Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 27.04.06, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Es sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Es gelte g^{2} = e für alle g ∈ G. Zeige: G ist abelsch.

Aufgabe 2. Es sei G eine abelsche Gruppe, H_{1} und H_{2} seien Untergruppen von G. Es gelte H_{1} ≠ G, H_{2} ≠ G. Zeige: Es gibt ein g ∈ G mit g ∉ H_{1} ∪ H_{2}.

Aufgabe 3. Es sei G eine Gruppe. Dann sind äquivalent (d.h. eine Aussage gilt genau dann, wenn eine andere gilt):

(a) G ist abelsch.

(b) g ↦ g^{−1} ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

(c) g ↦ g^{2} ist ein Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe 4. Es sei G eine abelsche Gruppe. Es gelte |G| < ∞. Zeige.

∏_{g∈G} g = ∏_{{g∈G \atop g^{2}=e}} g

Aufgabe 5. Es sei G eine abelsche Gruppe und k ∈ ℤ. Durch f_{k} : g ↦ kg := (g +…+g) (k-mal) werde eine Abbildung f_{k} : G → G definiert. Zeigen Sie:

(a) f_{k} ist ein Homomorphismus.

(b) Gilt |G| und k sind teilerfremd, so ist f_{k} bijektiv.