Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 13.04.06, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 1 Aufgabe 1. Für n ≥ 1 sei f_{n} : ℝ_{≥0} → ℝ durch (x ↦ \frac{x}{n^{2}} e^{− \frac{x}{n}}) erklärt. Zeige:

a) (f_{n})_{n→∞} konvergiert gleichmäßig gegen 0

b) lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} f_{n}(t) dt = 1

Aufgabe 2. Für |x| < 1 berechne ∑_{n=1}^{∞} n^{3}x^{n} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n} , ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{(2n + 1)(2n + 2)}x^{2n+2}.

Aufgabe 3. Es sei p eine natürliche Zahl mit 1 ≤ p ≤ n + 1. Zeigen Sie, daß dann für das Restglied der Taylorschen Formel gilt: ∃ ξ ∈]a, x[ mit

R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{p · n!}(x − ξ)^{n+1−p}(x − a)^{p} .

Aufgabe 4. Zeigen Sie: Für |x| < 1 gilt ln \frac{1 + x}{1 − x} = 2 ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1}.