Prof. Dr. R. Wulkenhaar 06.07.2006 Dr. R. Brüske 10h15-12h45

Klausur zur Mathematik für Physiker II — SS 2006, Version B

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Vor der Abgabe Ihrer Klausur legen Sie bitte alles in der richtigen Reihenfolge zusammen.

Aufgabe  1 2 3 4 5 6 7 8  ∑

bearbeitet

maximale

Punktzahl 7 3 4 4 8 4 4 4 38

erreichte Punktzahl Korrektor

Mit 16 Punkten ist die Klausur sicher bestanden.

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Aufgabe 1. Unterstreichen Sie jeweils die richtigen der vier Aussagen (und heften Sie dieses Blatt an die Abgabe!!). Jede Teilaufgabe a)–g) gilt nur dann als gelöst, wenn genau alle richtigen Aussagen unterstrichen sind.

a) Teilmengen eines Vektorraums sind: zu einer Basis verkürzbar / zu einer Basis ergänzbar / stets zu einem Erzeugendensystem ergänzbar / linear abhängig.

b) m × n-Matrizen mit Rang n: sind invertierbar / haben mindestens so viele Spalten wie Zeilen / haben mindestens so viele Zeilen wie Spalten / haben n linear unabhängige Zeilen.

c) Eine Determinante zeigt, ob eine Matrix invertierbar ist / ist für jede Matrix ungleich der Nullmatrix ungleich Null / ist für ganzzahlige Matrizen stets ganzzahlig / ist für quadratische Matrizen erklärt.

d) Sind U, W ⊂ V Untervektorräume mit U ∩ W = 0, so gilt U +W = U ⊕W / dim(U)+dim(W) = dim(V) / dim(U)+dim(W) ≤ dim(V) / U +W = V.

e) Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist manchmal leer / wenn nicht leer, dann mehrelementig / invariant unter Vertauschungen von Spalten / invariant unter Zeilenumformungen.

f) Sei F : V → W eine injektive lineare Abbildung endlich-dimensionaler Vektorräume V, W. Dann gilt: dim(W) = dim(V), falls f surjektiv ist / dim(im(F)) = dim(ker(F)) / dim(W) ≥ dim(V) / dim(V) = dim(im(F)).

g) U, W ⊂ V seien echte Untervektorräume eines Vektorraums V (beide ≠ dem Nullvektorraum). Dann gilt: U + W ist Untervektorraum / U ∩ W ≠ {0} / U ∩ W ist Untervektorraum / U + W = V.

Aufgabe 2. Es seien X, Y nichtleere Mengen. Zeigen Sie: Wenn es eine surjektive Abbildung f : X → Y gibt, dann existiert auch eine injektive Abbildung g : Y → X.

Aufgabe 3. Gibt es im ℝ^{13} Untervektorräume U, W mit dim(U) = 8, dim(W) = 6 und U + W = ℝ^{13} sowie

a) dim(U ∩ W) = 0, b) dim(U ∩ W) = 1, c) dim(U ∩ W) = 2, d) dim(U ∩ W) = 3? Wenn ja, geben Sie jeweils ein Beispiel dafür an.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie die λ ∈ ℝ, für die die Abbildung

(\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) ⟼ A_{λ} · (\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) mit A_{λ} = (\begin{matrix}1 & λ & λ^{2} \\ λ & λ^{2} & 1 \\ λ & 1 & λ^{2} \end{matrix}) ∈ M(3, ℝ)

nicht injektiv ist.

Aufgabe 5. Es sei

B = ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)) , C = ((1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1)) .

Zeigen Sie:

a) B ist Basis des ℝ^{3}

b) C ist Basis des ℝ^{4}

c) Schreiben Sie die Vektoren aus B in die Spalten einer Matrix A. Berechnen Sie A^{−1}.

d) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M_{E_{3}}^{E_{4}}(F) für

F : ℝ^{4} → ℝ^{3} , F : (u, v, w, z) ⟼ (u + v, w − z, w + 2v + 3z)

bzgl. der Einheitsbasen E_{4} im ℝ^{4} bzw. E_{3} im ℝ^{3}.

e) Bestimmen Sie die darstellende Matrix M_{B}^{C}(F) von F bzgl. der Basen C, B.

Aufgabe 6. Bestimmen Sie alle Lösungen von

3u + 5v + x  = −1
3u − v − x − y = 4
2u + 4v  − y = −1
3u + 3v − 5x − 7y = 2

Aufgabe 7. Berechnen Sie:

a) det (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}) b) det (\begin{matrix}\frac{n}{n} & 1 & 1 & & 1 \\ 1 & \frac{n−1}{n} & 1 & & 1 \\ 1 & 1 & \frac{n−2}{n} & & 1 \\ & & & ... & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & … & \frac{1}{n} \end{matrix}).

Aufgabe 8. Es sei n ∈ ℕ, n > 0 und A ∈ M(n, ℤ). Zeigen Sie: Ist det(A) ∈ {1, 2, 5, 12}, dann gilt x ∈ ℤ^{n} für jede Lösung x des linearen Gleichungssystems

A · x = ( 60 60 ⋮ 60 ) .