Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 06 Dr. R. Brüske

Probeklausur zur Mathematik für Physiker II

Aufgabe 1. Eine Zusammenstellung wahrer und falscher Aussagen wird gegeben, von denen die wahren zu kennzeichnen sind.

Aufgabe 2. Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen nichtleeren Mengen X und Y. Zeigen Sie: Ist f(A_{1} ∩ A_{2}) = f(A_{1}) ∩ f(A_{2}) für alle Teilmengen von X, so ist f injektiv.

Aufgabe 3. Es sei V ein 11-dimensionaler Vektorraum, U ⊂ V ein 6-dimensionaler Untervektorraum und W ⊂ V ein 7-dimensionaler Untervektorraum. Zeigen Sie:

dim(U ∩ W) ≠ 1 .

Konstruieren Sie U, W wie oben mit dim(U ∩ W) = 5.

Aufgabe 4. Gegeben sei eine Abbildung

F : ℝ^{3} → ℝ^{4} , F : (x, y, z) ↦ (x + y + 3z, 2x + y + 5z, 4x + 2y + 10z, x + y + 3z) .

a) Zeigen Sie: F ist linear.

b) Bestimmen Sie eine Basis von ker(F).

c) Bestimmen Sie eine Basis von im(F).

d) Geben Sie alle v ∈ ℝ^{3} an mit F (v) = (5, 8, 16, 5).

Aufgabe 5. Sei

B = ((0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)) ,
C = ((1, 1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 1)) .

Zeigen Sie:

a) B ist Basis des ℝ^{3}.

b) C ist Basis des ℝ^{5}.

c) Schreibe die Vektoren aus C in die Spalten einer Matrix A ∈ M(5, ℝ). Berechne A^{−1}.

d) Berechnen Sie die darstellende Matrix von F bzgl. B und C, wobei F : ℝ^{3} → ℝ^{5} bzgl. der Standardbasen gegeben sei durch F : (x, y, z) ↦ (x − z, x + 2y − z, z, y + z, y).

Aufgabe 6. a) Berechnen Sie:

det (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}) .

b) Zeigen Sie: Ist A eine Matrix aus M(m, ℤ) mit A^{n} = A für ein n ∈ ℕ, n > 1, so gilt det(A) ∈ {0, −1, +1}.

Aufgabe 7. Es seien a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} ∈ ℝ und

D_{1} = ( \begin{matrix}a_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & a_{n} \end{matrix} ) , D_{2} = ( \begin{matrix}0 & & & b_{1} \\ & . & . & . \\ b_{n} & & & 0 \end{matrix} ) .

Zeigen Sie:

det (\begin{matrix}D_{1} & D_{2} \\ D_{2} & D_{1} \end{matrix}) = ∏_{i=1}^{n}(a_{i}^{2} − b_{i}^{2}) .