j} .

Einsetzen von w liefert

0 = ∑_{i=1}^{r−1}(μ_{i} + μλ_{i}) · v_{i} + μλ_{r} · v_{r} + ∑_{j=r+1}^{n}(μ_{j} + μλ_{j}) · v_{j} .

Da B linear unabhängig, folgt μ_{i} + μλ_{i} = 0 für i ≠ r und μλ_{r} = 0, also μ = 0 und dann μ_{i} = 0. □

Wir zeigen nun, daß alle Basen eines endlich erzeugten Vektorraumes aus der gleichen Anzahl an Vektoren bestehen.

Satz 2.7 (Austauschsatz) In einem Vektorraum V über K sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis und (w_{1}, …, w_{r}) eine linear unabhängige Familie von Vektoren aus V. Dann ist r ≤ n, und es gibt paarweise verschiedene Indizes i_{1}, …, i_{r} ∈ {1, 2, …, n}, so daß man nach Austausch von v_{i_{j}} durch w_{j} für alle 1 ≤ j ≤ r wieder eine Basis von V erhält. Nach Permutation der Indizes (Umnumerierung) erreicht man, daß B^{∗} = (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) eine Basis von V ist.

Beweis. Wir tauschen schrittweise die Basisvektoren aus. Im ersten Schritt finden wir ein 1 ≤ s ≤ n, so daß (v_{1}, …, v_{s−1}, w_{1}, v_{s+1}, …, v_{n}) eine Basis ist. Nun nennen wir v_{1} ↦ v_{s} und ordnen durch Vertauschen von v_{s} ↔ w_{1} die Basis um, so daß (w_{1}, v_{2}, …, v_{n}) eine Basis ist.

Dann gibt es μ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} ∈ K mit w_{2} = μ_{1} · w_{1} + ∑_{i=2}^{n} λ_{i} · v_{i}. Mindestens eines der λ_{i} ist von 0 verschieden, denn sonst wäre w_{2} = μ_{1} · w_{1}, und die Familie (w_{1}, …, w_{r}) wäre nicht linear unabhängig. Es läßt sich deshalb ein v_{s} mit 2 ≤ s ≤ n durch w_{2} austauschen, so daß nach Umnumerierung (w_{1}, w_{2}, v_{3} …, v_{n}) eine Basis von V ist.

Ist r ≤ n, so führt die wiederholte Anwendung dieses Verfahrens auf eine Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}). Wäre r > n, dann erhalten wir im n-ten Schritt eine Basis (w_{1}, …, w_{n}) von V. Dann ist w_{n+1} nach dieser Basis zerlegbar, so daß (w_{1}, …, w_{r}) für r > n nicht mehr linear unabhängig wäre. □

Satz 2.8 Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Dann besteht jede Basis von V aus der gleichen Anzahl von Vektoren.

Beweis. Seien zwei Basen B_{1} = (v_{1}, …, v_{n}) und B_{2} = (w_{1}, …, w_{r}) von V gegeben. Ist n < r, dann wäre nach Satz 2.7 B_{2} nicht linear unabhängig, also keine Basis. Ist n > r, dann wäre nach Satz 2.7 B_{1} nicht linear unabhängig, also keine Basis. Folglich gilt n = r. □

Definition 2.5 In einem Vektorraum V über K heißt die durch

dim_{K}V := \{ \begin{matrix}0 & falls V = \{0\}, \\ n & falls V endlich erzeugt ist und eine aus n Vektoren bestehende Basis besitzt, \\ ∞ & falls V nicht endlich erzeugt ist \end{matrix}

definierte Zahl die Dimension von V.

Offenbar ist dim_{K}(K^{n}) = n und dim_{ℝ}(ℂ) = 2, aber dim_{ℂ}(ℂ) = 1. Wir schreiben auch dim(V) statt dim_{K}(V), wenn der Körper klar ist. Die Dimension ist eine entscheidende Charakterisierung eines Vektorraumes.

Satz 2.9 Ist W ⊂ V Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraumes V, so ist auch W endlich erzeugt, und es gilt

i) dim(W) ≤ dim(V),

ii) aus dim(W) = dim(V) folgt W = V.

Beweis. Sei n := dim_{K}(V). Gäbe es in W mehr als n linear unabhängige Vektoren w_{1}, …, w_{r} ∈ W, so wären diese auch als Elemente von V linear unabhängig, im Widerspruch zur Eindeutigkeit der Dimension. Also ist r ≤ n.

W ist durch höchstens n linear unabhängige Vektoren (w_{1}, …, w_{n}) erzeugt, denn wäre (w_{1}, …, w_{n}) kein Erzeugendensystem, dann gibt es ein w ∈ W mit w ∉ span_{K}(w_{1}, …, w_{n}). Dann wäre (w_{1}, …, w_{n}, w) linear unabhängig, im Widerspruch zur Dimension von V.

Sei nun dim(W) = dim(V) = n und (w_{1}, …, w_{n}) eine Basis von W. Wäre V ≠ W, so gibt es ein v ∈ V \ W, das keine Linearkombination von (w_{1}, …, w_{n}) ist. Damit wäre (w_{1}, …, w_{n}, v) linear unabhängig, was durch die Dimension ausgeschlossen ist. □

Dieser Satz ist äußerst wichtig. Wenn wir schon wissen, daß ein Vektorraum V die Dimension n hat und n linear unabhängige Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V gegeben sind, dann ist W = span(v_{1}, …, v_{n}) ein Untervektorraum, in dem (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis ist. Aus der Gleichheit der Dimensionen folgt W = V, also ist (v_{1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem von V. Es ist wesentlich einfacher, die lineare Unabhängigkeit zu überprüfen als die Eigenschaft des Erzeugendensystems. Daraus wird die Bedeutung der Dimension ersichtlich.

Bei der Untersuchung der linearen Unabhängigkeit ist das Austauschlemma sehr hilfreich.

Beispiele 2.4 Sei V = ℝ^{4} und v_{1} = (2, 5, 3, 7), v_{2} = (1, 1, −3, 6), v_{3} = (1, 4, 0, 1), v_{4} = (2, −1, 5, 1). Ist die Familie B_{1} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) linear unabhängig? Wenn ja, dann ist B_{1} auch eine Basis (insbesondere ein Erzeugendensystem), da ℝ^{4} die Dimension 4 hat.

Wir betrachten den Vektor w_{2} = v_{1} − 2v_{2} = (0, 3, 9, −5). Wenn B_{1} eine Basis ist, so können wir nach dem Austauschlemma v_{1} oder v_{2} durch w austauschen, ohne die Basiseigenschaft zu verlieren. Also ist B_{2} = (v_{1}, w_{2}, v_{3}, v_{4}) eine Basis, wenn B_{1} eine ist. Sei umgekehrt B_{2} eine Basis, dann ist nach Austausch von w_{2} durch v_{2} = \frac{1}{2} · v_{1} − \frac{1}{2} · w_{2} auch B_{1} eine Basis.

Im nächsten Schritt betrachten wir w_{3} = v_{1} − 2v_{3} = (0, −3, 3, 5). Dann ist B_{3} = (v_{1}, w_{2}, w_{3}, v_{4}) genau dann eine Basis, wenn B_{1} eine ist.

Der dritte Schritt liefert w_{4} = v_{1} − v_{4} = (0, 6, −2, 6). Dann ist B_{4} = (v_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}) genau dann eine Basis, wenn B_{1} eine ist.

Die Frage, ob B_{1} eine Basis ist, ist nun darauf zurückgeführt, ob (w_{2}, w_{3}, w_{4}) linear unabhängig sind. Denn jede Linearkombination von (w_{2}, w_{3}, w_{4}) hat an der ersten Stelle eine 0, d.h. span_{ℝ}(w_{2}, w_{3}, w_{4}) ⊂ {0} × ℝ^{3}. Also folgt aus λ_{1}v_{1} + ∑_{ı=2}^{4} λ_{i} · w_{i} = 0, daß λ_{1} = 0 und ∑_{ı=2}^{4} λ_{i} · w_{i} = 0 sein muß. Wir haben also das Problem, ob B_{1} eine Basis von ℝ^{4} ist, auf das niederdimensionale Problem zurückgeführt, ob (w_{2}, w_{3}, w_{4}) eine Basis von {0} × ℝ^{3} ist.

Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens werden w_{3}, w_{4} durch geeignete Linearkombination^{1} u_{3}, u_{4} von w_{2}, w_{3}, w_{4} ausgetauscht, so daß die ersten beiden Stellen von u_{3}, u_{4} Null sind, also span_{ℝ}(u_{3}, u_{4}) ⊂ {0} × {0} × ℝ^{2}. Damit ist (w_{2}, w_{3}, w_{4}) eine Basis von {0} × ℝ^{3}, wenn (u_{3}, u_{4}) eine Basis von {0}^{2} × ℝ^{2} ist.

Im letzten Schritt tauschen wir u_{4} durch eine Linearkombination^{2} x_{4} von u_{3}, u_{4} aus mit span_{ℝ}(x_{4}) ⊂ {0}^{3}×ℝ^{1}. Nun ist (x_{4}) genau dann eine Basis von {0}^{3}×ℝ^{1},

24 wenn x_{4} ≠ 0 ist, was einfach zu entscheiden ist. Aus der Kette von Beziehungen folgt, daß B_{1} genau dann eine Basis von ℝ^{4} ist, wenn x_{4} ≠ 0 ist (das ist hier der Fall).

1z.B. u_{3} = w_{2} + w_{3} = (0, 0, 12, 0) und u_{4} = 2w_{2} − w_{4} = (0, 0, 20, −16)

2z.B. x_{4} = 5u_{3} − 3u_{4} = (0, 0, 0, 48)

Preliminary version – 13. Juli 2006

Dieses Verfahren, welches schrittweise das Problem auf einfachere zurückführt, ist eine Variante des Gaußschen Algorithmus, den wir später behandeln werden.

Unter Umständen zwingt uns das Verfahren, die Reihenfolge der Vektoren in der Familie zu ändern. Sei z.B. v_{1} = (0, 1, 2), v_{2} = (1, 1, 1), v_{3} = (1, 2, 2). Dann können wir v_{2} nicht durch eine Linearkombination w_{2} aus v_{1}, v_{2} ersetzen, deren erste Stelle 0 ist. Stattdessen ist v_{1} ↦ v_{2} zu tauschen und dann v_{3} durch eine Linearkombination w_{3} aus v_{2}, v_{3} auszutauschen.

Ein weiteres nützliches Hilfsmittel ist:

Satz 2.10 (Basisergänzungssatz) In einem endlich erzeugten Vektorraum V sei eine Familie (w_{1}, …, w_{r}) von linear unabhängigen Vektoren gegeben. Dann läßt sich diese Familie zu einer Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V ergänzen.

Beweis. Man nehme irgendeine Basis von V und wende den Austauschsatz an. □

Bemerkungen zu nicht endlich erzeugten Vektorräumen

In nicht endlich erzeugten (also unendlich-dimensionalen) Vektorräumen gibt es einige Besonderheiten.

Satz 2.11 Ist V nicht endlich erzeugt, so gibt es eine unendliche linear unabhängige Familie.

Beweis. Ist (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig, dann gibt es einen Vektor v ∈ V, so daß auch (v_{1}, …, v_{n}, v) linear unabhängig ist. Sonst wäre V endlich erzeugt, im Gegensatz zur Voraussetzung. □

Unter Benutzung des Auswahlaxioms gilt:

Satz 2.12 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Jedoch läßt sich in nicht endlich erzeugten Vektorräumen eine Basis im allgemeinen nicht angeben. Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen V = {(a_{1}, a_{2}, …) : a_{i} ∈ ℝ} sind die Vektoren

{(1, 0, 0, 0, …), (0, 1, 0, 0, …), (0, 0, 1, 0, …), …}

zwar linear unabhängig, aber sie bilden keine Basis (auch kein Erzeugendensystem), denn z.B. wird die Folge (1, 1, 1, …) nicht davon als endliche Linearkombination erzeugt.

In unendlich-dimensionalen unitären Vektorräumen ist es möglich (und üblich), sogenannte Orthonormalbasen zu betrachten, so daß jeder Vektor sich als eindeutige unendliche Linearkombination darstellen läßt (z.B. bilden obige Vektoren eine Orthonormalbasis im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen). Unter Verwendung des Auswahlaxioms existiert zwar eine Basis, so daß jeder Vektor eine endliche Linearkombination ist, diese Basis ist aber viel größer (überabzählbar) als die sehr natürliche Orthonormalbasis.

Zwar kann Satz 2.4 über die äquivalenten Eigenschaften einer Basis auch für unendlich-dimensionale Vektorräume bewiesen werden (ohne Auswahlaxiom), da eine solche Basis im allgemeinen aber nicht angegeben werden kann, haben echte Basen in unendlich-dimensionalen Vektorräumen kaum eine praktische Bedeutung. Die Verwendung von Orthonormalbasen ist dann sinnvoller, allerdings erfordert das dann Hilfsmittel aus der Analysis. Diese Strukturen werden später behandelt.

2.3 Direkte Summe von Vektorräumen

Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V, dann erzeugt jeder Basisvektor v_{i} einen eindimensionalen Untervektorraum W_{i} = Kv_{i} := span_{K}(v_{i}). Da jeder Vektor v ∈ V als Summe v = ∑_{i=1}^{n} w_{i} mit w_{i} ∈ Kv_{i} dargestellt werden kann, ist es sinnvoll, V selbst als Summe der Untervektorräume aufzufassen. Diese Summe läßt sich dann verallgemeinern auf höherdimensionale Untervektorräume:

Definition 2.6 Sei W ein Vektorraum und W_{1}, …, W_{k} Untervektorräume von W. Ein Vektorraum V heißt direkte Summe der Untervektorräume W_{1}, …, W_{k}, bezeichnet mit

V = W_{1} ⊕ W_{2} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k} ,

wenn gilt:

(DS1) V = W_{1} + ⋯ + W_{k} := {v ∈ W : es gibt w_{i} ∈ W_{i} mit v = w_{1} + ⋯ + w_{k}}

(DS2) Von Null verschiedene Vektoren w_{1} ∈ W_{1}, …, w_{k} ∈ W_{k} sind linear unabhängig in W.

Beispiele 2.5 Sei V = ℝ^{3} und v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V linear unabhängig, dann ist z.B. V = ℝv_{1} ⊕ ℝv_{2} ⊕ ℝv_{3} oder V = span_{ℝ}(v_{1}, v_{3}) ⊕ ℝv_{2}.

Satz 2.13 Sind W_{1}, …, W_{k} endlich-dimensionale Untervektorräume, so gilt dim(W_{1} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k}) = dim(W_{1}) + ⋯ + dim(W_{k}).

Beweis. Es existieren Basen (w_{1}^{(i)}, …, w_{r_{i}}^{(i)}) der r_{i}-dimensionalen Untervektorräume W_{i}. Wir zeigen, daß

B := (w_{1}^{(1)}, …, w_{r_{1}}^{(1)}, …, w_{1}^{(k)}, …, w_{r_{k}}^{(k)})

eine Basis von V := W_{1} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k} ist. Klar ist, daß B ein Erzeugendensystem von V ist. Es verbleibt der Beweis der linearen Unabhängigkeit. Sei also

0 = ∑_{i_{1}=1}^{r_{1}} λ_{i_{1}} · w_{i_{1}}^{(1)} + ⋯ + ∑_{i_{k}=1}^{r_{k}} λ_{i_{k}} · w_{i_{k}}^{(k)} .

Wir setzen v_{j} := ∑_{i_{j}=1}^{r_{j}} λ_{i_{j}} ·w_{i_{j}}^{(j)} ∈ W_{j}. Dann ist v_{1} +⋯+v_{k} = 0. Nach (DS2) sind von Null verschiedene v_{j} ∈ W_{j} linear unabhängig, also folgen aus v_{1} +⋯+v_{k} = 0 die Gleichungen v_{j} = 0 für alle j und dann, da (w_{i_{j}}^{(j)}) Basis von W_{j} ist, λ_{i_{j}} = 0 für alle i, j. □

Die Bedingung (DS2) ist entscheidend dafür, daß die Dimension der direkten Summe von Vektorräumen gleich der Summe der Dimensionen der Untervektorräume ist. Arbeitet man einfach nur mit der Summe (DS1) von Untervektorräumen, so gilt:

Satz 2.14 Für endlich-dimensionale Untervektorräume W_{1}, W_{2} ⊂ V gilt dim(W_{1} + W_{2}) = dim(W_{1}) + dim(W_{2}) − dim(W_{1} ∩ W_{2}).

Beweis. Wir erinnern daran, daß W_{1} ∩ W_{2} ein endlich-dimensionaler Untervektorraum ist. Man nehme eine Basis (v_{1}, …, v_{m}) und ergänze sie zu Basen (v_{1}, …, v_{m}, w_{1}, …, w_{r}) von W_{1} und (v_{1}, …, v_{m}, w′_{1}, …, w′_{s}) von W_{2}. Dann ist dim(W_{1} + W_{2}) = m + r + s sowie dim(W_{1}) = m + r und dim(W_{2}) = m + s. □

Satz 2.15 Sei V eine endlich-dimensionaler Vektorraum und W ⊂ V ein Untervektorraum. Dann gibt es einen (nicht eindeutig bestimmten) Untervektorraum W′ ⊂ V mit V = W ⊕ W′. (W′ heißt direkter Summand von V zu W.)

Beweis. Ist dim(W) = dim(V), so ist V = W ⊕ {0}. Sei nun dim(W) < dim(V), (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und (w_{1}, …, w_{r}) eine Basis von W. Nach dem Basisaustauschsatz gibt es nach möglicher Umnumerierung der Indizes eine Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V. Also ist W′ := span(v_{r+1}, …, v_{n}) ein direkter Summand. □

2.4 Lineare Abbildungen

Definition 2.7 Seien V, W Vektorräume über K. Eine Abbildung F : V → W heißt linear (genauer: K-linear) oder Homomorphismus von Vektorräumen (über K), wenn

(L) F (λ_{1}·v_{1}+λ_{2}·v_{2}) = λ_{1}·F (v_{1})+λ_{2}·F (v_{2}) für alle v_{1}, v_{2} ∈ V und λ_{1}, λ_{2} ∈ K.

Eine lineare Abbildung F : V → W heißt

• Isomorphismus, wenn F bijektiv ist,

• Endomorphismus, wenn W = V ist,

• Automorphismus, wenn F bijektiv und W = V ist.

Beispiele 2.6

i) Skalentransformationen (Dilatationen). Sei V ein reeller Vektorraum und c > 0, dann definiert F_{c} : v ↦ c · v einen Automorphismus von V (eine lineare Abbildung F_{c} : V → V, die bijektiv ist mit F_{c}^{−1} = F_{\frac{1}{c}} : v ↦ \frac{1}{c} ·v).

ii) Drehungen in der Ebene. Sei V = ℝ^{2} und F_{α} die Drehung um den Nullpunkt mit dem Winkel α,

F_{α} : (x, y) ↦ F_{α}(x, y) := (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α) .

F ist ebenfalls ein Automorphismus mit F_{α}^{−1} = F_{−α}.

iii) Matrizen. Sei V = W = ℝ^{2} und

F_{a} : (x_{1}, x_{2}) ↦ (a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}, a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}) .

Dann ist F_{a} : ℝ^{2} → ℝ^{2} eine lineare Abbildung, welche durch die Ma-

trix a = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ∈ M(2 × 2, ℝ) parametrisiert wird. Die beiden

Beispiele i) und ii) sind Spezialfälle mit a = ( \begin{matrix}c & 0 \\ 0 & c \end{matrix} ) (für V = ℝ^{2})

und a = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ). Für allgemeines a ist F ein Endomorphis-

mus. Es wird wichtig sein zu untersuchen, wann F bijektiv ist, also ein Automorphismus ist.

iv) Projektionen der Ebene auf eine Gerade durch den Nullpunkt. Sei V = ℝ^{2} und (v_{1}, v_{2}) eine Basis, z.B. v_{1} = (1, 0) und v_{2} = (0, 1). Dann definiert die eindeutige Zerlegung von v nach der Basis v = λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} zwei Projektionen

F_{1} : λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ↦ λ_{1} · v_{1} ,
F_{2} : λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ↦ λ_{2} · v_{2} .

Diese Projektionen F_{1}, F_{2} sind lineare Abbildungen.

v) In Analogie zu Beispiel iii) definieren wir F_{a} : ℝ^{2} → ℝ^{1} durch F_{a} : (x_{1}, x_{2}) ↦ a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}. Dann ist F_{a} eine lineare Abbildung, die durch die Matrix a = ( a_{11} a_{12} ) ∈ M(1 × 2, ℝ) parametrisiert wird. Beispiel iv) für v_{1} = (1, 0) und v_{2} = (0, 1) ist ein Spezialfall mit F_{1} ⇔ a = (1 0) und F_{2} ⇔ a = (0 1).

vi) Projektionen auf einen Untervektorraum. In Verallgemeinerung von Beispiel iv) sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, W ⊂ V ein Untervektorraum und V = W ⊕ W′. Dann ist die Projektion F_{W} : V → W eine lineare Abbildung, die wie folgt erhalten wird. Man nehme eine Basis (w_{1}, …, w_{r}) von W und eine Basis (w′_{r+1}, …, w′_{n}) von W′ (also n − r Vektoren von V, so daß (w_{1}, …, w_{r}, w′_{r+1}, …, w′_{n}) eine Basis von V ist) und zerlege v ∈ V nach dieser Basis, v = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} μ_{j} · w′_{j}. Dann ist F_{W} : v ↦ ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i}. Diese Abbildung F_{W} ist unabhängig vom direkten Summanden W′ (welcher nicht eindeutig war) und unabhängig von der Basis von W.

vii) Differentiation. Für ein offenes Intervall I = (a, b) ⊂ ℝ bezeichnen V = C^{1}(I) und W = C(I) die (unendlich-dimensionalen) Vektorräume der einmal stetig differenzierbaren bzw. der stetigen reellwertigen Funktionen auf I, mit (λ_{1}·f_{1}+λ_{2}·f_{2})(x) := λ_{1}·f_{1}(x)+λ_{2}·f_{2}(x) für x ∈ (a, b). Dann ist das Differential D : V → W mit D : f ↦ f′ eine lineare Abbildung. Ist V = C^{∞}(I) der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen über I, dann ist das Differential D : V → V ein Endomorphismus.

viii) Integration. Für ein abgeschlossenes Intervall I = [a, b] ⊂ ℝ bezeichne V = C(I) den (unendlich-dimensionalen) Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen über I. Dann ist das Integral ∫ : V → ℝ mit ∫ : f ↦ ∫_{a}^{b} f(x) dx eine lineare Abbildung.

Diese sehr unterschiedlichen Beispiele zeigen, daß lineare Abbildungen häufig auftreten. Kenntnisse der allgemeinen Eigenschaften von linearen Abbildungen und von Methoden zu ihrer Untersuchung sind deshalb sehr wichtig.

Satz 2.16 Sei F : V → W eine lineare Abbildung. Dann gilt

i) F (0) = 0, F (v − w) = F (v) − F (w), F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}) = λ_{1} · F (v_{1}) + ⋯ + λ_{n} · F (v_{n})

ii) Ist die Familie (v_{i})_{i∈I} linear abhängig in V, so ist die Familie (F (v_{i}))_{i∈I} linear abhängig in W

iii) Sind V′ ⊂ V und W′ ⊂ W Untervektorräume, so ist F (V′) ⊂ W und F^{−1}(W′) ⊂ V Untervektorräume.

iv) dim(F (V)) ≤ dim(V)

v) Ist F ein Isomorphismus, so ist auch das Urbild F^{−1} : W → V eine lineare Abbildung (und damit ein Isomorphismus).

Beweis. i) ist klar.

ii) Sei 0 = ∑_{i∈I} λ_{i} · v_{i}, wobei mindestens einer und insgesamt endlich viele Skalare λ_{i} ungleich 0 sind. Dann ist auch 0 = F (0) = ∑_{i∈I} λ_{i} · F (v_{i}).

iii) 0 ∈ V′ und 0 = F (0) ∈ F (V′), also F (V′) ≠ ∅. Sind w_{1}, w_{2} ∈ F (V′), dann gibt es v_{1}, v_{2} mit w_{1} = F (v_{1}) und w_{2} = F (v_{2}). Also λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2} = λ_{1}·F (v_{1})+λ_{2}·F (v_{2}) = F (λ_{1}·v_{1}+λ_{2}·v_{2}) ∈ F (V′), und F (V′) ist Untervektorraum.

Sind v_{1}, v_{2} ∈ F^{−1}(W′), so ist F (v_{1}), F (v_{2}) ∈ W′ und auch λ_{1} · F (v_{1}) + λ_{2} · F (v_{2}) ∈ W′, da W′ Untervektorraum. Also ist F (λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2}) = λ_{1} · F (v_{1}) + λ_{2} · F (v_{2}) ∈ W′ und damit λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ∈ F^{−1}(W′), und F^{−1}(W′) ist Untervektorraum.

iv) Sind F (v_{1}), …, F (v_{n}) linear unabhängig, so sind auch v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, denn das Gegenteil führt wegen ii) zu einem Widerspruch.

v) Seien w_{1}, w_{2} ∈ W und v_{1}, v_{2} ∈ V mit F (v_{1}) = w_{1} und F (v_{2}) = w_{2}. Dann ist F (λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2}) = λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2}. Anwenden von F^{−1} liefert F^{−1}(λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2}) = λ_{1} · F^{−1}(w_{1}) + λ_{2} · F^{−1}(w_{2}). □

Seien V, W Vektorräume über K, dann bezeichnen wir mit

Hom_{K}(V, W) := {F : V → W : F ist K-linear}

die Menge aller K-linearen Abbildungen (aller Homomorphismen) von V nach W. Die Menge Hom_{K}(V, W) ist ein Vektorraum mit Verknüpfungen

(λ_{1} · F_{1} + λ_{2} · F_{2})(v) := λ_{1} · F_{1}(v) + λ_{2} · F_{2}(v) .

Insbesondere ist der Nullvektor die lineare Abbildung 0 : v ↦ 0 für alle v ∈ V, und die negative Abbildung ist −F : v ↦ −F (v). Ist der Körper klar, dann schreiben wir Hom(V, W) statt Hom_{K}(V, W)

Ist V = W, so schreiben wir End(V) := Hom(V, V), und End(V) ist wieder ein Vektorraum. Entsprechend bezeichnet

Aut_{K}(V) := {F : V → V : F ist K-linear und bijektiv}

die Menge der bijektiven linearen Abbildungen von V nach V. Jedoch ist Aut(V) kein Vektorraum, denn für F ∈ Aut(V) ist 0 · F = 0 ∉ Aut(V).

Lineare Abbildungen lassen sich ganz analog wie allgemeine Abbildungen hintereinander ausführen.

Satz 2.17 Sind U, V, W Vektorräume und G : U → V sowie F : V → W lineare Abbildung, dann ist auch die Komposition F ∘G : U → W eine lineare Abbildung.

Beweis.

(F ∘ G)(λ_{1} · u_{1} + λ_{2} · u_{2}) := F (G(λ_{1} · u_{1} + λ_{2} · u_{2}))
= F (λ_{1} · G(u_{1}) + λ_{2} · G(u_{2}))
= λ_{1} · F (G(u_{1})) + λ_{2} · F (G(u_{2}))
= λ_{1} · (F ∘ G)(u_{1}) + λ_{2} · (F ∘ G)(u_{2}) .  □

Ohne Beweis erwähnen wir:

Satz 2.18 Ist V ein Vektorraum, so ist End(V) ein Ring mit der Komposition als Multiplikation, und Aut(V) ist eine Gruppe mit der Komposition als Verknüpfung.

Definition 2.8 Ist F : V → W eine lineare Abbildung, so heißt

• im(F) := F (V) ⊂ W das Bild von F,
• ker(F) := F^{−1}(0) ⊂ V der Kern von F.

Satz 2.19 Sei F : V → W linear. Dann gilt:

i) im(F) ⊂ W und ker(F) ⊂ V sind Untervektorräume.

ii) F surjektiv ⇔ im(F) = W

iii) F injektiv ⇔ ker(F) = {0}

iv) Ist F injektiv und sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, so sind auch F (v_{1}), …, F (v_{n}) linear unabhängig.

Beweis. i) ist in Satz 2.16.iii) bewiesen und ii) ist die Definition der Surjektivität.

iii) 0 ∈ ker(F). Wenn F bijektiv, so folgt aus F (v) = 0 = F (0), daß v = 0. Gibt es umgekehrt v_{1} ≠ v_{2} ∈ V mit F (v_{1}) = F (v_{2}), so wäre F (v_{1} − v_{2}) = 0, also 0 ≠ v_{1} − v_{2} ∈ ker(F).

iv) Sei λ_{1} · F (v_{1}) + ⋯ + λ_{n} · F (v_{n}) = 0, dann gilt 0 = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}) nach Linearität und λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n} = 0 nach iii). Also ist λ_{i} = 0. □

Definition 2.9 Ist F : V → W linear, so heißt die Zahl rang(F) := dim(im(F)) der Rang der Abbildung F.

Der Rang ist eine wichtige Charakterisierung einer linearen Abbildung.

Satz 2.20 Ist V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und F : V → W eine lineare Abbildung, so gilt

dim(V) = dim(im(F)) + dim(ker(F)) .

Beweis. Wir wissen dim(im(F)) ≤ dim(V) nach Satz 2.16.iv) und dim(ker(F)) ≤ dim(V) nach Satz 2.19. Seien also (v_{1}, …, v_{k}) eine Basis von ker(F) und (w_{1}, …, w_{r}) eine Basis von im(F). Wir wählen u_{1}, …, u_{r} ∈ V mit F (u_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r. Für v ∈ V gibt es eine eindeutige Darstellung F (v) = λ_{1}·w_{1}+⋯+ λ_{r} ·w_{r}. Für die so bestimmten λ_{i} konstruieren wir v′ := λ_{1} ·u_{1} +⋯+λ_{r} ·u_{r}. Dann gilt F (v − v′) = 0, also v − v′ ∈ ker(F). Es existieren also eindeutig bestimmte μ_{1}, …, μ_{k} mit v − v′ = μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k}. Also gilt

v = λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r} + μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} .

Damit ist V durch die Familie B = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k},) erzeugt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r} + μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} = 0. Anwenden von F ergibt F (λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r}) = λ_{1} · w_{1} + ⋯ + λ_{r} · w_{r} = 0, und damit λ_{i} = 0. Das liefert μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} = 0 und damit μ_{j} = 0. Damit ist B eine Basis von V aus dim(im(F)) + dim(ker(F)) Vektoren. □

Satz 2.21 Zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen V, W gibt es genau dann einen Isomorphismus, wenn dim(V) = dim(W).

Beweis. F ist Isomorphismus, wenn linear, injektiv und surjektiv. F injektiv heißt dim(ker(F)) = 0 und F surjektiv heißt im(F) = W. Aus dem vorigen Satz folgt dann die Behauptung. □

Satz 2.22 Ist dim(V) = dim(W) < ∞ und ist F linear, dann sind für F Injektivität, Surjektivität und Bijektivität äquivalent.

Beweis. injektiv⇒ surjektiv: F injektiv, dann ker(F) = {0} und dim(V) = dim(im(F)). Also dim(im(F)) = dim(W) und dann im(F) = W.

surjektiv⇒injektiv: F surjektiv, dann dim(im(F)) = dim(W) = dim(V). Also dim(ker(F)) = 0 und ker(F) = {0}, somit F injektiv. □

Satz 2.23 Sei F : V → W linear und B = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k}) eine Basis von V mit ker(F) = span(v_{1}, …, v_{k}). Mit U := span(u_{1}, …, u_{r}) gilt:

i) V = U ⊕ ker(F)

ii) Die Einschränkung F |_{U} : U → im(F) ist ein Isomorphismus.

iii) Sei P_{U} : V = U ⊕ker(F) → U die Projektion auf den ersten Summanden, definiert für v = u+v′ ∈ V mit u ∈ U und v′ ∈ ker(F) durch P_{U}(v) := u, so gilt F = F |_{U} ∘ P_{U}.

Beweis. i) ist klar, denn U und ker(F) sind linear unabhängig.

ii) ker(F |_{U}) = ker(F)∩U = {0}, also ist F |_{U} : U → im(F) injektiv, außerdem surjektiv und damit bijektiv.

iii) Für v = u + v′ ist F (v) = F (u) + F (v′) = F (u) = F |_{U}(u) = F |_{U}(P (v)). □

Zu beachten ist, daß U in der direkten Summe V = U ⊕ker(F) nicht eindeutig definiert ist. Die F |_{U} sind also, je nach Wahl von U, verschiedene Isomorphismen.

2.5 Matrizen

Die Forderung der Linearität ist eine sehr einschränkende Bedingung. Es geht nun darum zu untersuchen, durch welche Eigenschaften eine lineare Abbildung eindeutig fixiert wird.

Satz 2.24 Gegeben seien endlich-dimensionale Vektorräume V und W und Vektoren v_{1}, …, v_{r} ∈ V und w_{1}, …, w_{r} ∈ W. Dann gilt:

i) Sind die v_{1}, …, v_{r} linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung F : V → W mit F (v_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r.

ii) Ist (v_{1}, …, v_{r}) eine Basis, so gibt es genau eine lineare Abbildung F : V → W mit F (v_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r. Für diese Abbildung F gilt

• im(F) = span(w_{1}, …, w_{r})
• F injektiv ⇔ (w_{1}, …, w_{r}) ist linear unabhängig.

Beweis. ii) Jedes v ∈ V hat eine eindeutige Darstellung v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}. Wegen F (v_{i}) = w_{i} folgt aus der angenommenen Linearität F (v) = λ_{1} · w_{1} + ⋯ + λ_{r} · w_{r}. Damit gibt es höchstens eine lineare Abbildung mit diesen Eigenschaften. Zu zeigen ist aber noch, daß F wirklich linear ist. Sei dazu v′ = μ_{1}·v_{1}+⋯+μ_{r} ·v_{r} ein weiterer Vektor, dann ist

λ · v + μ · v′ = ∑_{i=1}^{r}(λλ_{i} + μμ_{i}) · v_{i} und

F (λ · v + μ · v′) = ∑_{i=1}^{r}(λλ_{i} + μμ_{i}) · w_{i} = λ( ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · w_{i}) + μ( ∑_{i=1}^{r} μ_{i} · w_{i})
= λ · F (v) + μ · F (v′) .

Klar ist, daß im(F) ⊂ span(w_{1}, …, w_{r}). Andererseits ist w = λ_{1}·w_{1}+⋯+λ_{r}w_{r} = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}) und damit span(w_{1}, …, w_{r}) ⊂ im(F).

Sei (w_{1}, …, w_{r}) linear abhängig, so gibt es mindestens ein λ_{i} ≠ 0, so daß 0 = λ_{1}w_{1} + … λ_{r}w_{r} = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}). Da (v_{1}, …, v_{r}) eine Basis ist, ist λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} ≠ 0, und damit ist F nicht injektiv. Das bedeutet F injektiv ⇒ (w_{1}, …, w_{r}) linear unabhängig. Ist umgekehrt (w_{1}, …, w_{r}) linear unabhängig, dann betrachten wir F (v) = 0 mit v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}, also F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}) = λ_{1} · w_{1} + ⋯ + λ_{r} · w_{r}, was zu λ_{i} = 0 und damit v = 0 führt. Also ist ker(F) = {0} und F ist injektiv.

i) Ist (v_{1}, …, v_{r}) linear unabhängig, aber keine Basis, dann können wir eine Basis (v_{1}, …, v_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V finden. Für diese geben wir beliebige Vektoren w_{r+1}, …, w_{n} vor und finden für jede Wahl von w_{r+1}, …, w_{n} eine lineare Abbildung F mit F (v_{i}) = w_{i}. □

Satz 2.25 Ist B = (w_{1}, …, w_{n}) eine Basis eines Vektorraumes W, so gibt es einen genau einen Isomorphismus Φ_{B} : K^{n} → W mit Φ_{B}(e_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ n, wobei (e_{i})_{i=1,...,n} die Standardbasis ist.

Beweis. Folgt aus Satz 2.24.ii) □

Ist also die Basis B eines n-dimensionalen Vektorraums V gegeben, dann kann man V mit K^{n} identifizieren über den Isomorphismus Φ_{B}. Mir werden nun sehen, wie das auch die lineare Abbildung festlegt.

Satz 2.26 Zu jeder linearen Abbildung F : K^{n} → K^{m} gibt es genau eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K) mit F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i} für alle 1 ≤ j ≤ n.

Beweis. Wir setzen F (e_{j}) = w_{j} ∈ K^{m} für j = 1, …, n und zerlegen w_{j} nach der Basis (e_{i})_{i=1,...,m}: w_{j} = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i}. □

Ein Vektor v ∈ K^{n} hat bezüglich der Standardbasis die Darstellung v = ∑_{j=1}^{n} x_{j} · e_{j}. Dabei sind die Skalare x_{j} die Koordinaten von v. Dann gilt für die lineare Abbildung aus Satz 2.26

F (v) = F ( ∑_{j=1}^{n} x_{j} · e_{j}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j} · F (e_{j})  (Linearität von F)

= ∑_{j=1}^{n} x_{j} · ( ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i})  (Satz 2.26)

= ∑_{i=1}^{m} ( ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}) · e_{i}  (Umordnen der Summen)

Nun können wir F (v) = w ∈ K^{m} wieder nach der Standardbasis des K^{m} zerlegen und erhalten so für die Koordinaten y_{i} von w = ∑_{i=1}^{m} y_{i} · e_{i}

F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i} , v = ∑_{j=1}^{n} x_{j} · e_{j} , F (v) = w = ∑_{i=1}^{m} y_{i} · e_{i} ⇒ y_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} .

(*)

Es ist nun üblich (und zweckmäßig), die Koordinaten der Vektoren v ∈ K^{n} und w ∈ K^{m} als sogenannte Spaltenvektoren darzustellen. Wir schreiben

v = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) , w = ( y_{1} ; ⋮ ; y_{m} ) .

Die Gleichung (*) schreibt sich nun als

( y_{1} ; ⋮ ; y_{i} ; ⋮ ; y_{m} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1j} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i1} & … & a_{ij} & … & a_{in} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mj} & … & a_{mn} \end{matrix} ) · ( x_{1} ; ⋮ ; x_{j} ; ⋮ ; x_{n} ) .

Die Rechenregel zum Erhalt der i-ten Koordinate w_{i} ist also, die i-te Zeile (a_{i1} … a_{ij} … a_{in}) der Matrix A = (a_{ij}) komponentenweise mit dem Spaltenvektor v zu multiplizieren, d.h. man multipliziert den 1. Eintrag der Zeile (also a_{i1}) mit dem 1. Eintrag der Spalte (also x_{1}), dann den 2. Eintrag der Zeile mit dem 2. Eintrag der Spalte usw. bis zur Multiplikation des n. Eintrags der Zeile mit dem n. Eintrag der Spalte. Schließlich addiert man diese n Zahlen. Das so konstruierte Produkt · : M(m × n, K) × K^{n} → K^{m} heißt das Matrixprodukt einer m × n-Matrix mit einem n-Spaltenvektor. Entsprechend schreiben wir w = A · v für das Matrixprodukt der Matrix A = (a_{ij}) mit dem Spaltenvektor v.

Wir sehen also, daß wir auf diese Weise Matrizen A ∈ M(m × n, K) mit linearen Abbildungen F_{A} : K^{n} → K^{m} identifizieren können. Diese Identifikation läßt sich verallgemeinern auf beliebige endlich-dimensionale Vektorräume, sobald eine Basis festgelegt ist.

Satz 2.27 Gegeben seien K-Vektorräume V mit Basis A = (v_{1}, …, v_{n}) und W mit Basis B = (w_{1}, …, w_{m}).

i) Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F : V → W genau eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), so daß F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · w_{i}.

ii) Die so erhaltene Abbildung

M_{B}^{A} : Hom(V, W) → M(m × n, K) , M_{B}^{A} : F ↦ A = M_{B}^{A}(F)

ist ein Isomorphismus von Vektorräumen über K, und insbesondere gilt

M_{B}^{A}(λ · F + μ · G) = λ · M_{B}^{A}(F) + μ · M_{B}^{A}(G) .

Beweis. i) Durch Komposition der Isomorphismen Φ_{A} und Φ_{B} aus Satz 2.25 mit der eindeutigen Matrix aus Satz 2.26:

F = Φ_{B} ∘ A ∘ (Φ_{A})^{−1} : V → W , F (v) := Φ_{B}(A · ((Φ_{A})^{−1}(v))) .

Tatsächlich ist zunächst (Φ_{A})^{−1}(v_{j}) = e_{j} ∈ K^{n}. Matrixmultiplikation liefert A · ((Φ_{A})^{−1}(v_{j})) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i} ∈ K^{m}. Anwenden von Φ_{B} liefert Φ_{B}(A · ((Φ_{A})^{−1}(v_{j}))) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · w_{i} ∈ W.

ii) Die Konstruktion liefert

A = M_{B}^{A}(F) = (Φ_{B})^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} : K^{n} → K^{m} .

Als Komposition linearer Abbildungen ist M_{B}^{A} linear. Da A eine Basis ist, gibt es nach Satz 2.24.ii) genaus eine lineare Abbildung F mit F (v_{j}) = w̃_{j} := ∑_{i=1}^{m} a_{ij}·w_{i}. Also ist M_{B}^{A} bijektiv. □

Sind also die Basen der Vektorräume V und W festgelegt, dann kann man die Vektorräume mit den Standardräumen K^{n}, K^{m} der Koordinaten identifizieren und lineare Abbildungen F : V → W mit Matizen A ∈ M(m × n, K). Eine oftmals sinnvolle Wahl besteht aus Basen, in denen für die Koordinatenmatrix die Einheitsmatrix entsteht:

Definition 2.10 Die Matrix

E_{r} = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \end{matrix} ) ∈ M(r × r, K) ,

in der sämtliche Einträge auf der Diagonalen gleich 1 und alle anderen Einträge gleich 0 sind, heißt (r × r)-Einheitsmatrix. Ihre Komponenten sind also E_{r} = (δ_{ij}), wobei

δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j \\ 0 & für i ≠ j \end{matrix}

das Kronecker-Symbol ist.

Satz 2.28 Sei F : V → W linear und dim(V) = n, dim(W) = m, dim(im(F)) = rang(F) = r. Dann gibt es Basen A von V und B von W mit

M_{B}^{A}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(n−r)} \\ 0_{(m−r)×r} & 0_{(m−r)×(n−r)} \end{matrix} ) .

Dabei ist 0_{p×q} ∈ M(p × q, K) die Matrix, in der sämtliche Einträge gleich 0 sind.

Beweis. Wir wählen eine Basis (w_{1}, …, w_{r}) von im(F) und ergänzen sie zu einer Basis B = (w_{1}, …, w_{r}, w_{r+1}, …, w_{m}) von W. Dann wählen wir wie im Beweis von Satz 2.20 Vektoren u_{1}, … u_{r} ∈ V mit F (u_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r und ergänzen sie mit einer Basis (v_{1}, …, v_{k}) von ker(F) zu einer Basis A = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k}) von V. Dann hat M_{B}^{A}(F) die angegebene Form. □

2.6 Multiplikation von Matrizen

Wir wissen, daß die Komposition von linearen Abbildungen wieder eine lineare Abbildung ist, und daß nach Wahl der Basen jeder linearen Abbildung eine eindeutig bestimmte Matrix entspricht. Am einfachsten ist die Situation für die Vektorräume K^{n} mit der Standardbasis. Wir bezeichnen in diesem Fall mit M_{m}^{n} := M_{B}^{A} : Hom(K^{n}, K^{m}) → M(m × n, K) den Isomorphismus aus Satz 2.27.

Seien nun G : K^{r} → K^{n} und F : K^{n} → K^{m} lineare Abbildungen, die bezüglich der Standardbasen durch Matrizen B ∈ M(n × r, K) und A ∈ M(m×n, K) beschrieben werden. Dann ist F ∘G : K^{r} → K^{m} wieder eine lineare Abbildung, welche durch eine Matrix C ∈ M(m × r, K) beschrieben wird. Es ist naheliegend, die Matrix C als Produkt C = A · B der Matrizen A und B zu betrachten. Das ist eine sinnvolle Bezeichnung, da dann

F ∘ G = (M_{m}^{n})^{−1}(A) ∘ (M_{n}^{r})^{−1}(B) = (M_{m}^{r})^{−1}(A · B) .

Man sagt, die Komposition der Homomorphismen F und G induziert über die mit M_{q}^{p} bezeichneten Vektorraum-Isomorphismen das Produkt von Matrizen. Wichtig ist dabei, daß nur “aneinander passende” Abbildungen komponiert werden können, so daß nur Produkte

· : M(m × n, K) × M(n × r, K) → M(m × r, K)

erklärt sind. Die Zahl der Spalten der linken Matrix muß also gleich der Zahl der Zeile der rechten Matrix sein.

Da die Komposition von (sogar allgemeinen, insbesondere linearen) Abbildungen assoziativ ist (Satz 1.2), ist auch das resultierende Matrixprodukt assoziativ, d.h. für alle A ∈ M(m × n, K), B ∈ M(n × r, K) und C ∈ M(r × s, K) gilt (A · B) · C = A · (B · C).

Nach diesen abstrakten Überlegungen werden wir das Matrixprodukt explizit für die Komponenten der Matrizen aufschreiben. Seien dazu A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), B = (B_{jk}) ∈ M(n × r, K) und A · B = C = (c_{ik}) ∈ M(r × s, K) die Matrizen, die den Abbildungen F : K^{n} → K^{m}, G : K^{r} → K^{n} und F ∘ G : K^{r} → K^{m} entsprechen. Dann haben wir 2.26

(F ∘ G)(e_{k}) = ∑_{i=1}^{m} c_{ik} · e_{i}  (Satz 2.26 für F ∘ G)
= F (G(e_{k}))  (Definition von F ∘ G)
= F ( ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · e_{j})  (Satz 2.26 für G)

= ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · F (e_{j})  (Linearität von F)

= ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · ( ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i})  (Satz 2.26 für F)

= ∑_{i=1}^{m} ( ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}) · e_{i}  (Umordnen der Summen)

Da die (e_{i})_{i=1,...,m} eine Basis bilden, folgt aus der Eindeutigkeit der Koeffizienten die Multiplikationsregel für Matrizen

c_{ik} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} .

Ein Spezialfall dieser Rechenregel ist das schon zuvor erklärte Matrixprodukt A · v ∈ K^{m} einer Matrix A ∈ M(m × n, K) mit einem Zeilenvektor v ∈ K^{n}.

Beispiele 2.7 Eine Drehung in der Ebene um den Ursprung mit Winkel α

wird durch die Matrix A = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ) beschrieben. Entsprechend be-

schreibt B = ( \begin{matrix}cos β & − sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} ) eine Drehung mit Winkel β. Die Hintereinan-

derausführung beider Drehungen ist durch das Matrixprodukt gegeben:

A · B = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos β & − sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos α cos β − sin α sin β & − sin α cos β − cos α sin β \\ sin α cos β + cos α sin β & cos α cos β − sin α sin β \end{matrix} ) .

Andererseits ist die Hintereinanderausführung beider Drehungen wieder eine Drehung mit Gesamtwinkel α + β. Daraus folgen die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus,

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β , cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

Satz 2.29 Sind Matrizen A, A′ ∈ M(m × n, K), B, B′ ∈ M(n × s, K) und C ∈ M(r × s, K) gegeben sowie λ ∈ K, so gilt:

i) A · (B + B′) = A · B + A · B′ und (A + A′) · B = A · B + A′ · B (Distributivgesetze)

ii) A · (λ · B) = (λ · A) · B = λ · (A · B)

iii) (A · B) · C = A · (B · C) (Assoziativgesetz)

iv) E_{m} · A = A · E_{n} = A (Neutralität der Einheitsmatrix)

Beweis. i) und ii) folgen aus der Summendarstellung des Matrixprodukts und iii) und iv) aus der Konstruktion über Homomorphismen der Standardräume. □

Im weiteren schreiben wir oft AB statt A · B für das Produkt der Matrizen.

Definition 2.11 Die Abbildung t : M(m × n, K) → M(n × m, K) definiert durch t : A = (a_{ij}) ↦ A^{t} := (a_{ji}) heißt Transposition von Matrizen.

Satz 2.30 Wenn das Matrixprodukt AB erklärt ist, dann gilt (A · B)^{t} = B^{t} · A^{t}.

Beweis. Sei A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), B = (b_{jk}) ∈ M(n × r, K) und C = AB = (c_{ik}) ∈ M(m × r, K). Dann ist c_{ik} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} und C^{t} = (c′_{ki}) mit c′_{ki} = c_{ik}. Weiter ist B^{t} = (b′_{kj}) mit b′_{kj} = b_{jk} und A^{t} = (a′_{ji}) mit a′_{ji} = a_{ij}. Dann ist B^{t}A^{t} = D = (d_{ki}) mit d_{ki} = ∑_{j=1}^{n} b′_{kj}a′_{ji} = ∑_{j=1}^{n} b_{jk}a_{ij} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} = c_{ik} = c′_{ki} und somit D = C^{t}. □.

Satz 2.31 Die Menge M(n, K) := M(n × n, K) der quadratischen Matrizen ist ein Ring. □

Definition 2.12 Eine quadratische Matrix A ∈ M(n, K) heißt invertierbar, wenn es ein A^{−1} ∈ M(n, K) gibt mit A · A^{−1} = A^{−1} · A = E_{n}.

Satz 2.32 Die Menge

GL(n, K) = {A ∈ M(n, K) : A ist invertierbar}

der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung und der Einheitsmatrix E_{n} als neutralem Element.

Diese Gruppe GL(n, K) heißt die allgemeine lineare Gruppe.

Beweis. Da E_{n} ein neutrales Element ist, ist nur zu zeigen, daß aus A, B ∈ GL(n, K) auch AB ∈ GL(n, K) folgt. Die Matrix B^{−1}A^{−1} erfüllt (B^{−1}A^{−1})AB = E_{n} unter Verwendung des Assoziativgesetzes. Aus den allgemeinen Gruppeneigenschaften folgt, daß das neutrale Element und das zu A inverse Element eindeutig sind. □

Unter Verwendung des Isomorphismus zwischen Matrizen A ∈ M(m × n, K) und linearen Abbildungen F : K^{n} → K^{m} definieren wir den Rang einer Matrix A ∈ M(m × n, K) zu rang(A) = dim(A · K^{n}), wobei A · K^{n} = {A · v : v ∈ K^{n}} ⊂ K^{m}.

Satz 2.33

i) Für A ∈ M(m × n, K) ist rang(A) = rang(A^{t}).

ii) A ∈ M(n, K) ist genau dann invertierbar, wenn rang(A) = n.

iii) Für A ∈ GL(n, K) gilt (A^{t})^{−1} = (A^{−1})^{t}.

Beweis. i) Die Definition der Dimension eines Vektorraumes ist unabhängig von der Wahl der Basis. Wir können nach Satz 2.28 angepaßte Basen A in

K^{n} und B in K^{m} wählen, so daß M_{B}^{A}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(n−r)} \\ 0_{(m−r)×r} & 0_{(m−r)×(n−r)} \end{matrix} ). Die

transponierte Matrix entspricht dann der Abbildung F^{t} : K^{m} → K^{n} mit

M_{A}^{B}(F^{t}) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(m−r)} \\ 0_{(n−r)×r} & 0_{(n−r)×(r−r)} \end{matrix} ). Damit ist dim(im(F^{t})) = r = dim(im(F))

und somit rang(A^{t}) = rang(A).

ii) Ist rang(A) = rang(F) = n, dann ist F surjektiv nach Satz 2.19.ii) und dann bijektiv nach Satz 2.22.

iii) Wir haben (A^{−1})^{t}A^{t} = (AA^{−1})^{t} = E_{n}^{t} = E_{n}, so daß (A^{−1})^{t} das Inverse zu A^{t} ist. □

2.7 Lineare Gleichungssysteme

Definition 2.13 Eine Teilmenge X ⊂ V eines K-Vektorraumes V heißt affiner Unterraum, falls es ein v ∈ V und einen Untervektorraum W ⊂ V gibt, so daß

X = v + W := {x ∈ V : es gibt ein w ∈ W mit x = v + w} .

Zur Veranschaulichung folgendes Beispiel. Ist V = ℝ^{2} (also die Ebene), dann sind die eindimensionalen Untervektorräume W die Geraden durch den Nullpunkt. Ein aus W hervorgehender affiner Unterraum X = v + W ist dann eine Gerade, die nicht durch 0, sondern durch v geht.

Satz 2.34 Ist X = v + W ein affiner Unterraum, dann gilt i) Für beliebiges v′ ∈ X ist X = v′ + W.

ii) Ist v′ ∈ V und W′ ⊂ V ein Untervektorraum mit v′ + W′ = v + W, so folgt W = W′ und v′ − v ∈ W.

Beweis. i) Wegen v′ ∈ X gibt es ein w′ ∈ W mit v′ = v + w′. Sei x = v + w ∈ X ein beliebiges Element, so schreibt sich x = v′ + w − w′. Also ist X ⊂ v′ + W. Durch Vertauschen von v, v′ folgt v′ + W = X.

ii) Seien x, x′ ∈ X = v + W, dann ist x − x′ ∈ W. Gäbe es eine zweite Darstellung X = v′ + W′, dann ist x − x′ ∈ W′ für alle x, x′, also W = W′. Dann folgt v′ − v ∈ W. □

Da also in einem affinen Unterraum X = v+W der Untervektorraum eindeutig ist, definieren wir die Dimension dim(X) := dim(W) wenn X = v + W.

Definition 2.14 Für eine gegebene Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), einen gegebenen Vektor b = (b_{i}) ∈ K^{m} und einen unbekannten (und zu bestimmenden Vektor) x = (x_{j}) ∈ K^{n} heißt

A · x = b  (*)

ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Unbekannten. Die aus (*) abgeleitete Gleichung

A · x = 0  (**)

heißt das zu (*) gehörende homogene System. Die Matrix A = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} )

heißt die Koeffizientenmatrix und die Matrix (A, b) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ) ∈

M(m × (n + 1), K) heißt erweiterte Koeffizientenmatrix. Die Menge

Lös(A, b) := {x ∈ K^{n} : Ax = b}

heißt Lösungsraum des linearen Gleichungssystems.

In Komponentenschreibweise besteht also ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} = b_{i} zur Bestimmung der n unbekannten Koeffizienten x_{1}, …, x_{n}. Zunächst werden wir den Lösungsraum abstrakt charakterisieren und dann ein Verfahren (den Gaußschen Algorithmus) angeben, um den Lösungsraum in konkreten Beispielen zu bestimmen.

Ist F : K^{n} → K^{m} die lineare Abbildung, welche in der Standardbasis durch die Matrix A ∈ M(m×n, K) gegeben ist, so ist Lös(A, b) = F^{−1}(b) und insbesondere Lös(A, 0) = F^{−1}(0) = ker(F). Damit gilt stets 0 ∈ Lös(A, 0), und diese Lösung heißt die triviale Lösung des homogenen Systems.

Satz 2.35 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b aus m Gleichungen mit n Unbekannten. Ist rang(A) = r, dann gilt für die Lösungsräume:

i) Lös(A, 0) ⊂ K^{n} ist ein Untervektorraum der Dimension n − r.

ii) Lös(A, b) ⊂ K^{n} ist entweder leer oder ein affiner Raum der Dimension n − r. Ist v ∈ Lös(A, b) eine beliebige Lösung, dann gilt Lös(A, b) = v + Lös(A, 0).

Beweis. i) Lös(A, 0) = ker(F) ist nach Satz 2.19 ein Untervektorraum. Nach Satz 2.20 ist seine Dimension dim(ker(F)) = dim(K^{n}) − dim(im(F)) = n − r.

ii) Seien v, v′ ∈ Lös(A, b) zwei Lösungen des linearen Gleichungssystems, also Av = b und Av′ = b. Dann ist A(v − v′) = 0, also v − v′ ∈ Lös(A, 0). □

Der Satz besagt, daß man eine allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems erhält, indem man zu einer spezielen Lösung die allgemeine Lösung des homogenen Systems addiert. Sei also (w_{1}, …, w_{n−r}) eine Basis von Lös(A, 0) und v ∈ Lös(A, b) eine beliebige spezielle Lösung des inhomogenen Systems, so ist

Lös(A, b) = v + K · w_{1} + ⋯ + K · w_{n−r} .

Satz 2.36 Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist genau dann nicht leer, wenn rang(A, b) = rang(A).

Beweis. Die Matrizen A ∈ M(m × n, K) und (A, b) ∈ M(m × (n + 1), K) beschreiben lineare Abbildungen A : K^{n} → K^{m} bzw. A′ : K^{n+1} → K^{m} mit A(e_{j}) = A′(e_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}e_{i} für 1 ≤ j ≤ n und A′(e_{n+1}) = b. Damit ist im(A) ⊂ im(A′), also rang(A) ≤ rang(A′), sowie b ∈ im(A′). Ist nun rang(A) = rang(A′), dann ist im(A) = im(A′) und damit b ∈ im(A), das Gleichungssystem ist also lösbar.

Ist rang(A) < rang(A′), dann muß es Vektoren v ∈ im(A′) geben, die nicht in im(A) liegen. Da span(A′(e_{j}))_{j=1,...,n} ⊂ im(A), bleiben nur die b enthaltenden Linearkombinationen, welche nicht in im(A) liegen. Das bedeutet b ∉ im(A). □

Insbesondere ist der Lösungsraum Lös(A, b) für A ∈ M(m × n, K) nichtleer, wenn rang(A) = m, da dann die durch A beschriebene lineare Abbildung surjektiv ist. Das bedeutet, daß Ax = b für jedes b ∈ K^{m} lösbar ist. In diesem Fall heißt das lineare Gleichungssystem universell lösbar. Ist rang(A) < m, so gibt es nicht für alle b ∈ K^{m} eine Lösung. Es ist nur für jene b ∈ K^{m} lösbar, für die die rang(A) = rang(A, b) gilt.

Wir sagen, das lineare Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar, wenn Lös(A, b) nur aus einem Element besteht.

Satz 2.37 Das lineare Gleichungssystem Ax = b für A ∈ M(m × n, K) und b ∈ K^{m} ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rang(A) = rang(A, b) = n.

Beweis. Nach Satz 2.36 gibt es eine Lösung, und nach Satz 2.35 ist diese eindeutig. □

Ist speziell A ∈ M(n, K) eine quadratische Matrix und gilt rang(A) = n, dann ist A invertierbar nach Satz 2.33, und die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist gegeben durch x = A^{−1}b.

2.8 Das Gaußsche Eliminationsverfahren

Definition 2.15 Eine Matrix A ∈ M(m × n, K) heißt in Zeilenstufenform, falls für alle i = 2, …, m gilt:

• Sind die ersten (j − 1) Einträge der (i − 1)-ten Zeile gleich 0, so sind auch die ersten j Einträge der i-ten Zeile gleich 0, wobei j = 1, …, n.

Im allgemeinen wird kein Eintrag (j − 1 = 0) der ersten (i − 1 = 1) Zeile mit 0 beginnen. Dann bedeutet die Definition, daß der 1. Eintrag (j = 1) der 2. Zeile (i = 2) gleich 0 ist. Ist der erste (j − 1 = 1) Eintrag der ersten (i − 1 = 1) Zeile gleich 0, so muß der 2. Eintrag (j = 2) der 2. Zeile (i = 2) gleich 0 sein, usw.

Beispiele 2.8 Ein Beispiel für eine Matrix in Zeilenstufenform ist also:

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Satz 2.38 Ist eine Matrix A ∈ M(m × n, K) in Zeilenstufenform gegeben, dann ist der Rang von A gleich der Anzahl der Zeilen, in denen nicht nur Nullen stehen.

Beweis. Für (e_{j})_{j=1,...,n} ∈ K^{n} ist span(A·e_{j})_{j=1,...,n} = K^{r}. Dabei ist K^{r} dargestellt als Untervektorraum von K^{m}, so daß bezüglich der Standardbasis von K^{m} die letzten m − r Komponenten identisch Null sind. □

Satz 2.39 Ist A ∈ M(m × n, K) in Zeilenstufenform gegeben und ist rang(A) = r, dann ist das lineare Gleichungssystem Ax = b genau dann lösbar, wenn b_{r+1} = ⋯ = b_{m} = 0.

Beweis. Folgt aus Satz 2.36. □

Wir geben nun ein Verfahren zur Lösung eines in Zeilenstufenform gebegenen linearen Gleichugssystems Ax = b mit rang(A) = rang(A, b) an. Zur Vereinfachung der Bezeichnungen werden die Spalten umnumeriert, so daß a_{ii} ≠ 0 entsteht für 1 ≤ i ≤ r.

In Komponenten schreibt sich das Gleichungssystem ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} = b_{i}. Dabei ist j ein Summationsindex, und das geordnete n-Tupel (1, …, n) kann durch eine beliebige Permutation (π(1), π(2), …, π(n)) ersetzt werden, wobei π eine bijektive Abbildung der Menge 1, …, n auf sich selbst ist. Das geschieht wie folgt:

• Ist a_{11} = 0, dann tauschen wir den Summationsindex j in zyklischer

Weise:

n ← 1 ← 2 ← ⋯ ← n − 1 ← n .

Das bedeutet, wir nehmen die erste Spalte weg und setzen sie ans Ende wieder an, alle anderen Spalten rücken um eine nach links. Damit sich das Gleichungssystem nicht ändert, sind ebenfalls die Unbekannten x_{i} an die entsprechende Stelle zu bringen. Dazu führen wir den Spaltenvektor y ∈ K^{n}, zunächst mit Komponenten y_{i} = x_{i}. Diese sind nun zyklisch umzubenennen in y_{j} ↦ y_{j−1} für 2 ≤ j ≤ n und y_{1} ↦ y_{n}. Dabei ändert sich nichts an den Indizes i, also an den Zeilen von A und dem Spaltenvektor b.

Das Verfahren wird solange wiederholt, bis (für die neue Matrix A) a_{11} ≠ 0. Die neue Matrix A bleibt bei diesen Umnumerierungen in Zeilenstufenform.

• Wir haben also a_{11} ≠ 0 und a_{21} = 0, da A in Zeilenstufenform. Ist a_{22} = 0, so lassen wir die Spalte j = 1 unverändert und permutieren j = 2, …, n in zyklischer Weise, d.h. wir bringen die 2. Spalte ans Ende und benennen y_{j} ↦ y_{j−1} für 3 ≤ j ≤ n und y_{2} ↦ y_{n}.

Das Verfahren wird solange wiederholt, bis a_{22} ≠ 0.

• Dann betrachtet man a_{33} und erreicht schließlich durch wiederholte zyklische Permutationen des Summationsindex, daß alle a_{ii} ≠ 0 sind für 1 ≤ i ≤ r, während a_{ij} = 0 für i > r und alle j.

In Beispiel 2.8 haben wir zunächst a_{33} = 0, was zu folgender äquivalenter Umformung führt:

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 3 \\ 0 & 9 & 7 & 6 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{3} \end{matrix} ) .

Nach Lösung des Gleichungssystems (im folgenden beschrieben) sind die y_{i} wieder durch die x_{i} auszudrücken.

Das Gleichungssystem A · y = b wird nun von der r-ten Zeile aufwärts gelöst. Die Komponenten

y_{r+1} = w_{1} ∈ K , y_{r+2} = w_{2} ∈ K , …, y_{n} = w_{n−r} ∈ K

sind beliebig zu wählen, da diese Vektoren gerade den (n − r)-dimensionalen Untervektorraum aufspannen, welcher nach Satz 2.35 die Lösung des homogenen Systems liefert. Damit schreibt sich die r-te Gleichung als a_{rr}y_{r} + ∑_{j=r+1}^{n} a_{rj}w_{j−r} = b_{r}. Da a_{rr} ≠ 0, erhält man

y_{r} = \frac{1}{a_{rr}} (b_{r} − ∑_{j=r+1}^{n} a_{rj}w_{j−r}) .

Ist n = r, so haben wir natürlich y_{r} = \frac{b_{r}}{a_{rr}}. Wir schreiben diese Gleichung etwas allgemeiner als

y_{r} = ∑_{i=1}^{r} d_{ri}b_{i} + ∑_{l=1}^{k} c_{rl}w_{l}

mit k = n − r. Wir lesen d_{rr} = \frac{1}{a_{rr}} und c_{rl} = −\frac{a_{r,r+l}}{a_{rr}} ab. Alle d_{ir} mit i < r verschwinden.

Damit ist die (r − 1)-te Gleichung gegeben durch

a_{r−1,r−1}y_{r−1} + a_{r−1,r}y_{r} + ∑_{j=r+1}^{n} a_{r−1,j}y_{j} = b_{r−1} ,

aus der sich durch Einsetzen von y_{r} die Lösung

y_{r−1} = ∑_{i=1}^{r} d_{r−1,i}b_{i} + ∑_{l=1}^{k} c_{r−1,l}w_{l}

ergibt. Auf diese Weise geht man Schritt für Schritt aufwärts in den Zeilen der Matrix und bestimmt so alle y_{1}, …, y_{r} in Abhängigkeit der b_{i} und der Parametrisierung w_{1}, …, w_{k} des k = (n − r)-dimensionalen Untervektorraums:

y_{j} = ∑_{i=1}^{r} d_{ji}b_{i} + ∑_{l=1}^{k} c_{jl}w_{l} ,  1 ≤ j ≤ r ,
y_{j} = w_{j−r} ,  r < j ≤ n .

In Matrixschreibweise bedeuten diese Gleichungen y = D · b + C · w mit

D = ( \begin{matrix}D′ \\ 0_{k×r} \end{matrix} ) ∈ M(n × r, K) ,  D′ = (d_{ji}) ∈ M(r × r, K) ,
C = ( \begin{matrix}C′ \\ E_{k} \end{matrix} ) ∈ M(n × k) ,  C′ = (c_{jl}) ∈ M(r × k, K) .

Wir erhalten also lineare Abbildungen

φ : K^{r} → K^{n} ,  φ : b ↦ D · b ,
Φ_{0} : K^{k} → K^{n} ,  Φ_{0} : w ↦ C · w .

sowie als Summe eine Abbildung

Φ_{b} : K^{k} → K^{n} ,  Φ_{b}(w) := φ(b) + Φ_{0}(w) .

Die Abbildung Φ_{0} ist injektiv, denn C·w = ( \begin{matrix}C′ · w \\ w \end{matrix} ), so daß ker(Φ_{0}) = \{0\}. Aus

Satz 2.20 folgt dann dim(im(Φ_{0})) = k. Wir wissen, daß Φ_{0}(K^{n}) ⊂ Lös(A, 0), denn y = C ·w ist nach Konstruktion eine Lösung von A·y = b. Da dim(Lös(A, 0)) = k nach Satz 2.35, folgt aus der Gleichheit der Dimensionen Φ_{0}(K^{k}) = Lös(A, 0).

Da y = φ(b) nach Konstruktion eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems A·y = b ist, gilt Lös(A, b) = φ(b)+Lös(A, 0) = Φ_{b}(K^{k}). Insgesamt ist damit der folgende Satz bewiesen:

Satz 2.40 Sei A ∈ M(m × n, K) in (spezieller) Zeilenstufenform gegeben mit rang(A, b) = rang(A) = r und a_{ii} ≠ 0 für 1 ≤ i ≤ r. Dann hat die zuvor konstruierte b-abhängige Parametrisierung Φ_{b} : K^{n−r} → Lös(A, b) ⊂ K^{n} folgende Eigenschaften:

i) Φ_{0} : K^{n−r} → Lös(A, b) ⊂ K^{n} ist ein Isomorphismus von Vektorräumen.

ii) Φ_{b} : K^{n−r} → Lös(A, b) ⊂ K^{n} ist für jedes b ∈ K^{r} bijektiv.

iii) Es gibt eine lineare Abbildung φ : K^{r} → K^{n}, so daß für alle b ∈ K^{r} gilt: Φ_{b} = φ(b) + Φ_{0} und Lös(A, b) = φ(b) + Lös(A, 0).

Man erkennt hier die Bedeutung der Vektorraum-Techniken, die uns garantieren, daß das Verfahren wirklich alle Lösungen generiert.

Wir lösen Beispiel 2.8 für geeignetes b:

( \begin{matrix}1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 3 \\ 0 & 9 & 7 & 6 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \\ b_{5} \end{matrix} ) .

Die Lösbarkeit (Rangbedingung) erfordert b_{5} = 0. Dann ist y_{5} = \underline{x_{6} = w_{1}} und y_{6} = \underline{x_{3} = w_{2}} beliebig zu wählen. Die 4. Gleichung liefert \underline{x_{5}} = b_{4}−2x_{6} \underline{= b_{4} − 2w_{1}}. Die 3. Gleichung wird x_{4} + 2x_{5} + 3x_{6} = x_{4} + (2b_{4} − 4x_{6}) + 3x_{6} = b_{3}, also \underline{x_{4} = b_{3} − 2b_{4} + w_{1}}. Nun ist die 2. Gleichung

9x_{2} + 7x_{4} + 6x_{5} + 5x_{6} + 8x_{3}
= 9x_{2} + (7b_{3} − 14b_{4} + 7w_{1}) + (6b_{4} − 12w_{1}) + 5w_{1} + 8w_{2}
= 9x_{2} + 7b_{3} − 8b_{4} + 8w_{2} = b_{2} ,

also \underline{x_{2} = \frac{1}{9}b_{2} − \frac{7}{9}b_{3} + \frac{8}{9}b_{4} − \frac{8}{9}w_{2}}. Schließlich entsteht für die erste Gleichung

x_{1} + 2x_{2} + 4x_{4} + 5x_{5} + 6x_{6} + 3x_{3} = x_{1} + (\frac{2}{9}b_{2} − \frac{14}{9}b_{3} + \frac{16}{9}b_{4} − \frac{16}{9}w_{2}) + (4b_{3} − 8b_{4} + 4w_{1}) + (5b_{4} − 10w_{1}) + 6w_{1} + 3w_{2} = x_{1} + \frac{2}{9}b_{2} + \frac{22}{9}b_{3} − \frac{11}{9}b_{4} + \frac{11}{9}w_{2} = b_{1} ,

und damit \underline{x_{1} = b_{1} − \frac{2}{9}b_{2} − \frac{22}{9}b_{3} + \frac{11}{9}b_{4} − \frac{11}{9}w_{2}}. Damit erhalten wir in Matrixform

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & −\frac{2}{9} & −\frac{22}{9} & \frac{11}{9} \\ 0 & \frac{1}{9} & −\frac{7}{9} & \frac{8}{9} \\ 0 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & −\frac{11}{9} \\ 0 & −\frac{8}{9} \\ 1 & 0 \\ −2 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) .

Wir geben nun eine Strategie an, um ein lineares Gleichungssystem, dessen Matrix nicht in Zeilenstufenform gegeben ist, in ein dazu äquivalentes Gleichungssystem in Zeilenstufenform zu überführen. Dazu werden wir Umformungen der Zeilen vornehmen; die Spalten werden nicht verändert. Wir betrachten die folgenden elementaren Zeilenumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix:

Typ I Vertauschen der i-ten mit der k-ten Zeile.

Typ II Ersetzen der k-ten Zeile durch die Summe aus der k-ten Zeile und dem λ-fachen der i-ten Zeile sowie Beibehalten der i-ten Zeile an ihrer Stelle.

(Dabei sind Vielfache und Summen von Zeilen im Sinne der Linearkombinationen von Vektoren zu verstehen, d.h. ein λ-faches ist Multiplikation jedes Eintrags der Zeile mit λ und Addition von Zeilen bedeutet Addition der an gleicher Stelle stehenden Einträge der beiden Zeilen.)

Wir zeigen, daß sich die Lösungsmenge unter diesen elementaren Zeilenumformungen nicht ändert.

Satz 2.41 Sei (A, b) die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems und (Ã, b̃) aus (A, b) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen entstanden. Dann haben die Systeme A · x = b und Ã · x = b̃ die gleichen Lösungsräume, Lös(A, b) = Lös(Ã, b̃).

Beweis. Es genügt zu beweisen, daß eine elementare Zeilenumformung den Lösungsraum invariant läßt. Typ I ist unproblematisch, da die Menge der Gleichungen gleich bleibt und sich nur die Reihenfolge der Gleichungen ändert.

Typ II: Die i-te und k-te Gleichung sind

a_{i1}x_{1} + ⋯ + a_{in}x_{n} = b_{i}
a_{k1}x_{1} + ⋯ + a_{kn}x_{n} = b_{k} .

Die Zeilenumformung ersetzt dieses Paar durch

a_{i1}x_{1} + ⋯ + a_{in}x_{n} = b_{i}
(a_{k1} + λa_{i1})x_{1} + ⋯ + (a_{kn} + λa_{in})x_{n} = b_{k} + λb_{i} .

Wenn x = (x_{1}, …, x_{n}) das erste System erfüllt, so erfüllt es auch das zweite, und umgekehrt. □

Mittels elementarer Zeilenumformungen kann die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b) in Zeilenstufenform gebracht werden.

• Wir suchen die am weitesten links stehende Spalte, in der es einen Eintrag ungleich 0 gibt. Sei das die l-te Spalte und sei a_{il} ≠ 0. Ist i ≠ 1, so tauschen wit mit Typ I die Zeilen i und 1. (Ist a_{1l} ≠ 0, so kann auf das Austauschen verzichtet werden.) In (Ã, b̃) = (c_{ij}) ist dann c_{1l} ≠ 0 und c_{ij} = 0 für alle j < l und alle i.

• Für alle Zeilen i > 1 wenden wir jetzt Typ II an, indem wir zur i-ten Zeile das (−\frac{c_{il}}{c_{1l}})-fache der 1. Zeile addieren. (Dabei ist nur für c_{il} ≠ 0 wirklich etwas zu tun.) Bezeichnen wir die so entstehende erweiterte Koeffizientenmatrix wieder mit (c_{ij}), so ist c_{1l} ≠ 0, c_{il} = 0 für alle i > 1 und c_{ij} = 0 für alle j < l und alle i. Die erste Zeile hat also bereits die Zeilenstufeneigenschaft.

• Wir suchen die am weitesten links stehende Spalte der neuen erweiterten Koeffizientenmatrix (A, b), in der es Einträge a_{il} ≠ 0 gibt mit i > 1. Sei das die l-te Spalte. Ist a_{2l} = 0 aber a_{il} ≠ 0, so tauschen wir mit Typ I die i-te Zeile gegen die 2. aus. Dann ist c_{2l} ≠ 0, und wir addieren die entsprechenden Vielfache der neuen 2. Zeile zu allen anderen, so daß c_{il} = 0 für alle i > 2 entsteht.

• Das Verfahren bricht ab, wenn die neue erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform vorliegt. Das Gleichungssystem kann dann mit der zuvor beschriebenen Methode gelöst werden.

Die elementaren Zeilenumformungen bringen also die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b) in Zeilenstufenform (Ã, b̃) mit Ax = b ⇔ Ãx = b̃. Anschließend erreichen wir durch Permutieren der Spalten von (Ã, b̃) = (a_{ij}) und der Unbekannten x_{j}, daß a_{ii} ≠ 0 für 1 ≤ i ≤ r. Dabei bleibt b̃ unverändert. Zwar kann das Gleichungssystem nun leicht gelöst werden, wir können aber die elementaren Zeilenumformungen ein weiteres Mal anwenden, um die erweiterte Koeffizientenmatrix weiter zu vereinfachen.

• Beginnend mit i = r und dann Schritt für Schritt aufsteigend bis i = 2 addieren wir zu jeder darüberliegenden Zeile k < i das (−\frac{a_{ki}}{a_{ii}})-fache der i-ten Zeile. Im Ergebnis hat die erweiterte Koeffizientenmatrix die Form

( \begin{matrix}D_{r×r} & B_{r×(n−r)} & b \\ 0_{(m−r)×r} & 0_{(m−r)×(n−r)} & 0 \end{matrix} ) ,

wobei D eine Diagonalmatrix ist, d.h. d_{ij} = 0 für i ≠ j. (Es ist angenommen, daß b ∈ K^{r}, denn sonst ist der Lösungsraum leer.)

Das Lösen des Gleichungssystems wird für diese spezielle Zeilenstufenform wesentlich erleichtert. Noch übersichtlicher wird es, wenn wir eine weitere Zeilenumformung zulassen:

Typ III Multiplikation der i-ten Zeile mit λ ≠ 0.

Mit Typ III läßt sich erreichen, daß die obige Diagonalmatrix in eine Einheitsmatrix umgewandelt wird. Nun läßt sich die Lösung des Gleichungssystems

( \begin{matrix}E_{r} & B_{r×(n−r)} \\ 0_{(m−r)×r} & 0_{(m−r)×(n−r)} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}y \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}b \\ 0 \end{matrix} )

sofort ablesen: es ist y = b − B · w mit w ∈ K^{n−r}.

Beispiele 2.9 Wir werden das Verfahren an einem Beispiel demonstrieren. Wir bezeichnen mit I_{ik} und II_{ik} die Zeilenumformungen vom Typ I bzw. Typ II (mit Angabe der betroffenen Zeilen) und mit π_{n} die Permutation, die die n-te Spalte an das Ende der Koeffizientenmatrix bringt, d.h. also direkt vor die Spalte der b_{i}.

( \begin{matrix}1 & 3 & 5 & 2 & 0 & b_{1} \\ 3 & 9 & 10 & 1 & 2 & b_{2} \\ 0 & 2 & 7 & 3 & −1 & b_{3} \\ 2 & 8 & 12 & 2 & 1 & b_{4} \end{matrix} ) ⟶^{II_{12},II_{14}} ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 & 2 & 0 & b_{1} \\ 0 & 0 & −5 & −5 & 2 & −3b_{1} + b_{2} \\ 0 & 2 & 7 & 3 & −1 & b_{3} \\ 0 & 2 & 2 & −2 & 1 & −2b_{1} + b_{4} \end{matrix} )

⟶^{I_{13}} ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 & 2 & 0 & b_{1} \\ 0 & 2 & 2 & −2 & 1 & −2b_{1} + b_{4} \\ 0 & 2 & 7 & 3 & −1 & b_{3} \\ 0 & 0 & −5 & −5 & 2 & −3b_{1} + b_{2} \end{matrix} ) ⟶^{II_{23}} ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 & 2 & 0 & b_{1} \\ 0 & 2 & 2 & −2 & 1 & −2b_{1} + b_{4} \\ 0 & 0 & 5 & 5 & −2 & 2b_{1} + b_{3} − b_{4} \\ 0 & 0 & −5 & −5 & 2 & −3b_{1} + b_{2} \end{matrix} )

⟶^{II_{34}} ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 & 2 & 0 & b_{1} \\ 0 & 2 & 2 & −2 & 1 & −2b_{1} + b_{4} \\ 0 & 0 & 5 & 5 & −2 & 2b_{1} + b_{3} − b_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −b_{1} + b_{2} + b_{3} − b_{4} \end{matrix} )

Das entspechende Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn

b_{4} = −b_{1} + b_{2} + b_{3} .

Unter dieser Annahme liegt bereits spezielle Zeilenstufenform vor, es ist also keine Permutation der Spalten notwendig. Wir formen die erweiterte Koeffizientenmatrix nochmals um, um links oben eine Diagonalmatrix zu erreichen:

( \begin{matrix}1 & 3 & 5 & 2 & 0 & b_{1} \\ 0 & 2 & 2 & −2 & 1 & −3b_{1} + b_{2} + b_{3} \\ 0 & 0 & 5 & 5 & −2 & 3b_{1} − b_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

⟶^{II_{31},II_{32}} ( \begin{matrix}1 & 3 & 0 & −3 & 2 & −2b_{1} + b_{2} \\ 0 & 2 & 0 & −4 & \frac{9}{5} & −\frac{21}{5}b_{1} + \frac{7}{5}b_{2} + b_{3} \\ 0 & 0 & 5 & 5 & −2 & 3b_{1} − b_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

⟶^{II_{21}} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 3 & −\frac{7}{10} & \frac{43}{10}b_{1} − \frac{11}{10}b_{2} − \frac{3}{2}b_{3} \\ 0 & 2 & 0 & −4 & \frac{9}{5} & −\frac{21}{5}b_{1} + \frac{7}{5}b_{2} + b_{3} \\ 0 & 0 & 5 & 5 & −2 & 3b_{1} − b_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

⟶^{III_{2},III_{3}} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 3 & −\frac{7}{10} & \frac{43}{10}b_{1} − \frac{11}{10}b_{2} − \frac{3}{2}b_{3} \\ 0 & 1 & 0 & −2 & \frac{9}{10} & −\frac{21}{10}b_{1} + \frac{7}{10}b_{2} + \frac{1}{2}b_{3} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & −\frac{2}{5} & \frac{3}{5}b_{1} − \frac{1}{5}b_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

49 Damit ist die Lösung für b_{4} = −b_{1} + b_{2} + b_{3} gegeben durch

Preliminary version – 13. Juli 2006

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{43}{10} & −\frac{11}{10} & −\frac{3}{2} \\ −\frac{21}{10} & \frac{7}{10} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{5} & −\frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}−3 & \frac{7}{10} \\ 2 & −\frac{9}{10} \\ −1 & \frac{2}{5} \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) .

Lineare Gleichungssysteme treten insbesondere auf

• bei der Untersuchung, ob eine gegebene Familie von Vektoren linear unabhängig ist

• bei der Zerlegung eines Vektors v ∈ V nach einer Basis von V

• bei der Inversion von quadratischen Matrizen

2.9 Elementarmatrizen

Die elementaren Zeilenumformungen, die eine Matrix B ∈ M(m×n, K) (z.B. die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b), welche ein ein lineares Gleichungssystem beschreibt) in Zeilenstufenform bringen, lassen sich durch Linksmultiplikation von B mit geeigneten (m × m)-Matrizen beschreiben. Diese Elementarmatrizen sind:

Typ I: B ⟶^{I_{ik}} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = P_{ik} · B mit

P_{ik} = ( \begin{matrix}1 & & & | & & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | & & & & | \\ − & − & − & 0 & − & − & − & 1 & − & − & − \\ & & & | & 1 & & & | \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 & | \\ − & − & − & 1 & − & − & − & 0 & − & − & − \\ & & & | & & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & & | & & & 1 \end{matrix} )

= E_{m} − E_{ii} − E_{kk} + E_{ik} + E_{ki}

(Angedeutet sind die i-te und k-te Zeile und Spalte. Alle nicht bezeichneten Einträge sind 0.)

Typ II: B ⟶^{II_{ik}} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = Q_{ik}(λ) · B mit

Q_{ik}(λ) = ( \begin{matrix}1 & & & | & & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | & & & & | \\ − & − & − & 1 & − & − & − & 0 & − & − & − \\ & & & | & 1 & & & | \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 & | \\ − & − & − & λ & − & − & − & 1 & − & − & − \\ & & & | & & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & & | & & & 1 \end{matrix} ) = E_{m} + λE_{ki}

(Angedeutet sind die i-te und k-te Zeile und Spalte.)

Typ III: B ⟶^{III_{i}} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = S_{i}(λ) · B mit

S_{i}(λ) = ( \begin{matrix}1 & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | \\ − & − & − & λ & − & − & − \\ & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 \end{matrix} ) = E_{m} + (λ − 1)E_{ii}

Tatsächlich ist Typ I eine Kombination aus mehreren Umformungen vom Typ II und III:

P_{ik} = Q_{ik}(1) Q_{ki}(−1)Q_{ik}(1)S_{k}(−1) ,

denn das bedeutet

(i, k) ⟶^{III_{k}} (i, −k) ⟶^{II_{ik}} (i, i − k) ⟶^{II_{ki}} (k, i − k) ⟶^{II_{ik}} (k, i) .

Die Elementarmatrizen sind invertierbar mit

P_{ik}^{−1} = P_{ik} ,  (Q_{ik}(λ))^{−1} = Q_{ik}(−λ) ,  (S_{i}(λ))^{−1} = S_{i}(\frac{1}{λ}) .

Eine wichtige Anwendung der Elementarmatrizen ist der folgende Satz:

Satz 2.42 Jede invertierbare Matrix A ∈ GL(n, K) ist ein endliches Produkt von Elementarmatrizen.

Beweis. Da rang(A) = n, führen elementare Zeilenumformungen mit Typ I und II erst zu einer Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen d_{ii} ≠ 0 für alle 1 ≤ i ≤ n, nach weiterer Umformung mit Typ II dann zu einer Diagonalmatrix mit gleichen Diagonalelementen d_{ii} ≠ 0, und schließlich mit Typ III zur Einheitsmatrix. Damit gilt B_{r} ⋯ B_{2}·B_{1}·A = E_{n}, wobei jedes B_{s} eine Elementarmatrix Q_{ik}(λ) oder S_{i}(λ) ist. Folglich gilt A = B_{1}^{−1} · B_{2}^{−1} ⋯ B_{r}^{−1} und A^{−1} = B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1}. □

Eine nützliche Anwendung dieses Beweises besteht in einer effizienten Berechnungsmethode für die inverse Matrix. Durch Vergleich von B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1} · A = E_{n} mit A^{−1} = B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1} · E_{n} lesen wir ab: Dieselben Zeilenumformungen, welche A in E_{n} überführen, überführen E_{n} in A^{−1}. Das soll an einem Beispiel erläutert werden

( \begin{matrix}9 & 4 & 1 & 0 \\ 11 & 5 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(− \frac{11}{9} )} ( \begin{matrix}9 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} & −\frac{11}{9} & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{21}(−36)} ( \begin{matrix}9 & 0 & 45 & −36 \\ 0 & \frac{1}{9} & −\frac{11}{9} & 1 \end{matrix} )
⟶^{S_{1}( \frac{1}{9} )S_{2}(9)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 5 & −4 \\ 0 & 1 & −11 & 9 \end{matrix} )

Folglich ist ( \begin{matrix}9 & 4 \\ 11 & 5 \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}5 & −4 \\ −11 & 9 \end{matrix} ), was durch Ausmultiplizieren leicht zu

überprüfen ist.

Ein anderer Weg, diese Rechnung zu verstehen, interpretiert A · A^{−1} = E_{n} als n lineare Gleichungssysteme A · x^{(p)} = b^{(p)}. Dabei sind die x^{(p)} bzw. b^{(p)} mit 1 ≤ p ≤ n gerade die n Spalten von A^{−1} bzw. E_{n}. Anstatt nun die Berechnung von x^{(p)} durch Zeilenumformung jeder dieser erweiterten Koeffizientenmatrizen (A, b^{(p)}) separat durchzuführen, schreiben wir alle Spalten b^{(p)} nebeneinander und formen die entstehende Matrix (A, E_{n}) gleichzeitig um. (Es ist stets dieselbe Rechnung, die A in E_{n} überführt, unabhängig von b).

Man muß zunächst nicht wissen, ob A invertierbar ist, um dieses Verfahren durchzuführen. Wir können sogar nichtquadratische Matrizen A ∈ M(m × n, K) zulassen. Sei also rang(A) = r, dann führen die Zeilenumformungen zu (m − r) Zeilen, in denen sämtliche Einträge gleich 0 sind.

Wir erreichen also bestenfalls die Blockdarstellung

(A, E_{m}) ↦ ( \begin{matrix}E_{r} & B & L_{1} & L_{2} \\ 0 & 0 & L_{3} & L_{4} \end{matrix} )

mit B ∈ M(r × (n−r), K). Es gibt also Elementarmatrizen B_{1}, …, B_{r} ∈

GL(m, K) mit B_{r} ⋯ B_{1} · A = ( \begin{matrix}E_{r} & B \\ 0 & 0 \end{matrix} ) und B_{r} ⋯ B_{1} · E_{m} = L^{−1} =

( \begin{matrix}L_{1} & L_{2} \\ L_{3} & L_{4} \end{matrix} ). Wir können den Block B ∈ M(r×(m−r), K) jedoch beseitigen, in-

dem wir die Matrix transponieren zu ( \begin{matrix}E_{r} & B \\ 0 & 0 \end{matrix} )^{t} = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ B^{t} & 0 \end{matrix} ) ∈ M(n × m, K) und dann mittels elementarer Zeilenumformungen in ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) überführen. Es gibt also Elementarmatrizen C_{1}, …, C_{s} ∈ GL(n, K) mit

C_{s} ⋯ C_{2} · C_{1} · ( \begin{matrix}E_{r} & B \\ 0 & 0 \end{matrix} )^{t} = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

und somit nach Rücktransposition

( \begin{matrix}E_{r} & B \\ 0 & 0 \end{matrix} ) · (C_{s} ⋯ C_{2} · C_{1})^{t} = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Das Produkt dieser Elementarmatrizen R̃ = C_{s} ⋯ C_{2} · C_{1} erhalten wir wieder durch die korrespondierende Zeilenumformung der Einheitsmatrix:

( \begin{matrix}E_{r} & 0 & E_{r} & 0 \\ B^{t} & 0 & 0 & E_{n−r} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}E_{r} & 0 & E_{r} & 0 \\ 0 & 0 & R_{3} & E_{n−r} \end{matrix} ) ,  R̃ = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ R_{3} & E_{n−r} \end{matrix} ) .

Damit haben wir folgenden Satz bewiesen: Satz 2.43 Zu jeder Matrix A ∈ M(m × n, K) mit rang(A) = r gibt es invertier-

bare Matrizen L ∈ GL(m, K) und R ∈ GL(n, K), so daß A = L·( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )·R^{−1}.

(Dabei ist R = R̃^{t}.) Beispiele 2.10

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & −3 & −6 & −4 & 1 \end{matrix} )

⟶^{Q_{21}( \frac{2}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & −\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & −3 & −6 & −4 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{S_{2}(− \frac{1}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & −\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} & −\frac{1}{3} \end{matrix} ) .

Damit ist L^{−1} = ( \begin{matrix}−\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & −\frac{1}{3} \end{matrix} ). Die übliche Rechnung für das Inverse liefert

L = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} ).

Nach Transposition berechnen wir

( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{13}(1) Q_{23}(−2)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −2 & 1 \end{matrix} ) ,

also R̃^{t} = R = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ). Diese Matrix ist nun leicht zu invertieren: R^{−1} =

( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

Folglich gilt

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Man kann Satz 2.43 auch abstrakt verstehen: Die Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K) entspricht einer linearen Abbildung F : K^{n} → K^{m} mit F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} ·e_{i}. Ist rang(F) = rang(A) = r, dann existieren nach Satz 2.28 Basen A = (v_{1}, …, v_{n})

von K^{n} und B(w_{1}, …, w_{m}) von K^{m}, so daß M_{B}^{A}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = Ã = (ã_{kl}).

Die mit L und R bewirkte Umrechnung von A in Ã ist ein Beispiel für eine Koordinatentransformation.

Koordinatentransformationen werden hervorgerufen durch einen Basiswechsel in einem Vektorraum. Sind in einem Vektorraum V zwei Basen A = (v_{1}, …, v_{n}) und B = (w_{1}, …, w_{n}) gegeben, so existieren nach Satz 2.25 Isomorphismen Φ_{A} : K^{n} → V und Φ_{B} : K^{n} → V mit Φ_{A}(e_{i}) = v_{i} und Φ_{B}(e_{i}) = w_{i}. Die identitische Abbildung auf V induziert dann einen Isomorphismus Φ_{B}^{−1} ∘ Φ_{A} : K^{n} → K^{n}. Die zugehörige Matrix Φ_{B}^{−1} ∘ Φ_{A}(e_{j}) = ∑_{i=1}^{n}(T_{B}^{A})_{ij} · e_{i} ist invertierbar, T_{B}^{A} = ((T_{B}^{A})_{ij}) ∈ GL(n, K). Sie ist die Matrix T_{B}^{A} = M_{B}^{A}(id_{V}) einer allgemeinen Koordinatentransformation.

Die Matrixmultiplikation war definiert als die Komposition linearer Abbildungen F : U → W und G : V → U bezüglich ihrer Basen,

M_{C}^{A}(F ∘ G) = M_{C}^{B}(F) · M_{B}^{A}(G) .

mit Φ_{B}^{−1} ∘ G ∘ Φ_{A}(e_{j}) = ∑_{i}(M_{B}^{A}(G))_{ij} · e_{j} Entsprechend ist für F : V → W

M_{D}^{C}(F) = M_{D}^{C}(id_{W} ∘ F ∘ id_{V}) = M_{D}^{B}(id_{W}) · M_{B}^{A}(F) · M_{A}^{C}(id_{V})

Sind nun V = K^{n} und W = K^{m} sowie C und D die Standardbasen von K^{n} bzw. K^{m}, so haben wir Φ_{C} = id_{K^{n}} und Φ_{D} = id_{K^{m}} und

M_{A}^{C}(id_{K^{n}}) = R^{−1} , M_{D}^{B}(id_{K^{m}}) = L

mit

Φ_{A}(e_{j}) = v_{j} = ∑_{l=1}^{n} R_{lj}e_{l} , Φ_{B}(e_{i}) = w_{i} = ∑_{k=1}^{n} L_{ki}e_{k} .

Mit M_{D}^{C}(F) = A und M_{B}^{A}(F) = Ã folgt A = L · Ã · R^{−1}.

3 Eigenwerte und Determinanten

3.1 Determinanten

Bei der Determinante hantelt es sich um eine wichtige Charakterisierung quadratischer Matrizen. Die Determinante ist ein Kriterium für die Invertierbarkeit einer Matrix. Sie tritt außerdem auf beim Eigenwertproblem für Matrizen.

Definition 3.1 Eine Abbildung

det : M(n, K) → K , det : A ↦ det A

heißt Determinante, wenn folgendes gilt:

(D1) det ist linear in jeder Zeile, d.h. ist die i-te Zeile a_{i} = λ′a′_{i} + λ′′a′′_{i} ∈ K^{n}, so gilt

det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) = λ′ det ( ⋮ ; a′_{i} ; ⋮ ) + λ′′ det ( ⋮ ; a′′_{i} ; ⋮ ) .

(Die mit ⋮ symbolisierten Zeilen a_{1}, …, a_{i−1}, a_{i+1}, …, a_{n} sind in jeder der drei Matrizen identisch.)

Insbesondere gilt: Entsteht B aus A durch Multiplikation der i-ten Zeile mit λ ≠ 0, ist also eine Zeilenumformung vom Typ III mit B = S_{i}(λ) · A, so ist det B = λ · det A.

(D2) det ist alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Zeilen, so gilt det A = 0.

(D3) det ist normiert auf det E_{n} = 1.

Aus der Definition ergeben sich weitere Eigenschaften, die insbesondere eine Berechnungsmethode beinhalten:

Satz 3.1 Die Determinante hat folgende weitere Eigenschaften:

(D4) det(λ · A) = λ^{n} det A ∀λ ∈ K.

(D5) Ist eine Zeile von A identisch Null, so folgt det A = 0.

(D6) Die Determinante ändert das Vorzeichen bei Zeilenumformungen von Typ I: Entsteht B aus A durch Zeilenvertauschung, also B = P_{ik} · A, so gilt det B = − det A.

(D7) Zeilenumformungen von Typ II lassen die Determinante unverändert: Entsteht B aus A durch Addition der λ-fachen i-ten Zeile zur k-ten Zeile, also B = Q_{ik}(λ) · A, so gilt det B = det A.

(D8) Ist A = ( \begin{matrix}a_{11} & . & … & . \\ 0 & a_{22} & … & . \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) eine obere Dreiecksmatrix, so gilt

det A = a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}.

(D9) Sei n ≥ 2 und A ∈ M(n, K) habe die folgende Blockdarstellung:

A = ( \begin{matrix}A_{1} & C \\ 0 & A_{2} \end{matrix} ) , A_{1} ∈ M(n_{1}, K) , A_{2} ∈ M(n_{2}, K) , n_{1} +n_{2} = n .

Dann gilt det A = det A_{1} · det A_{2}.

(D10) det A = 0 ⇔ rang(A) < n.

(D11) Es gilt der Determinantenmultiplikationssatz det(A·B) = det A·det B für alle A, B ∈ M(n, K). Insbesondere ist det A^{−1} = \frac{1}{det A} für A ∈ GL(n, K). Anders formuliert: det : GL(n, K) → K^{∗} ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis. D4) Nach (D1) gilt

det ( λa_{1} ; λa_{2} ; ⋮ ; λa_{n} ) = λ det ( a_{1} ; λa_{2} ; ⋮ ; λa_{n} ) = λ^{2} det ( a_{1} ; a_{2} ; λa_{3} ; ⋮ ; λa_{n} ) = ⋯ = λ^{n} det ( a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{n} )

D5) folgt aus (D1) mit λ = 0 D6) Ist B = P_{ik}A, so berechnen wir

det A + det B = det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ )

=^{(D2)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ )

=^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) =^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) =^{(D2)} 0

(D7) Ist B = Q_{ik}(λ)A, so gilt

det B = det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} + λa_{i} ; ⋮ ) =^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + det λ ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) =^{(D2)} det A

(D8) Für Diagonalmatrizen folgt durch wiederholte Anwendung von (D1)

det ( \begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) =^{(D1)} a_{11} det ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) =^{(D1)} …

=^{(D1)} a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn} det E_{n} =^{(D3)} a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}

Sind für eine allgemeine obere Dreiecksmatrix alle a_{ii} ≠ 0, so bringen wir sie durch Zeilenumformung vom Typ II in Diagonalform mit den gleichen Diagonalelementen. Ist a_{ii} = 0 und a_{kk} ≠ 0 für k > i, so führt die Zeilenumformung vom Typ II auf die Zeile a_{i} = 0.

(D9) Wir können Zeilenumformungen verwenden, die die beiden Blöcke nicht mischen. Durch Umformungen nur der ersten n_{1} Zeilen und dann nur der letzten n_{2} Zeilen erreicht man

det A = (−1)^{s_{1}+s_{2}} det ( \begin{matrix}D_{1} & C′ \\ 0 & D_{2} \end{matrix} ) ,

wobei D_{1}, D_{2} obere Dreiecksmatrizen sind und s_{1}, s_{2} die Anzahl der Zeilenumformungen vom Typ I im oberen bzw unteren Block sind. Die Behauptung folgt nun aus (D8).

(D10) Durch elementare Zeilenumformung überführen wir A in eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen a_{11}, …, a_{nn}. Dann ist det A = ±a_{11} ⋯ a_{nn}. Aus det A = 0 und der Zeilenstufenform folgt a_{nn} = 0 and damit det A = 0 nach (D5), also rang(A) < n. Ist umgekehrt rang(A) < n, so führt elementare Zeilenumformung auf eine obere Dreiecksmatrix mit a_{nn} = 0, so daß det A = 0.

(D11) Ist rang(A) < n, so ist auch rang(AB) < n als Dimension des Bildes der Hintereinanderausführung linearer Abbildungen. Dann ist det(A) = det(AB) =

0. Ist rang(A) = n, so ist A invertierbar und nach Satz 2.42 ein endliches Produkt von Elementarmatrizen. Also ist det(AB) = det(C_{1} ⋯ C_{r} ·B), wobei C_{p} = Q_{ik}(λ) oder C_{p} = S_{i}(λ) für 1 ≤ p ≤ r. Es gilt det(Q_{ik}(λ)B) = det B nach (D7) und det(S_{i}(λ)B) = λ det B nach (D1). Also ist det(AB) = λ_{1} ⋯ λ_{s} det B, wobei λ_{p} die Koeffizienten in den Umformungen vom Typ III sind. Andererseits ist det(A) = det(AE_{n}) = λ_{1} ⋯ λ_{s}, was die Behauptung liefert. □

Zusammengefaßt haben wir damit aus den Axiomen ein Berechnungsverfahren für die Determinante einer Matrix abgeleitet: Wir überführen mit elementaren Zeilenumformungen vom Typ I und II die Matrix A ∈ M(n, K) in Zeilenstufenform Ã = (a_{ij}): Sind dabei s Vertauschungen von Zeilen (Typ I) notwendig, dann ist det A = (−1)^{s}a_{11} ⋯ a_{nn}. Das Verfahren beweist die Eindeutigkeit der Determinante: Gäbe es zwei Abbildungen det und d̃et, die (D1), (D2) und (D3) erfüllen, so folgt aus beiden die Berechnungsvorschrift für die durch Zeilenumformung erhaltene Dreiecksmatrix Ã = (a_{ij}) mit det A = d̃etA = (−1)^{s}a_{11} ⋯ a_{nn}.

In Beweisen und für speziell gewählte Matrizen sind auch rekursive und abstrakte Berechnungsformeln nützlich:

Satz 3.2 (Zeilenentwicklungssatz von Laplace) Ist A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) und seien die Matrizen A_{ij} ∈ M(n − 1, K) aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhalten. Dann gilt für beliebiges 1 ≤ i ≤ n

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} .

Beweis. Wir schreiben die i-te Zeile a_{i} = (a_{i1}, a_{i2}, …, a_{in}) von A = (a_{ij}) als Linearkombination der kanonischen Basen

a_{i} = a_{i1}(1, 0, 0, …, 0) + a_{i2}(0, 1, 0, …, 0) + ⋯ + a_{in}(0, 0, …, 0, 1)

Anwenden von (D1) ergibt

det A = ∑_{j=1}^{n} a_{ij} det A′_{ij} , A′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & a_{i−1,j} & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & a_{i+1,j} & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & a_{nj} & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

In jeder der Matrizen A′_{ij} bringen wir mit Zeilenumformungen vom Typ II (welche die Determinante nicht ändern) alle anderen Einträge der j-ten Spalte auf 0:

det A′_{ij} = det A′′_{ij} , A′′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & 0 & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & 0 & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & 0 & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & 0 & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

Durch Vertauschen mit jeweils benachbarten Zeilen bringen wir die i-te Zeile von A′′_{ij} an die j-te Stelle, wobei sich die Reihenfolge aller anderen Zeilen nicht ändert. Dazu sind |i − j| Zeilenvertauschungen erforderlich. Die 1 steht nun auf der Diagonale: Für i < j erhalten wir:

det A′′_{ij} = (−1)^{|i−j|} det A′′′_{ij} , A′′′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & 0 & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & 0 & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & 0 & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{j,1} & … & a_{j,j−1} & 0 & a_{j,j+1} & … & a_{j,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{j+1,1} & … & a_{j+1,j−1} & 0 & a_{j+1,j+1} & … & a_{j+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & 0 & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

Durch elementare Zeilenumformung vom Typ I und II überführen wir A′′′_{ij} in eine obere Dreiecksmatrix und lesen die Determinante ab. Bei diesen Umformungen wird an der j-ten Zeile und Spalte von A′′′_{ij} nichts geändert. Deshalb stimmt det A′′′_{ij} mit der Determinante jener Matrix A_{ij} ∈ M(n − 1, K) überein, die aus A′′′_{ij} durch Weglassen des Kreuzes aus j-ter Zeile und j-ter Spalte erhalten wird. Dieselbe Matrix A_{ij} entsteht aber auch aus A′_{ij} und damit auch aus A selbst durch Weglassen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Unter Verwendung von (−1)^{|i−j|} = (−1)^{i+j} folgt die Behauptung. □

Die Berechnung der Determinante von A ∈ M(n, K) wird damit auf die Berechnung der Determinanten kleinerer Matrizen zurückgeführt. Beginnend mit n = 1 beweist man so die Existenz der Determinante det : M(n, K) → K.

Als Beispiel berechnen wir

det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) = (−1)^{1+1}a_{11} det(a_{22}) + (−1)^{1+2}a_{12} det(a_{21}) = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} .

Einfache Rechenregel: Für 2 × 2-Matrizen ist die Determinante gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente. Eine ähnliche graphische Rechenregel gibt es auch für 3 × 3-Matrizen (Regel von Sarrus).

Allgemein wird durch den Entwicklungssatz die Determinante von A = (a_{ij}) rekursiv durch Summen und Differenzen von Produkten a_{i_{1}j_{1}} ⋯ a_{i_{n}j_{n}} der Einträge a_{ij} berechnet. Durch Entwicklung nach der jeweils obersten Zeile sieht man, daß in jedem dieser Produkte jeder Zeilenindex genau einmal vorkommt. Andererseits kommt auch jeder Spaltenindex genau einmal vor: Damit a_{ij} in einem Produkt vorkommen kann, darf zuvor kein a_{kj} aufgetreten sein, da sonst die j-te Spalte gestrichen wäre. Nach dem Auftreten von a_{ij} wird die j-te Spalte weggelassen und weitere a_{kj} können im Produkt nicht vorkommen. Eine solche injektive/surjektive/bijektive Zuordnung eines Spaltenindex j = σ(i) ∈ {1, …, n} zu jedem Zeilenindex i ∈ {1, …, n} heißt Permutation. Ein Beispiel ist durch

folgende Tabelle gegeben: \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ σ(i) & 2 & 5 & 3 & 1 & 4 \end{matrix}

Sei S_{n} die Menge (und Gruppe) aller Permutationen, dann gilt

det A = ∑_{σ∈S_{n}} λ(σ) a_{1σ(1)}a_{2σ(2)} ⋯ a_{nσ(n)} .

Dabei ist λ(σ) ∈ ±1, denn jede Permutation kommt vor und zwar mit Vorfaktor +1 oder −1 entsprechend dem Entwicklungssatz. Man kann zeigen, daß λ(σ) = sign(σ) das Vorzeichen der Permutation ist, das wie folgt berechnet werden kann: Eine Permutation τ heißt Transposition, wenn sie zwei Elemente aus {1, …, n} austauscht und alle anderen an ihrer Stelle beläßt. Jede Permutation kann als (nicht eindeutige) Hintereinanderausführung von Transpositionen erhalten werden. Dann ist

sign(σ) = (−1)^{Zahl der Transpositionen in σ} .

Das Vorzeichen ist eindeutig, auch wenn die Zahl der Transpositionen selbst nicht eindeutig ist.

Alternativ kann man das Vorzeichen aus der Zahl der Fehlstellen der Permutation ablesen. Eine Fehlstelle ist ein Paar (i, j) mit i < j und σ(i) > σ(j). Dann ist

sign(σ) = (−1)^{Zahl der Fehlstellen in σ} .

Damit gilt

Satz 3.3 (Formel von Leibniz )

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) a_{1σ(1)}a_{2σ(2)} ⋯ a_{nσ(n)} .

Es gibt n! Permutationen σ ∈ S_{n}, so daß die Zahl der Produkte in der Formel von Leibniz mit wachsendem n sehr groß wird. Deshalb ist die Formel von Leibniz vor allem aus theoretischer Sicht bedeutsam; für praktische Berechnungen sind Zeilenumformungen geeigneter.

Wir untersuchen nun die Determinante der transponierten Matrix.

Satz 3.4 Die Determinante ist linear in jeder Spalte.

Beweis. Wir beweisen die Aussage mit dem Entwicklungssatz von Laplace und Induktion nach n. Die Aussage ist offenbar richtig für n = 1, da det(a) = a für a ∈ M(1, K) = K. Sei nun A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) gegeben mit a_{il} = λ′a′_{il} + λ′′a′′_{il} für einen Spaltenindex l und λ′, λ′′ unabhängig von i. Wir bezeichnen mit A′ bzw. A′′ die Matrizen, die durch Ersetzen von a_{kl} durch a′_{kl} bzw. a′′_{kl} in A für 1 ≤ k ≤ n erhalten werden. Alle anderen Spalten j ≠ k von A, A′, A′′ sind identisch.

Wir entwickeln nach der i-ten Zeile:

det A = ∑_{j=1}^{l−1} a_{ij} det A_{ij} + a_{il} det A_{il} + ∑_{j=l+1}^{n} a_{ij} det A_{ij} .

Die Matrizen A_{ij} ∈ M(n − 1, K) für j ≠ l enthalten die ursprünglich l-te Spalte, so daß nach Induktion gilt

det A_{ij} = λ′ det A′_{ij} + λ′′ det A′′_{ij} , j ≠ l .

Da in A_{il} die modifizierte l-te Spalte weggelassen wird, gilt A_{il} = A′_{il} = A′′_{il}. Mit a_{il} = λ′a′_{il} + λ′′a′′_{il} folgt nun die Behauptung det A = λ′ det A′ + λ′′ det A′′. □

Satz 3.5 Es gilt det(A^{t}) = det(A) für alle A ∈ M(n, K).

Beweis. Wir definieren eine Abbildung d̃et : M(n, K) → K durch d̃et(A) := det(A^{t}) und beweisen, daß d̃et eine Determinante ist. Aus der Eindeutigkeit der Determinanten folgt dann die Behauptung. Es sind die Axiome zu überprüfen.

(D1) d̃et ist linear in jeder Zeile ⇔ det ist linear in jeder Spalte, was nach Satz 3.4 zutrifft.

(D2) Habe A zwei gleiche Zeilen, dann hat A^{t} zwei gleiche Spalten und rang(A) = rang(A^{t}) < n. Dann ist d̃et(A) = det(A^{t}) = 0.

(D3) d̃et(E_{n}) = det(E_{n}^{t}) = det(E_{n}) = 1. □

Damit erhalten wir sofort den

Satz 3.6 (Spaltenentwicklungssatz von Laplace) Sei A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) und A_{ij} ∈ M(n − 1, K) durch Weglassen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A erhalten. Dann gilt für beliebiges 1 ≤ j ≤ n

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} .

Beweis. Wir verwenden det A = det A^{t} und berechnen det A^{t} nach dem Zeilenentwicklungssatz von Laplace. Der Zeilenentwicklung von A^{t} entspricht aber genau die Spaltenentwicklung von A. □

3.2 Einige Anwendungen

Wir ordnen einer Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) die folgende komplementäre Matrix A^{♯} ∈ M(n, K) zu:

A^{♯} = (a_{ij}^{♯}) , a_{ij}^{♯} := (−1)^{i+j} det A_{ji} .

Man beachte die Vertauschung der Reihenfolge von i, j: Die Matrix A_{ji} entsteht aus A durch Weglassen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte.

Satz 3.7 Ist A ∈ M(n, K) und sei A^{♯} die zu A komplementäre Matrix, dann gilt A · A^{♯} = A^{♯} · A = (det A)E_{n}. Insbesondere gilt A^{−1} = \frac{1}{det A}A^{♯} für invertierbare Matrizen A ∈ GL(n, K).

Beweis. Wir berechnen die Komponenten von A^{♯} · A:

(A^{♯} · A)_{kj} = ∑_{i=1}^{n} a_{ki}^{♯}a_{ij} = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ij} det A_{ik} .

Ist j = k beliebig, so entsteht gerade der Spaltenentwicklungssatz von Laplace: det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}. Für j ≠ k betrachten wir die Matrix B = (b_{il}) ∈ M(n, K), die aus A entsteht, wenn man die k-te Spalte von A durch die j-te Spalte von A ersetzt. Es ist also b_{il} = a_{il} für l ≠ k und b_{ik} = a_{ij}. Da B zwei gleiche Spalten besitzt, ist det B = 0. Wir entwickeln det B nach der k-ten Spalte:

0 = det B = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}b_{ik} det B_{ik} = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ij} det A_{ik}

wegen A_{ik} = B_{ik}. Folglich ist (A^{♯} · A)_{kj} = (det A)δ_{kj}. □

Mit A^{−1} = \frac{1}{det A}A^{♯} haben wir eine weitere Methode zur Berechnung der inversen Matrix kennengelernt. Für n > 3 ist diese Methode jedoch sehr aufwendig. Allerdings ist diese abstrakte Darstellung in der Analysis sehr nützlich, denn die Determinantenbildung hängt als Produkt der a_{ij} stetig und sogar differenzierbar von den Einträgen a_{ij} ab. Daraus folgt, daß für A ∈ GL(n, K) die Abbildung A ↦ A^{−1} differenzierbar ist.

Es sei auch bemerkt, daß

SL(n, K) := {A ∈ GL(n, K) : det A = 1}

eine Untergruppe von GL(n, K) ist, die spezielle lineare Gruppe. Denn für A, B ∈ SL(n, K) folgt aus den Eigenschaften der Determinante det(AB) = 1 und det A^{−1} = 1.

Eine weitere Anwendung der Determinanten besteht in einem Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit invertierbaren Matrizen:

Satz 3.8 (Cramersche Regel) Seien A = (a_{ij}) ∈ GL(n, K) und b ∈ K^{n} gegeben und sei x = (x_{1}, …, x_{n})^{t} ∈ K^{n} die eindeutig bestimmte Lösung des linearen Gleichungssystems A · x = b. Bezeichnen wir mit a_{1}, …, a_{n} die Spalten von A, also a_{j} = (a_{1j}, …, a_{nj})^{t}, dann gilt

x_{j} = \frac{det(a_{1}, …, a_{j−1}, b_{j}, a_{j+1}, …, a_{n})}{det A} .

Beweis. Die endeutig bestimmte Lösung des linearen Gleichungssystems ist durch x = A^{−1} · b gegeben. In Komponenten gilt damit

x_{j} = ∑_{i=1}^{n}(A^{−1})_{ji}b_{i} = \frac{1}{det A} ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}b_{i}(det A_{ij}) .

Nach dem Spaltenentwicklungssatz von Laplace ist ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}b_{i}(det A_{ij}) gerade die Determinante einer Matrix B = (b_{il}), deren Einträge auf der j-ten Spalte durch b_{ij} = b_{i} gegeben sind und deren andere Spalten identisch sind mit den Spalten von A. □

Wieder liegt die Bedeutung der Cramerschen Regel in theoretischen Betrachtungen wie der Schlußfolgerung, daß die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b für A ∈ GL(n, K) differenzierbar von der rechten Seite b ∈ K^{n} sowie den Einträgen der matrix A ∈ GL(n, K) abhängt.

Die Determinantenbildung für Matrizen läßt sich sofort auf die Determinate für Endomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume verallgemeinern. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und F : V → V eine lineare Abbildung (ein Endomorphismus). Wir wählen eine beliebige Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V und stellen F in dieser Basis dar:

F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · v_{i} , a_{ij} ∈ K .

Dann ist A = (a_{ij}) = M_{B}^{B}(F) die darstellende Matrix von F bezüglich der Basis B. Wir definieren det F := det(M_{B}^{B}(F)). Diese Definition ist sinnvoll, da sie nicht von der Wahl der Basis abhängt: Sei A eine andere Basis von V, dann gilt

M_{A}^{A}(F) = M_{A}^{A}(id_{V} ∘ F ∘ id_{V}) = M_{A}^{B}(id_{V}) · M_{B}^{B}(F) · M_{B}^{A}(id_{V}) .

Offenbar ist M_{B}^{A}(id_{V}) = (M_{A}^{B}(id_{V}))^{−1}, so daß

det(M_{A}^{A}(F)) = det(M_{A}^{B}(id_{V})) det(M_{B}^{B}(F)) · \frac{1}{det(M_{A}^{B}(id_{V}))} = det(M_{B}^{B}(F)) .

In direkter Verallgemeinerung der Determinanteneigenschaften gilt:

Satz 3.9 Sind F, G ∈ End(V), so gilt i) det F ≠ 0 ⇔ F ∈ Aut(V)

ii) F ∈ Aut(V) ⇒ det F^{−1} = \frac{1}{det F}

iii) det(F ∘ G) = det F · det G

Eine weitere nützliche Anwendung ist die Definition der Orientierung von Automorphismen und von Basen.

Definition 3.2 Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K. Ein Automorphismus F ∈ Aut(V) heißt orientierungstreu, falls det F > 0, ansonsten orientierngsuntreu.

Zwei Basen A und B von V heißen gleich orientiert, wenn für die darstellende Matrix der Identität gilt det(M_{B}^{A}(id_{V})) > 0, ansonsten ungleich orientiert.

Offenbar gilt:

Satz 3.10 Die Menge

Aut^{+}(V) := {F ∈ Aut(V) : det F > 0}

der orientierungstreuen Automorphismen von V ist eine Untergruppe von Aut(V). Insbesondere ist

GL^{+}(m, K) := {A ∈ GL(n, K) : det A > 0}

eine Untergruppe von GL(n, K).

3.3 Eigenwerte

Wir hatten im Abschnitt über Matrizen (Satz 2.28) gesehen, daß zu jeder linearen Abbildung F : V → W angepaßte Basen A von V und B von W existieren, so daß

die darstellende Matrix die Form M_{B}^{A}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) hat. Natürlich können

wir W = V wählen und dann entsprechende Basen A, B von V finden. Die Frage ist: Gibt es zu einem Endomorphismus F : V → V auch eine Basis B von V,

so daß für die darstellende Matrix gilt: M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )? Die Antwort ist:

Nein!

Es geht nun darum, zu gegebenen Endomorphismus die Basis so sinnvoll wie möglich zu wählen.

Definition 3.3 Sei F : V → V ein Endomorphismus eines Vektorraumes V über K. Ein Skalar λ ∈ K heißt Eigenwert von F, wenn es einen Vektor v ≠ 0 von V gibt, so daß F (v) = λ · v. Jeder Vektor v ≠ 0 von V mit F (v) = λ · v heißt Eigenvektor von F zum Eigenwert λ.

Zu beachten ist, daß es zu einem Eigenwert λ mehrere Eigenvektoren geben kann.

Definition 3.4 Ein Endomorphismus F ∈ End(V) heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis von V aus Eigenvektoren von F gibt.

In diesem Fall gilt:

Satz 3.11 Ist dim(V) = n, so ist F ∈ End(V) genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V gibt, so daß M_{B}^{B}(F) =

( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ).

Beweis. Für die darstellende Matrix M_{B}^{B}(F) = (a_{ij}) gilt F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · v_{i}. Damit sind die v_{i} die Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ_{i}. □

Das ist die optimalste Situation für eine Basis zu gegebenem Endomorphismus. Jedoch ist nicht klar, daß jeder Endomorphismus auch diagonalisierbar ist. Zunächst untersuchen wir, ob die Eigenvektoren linear unabhängig sind:

Satz 3.12 Sei F ∈ End(V) ein Endomorphismus und seien v_{1}, …, v_{m} Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{m} von V. Dann sind die (v_{1}, …, v_{m}) linear unabhängig.

Beweis. Wir beweisen den Satz durch Induktion nach der Anzahl m linear unabhängiger Eigenvektoren. Für m = 1 ist nichts zu zeigen. Angenommen, v_{2}, …, v_{m} seien linear unabhängig. Wir betrachten

μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{m}v_{m} = 0

Anwenden von F einerseits und Subtraktion des λ_{1}-fachen dieser Gleichung ergibt

0 = μ_{1}(λ_{1} − λ_{1})v_{1} + μ_{2}(λ_{2} − λ_{1})v_{2} + ⋯ + μ_{m}(λ_{m} − λ_{1})v_{2} .

Da λ_{1} ≠ λ_{i} für 2 ≤ i ≤ m und (v_{2}, …, v_{m}) linear unabhängig, folgt μ_{j} = 0 für alle 1 ≤ j ≤ m. Damit ist (v_{1}, …, v_{m}) linear unabhängig. □

Als direkte Konsequenz ergibt sich:

Satz 3.13 Seien λ_{1}, …, λ_{m} paarweise verschiedene Eigenwerte eines Endomorphismus F ∈ End(V) und sei dim(V) = n. Dann gilt: i) m ≤ n

ii) Ist m = n, dann ist F diagonalisierbar.

Beweis. i) Für m > n wären nach dem vorigen Satz mehr als n Vektoren aus V, nämlich Eigenvektoren zu λ_{1}, …, λ_{m}, linear unabhängig. Das ist durch die Dimension ausgeschlossen.

ii) Ist dim(V) = n, dann bilden n linear unabhängige Vektoren eine Basis. Damit ist (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis aus Eigenvektoren, und F ist diagonalisierbar. □

Es gibt natürlich Endomorphismen mit weniger als dim(V) paarweise verschiedenen Eigenwerten, die trotzdem diagonalisierbar sind. Ein Beispiel ist id_{V} ∈ End(V). Es gibt nur einen Eigenwert λ = 1, aber jede Basis von V diagonalisiert id_{V}. Die Untersuchung der Eigenräume zu gegebenem Eigenwert ist also entscheidend:

Definition 3.5 Ist F ∈ End(V) und ist λ ∈ K Eigenwert von F, dann heißt

Eig(F; λ) := {v ∈ V : F (v) = λ · v}

der Eigenraum von F zum Eigenwert λ.

Zu beachten ist, daß der Nullvektor im Eigenraum liegt, 0 ∈ Eig(F; λ), obwohl er kein Eigenvektor ist. Der Grund ist i) im folgenden Satz:

Satz 3.14 Sei Eig(F; λ) der Eigenraum von F ∈ End(V) zum Eigenwert λ. Dann gilt:

i) Eig(F; λ) ⊂ V ist Untervektorraum

ii) λ ist Eigenwert von F ⇔ Eig(F; λ) ≠ {0} ⇔ dim(Eig(F; λ)) > 0

iii) Eig(F; λ) \ {0} ist die Menge der Eigenvektoren von F zum Eigenwert λ

iv) Eig(F; λ) = ker(F − λ · id_{V})

v) Ist λ_{1} ≠ λ_{2}, so folgt Eig(F; λ_{1}) ∩ Eig(F; λ_{2}) = {0}

Beweis. i) Sind v_{1}, v_{2} ∈ Eig(F; λ) und μ_{1}, μ_{2} ∈ K, so folgt

F (μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2}) = μ_{1}F (v_{1}) + μ_{2}F (v_{2}) = μ_{1}(λv_{1}) + μ_{2}(λv_{2}) = λ(μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2})

und damit μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2} ∈ Eig(F; λ).

ii) Es gibt ein v ≠ 0 mit F (v) = λv. Dann ist v ∈ Eig(F; λ) ≠ {0}.

iii) ist klar

iv) Sei v ∈ Eig(F; λ). Dann gilt:

(F − λ · id_{V})(v) = λv − λv = 0 ,

also v ∈ ker(F − λ · id_{V}). Ebenso folgt die Umkehrung.

v) Ist λ_{1} ≠ λ_{2} und v ∈ Eig(F; λ_{1}), so ist

(F − λ_{2} · id_{V})(v) = (λ_{1} − λ_{2})v .

Damit ist v ∈ ker(F − λ_{2} · id_{V}) genau dann, wenn v = 0. □

3.4 Das charakteristische Polynom

Es geht nun um ein Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren eines Endomorphismus, wobei die Determinante eine entscheidende Rolle spielt.

Satz 3.15 Sei F ∈ End(F) Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V. Ein Skalar λ ∈ K ist genau dann Eigenwert von F, wenn

det(F − λ · id_{V}) = 0 .

Beweis. Nach Satz 3.14.ii) und Satz 3.14.iv) ist λ genau dann Eigenwert von F, wenn dim(ker(F − λ · id_{V})) > 0. Das ist gleichbedeutend mit

dim(im(F − λ · id_{V})) = rang(F − λ · id_{V}) < dim(V) .

Nach der Determinanteneigenschaft (D10) ist diese Eigenschaft äquivalent zu det(F − λ · id_{V}) = 0. □

Die Determinante eines Endomorphismus F ∈ End(V) berechnet sich als die Determinante der darstellenden Matrix M_{B}^{B}(F) = A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) bezüglich einer beliebigen Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V. Dann gilt

M_{B}^{B}(F − λ · id_{V}) = A − λ · E_{n} ,

denn M_{B}^{B} ist eine lineare Abbildung (Satz 2.27), und M_{B}^{B}(id_{V}) = E_{n} unabhängig von der Wahl der Basis. Damit ist die Suche nach Eigenwerten von F ∈ End(V) zurückgeführt auf die Bestimmung der Nullstellen der Abbildung

P_{A} : K → K : P_{A} : λ ↦ det(A − λ · E_{n}) .

Nach der Formel von Leibniz gilt

det(A − λ · E_{n}) = (a_{11} − λ)(a_{22} − λ) ⋯ (a_{nn} − λ) + Q ,

wobei in Q aus Summen und Differenzen von Produkten der Matrixelemente besteht, in denen mindestens zwei Nichtdiagonalelemente a_{ij} mit i ≠ j auftreten (welche kein λ beinhalten): Wenn in einem solchen Produkt a_{ij} auftritt, dann berechnen sich nach dem Entwicklungssatz von Laplace die weiteren Faktoren zu (−1)^{i+j} det A_{ij}, aber A_{ij} enthält nicht die Diagonalelemente a_{ii} − λ und a_{jj} − λ. Ausmultiplikation der Produkte und Ordnen nach Potenzen von λ ergibt:

det(A − λ · E_{n}) = ∑_{k=0}^{n} α_{k}λ^{k} ,
α_{n} = (−1)^{n} , α_{n−1} = (a_{11} + ⋯ + a_{nn}) , …, α_{0} = det A .

Dabei heißt im zweithöchsten Term tr(A) := a_{11} + ⋯ + a_{nn} die Spur der Matrix A ∈ M(n, K). Der niedrigste Term ist unabhängig von λ und stimmt damit mit der Rechnung für λ = 0 überein, was gerade die Determinante von A ergibt. Die anderen Koeffizienten α_{1}, …, α_{n−2} sind schwieriger zu charakterisieren. Ein Ausdruck

∑_{k=0}^{n} α_{k}λ^{k} , α_{k} ∈ K

heißt ein Polynom in λ mit Koeffizienten im Körper K. Das spezielle Polynom P_{A}(λ) = det(A − λ · E_{n}) heißt das charakteristische Polynom der Matrix A ∈ M(n, K).

3.5 Polynome und ihre Nullstellen

Definition 3.6 Ein Polynom in t mit Koeffizienten in K ist ein formaler Ausdruck der Form

f(t) = α_{0} + α_{1}t + ⋯ + α_{n}t^{n} = ∑_{i=0}^{n} α_{i}t^{i} , α_{i} ∈ K .

Die Menge aller solcher Polynomome werde mit K[t] bezeichnet.

Dabei ist t eine formale Variable. Ein Beispiel ist die Wahl t ↦ λ ∈ K; in diesem Fall definiert das Polynom eine Abbildung f : K → K, f : λ ↦ f(λ).

Es gibt eine offensichtliche Addition

( ∑_{i=0}^{n} α_{i}t^{i}) + ( ∑_{i=0}^{m} β_{i}t^{i}) := ∑_{i=0}^{max(m,n)}(α_{i} + β_{i})t^{i} ,

wobei α_{i} = 0 für i > n und β_{i} = 0 für i > m gesetzt wird. Das Nullpolynom f(t) = 0 (alle α_{i} verschwinden) ist das neutrale Element. Außerdem erhält man durch Ausmultiplizieren und Ordnen nach Potenzen von t eine Multiplikation

( ∑_{i=0}^{n} α_{i}t^{i}) · ( ∑_{i=0}^{m} β_{i}t^{i}) := ∑_{i=0}^{m+n} γ_{i}t^{i} , γ_{i} = ∑_{j=0}^{i} α_{i−j}β_{j} .

(Es wird wieder α_{i} = 0 für i > n und β_{i} = 0 für i > m gesetzt.) Dadurch wird K[t] zu einem kommutativen Ring, dem Polynomring über K. Der maximale Exponent von t, für den der Koeffizient in f(t) ungleich Null ist, heißt der Grad des Polynoms und wird mit deg(f) bezeichnet. Genauer ist für f(t) = ∑_{i=0}^{n} α_{i}t^{i}

deg(f) = \{ \begin{matrix}−∞ & für f = 0 \\ max\{i ∈ ℕ : α_{i} ≠ 0\} & sonst \end{matrix}

Es gilt

deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)) , deg(f · g) = deg(f) + deg(g)

(mit (−∞) + n = −∞ und (−∞) + (−∞) = −∞).

Satz 3.16 Sind f, g ∈ K[t] und ist g ≠ 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K[t] mit

f = q · g + r , deg(r) < deg(g) .

Beweis. (1) Man beweist zunächst die Eindeutigkeit. Sei f = q · g + r = q′ · g + r′ mit deg(r) < deg(g) und deg(r′) < deg(g), dann folgt

(q − q′) · g = r′ − r .

Wäre q ≠ q′, dann ist der Grad der linken Seite deg((q−q′)·g) > deg(g), während der Grad der rechten Seite deg(r′ − r) < deg(g) ist. Dann kann die Gleichung aber nicht erfüllt sein, und deshalb ist q = q′ und dann r = r′.

(2) Die Existenz der Polynome beweist man durch explizite Konstruktion mittels “Division mit Rest”. Sei f = ∑_{i=0}^{n} α_{i}t^{i} und g = ∑_{i=0}^{m} β_{i}t^{i}, mit α_{n}, β_{m} ≠ 0. Für n < m ist q = 0 und r = f. Sei also n ≥ m. Wir setzen

q_{(1)} := \frac{α_{n}}{β_{m}} t^{n−m} , f_{(1)} := f − q_{(1)} · g .

Da der höchste Koeffizient von f durch Subtraktion entfernt wurde, gilt deg(f_{(1)}) < deg(f). Auf diese Weise konstruiert man eine Folge von Monomen q_{(k)} = γ_{k}t^{i(k)}, so daß für f_{(k)} := f_{(k−1)} − q_{(k)} · g gilt deg(f_{(k)}) < deg(f_{(k−1)}). Das Verfahren bricht im l-ten Schritt ab, wenn deg(f_{(l)}) < deg(g). Dann ist r := f_{(l)} und q := q_{(1)} + ⋯ + q_{(l)}. □

Definition 3.7 Ein λ ∈ K heißt Nullstelle eines Polynoms f ∈ K[t], wenn f(λ) = 0.

Satz 3.17 Ist λ ∈ K eine Nullstelle von f ∈ K[t], so gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom g ∈ K[t] mit

i) f = (t − λ) · g

ii) deg(g) = deg(f) − 1

Beweis. i) Nach Satz 3.16 gibt es eindeutige Polynome g, r ∈ K[t] mit f = g · (t − λ) + r und deg(r) < deg(t − λ) = 1. Also ist r = α_{0} ∈ K ein Polynom nullten Grades, also ein Skalar. Für t = λ ist 0 = f(λ) = (λ − λ) · g(λ) + r = r.

ii) ist kar. □

Ist λ ∈ K Nullstelle von f ∈ K[t] und sei g ∈ K[t] durch f = (t − λ) · g definiert, dann kann das gleiche λ auch Nullstelle von g sein. Wir sagen, daß λ eine vielfache Nullstelle ist:

Definition 3.8 Ist f ∈ K[t] verschieden vom Nullpolynom und λ ∈ K, so heißt

μ(f; λ) := max{r ∈ ℕ : f = (t − λ)^{r} · g für g ∈ K[t]}

die Vielfachkeit der Nullstelle λ.

Ist f = (t − λ)^{r} · g und r = μ(f; λ), so ist g(λ) ≠ 0. Durch wiederholtes Abdividieren der Nullstellen läßt sich jedes Polynom f ∈ K[t] darstellen als

f = (t−λ_{1})^{r_{1}}(t−λ_{2})^{r_{2}} ⋯ (t−λ_{k})^{r_{k}} ·g , deg(g) = deg(f)−r_{1}−r_{2}−⋯−r_{k} ≥ 0 ,

wobei g ein Polynom ohne Nullstellen ist. Insbesondere besitzt jedes Polynom n-ten Grades höchstens n mit Vielfachheit gezählte Nullstellen (damit auch höchstens n paarweise verschiedene Nullstellen). Ist deg(g) = 0, dann sagen wir, daß f in Linearfaktoren zerfällt. Von größter Bedeutung ist

Theorem 3.1 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom f ∈ ℂ[t] zerfällt in Linearfaktoren, d.h. es gibt a ∈ ℂ und (nicht notwendig verschiedene) λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ mit n = deg(f), so daß

f = a(t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{n}) .

Der einfachste Beweis erfordert Hilfsmittel aus der Funktionentheorie.

Im reellen Fall K = ℝ faktorisiert ein Polynom im allgemeinen nicht in Linearfaktoren. Das einfachste Beispiel ist f(t) = t^{2} + 1, welches keine reelle Nullstelle besitzt. Man kann aber ℝ ⊂ ℂ ausnutzen und somit für jedes reelle Polynom f ∈ ℝ[t] mit deg(f) = n genau n komplexe Nullstellen λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ (gezählt mit Vielfachheit) finden. Es gibt zwei Möglichkeiten: Ist λ_{i} ∈ ℝ ⊂ ℂ, dann ist λ_{i} auch eine Nullstelle von f ∈ ℝ[t]. Ist λ_{i} ∉ ℝ, dann ist auch λ̄_{i} eine komplexe Nullstelle, was durch komplexe Konjugation folgt:

f(t) = ∑_{i=0}^{n} α_{i}t^{i} mit α_{i} ∈ ℝ und f(λ) = 0 für λ ∉ ℝ

⇒ f̄(t̄) = ∑_{i=0}^{n} α_{i}t̄^{i} = f(t̄)  hat Nullstelle t̄= λ, also t = λ̄ Nullstelle von f .

Außerdem ist die Vielfachheit der komplexen Nullstellen λ, λ̄ gleich, d.h.

μ(f; λ) = μ(f, λ̄) ∀ f ∈ ℝ[t] .

Angenommen, wir hätten f(t) = (t − λ)^{r}(t − λ̄)^{r′}g(t) mit r ≠ r′ und λ, λ̄ sind keine Nullstellen von g ∈ ℂ[t]. Dann sind λ, λ̄ auch keine Nullstellen von ḡ ∈ ℂ[t], und es gilt

\overline{f(t)} = f(t̄) = (t̄− λ̄)^{r}(t̄− λ)^{r′} \overline{g(t)} .

Durch Austausch der formalen Variable t ↦ t̄ folgt, daß nun μ(f; λ̄) = r und μ(f; λ) = r′, also r = r′. Aus

(t − λ)(t − λ̄) = t^{2} − 2Re(λ)t + |λ|^{2} ∈ ℝ[t]

folgt nun, daß für jedes reelle Polynom f ∈ ℝ[t] gilt:

f = a(t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{n−2r}) · g_{1} ⋯ g_{r} ,  g_{j} = (t − α_{j})^{2} + β_{j}^{2} > 0 ,
a, λ_{i}, α_{j}, β_{j} ∈ ℝ , β_{j} ≠ 0 , r, n − 2r ≥ 0 .

Die analytische Berechnung (zunächst komplexer Nullstellen) ist im allgemeinen nur für Polynome vom Grad ≤ 4 möglich. Für Polynome mit höherem Grad ist man auf numerische Näherungsverfahren angewiesen. Der Fundamentalsatz der Algebra und für reelle Polynome zusätzlich die Gleichheit der Vielfachheit komplexer Nullstellen ist dann eine wichtige Kontrolle, ob man wirklich alle Nullstellen numerisch gefunden hat!

3.6 Diagonalisierbarkeit

Wir kommen nun zurück auf Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit.

Satz 3.18 Sei F ∈ End(V) und A = M_{B}^{B}(F) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V. Dann gilt

Eig(F; λ) = Φ_{B}(Lös(A − λ · E_{n}, 0)) .

Dabei ist

Φ_{B} : K^{n} → V , Φ_{B}(e_{i}) = v_{i} ,

der Isomorphismus, der die Standardbasis des K^{n} in die Basis B überführt, und

Lös(A − λ · E_{n}, 0) = {x ∈ K^{n} : (A − λ · E_{n})x = 0} .

Beweis. Sei v ∈ Eig(F; λ), dann ist

F (v) = λv ⇔ Φ_{B}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{B} ∘ Φ_{B}^{−1}(v) = λΦ_{B}^{−1}(v) .

Wir setzen x = Φ_{B}^{−1}(v). Mit A = M_{B}^{B}(F) := Φ_{B}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{B} ∈ M(n, K) folgt

v ∈ Eig(F; λ) ⇔ A · x = λ · x ⇔ (A − λ · E_{n})x = 0  □

Damit haben wir ein Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren von F ∈ End(V) entwickelt:

1. Wähle eine beliebige Basis A = (w_{1}, …, w_{n}) von V. Bestimme die darstellende Matrix A = (a_{ij}) durch Zerlegen der n Vektoren F (v_{j}) nach der Basis A,

F (w_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · w_{i} .

2. Berechne das charakteristische Polynom P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) ∈ K[t] und bestimme seine Nullstellen λ_{1}, …, λ_{m} ∈ K (paarweise verschieden) und ihre Vielfachheit r_{i} := μ(P_{A}; λ_{i}) aus der Darstellung

P_{A}(t) = (t − λ_{1})^{r_{1}} ⋯ (t − λ_{m})^{r_{m}} · g(t) ,

wobei g ∈ K[t] keine Nullstelle in K besitzt. Die λ_{1}, …, λ_{m} sind dann genau die Eigenwerte von F. Für K = ℂ gilt n = r_{1} + ⋯ + r_{m}.

3. Löse zu jeder Nullstelle λ_{i} des charakteristischen Polynoms das lineare Gleichungssystem (A − λ_{i} · E_{n})x^{(i)} = 0. Der Lösungsraum ist ein s_{i}-dimensionaler Untervektorraum von K^{n}. Ist x^{(i)} = ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{(i)}e_{j} ∈ Lös(A − λ_{i} · E_{n}, 0), dann ist v^{(i)} = Φ_{B}(x^{(i)}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{(i)}v_{j} ∈ Eig(F; λ_{i}) mit dim(Eig(F; λ_{i})) = s_{i}.

Sei F ∈ End(V) mit dim(V) = n und A = M_{A}^{A}(F) ∈ M(n, K) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis A von V. Wir wissen:

i) Ist F diagonalisierbar, dann ist P_{A}(t) = (−1)^{n}(t − λ_{1})^{r_{1}} ⋯ (t − λ_{m})^{r_{m}}, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren (Wähle eine Basis aus Eigenvektoren).

ii) Ist P_{A} = (−1)^{n}(t−λ_{1}) ⋯ (t−λ_{n}) und alle λ_{i} sind paarweise verschieden,

dann ist F diagonalisierbar. Es verbleibt also zu untersuchen, wann F diagonalisierbar ist im Falle von Vielfachheiten der Eigenwerte.

Satz 3.19 Sei F ∈ End(V) und A seine darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis von V. Ist λ ein Eigenwert von F, dann gilt

1 ≤ dim(Eig(F; λ)) ≤ μ(P_{A}; λ) .

Beweis. Sei (v_{1}, …, v_{s}) eine Basis von Eig(F; λ). Dann ist s ≥ 1, da λ Eigenwert. Wir ergänzen (v_{1}, …, v_{s}) zu einer Basis A = (v_{1}, …, v_{s}, v_{s+1}, …, v_{n}) von V. Für die darstellende Matrix A = M_{A}^{A}(F) = (a_{ij}) gilt

A = ( \begin{matrix}λ & & 0 \\ & ... & & B \\ 0 & & λ \\ & 0 & & C \end{matrix} ) ,

72 wobei oben links der Block λE_{s} steht. Dann gilt für das charakteristische Polynom

Preliminary version – 13. Juli 2006

P_{A}(t) := det(A − tE_{n}) = (−1)^{s}(t − λ)^{s} det(C − tE_{n−s}) .

Folglich ist s ≤ μ(P_{A}; λ). □

Der Fall dim(Eig(F; λ)) = μ(P_{A}; λ) ist von besonderem Interesse:

Satz 3.20 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, F ∈ End(V) und A = M_{B}^{B}(F) ∈ M(n, K) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis B von V. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

i) F ist diagonalisierbar.

ii) Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren und es gilt dim(Eig(F; λ)) = μ(P_{A}; λ) für jeden Eigenwert λ von F.

iii) Sind λ_{1}, …, λ_{k} die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F, dann gilt V = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k}).

Beweis. i)⇒ii) Ist F diagonalisierbar, so ordnen wir die zugehörige Basis aus Eigenvektoren wie folgt:

B = (v_{1}^{(1)}, …, v_{s_{1}}^{(1)}, v_{1}^{(2)}, …, v_{s_{2}}^{(2)}, …, v_{1}^{(k)}, …, v_{s_{k}}^{(k)}) .

Dabei ist (v_{1}^{(i)}, …, v_{s_{i}}^{(i)}) eine Basis von Eig(F; λ_{i}), und insbesondere gilt F (v_{j}^{(i)}) = λ_{i}v_{j}^{(i)} für 1 ≤ j ≤ s_{i}. In dieser Basis gilt für das charakteristische Polynom

P_{A}(t) = (λ_{1} − t)^{s_{1}}(λ_{2} − t)^{s_{2}} ⋯ (λ_{k} − t)^{s_{k}} ,

welches somit die Eigenschaften ii) besitzt.

ii)⇒iii) Durch W = Eig(F; λ_{i}) + ⋯ + Eig(F; λ_{k}) werde ein Untervektorraum von V definiert. Da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, gilt W = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k}). Dann folgt dim(W) = s_{1} + ⋯ + s_{k} = n und somit W = V.

iii)⇒i) Sei B_{i} = (v_{1}^{(i)}, …, v_{s_{i}}^{(i)}) eine Basis von Eig(F; λ_{i}). Dann ist

B = (v_{1}^{(1)}, …, v_{s_{1}}^{(1)}, v_{1}^{(2)}, …, v_{s_{2}}^{(2)}, …, v_{1}^{(k)}, …, v_{s_{k}}^{(k)})

eine Basis von V. Wegen F (v_{j}^{(i)}) = λ_{i}v_{j}^{(i)} für 1 ≤ j ≤ s_{i} ist B eine Basis aus Eigenvektoren von F, d.h. F ist diagonalisierbar. □

Wir sehen uns ein Beispiel zur Diagonalisierung an:

Beispiele 3.1 Es sei F ∈ End(ℝ^{3}) gegeben durch

F (x, y, z) := (y − z, 3x + 2y − 3z, 2x + 2y − 3z) .

1. Schritt: Bestimmung der darstellenden Matrix bezüglich einer Basis. Die Vektoren v = (x, y, z) und w = (y − z, 3x + 2y − 3z, 2x + 2y − 3z) sind bereits in der Standardbasis E_{3} = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) des ℝ^{3} dargestellt. Daraus lesen wir

F (e_{1}) = 3e_{2} + 2e_{3} ,  F (e_{2}) = e_{1} + 2e_{2} + 2e_{3} ,  F (e_{3}) = −e_{1} − 3e_{2} − 3e_{3}

ab. Dann ist die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis A = (a_{ij}) = M_{E_{3}}^{E_{3}}(F) gegeben durch F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{3} a_{ij} · e_{i}. Wir lesen ab:

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 3 & 2 & −3 \\ 2 & 2 & −3 \end{matrix} ) .

(Die Bilder der Basisvektoren ergeben die Spalten von A.)

2. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms. Zu berechnen ist det(A− t · E_{3}), sinnvollerweise durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix:

det(A − t · E_{3}) = det ( \begin{matrix}−t & 1 & −1 \\ 3 & 2 − t & −3 \\ 2 & 2 & −3 − t \end{matrix} ) =^{P_{13}} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 3 & 2 − t & −3 \\ −t & 1 & −1 \end{matrix} )

=^{Q_{12}(− \frac{3}{2} )} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 0 & −1 − t & \frac{3}{2} + \frac{3}{2}t \\ −t & 1 & −1 \end{matrix} ) =^{Q_{13}( \frac{t}{2} )} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 0 & −1 − t & \frac{3}{2} + \frac{3}{2}t \\ 0 & 1 + t & −1 − \frac{3}{2}t − \frac{1}{2}t^{2} \end{matrix} )

=^{Q_{23}(1)} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 0 & −1 − t & \frac{3}{2} + \frac{3}{2}t \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} − \frac{1}{2}t^{2} \end{matrix} ) = −2(−1 − t)(\frac{1}{2} − \frac{1}{2}t^{2}) = (1 + t)(1 − t^{2})

= −(t − 1)(t − (−1))^{2} .

Damit zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren. Seine Nullstellen sind λ_{1} = 1 mit Vielfachheit μ(P_{A}(t), 1) = 1 und λ_{2} = −1 mit Vielfachheit μ(P_{A}(t), −1) = 2.

3. Schritt: Bestimmen der Eigenräume. Zum Eigenwert λ_{1} = 1 lösen wir das lineare Gleichungssystem (A−λ_{1}·E_{3})x = 0 durch elementare Zeilenumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix

( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 & 0 \\ 3 & 1 & −3 & 0 \\ 2 & 2 & −4 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(3) Q_{13}(2)} ( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 4 & −6 & 0 \\ 0 & 4 & −6 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{23}(−1)} ( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 4 & −6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

⟶^{Q_{12}(− \frac{1}{4} )} ( \begin{matrix}−1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & −6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{S_{1}(−1) S_{2}( \frac{1}{4} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & −\frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

74 Damit gilt dim(Eig(F; 1)) = 1, und das zu (A−λ_{1}·E_{3})x = 0 äquivalente Problem

Preliminary version – 13. Juli 2006

( \begin{matrix}E_{r} & B \\ 0 & 0 \end{matrix} ) x = ( b̃ ; 0 ) besitzt die Lösung x = ( b̃ ; 0 ) + ( \begin{matrix}−B \\ E_{n−r} \end{matrix} ) · w mit w ∈

K^{n−r}. In unserem Fall erhalten wir also

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + ( \frac{1}{2} \frac{3}{2} 1 ) · w = ( \begin{matrix}\frac{1}{2}w \\ \frac{3}{2}w \\ w \end{matrix} ) .

Ein Basisvektor ist also v_{1}^{(1)} = (1, 3, 2). Wir überprüfen:

F (v_{1}^{(1)}) = F (e_{1} + 3e_{2} + 2e_{3}) = F (e_{1}) + 3F (e_{2}) + 2F (e_{3})

= (3e_{2} + 2e_{3}) + 3(e_{1} + 2e_{2} + 2e_{3}) + 2(−e_{1} − 3e_{2} − 3e_{3}) = e_{1} + 3e_{2} + 2e_{3}

= v_{1}^{(1)} .

Wir bestimmen nun den Eigenraum zu λ_{2} = −1: Zu lösen ist das lineare Gleichungssystem (A − λ_{2} · E_{3})x = 0 durch elementare Zeilenumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix

( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & 0 \\ 3 & 3 & −3 & 0 \\ 2 & 2 & −2 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(−3) Q_{13}(−2)} ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Damit gilt dim(Eig(F; 1)) = 2, und die Lösungsvektoren sind

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−w_{1} + w_{2} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) .

Damit finden wir die beiden Basisvektoren v_{1}^{(2)} = (−1, 1, 0) und v_{2}^{(2)} = (1, 0, 1). Wir überprüfen

F (v_{1}^{(2)}) = F (−e_{1} + e_{2}) = −F (e_{1}) + F (e_{2}) = −(3e_{2} + 2e_{3}) + (e_{1} + 2e_{2} + 2e_{3})
= e_{1} − e_{2} = −v_{1}^{(2)}

und

F (v_{2}^{(2)}) = F (e_{1} + e_{3}) = F (e_{1}) + F (e_{3}) = (3e_{2} + 2e_{3}) + (−e_{1} − 3e_{2} − 3e_{3})
= −e_{1} − e_{3} = −v_{2}^{(2)} .

Also sind die Dimensionen der Eigenräume gleich der Vielfachheit der Nullstellen, und F ist diagonalisierbar. Eine Basis von V, welche F diagonalisiert, ist also

B = ((1, 3, 2), (−1, 1, 0), (1, 0, 1)) .

In dieser Basis gilt also

M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

Für diagonalisierbare Endomorphismen F ∈ End(V) ist auch die folgende Betrachtung interessant. Sei A = (w_{1}, …, w_{n}) die beliebig gewählte Basis, bezüglich der wir die darstellende Matrix A = M_{A}^{A}(F) und dann das charakteristische Polynom P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) bestimmen. Sei B = (v_{1}, …, v_{n}) die Basis aus Eigenvektoren. Dann können wir die Eigenvektoren wieder in der Basis A darstellen:

v_{j} = ∑_{i=1}^{n} c_{ij} · w_{i} .

Wie die Schreibweise bereits andeutet, sehen wir c_{ij} als Komponenten einer Matrix C = (c_{ij}) an, deren j-te Spalte gerade die Komponenten des j-ten Eigenvektors bezüglich der Basis A sind. Wir berechnen das Matrixprodukt

A · C = A · (v_{1}, …, v_{n}) = (A · v_{1}, …, A · v_{n}) = (λ_{1}v_{1}, …, λ_{n}v_{n})

= (v_{1}, …, v_{n}) · ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) = C · ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) .

Durch Multiplikation mit C^{−1} erhalten wir die beiden Beziehungen

A = C^{−1} · ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) · C ,  ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) = C · A · C^{−1} .

Wir führen die entsprechende Rechnung für das Beispiel 3.1 durch. Die Rechnung wurde in der Standardbasis A = E_{3} durchgeführt. Die Spalten der Matrix C sind dann die Komponenten der Eigenvektoren in der Standardbasis,

C = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Wir berechnen die inverse Matrix:

( \begin{matrix}1 & −1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(−3) Q_{13}(−2)} ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & −3 & −3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & −1 & −2 & 0 & 1 \end{matrix} )

⟶^{Q_{23}(− \frac{1}{2} )} ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & −3 & −3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{32}(6) Q_{31}(−2)} ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 & 2 & 1 & −2 \\ 0 & 4 & 0 & −6 & −2 & 6 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & 1 \end{matrix} )

⟶^{Q_{21}( \frac{1}{4} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ 0 & 4 & 0 & −6 & −2 & 6 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & 1 \end{matrix} ) ⟶^{S_{2}( \frac{1}{4} ) S_{3}(2)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & −\frac{3}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & −1 & −1 & 2 \end{matrix} ) .

Somit gilt

C^{−1} = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ −\frac{3}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix} ) .

Damit ergibt sich A = C · diag(λ_{i}) · C^{−1} zu

( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 3 & 2 & −3 \\ 2 & 2 & −3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ −\frac{3}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix} ) .

Zum Abschluß der Betrachtungen zur Diagonalisierbarkeit untersuchen wir folgendes Problem: Gegeben seinen zwei diagonalisierbare Endomorphismen F, G ∈ End(V). Unter welchen Bedingungen sind F, G simultan diagonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis von V aus Eigenvektoren von F und G gleichzeitig?

Satz 3.21 Zwei diagonalisierbare Endomorphismen F, G ∈ End(V) sind genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie miteinander kommutieren, d.h. wenn F ∘ G = G ∘ F.

Beweis. (⇒) Sind F, G simultan diagonalisierbar, dann existiert eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V mit F (v_{i}) = λ_{i}v_{i} und G(v_{i}) = μ_{i}v_{i}. Dann gilt für einen beliebigen Vektor v = ∑_{i=1}^{n} κ_{i}v_{i} ∈ V

(F ∘ G)(v) = F (G(∑_{i=1}^{n} κ_{i}v_{i})) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}κ_{i}μ_{i}v_{i} = (G ∘ F)(v) .

(⇐) Wir zerlegen den Vektorraum V in die Eigenräume:

V = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k})
= Eig(G; μ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(G; μ_{l}) .

Kommutieren F und G, dann gilt F (Eig(G; μ_{j})) ⊂ Eig(G; μ_{j}) für alle 1 ≤ j ≤ l, denn für w_{j} ∈ Eig(G; μ_{j}) folgt

G(F (w_{j})) = F (G(w_{j})) = F (μ_{j}w_{j}) = μ_{j}F (w_{j}) .

Sei nun W_{ij} := Eig(F; λ_{i}) ∩ Eig(G; μ_{j}). Dann ist W_{ij} ⊂ V ein Untervektorraum, und es gilt Eig(F; λ_{i}) = W_{i1} ⊕ ⋯ ⊕ W_{il}. Denn sei v_{i} ∈ Eig(F; λ_{i}), dann gibt es w_{1} ∈ Eig(G; μ_{1}), …, w_{l} ∈ Eig(G; μ_{l}) mit v_{i} = w_{1} + ⋯ + w_{l} (verwende Basis von V aus Eigenvektoren von G). Anwenden von F liefert

F (v_{i}) = F (w_{1}) + ⋯ + F (w_{l}) = λv_{i} = λw_{1} + ⋯ + λw_{l} .

Nun ist F (w_{j}) ⊂ Eig(G; μ_{j}), und da Vektoren w_{j}, w′_{j} linear unabhängig sind für j ≠ j′, folgt F (w_{j}) = λw_{j} für alle 1 ≤ j ≤ l. Damit ist w_{j} ⊂ Eig(F; λ_{i}), also Eig(F; λ_{i}) = W_{i1} + ⋯ + W_{il}, und aus der linearen Unabhängigkeit folgt die Behauptung. Sei B_{ij} = (v_{1}^{(ij)}, … v_{s_{ij}}^{(ij)}) eine Basis von W_{ij}, dann ist

(B_{11}, …, B_{1l}, B_{21}, …, B_{2l}, …, B_{k1}, …, B_{kl})

eine Basis von V, in der F und G simultan diagonalisierbar sind, mit F (v_{r}^{(ij)}) = λ_{i}v_{r}^{(ij)} und mit G(v_{r}^{(ij)}) = μ_{j}v_{r}^{(ij)}. □

Simultane Diagonalisierbarkeit (in verallgemeinerter Form) ist wichtig in der Quantenmechanik, wo man in einem System zwei physikalische Größen nur dann gleichzeitig messen kann, wenn die entsprechenden Endomorphismen (des Hilbert-Raumes) miteinander kommutieren. Im Wasserstoffatom sind das die Energie, der Gesamtdrehimpuls, eine Komponente des Drehimpulses (üblicherweise die z-Komponente) und der Spin. Entsprechend schreibt sich der Hilbert-Raum als direkte Summe von Eigenunterräumen der linearen Abbildungen, welche diesen physikalischen Größen entsprechen.

3.7 Trigonalisierung

Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus erfordert zwei Bedingungen: (1) Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.

(2) Die Vielfachheit der Nullstellen ist gleich der Dimension der Eigenräume. Wir werden nun sehen, daß für Endomorphismen, die nur (1) erfüllen, eine Basis exisitiert, so daß die darstellende Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist. Das genügt zur Lösung von Gleichungssystemen.

Definition 3.9 Sei F ∈ End(V). Ein Untervektorraum W ⊂ V heißt F -invariant, wenn F (W) ⊂ W.

Offenbar sind die Eigenräume Eig(F; λ) automatisch F -invariant. Für die Triagonalisierung sind invariante Unterräume interessant, die keine Eigenräume sind.

Satz 3.22 Sei W ⊂ V ein F -invarianter Unterraum und F |_{W} : W → W die Einschränkung von F auf W. Sei A|_{W} die darstellende Matrix von F_{W} und A die darstellende Matrix von F bezüglich beliebiger Basen. Dann ist das charakteristische Polynom P_{A|_{W}} (t) ein Teiler von P_{A}(t).

Beweis. Sei dim(V) = n und dim(W) = r ≤ n. Wir ergänzen eine Basis B|_{W} von W zu einer Basis B = (B|_{W} , B′) von V. Sei A|_{W} := M_{B|_{W}}^{B|_{W}} (F |_{W}), dann gilt

A = M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}A|_{W} & ∗ \\ 0 & A′ \end{matrix} ) .

Damit ist P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) = P_{A|_{W}} (t) · det(A′ − t · E_{n−r}). □

Sei F ∈ End(K^{n}) in der Standardbasis durch eine obere Dreiecksmatrix A ∈ M(n, K), d.h. a_{ij} = 0 für i > j, dargestellt. Definieren wir W_{i} := span(e_{1}, …, e_{r}), dann gilt F (W_{r}) ⊂ W_{r}, d.h. alle W_{r} mit 1 ≤ r ≤ n sind F -invariant. Abstrakter formuliert:

Definition 3.10 Eine Fahne (V_{r}) in einem n-dimensionalen Vektorraum V ist eine Kette

{0} = V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ V_{2} ⋯ ⊂ V_{n} = V

von Untervektorräumen mit dim(V_{r}) = r. Ist F ∈ End(V), dann heißt die Fahne F -invariant, wenn F (V_{r}) ⊂ V_{r} für alle 0 ≤ r ≤ n.

Jede Basis von V definiert eine Fahne. Entscheidend ist, daß in einer F - invarianten Fahne gilt F (V_{1}) ⊂ V_{1} mit dim(V_{1}) = 1, so daß es einen Eigenvektor von F geben muß. Aus der Definition folgt direkt:

Satz 3.23 Für F ∈ End(V) sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) Es gibt eine F -invariante Fahne von V.

ii) Es gibt eine Basis B von V, so daß M_{B}^{B}(F) eine obere Dreiecksmatrix ist.

Ist das der Fall, dann heißt F trigonalisierbar.

Nun der entscheidende Satz:

Satz 3.24 Für F ∈ End(V) mit dim(V) = n sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) F ist trigonalisierbar.

ii) Das charakteristische Polynom von F zerfällt in Linearfaktoren, d.h.

P_{A}(t) = (−1)^{n}(t − λ_{1})(t − λ_{2}) ⋯ (t − λ_{n}) , λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K ,

wobei A die darstellende Matrix von F in einer beliebigen Basis von V ist.

Insbesondere gilt: Jeder Endomorphismus eines endlich-dimensionalen komplexen Vektorraumes ist trigonalisierbar.

Beweis. i)⇒ii) ist klar, denn ist die darstellende Matrix A von F eine obere Dreiecksmatrix so gilt P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) = (a_{11} − t) ⋯ (a_{nn} − t), d.h. λ_{i} = a_{ii}.

ii)⇒i) durch Induktion in n = dim(V). Der Fall n = 1 ist klar. Sei also n ≥ 2, dann wählen wir einen Eigenvektor v_{1} zum Eigenwert (Nullstelle) λ_{1} und ergänzen v_{1} zu einer Basis B = (v_{1}, w_{1}, …, w_{n−1}) von V. Dann ist

V = V_{1} ⊕ W mit V_{1} := span(v_{1}) , W = span(w_{1}, …, w_{n−1}) .

Nun ist V_{1} ein F -invarianter Untervektorraum, W im allgemeinen aber nicht:

A = M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}λ_{1} & a_{1} & … & a_{n−1} \\ 0 \\ ⋮ & & B \\ 0 \end{matrix} ) .

Diese Darstellung definiert zwei lineare Abbildungen

G : W → W ,  G(w_{j}) = ∑_{i=1}^{n−1} B_{ij} · w_{i} ,
H : W → V_{1} ,  H(w_{j}) = a_{j} · v_{1} .

Nun gilt für das charakteristische Polynom P_{A}(t) = −(t−λ_{1})P_{B}(t). Da P_{A}(t) nach Voraussetzung in Linearfaktoren zerfällt, zerfällt auch P_{B}(t) in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung ist die durch B definierte lineare Abbildung G ∈ End(W) trigonalisierbar. Es gibt also eine G-invariante Fahne {0} = W_{0} ⊂ W_{1} ⊂ ⋯ ⊂ W_{n−1} = W. Wir setzen V_{r} := V_{1}+W_{r−1} für 1 ≤ r ≤ n. Ist v = μv_{1}+w ∈ V_{r}, also w ∈ W_{r−1}, dann gilt

F (v) = μF (v) + F (w) = μλ_{1}v_{1} + G(w) + H(w) ⊂ V_{1} + W_{r−1}

wegen H(w) ∈ V_{1} und G(w) ∈ W_{r−1}. Somit ist {0} = V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ ⋯ ⊂ V_{n} = V eine F -invariante Fahne, und F ist trigonalisierbar. □

Beispiele 3.2 Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Differentialgleichung

x^{..} (t) + 2μẋ(t) + ω^{2}x(t) = 0 , x(0) = x_{0} , ẋ(0) = v_{0}

beschrieben. Wir setzen y_{1}(t) = x(t), y_{2}(t) = ẋ(t), dann ergibt sich ein System von zwei gekoppelten lineren Differentialgleichungen erster Ordnung

ẏ = A · y mit y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) , A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −ω^{2} & −2μ \end{matrix} ) , y(0) = ( \begin{matrix}x_{0} \\ v_{0} \end{matrix} ) .

Da A unabhängig von t ist, ist die formale (und korrekte) Lösung gegeben durch

y(t) = exp(At) · y(0) mit exp(At) = E_{2} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{t^{n}}{n!} \underbrace{A ⋯ A}_{n} ,

jedoch lassen sich diese Produkte so nicht leicht berechnen. Der Ausweg besteht in der Trigonalisierung von A.

Zunächst hat P_{A}(t) = t^{2} + 2μt + ω^{2} die komplexen Nullstellen λ_{1,2} = −μ ± \sqrt{μ^{2} − ω^{2}}. Für μ = ω hat die Nullstelle λ = −μ die Vielfachheit 2, die uns näher interessieren wird. Für μ = ω bestimmen wir den Eigenraum zu λ = −ω:

(A + ω · E_{2}) · v = ( \begin{matrix}ω & 1 \\ −ω^{2} & −ω \end{matrix} ) ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} )

⇒ ( \begin{matrix}ω & ω & 1 \\ −ω^{2} & −ω & 0 \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}ω & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  ⇒ v = ( \begin{matrix}1 \\ −ω \end{matrix} ) · w .

Damit ist dim(Eig(A; −ω)) = 1, aber die Nullstelle hat Vielfachheit 2. Folglich ist A nicht diagonalisierbar.

Zur Trigonalisierung wählen wie die Basis B = (v, e_{2}), dann ist

A = \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 \\ −ω & 1 \end{matrix} )}_{C} ( \begin{matrix}−ω & 1 \\ 0 & −ω \end{matrix} ) \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 \\ ω & 1 \end{matrix} )}_{C^{−1}} .

Somit gilt

A^{n} = C ( \begin{matrix}−ω & 1 \\ 0 & −ω \end{matrix} )^{n} C^{−1} = C ( \begin{matrix}(−ω)^{n} & nω^{n−1} \\ 0 & (−ω)^{n} \end{matrix} )^{n} C^{−1}

⇒ exp(At) = C ( \begin{matrix}e^{−ωt} & −\frac{1}{ω}(e^{−ωt} − 1) \\ 0 & e^{−ωt} \end{matrix} ) C^{−1}

und damit insbesondere

(C^{−1}y)(t) = ( \begin{matrix}e^{−ωt} & −\frac{1}{ω}(e^{−ωt} − 1) \\ 0 & e^{−ωt} \end{matrix} ) C^{−1}y(0)

Unter Verwendung von C^{−1}y = ( \begin{matrix}x \\ ωx + ẋ \end{matrix} ) erhalten wir für die 2. Komponente

ωx + ẋ = e^{−ωt}(ωx_{0} + v_{0})
⇒  e^{−ωt} \frac{d}{dt}(e^{ωt}x) = e^{−ωt}(ωx_{0} + v_{0})
⇒  (e^{ωt}x) = const + t(ωx_{0} + v_{0}) , t = 0 ⇒ const = x_{0}
⇒  x = e^{−ωt}(x_{0} + tωx_{0} + tv_{0}) .

3.8 Das Minimalpolynom

Sei F ∈ End(V) Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V. Jedes Polynom f(t) ∈ K[t], f(t) = ∑_{i=0}^{k} α_{i}t^{i} definiert eine Abbildung f : End(V) → End(V) durch

f(F) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}F^{i} , F^{i} = \underbrace{F ∘ ⋯ ∘ F}_{i mal} , F^{0} = id_{V} .

Zu gegebenem F ∈ End(V) ist die Menge K[F] aller Polynome in F mit Koeffizienten in K ein kommutativer Unterring von End(V). Interessant sind nun die “Nullstellen” solcher Polynome: Wir bezeichnen mit

I_{F} := {f ∈ K[t] : f(F) = 0 ∈ End(F)} ⊂ K[t]

die Menge aller Polynome f ∈ K[t] mit f(F) = 0 (rechts steht der Nullendomorphismus, nicht 0 ∈ K). Klar ist, daß I_{F} ein Unterring von K[t] ist. Außerdem gilt

I_{F} · K[t] ⊂ I_{F} , d.h. g(F) · f(F) ⊂ I_{F} ∀g ∈ I_{F} , f ∈ K[t] .

Eine Teilmenge eines Ringes mit solchen Eigenschaften heißt Ideal:

Definition 3.11 Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Linksideal bzw. Rechtsideal, wenn

(I1) P, Q ∈ I ⇒ P − Q ∈ I

(I1) P ∈ I, Q ∈ R ⇒ P · Q ∈ I bzw. Q · P ∈ I.

Ein Linksideal, das gleichzeitig Rechtsideal ist, heißt beidseitiges Ideal.

In kommutativen Ringen sind Links-, Rechts- und beidseitige Ideale identisch.

Die Frage ist nun: Was ist zu gegebenem F ∈ End(V) der minimale Grad d eines Polynoms f ∈ I_{F}? Eine Schranke gibt der

Satz 3.25 (Satz von Cayley-Hamilton) Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, F ∈ End(V) ein Endomorphismus und P_{F} (t) sein charakteristisches Polynom. Dann gilt P_{F} (F) = 0 ∈ End(V). Insbesondere gilt für jede Matrix A ∈ M(n, K) die Identität P_{A}(A) = 0 ∈ M(n, K).

Beweis. Wir beweisen den Satz nur für die (physikalisch interessanten Fälle) K = ℝ und K = ℂ und beginnen mit dem komplexen Fall. Dann ist F trigonalisierbar, und es gibt eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}), so daß

A = M_{B}^{B} = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) .

Folglich gilt P_{A}(t) = P_{F} (t) = (λ_{1} − t) ⋯ (λ_{n} − t) und dann

P_{F} (F) = (λ_{1} · id_{V} − F) ∘ ⋯ ∘ (λ_{n} · id_{V} − F) .

Wir nutzen, daß {0} = V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ ⋯ ⊂ V_{n} = V mit V_{i} = span(v_{1}, …, v_{i}) eine invariante Fahne ist, d.h. F (V_{i}) ⊂ V_{i} und dim(V_{i}) = i. Sei entsprechend

G_{i} := (λ_{1} · id_{V} − F) ∘ ⋯ ∘ (λ_{i} · id_{V} − F) .

Wir zeigen mittels vollständiger Induktion, daß G_{i}(V_{i}) = 0 ∈ V gilt für alle 1 ≤ i ≤ n. Der Induktionsanfang ist klar: Ein beliebiger Vektor aus V_{1} hat die Form μ_{1}v_{1} und ist für μ_{1} ≠ 0 ein Eigenvektor von F. Dann ist

G_{1}(μ_{1}v_{1}) = (λ_{1} · id_{V} − F)(μ_{1}v_{1}) = μ_{1}(λ_{1}v_{1} − F (v_{1})) = 0 .

Angenomen, G_{i−1}(V_{i−1}) = 0 ist gezeigt. Dann hat ein beliebiger Vektor v ∈ V_{i} die Gestalt v = μv_{i} + w mit w ∈ V_{i−1}. Es gilt

λ_{i}w − F (w) ∈ V_{i−1} , λ_{i}v_{i} − F (v_{i}) ∈ V_{i−1} ,

(die erste Beziehung aus der Invarianz von V_{i}, die zweite aus der Darstellung über die obere Dreiecksmatrix A) und somit

G_{i}(μv_{i} + w) = G_{i−1} ∘ (λ_{i} · id_{V} − F)(μv_{i} + w) ⊂ G_{i−1}(V_{i−1}) = 0 .

Im reellen Fall können wir dennoch jede Matrix komplex trigonalisieren, d.h. zu A ∈ M(n, ℝ) gibt es C ∈ M(n, ℂ) und eine obere Dreiecksmatrix D ∈ M(n, ℂ) mit A = CDC^{−1}. Dann ist P_{A}(t) = det(A − tE_{n}) = det(D − tE_{n}) = P_{D}(t) und somit

P_{D}(A) = P_{D}(CAC^{−1}) = CP_{D}(D)C^{−1} = 0 .  □

Satz 3.26 Zu jedem Ideal I ⊂ K[t] mit I ≠ {0} gibt es ein eindeutiges Polynom M mit folgenden Eigenschaften:

i) M ist normiert, d.h. M = ∑_{i=0}^{d} α_{i}t^{i} mit α_{d} = 1.

ii) Für jedes P ⊂ I gibt es ein Q ∈ K[t] mit P = Q · M.

Dieses Polynom M heißt das Minimalpolynom von I. Ist I = I_{F}, so heißt M das Minimalpolynom von F.

Beweis. Sei d ≥ 0 der minimale Grad eines Polynoms M = ∑_{i=0}^{r} α_{i}t^{i} ∈ I. Durch Division durch den höchsten Koeffizienten α_{d} ≠ 0 kann stets α_{d} = 1 erreicht werden. Die weiteren Koeffizienten α_{0}, …, α_{d−1} sind zunächst noch unbestimmt. Sei P ∈ I ein beliebiges Polynom aus dem Ideal. Dann gilt deg(P) ≥ d. Wir dividieren P mit Rest durch M:

P = Q · M + R , Q, R ∈ K[t] , deg(R) < d .

Wäre R ≠ 0, so wäre R = P − Q · M ⊂ I im Widerspruch zur Minimalität des Grades d von Polynomen in I. Insbesondere kann es nur ein normiertes Polynom minimalen Grades geben. □

Der Satz ist eine reine Existenzaussage. Er liefert keinen Hinweis, wie das Minimalpolynom wirklich ausgerechnet werden kann. Es gibt jedoch eine nützliche Beziehung zwischen dem Minimalpolynom und dem charakteristischen Polynom:

Satz 3.27 Für einen beliebigen Endomorphismus F ∈ End(V) haben das charakteristische Polynom P_{F} (t) ∈ K[t] und das Minimalpolynom M_{F} (t) ∈ K[t] dieselben Nullstellen.

Beweis. Wir betrachten das Ideal I_{F} = {P ∈ K[t] : P (F) = 0}. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist P_{F} ∈ I_{F}, so daß es auf Grund der Eigenschaften des Minimalpolynoms ein Polynom g ∈ K[t] gibt mit P_{F} (t) = g(t) · M_{F} (t). Damit ist jede Nullstelle von M_{F} auch eine Nullstelle von P_{F}.

Sei umgekehrt λ eine Nullstelle von P_{F}. Dann ist λ ein Eigenwert von F. Wir wählen einen Eigenvektor v ∈ V mit v ≠ 0 von F zum Eigenwert λ. Sei M_{F} (t) = t^{d} + ∑_{i=0}^{d−1} α_{i}t^{i} das Minimalpolynom. Dann gilt

(M_{F} (F))(v) = F^{d}(v) + ∑_{i=1}^{d−1} α_{i}F^{i}(v) + α_{0}v = (λ^{d} + ∑_{i=1}^{d−1} α_{i}λ^{i} + α_{0}) · v = M_{F} (λ) · v .

Andererseits ist M_{F} (F) der Nullendomorphismus, also (M_{F} (F))(v) = 0 ∈ V für alle v ∈ V, so daß M_{F} (λ) = 0 ∈ K. □

Satz 3.28 Sei F ∈ End(V). Wenn das charakteristische Polynom von F in Linearfaktoren zerfällt, P_{F} (t) = (−1)^{n}(t − λ_{1})^{μ_{1}} ⋯ (t − λ_{r})^{μ_{r}} mit λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K paarweise verschieden, dann zerfällt auch das Minimalpolynom in Linearfaktoren, und es gibt natürliche Zahlen γ_{1}, …, γ_{r} mit 1 ≤ γ_{i} ≤ μ_{i}, so daß

M_{F} (t) = (t − λ_{1})^{γ_{1}} ⋯ (t − λ_{r})^{γ_{r}} .

Beweis. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gibt es ein Polynom g ∈ K[t] mit P_{F} (t) = g(t)·M_{F} (t). Ist λ_{1} Nullstelle von P_{F}, dann ist λ Nullstelle von g oder von M_{F}. Nach Satz 3.17 gilt dann g = (t−λ_{1})g_{1} oder M_{F} = (t−λ_{1})M_{1} für Polynome g_{1}, M_{1} ∈ K[t]. Wir könnnen dann das Polynom t − λ_{1} ohne Rest abdividieren und wiederholen das Verfahren für alle Linearfaktoren (t − λ_{i}) entsprechend der Vielfachheit μ_{i}. Das Ergebnis ist eine Gleichung der Form

1 = g_{μ_{1}+···+μ_{r}} · M_{μ_{1}+···+μ_{r}} ,  g = g_{μ_{1}+···+μ_{r}}(t − λ_{1})^{μ_{1}−γ_{1}} ⋯ (t − λ_{r})^{μ_{1}−γ_{r}} ,
M_{F} = M_{μ_{1}+···+μ_{r}}(t − λ_{1})^{γ_{1}} ⋯ (t − λ_{r})^{γ_{r}} ,

mit γ_{i} > 0 und μ_{i} − γ_{i} > 0. Nach dem vorigen Satz ist in Wirklichkeit γ_{i} > 1. Zunächst sind g_{μ_{1}+···+μ_{r}} und M_{μ_{1}+···+μ_{r}} beliebige Polynome, aber aus deg(g_{μ_{1}+···+μ_{r}}) = deg(M_{μ_{1}+···+μ_{r}}) = 0 folgt g_{μ_{1}+···+μ_{r}}, M_{μ_{1}+···+μ_{r}} ∈ K und dann die Behauptung. □

Damit haben wir in einem wichtigen Spezialfall folgende Strategie zur Bestimmung des Minimalpolynoms von F ∈ End(V) gefunden: Wenn das charakteristische Polynom von F in Linearfaktoren zerfällt mit P_{F} (t) = (−1)^{n}(t − λ_{1})^{μ_{1}} ⋯ (t − λ_{r})^{μ_{r}}, dann probiere für alle Mengen natürlicher Zahlen {γ_{1}, …, γ_{r}} mit 1 ≤ γ_{i} ≤ μ_{i}, ob (F − λ_{1}id_{V})^{γ_{1}} ∘ … (F − λ_{r}id_{V})^{γ_{r}} = 0 ist. Die Lösung mit minimalem γ_{1} + ⋯ + γ_{r} ist das Minimalpolynom. Starten würde man mit γ_{1} = ⋯ = γ_{r} = 1. Ist damit bereits das Minimalpolynom gefunden, so ist F diagonalisierbar:

Satz 3.29 Ein Endomorphismus F ∈ End(V) ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt mit paarweise verschiedenen Nullstellen λ_{1}, …, λ_{r} und M_{F} = (t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{r}) das Minimalpolynom von F ist.

Beweis. (⇒) Ist F diagonalisierbar, so zerfällt das charakterisitsche Polynom in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen Nullstellen λ_{1}, …, λ_{r}, und für die Eigenräume gilt

V = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ Eig(F; λ_{r}) .

Damit hat ein beliebiger Vektor aus v ∈ V die Darstellung v = v_{1} + ⋯ + v_{r} mit v_{i} ∈ Eig(F; λ_{i}). Wir wenden den Endomorphismus (F − λ_{1} · id_{V}) ⋯ (F − λ_{r} · id_{V}) auf v an. Wegen der Kommutativität der Faktoren können wir zu jedem v_{i} den Faktor (F −λ_{i} ·id_{V}) nach rechts bringen, für den (F −λ_{i} ·id_{V})(v_{i}) = 0 gilt. Damit ist M_{F} (t) = (t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{r}) das Minimalpolynom von F.

(⇐) Aus Zeitgründen verzichten wir auf den Beweis der Umkehrung… □

Stattdessen soll die Diagonalisierbarkeit für die bisherigen beiden Beispiele durch Kontrolle des Minimalpolynoms untersucht werden. Im Beispiel zur gedämpften Schwingung hatte wir die Matrix

A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −ω^{2} & −2μ \end{matrix} )

betrachtet. Das charakteristische Polynom hatte die Nullstellen λ_{1,2} = −μ ± \sqrt{μ^{2} − ω^{2}}. Im Fall μ ≠ λ ist A (zumindest komplex) diagonalisierbar. Für μ = ω hat die Nullstelle die Vielfachheit 2, und damit ist A genau dann diagonalisierbar, wenn (t + μ) das Minimalpolynom ist. Wir haben aber

A + μ · E_{n} = ( \begin{matrix}μ & 1 \\ −μ^{2} & −μ \end{matrix} ) ≠ 0 ,

also ist A nicht diagonalisierbar.

Das erste Beispiel war

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 3 & 2 & −3 \\ 2 & 2 & −3 \end{matrix} )

mit charakteristischem Polynom P_{A}(t) = (1 − t)(t + 1)^{2}. Wir testen also, ob (t − 1)(t + 1) = t^{2} − 1 das Minimalpolynom ist, d.h. A^{2} = E_{3} gilt:

( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 3 & 2 & −3 \\ 2 & 2 & −3 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 3 & 2 & −3 \\ 2 & 2 & −3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Damit ist A diagonalisierbar.