Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 22.06.06, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Gegeben sei ein Element A ∈ M(n, K) des Matrizenrings M(n, K) über einem Körper K, mit n ∈ ℕ. Zeigen Sie:

a) Es gibt ein m ∈ ℕ und Elemente a_{0}, …, a_{m−1} ∈ K, so daß

a_{0}E_{n} + a_{1}A + … + a_{m−1}A^{m−1} + A^{m} = 0 ∈ M(n, K)

gilt.

b) Ist A ∈ GL (n, K), so gibt es m ∈ ℕ und a_{0}, …, a_{m} ∈ K, so daß

A^{−1} = a_{0}E_{n} + a_{1}A + … + a_{m−1}A^{m−1}

gilt.

Aufgabe 2. a) Zeigen Sie, daß eine Matrix ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ M(2, K) genau dann invertierbar ist, wenn ad − bc ≠ 0 gilt. Ihr Inverses ist dann \frac{1}{ad−bc} ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ).

b) Für welche t ∈ ℂ ist

( \begin{matrix}1 & t & 1 \\ t^{2} & 1 & t \\ t & t & 1 \end{matrix} )

invertierbar?

Aufgabe 3. Man invertiere mit dem Verfahren der Vorlesung die Matrix

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & … & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & … & 0 & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & 0 & … & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & … & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & … & 1 & 1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 4. Für welche c ∈ K ist ( \begin{matrix}1 & −c \\ c−1 & −2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )

(i) eindeutig lösbar, (ii) lösbar, (iii) nicht lösbar

Aufgabe 5. Im ℝ^{7} sei

U_{1} := span((1, 1, 2, 1, 2, 2, 1), (1, 0, 2, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0, 1, 1, 1)) ,
U_{2} := span((1, 5, 2, 0, 1, 1, 1), (0, 4, 0, −1, −1, −1, 0), (2, 5, 4, 1, 2, 2, 2)) .

Man bestimme eine Basis von U_{1} ∩ U_{2}.