Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwochg, 14.06.06, bis 17h00 in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Man bestimme sämtliche Lösungen von

\begin{aligned}2x_{1} & + & 3x_{2} & − & 4x_{3} & + & 5x_{4} & = & 6 \\ x_{1} & − & x_{2} & + & x_{3} & − & 2x_{4} & = & −1 \\ 2x_{1} & + & 2x_{2} & + & x_{3} & + & 2x_{4} & = & 7 \end{aligned}

Aufgabe 2. Man löse

x_{1} + 3x_{2} + 4x_{3} + 2x_{4}  = b_{1}
3x_{1} + 9x_{2} + 10x_{3} + x_{4} + 2x_{5} = b_{2}
2x_{2} + 7x_{3} + 3x_{4} − x_{5} = b_{3}
2x_{1} + 8x_{2} + 12x_{3} + 2x_{4} + x_{5} = b_{4}

für \begin{matrix}(i) & b_{1} = b_{2} = b_{3} = b_{4} = 0 \\ (ii) & b_{1} = 1, b_{2} = 0, b_{3} = 3, b_{4} = 1 \\ (iii) & b_{1} = 1, b_{2} = 5, b_{3} = 1, b_{4} = 5. \end{matrix}

Aufgabe 3. Für λ ∈ K und i, j ∈ {1, …, n}, i ≠ j, sei T_{ij}(λ) := E_{n} + λE_{ij}. (Dabei ist E_{n} die n × n-Einheitsmatrix, und E_{ij} ist in Aufgabe 3 von Blatt 8 definiert.) Sei A ∈ GL (n, K). Zeigen Sie: Es gibt r solche Matrizen T_{1}, …, T_{r}, so daß

T_{r} · . . . · T_{1} · A = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & 1 & 0 \\ 0 & … & 0 & d \end{matrix} )

gilt.

Aufgabe 4. Für die Matrizen T_{ij}(λ) wie in Aufgabe 3 gilt

(a) T_{ij}(λ_{1})T_{ij}(λ_{2}) = T_{ij}(λ_{1} + λ_{2})

(b) T_{ij}(λ)T_{ik}(λ′) = T_{ik}(λ′)T_{ij}(λ)

(c) Für n ≥ 3 und i, j, k paarweise verschieden gilt T_{ik}(λ)T_{kj}(λ′)T_{ik}(λ)^{−1}T_{kj}(λ′)^{−1} = T_{ij}(λλ′).