Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 29.06.06, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 11 Aufgabe 1. a) Berechnen Sie:

det ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix} )

b) Berechnen Sie

det ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 & 1 & 4 \end{matrix} ) .

Aufgabe 2. Berechnen Sie:

det ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 2 & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 1 & 3 & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −3 & 1 & 4 & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 1 & n − 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & −n + 1 & 1 \end{matrix} ) .

Aufgabe 3. Seien α_{1}, …, α_{n} paarweise verschiedene Skalare. Berechnen Sie

det ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & … & 1 \\ α_{1} & α_{2} & α_{3} & … & α_{n} \\ α_{1}^{2} & α_{2}^{2} & α_{3}^{2} & … & α_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ α_{1}^{n−1} & α_{2}^{n−1} & α_{3}^{n−1} & … & α_{n}^{n−1} \end{matrix} ) .

Aufgabe 4. Berechne

det ( \begin{matrix}1 & n & n & … & n \\ n & 2 & n & … & n \\ n & n & 3 & … & n \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ n & n & n & … & n \end{matrix} ) , det ( \begin{matrix}0 & 1 & … & 1 \\ 1 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 1 \\ 1 & … & 1 & 0 \end{matrix} ) .

Aufgabe 5. Seien a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n−1}, c_{1}, …, c_{n−1} Elemente eines Körpers K. Für die Determinanten

D_{k} := det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & 0 & … & 0 & 0 \\ c_{1} & a_{2} & b_{2} & … & 0 & 0 \\ 0 & c_{2} & a_{3} & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & a_{k−1} & b_{k−1} \\ 0 & 0 & 0 & … & c_{k−1} & a_{k} \end{matrix} )

zeige man:

D_{0} = 1 , D_{1} = a_{1} , D_{k} = a_{k}D_{k−1} − b_{k−1}c_{k−1}D_{k−2} .