Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 04.05.06, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Zeigen Sie: Ein nullteilerfreier Ring R, der nur aus endlich vielen Elementen besteht, ist stets ein Körper.

Aufgabe 2. Berechnen Sie:

a) \frac{1 + i}{5 − 6i}  b) (1 + i)^{n}  c) i^{n}  d) (6 + 5i)^{−1}

Aufgabe 3. Bestimmen Sie alle z ∈ ℂ mit

a) z^{4} = −1

b) cos z = 1

c) exp(z) = 0

d) exp(z) = 1.

Aufgabe 4. Man stelle −i, 1 − i\sqrt{3}, \sqrt{3} − i, 1 − i in Polarkoordinaten dar.

Aufgabe 5. Seien z, w ∈ ℂ mit |z| = |w| = r, arg z = α, arg w = β. Zeige: |z − w| = 2r| sin \frac{α−β}{2} | , |z + w| = 2r| cos \frac{α−β}{2} |. Also:

|z − 1| = 2| sin \frac{α}{2}| , |z + 1| = 2| cos \frac{α}{2}| , falls |z| = 1 und arg z = α .