Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 18.05.06, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Man untersuche, welche der folgenden Systeme sich jeweils zu einer Basis ergänzen lassen und tue dies ggf. mit Vektoren der Standardbasis

a) (1, 2, 3) im ℝ^{3}

b) (1, 0, 0, 1), (−1, 1, −1, 0) im ℝ^{4}

c) (−1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 0), (1, 3, 2, 3) im ℝ^{4}

d) (i, 1, 1 + i), (−i, 1 + i, 2) im ℂ^{3}.

Aufgabe 2. Man bestimme die Dimensionen von U, W, U + W, U ∩ W für folgende Unterräume U, W im gegebenen Vektorraum V

a) V = ℝ^{3}, U = {(x, y, z) | x+y = 0, −y +z = 0}, W = {(x, y, z) | x+z = 0, x−y −z = 0} b) V = ℝ^{5}, U = span(x_{1}, x_{2}, x_{3}), W = span(y_{1}, y_{2}) mit

x_{1} = (1, 1, 0, 1, 0) , x_{2} = (0, 1, 1, 0, 1) , x_{3} = (0, 1, 1, 0, 0)
y_{1} = (0, 0, 1, 1, 0) , y_{2} = (1, 1, −1, 0, −1)

Aufgabe 3. Sei n ≥ 2. Untersuche, ob

(1, 1, 1, , …, 1), (1, 2, 1, …, 1), (1, 1, 3, 1, …, 1), …, (1, 1, 1, 1, …, 1, n)

eine Basis des ℝ^{n} ist.

Aufgabe 4. Man zeige:

a) (1 + i, i), (1, 1 + i) ist eine Basis von ℂ^{2}

b) Man bestimme die Koordinaten der Vektoren (i, 0), (0, 1), (1 + i, −2 + 3i) bzgl. dieser Basis.

Aufgabe 5. W ⊂ ℝ^{4} sei der von y_{1} = (1, 2, 3, 4), y_{2} = (4, 3, 2, 1), y_{3} = (−1, 0, 1, 2), y_{4} = (0, 1, 0, 1) aufgespannte Untervektorraum. Man gebe alle Basen von W an, die Teilfolgen von y_{1}, …, y_{4} sind.