Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 01.06.06, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Die lineare Abbildung F : ℝ^{n} → ℝ^{n} sei erklärt durch

F (e_{i}) = ∑_{{j=1 \atop j≠i}}^{n} e_{j} (1 ≤ i ≤ n) .

(a) Zeige Sie: F ist ein Isomorphismus.

(b) Berechnen Sie F^{−1}(e_{i}) (1 ≤ i ≤ n).

Aufgabe 2. Es sei ℍ der reelle Vektorraum definiert durch

ℍ := \{q = ( \begin{matrix}a & −b̄ \\ b & ā \end{matrix} ) ∈ M(2 × 2, ℂ) : a, b ∈ ℂ\} .

(a) Zeigen Sie, daß (e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}) mit

e_{0} = 1_{ℍ} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , e_{1} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} ) , e_{2} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , e_{3} = ( \begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & i \end{matrix} )

eine Basis von ℍ ist.

(b) Zeigen Sie, daß für das Matrixprodukt gilt: q_{1} · q_{2} ∈ ℍ für alle q_{1}, q_{2} ∈ ℍ.

(c) Zeigen Sie, daß durch C : ( \begin{matrix}a & −b̄ \\ b & ā \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}ā & b̄ \\ −b & a \end{matrix} ) eine lineare Abbildung C : ℍ →

ℍ definiert wird.

(d) Es sei q̄ := C(q) für q ∈ ℍ. Berechnen Sie die Matrixprodukte q̄ · q und q · q̄ für beliebiges q ∈ ℍ.

(e) Zeigen Sie, daß ℍ^{∗} := ℍ\{0} eine Gruppe ist mit neutralem Element 1_{ℍ}. Dazu genügt es, das zu q ∈ ℍ^{∗} inverse Element q^{−1} ∈ ℍ^{∗} explizit anzugeben.

Aufgabe 3. Es sei die Matrix E_{ij} ∈ M(n × n, ℝ) erklärt durch E_{ij}e_{k} = δ_{jk}e_{i}. Man zeige:

(a) Die E_{ij} bilden eine Basis von M(n × n, ℝ).

(b) Es gilt E_{rs}E_{ij} = δ_{si}E_{rj}. Berechne

∑_{i=1}^{n} E_{ii} , ∑_{j=1}^{n} E_{ij} , (∑_{i=1}^{n} E_{ij})^{2} , (∑_{j=1}^{n} E_{ij})^{2} .

Aufgabe 4. Auf dem Ring M(n × n, ℝ) der n × n-Matrizen über ℝ sei eine Abbildung

T : M(n × n, ℝ) → ℝ , T : A = (a_{ij}) ↦ ∑_{i=1}^{n} a_{ii}

erklärt. Zeigen Sie:

(a) T ist ℝ-linear.

(b) T (AB) = T (BA) für alle A, B ∈ M(n × n, ℝ).

(c) Bestimmen Sie dim(im(T)) und dim(ker(T)) und geben Sie eine Basis von ker(T) an. (Tip: Aufgabe 3.)

Aufgabe 5. Zeigen Sie: Es gibt keine A, B ∈ M(n × n, ℝ) mit AB − BA = E_{n}. Tip: Aufgabe 4.