Prof. Dr. R. Wulkenhaar 06.07.2006 Dr. R. Brüske 10h15-12h45

Klausur zur Mathematik für Physiker II — SS 2006, Version A

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Vor der Abgabe Ihrer Klausur legen Sie bitte alles in der richtigen Reihenfolge zusammen.

Aufgabe  1 2 3 4 5 6 7 8  ∑

bearbeitet

maximale

Punktzahl 7 3 4 4 8 4 4 4 38

erreichte Punktzahl Korrektor

Mit 16 Punkten ist die Klausur sicher bestanden.

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Aufgabe 1. Unterstreichen Sie jeweils die richtigen der vier Aussagen (und heften Sie dieses Blatt an die Abgabe!!). Jede Teilaufgabe a)–g) gilt nur dann als gelöst, wenn genau alle richtigen Aussagen unterstrichen sind.

a) Teilmengen eines Vektorraums sind: stets zu einem Erzeugendensystem ergänzbar / zu einer Basis ergänzbar / zu einer Basis verkürzbar / linear abhängig.

b) m × n-Matrizen mit Rang n: sind invertierbar / haben mindestens so viele Zeilen wie Spalten / haben mindestens so viele Spalten wie Zeilen / haben n linear unabhängige Zeilen.

c) Eine Determinante ist für quadratische Matrizen erklärt / ist für ganzzahlige Matrizen stets ganzzahlig / ist für jede Matrix ungleich der Nullmatrix ungleich Null / zeigt, ob eine Matrix invertierbar ist.

d) Sind U, W ⊂ V Untervektorräume mit U ∩ W = 0, so gilt U+W = V / dim(U)+dim(W) = dim(V) / dim(U)+dim(W) ≤ dim(V) / U+W = U⊕W

e) Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist manchmal leer / wenn nicht leer, dann mehrelementig / invariant unter Zeilenumformungen / invariant unter Vertauschungen von Spalten

f) Sei F : V → W eine injektive lineare Abbildung endlich-dimensionaler Vektorräume V, W. Dann gilt: dim(W) ≥ dim(V) / dim(im(F)) = dim(ker(F)) / dim(V) = dim(im(F)) / dim(W) = dim(V), falls f surjektiv ist.

g) U, W ⊂ V seien echte Untervektorräume eines Vektorraums V (beide ≠ dem Nullvektorraum). Dann gilt: U ∩ W ist Untervektorraum / U ∩ W ≠ {0} / U + W ist Untervektorraum / U + W = V.

Aufgabe 2. Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen nichtleeren Mengen X und Y. Zeigen Sie: Ist f injektiv, so gilt f(A_{1} ∩ A_{2}) = f(A_{1}) ∩ f(A_{2}) für alle Teilmengen A_{1}, A_{2} von X.

Aufgabe 3. Gibt es im ℝ^{17} Untervektorräume U, W mit dim(U) = 13, dim(W) = 7 und U + W = ℝ^{17} sowie

a) dim(U ∩ W) = 0, b) dim(U ∩ W) = 1, c) dim(U ∩ W) = 2, d) dim(U ∩ W) = 3? Wenn ja, geben Sie jeweils ein Beispiel dafür an.

Aufgabe 4. Für t ∈ ℝ sei die lineare Abbildung f_{t} : ℝ^{3} → ℝ^{3} gegeben durch

f_{t} : (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix}1 & t^{2} & t \\ t & 1 & t^{2} \\ t & t^{2} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) .

Bestimmen Sie die t ∈ ℝ, für die f_{t} bijektiv ist.

Aufgabe 5. Es sei

B = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)) , C = ((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)) .

Zeigen Sie:

a) B ist Basis des ℝ^{3}

b) C ist Basis des ℝ^{4}

c) Schreiben Sie die Vektoren aus B in die Spalten einer Matrix A. Berechnen Sie A^{−1}.

d) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M_{E_{3}}^{E_{4}}(F) für

F : ℝ^{4} → ℝ^{3} , F : (u, x, y, z) ⟼ (u − x + 2z, z + 2x, x + y + z)

bzgl. der Einheitsbasen E_{4} im ℝ^{4} bzw. E_{3} im ℝ^{3}.

e) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M_{B}^{C}(F) von F bzgl. der Basen C, B.

Aufgabe 6. Bestimmen Sie alle Lösungen von

u + v + x + y = 0
3u − v − x − y = 4
2u + 4v  − y = −1
u − v − 5x − 6y = 3

Aufgabe 7. Berechnen Sie:

a) det (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 6 & 7 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \end{matrix}) b) det (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & & 1 \\ 1 & 2 & 1 & & 1 \\ 1 & 1 & 3 & & 1 \\ & & & ... & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & … & n \end{matrix}).

Aufgabe 8. Es sei n ∈ ℕ, n > 0 und A ∈ M(n, ℤ). Zeigen Sie: Ist det(A) ∈ {1, 2, 3, 4}, dann gilt x ∈ ℤ^{n} für jede Lösung x des linearen Gleichungssystems

A · x = ( 24 24 ⋮ 24 ) .