Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 11.05.06, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Es sei U eine Teilmenge des ℝ^{3}, gegeben durch

(a) U := {(x, y, z) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1}

(b) U := {(x, y, z) | x + yz = 0}

(c) U := {(x, y, z) | x + y − z = 5}

(d) U := {(x, y, z) | x − y − z = 0}. Zeige (oder widerlege): U ist Untervektorraum des ℝ^{3}.

Aufgabe 2. Konstruieren Sie im ℝ^{2} eine Folge (U_{n})_{n∈ℕ} von paarweise verschiedenen Untervektorräumen U_{n}.

Aufgabe 3. Man bestimme ein Erzeugendensystem und eine Basis von U := span_{K}(v_{1}, …, v_{5}), wenn

v_{1} = (1, 0, 1, 1, 1) ,
v_{2} = (1, 0, 1, 0, 1) ,
v_{3} = (0, 1, 0, 1, 0) ,
v_{4} = (1, 1, 1, 1, 1) ,
v_{5} = (1, −1, 1, −1, 1)

ist.

Aufgabe 4. Sind im ℝ^{4} die Vektoren

(1, 0, 1, 1) , (1, 1, 0, 1) , (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 0, 1)

linear unabhängig?

Aufgabe 5. Für eine natürliche Zahl N ≥ 3 sei F_{N} ⊂ ℂ^{N} die Menge aller Vektoren (a_{1}, a_{2}, …, a_{N}) mit a_{n+1} = a_{n} + a_{n−1} für 2 ≤ n < N.

(a) Zeigen Sie, daß F ist ein Untervektorraum ist.

(b) Für welche komplexen Zahlen b, c ≠ 0 gilt (b, b^{2}, …, b^{N}) ∈ F und (c, c^{2}, …, c^{N}) ∈ F?

(c) Zeigen Sie, daß (v_{1}, v_{2}) mit v_{1} := (b, b^{2}, …, b^{N}) und v_{2} = (c, c^{2}, …, c^{N}) ein Erzeugendensystem von F und sogar eine Basis von F ist.

(d) Berechnen Sie für (a_{1}, a_{2}, …, a_{N}) ∈ F die Zahl a_{r} ∈ ℂ, 3 ≤ r ≤ N, falls a_{1} = 1, a_{2} = 2 gilt.