Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 07 Dr. J. Schürmann

Üungen zur Mathematik für Physiker IV

Abgabe: Dienstag, 26.06.07 bis 12.00 im BK 157/158. Blatt 10

Aufgabe 1. Mündliche Aufgabe zum Thema: Sturmsche Randwertaufgaben, Randwertproblem, Greensche Funktion, Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem, Eigenwerte und -Funktionen, Fourier-Entwicklung. Zeigen Sie:

(a) Die Randwertaufgabe y′′ + y = 0 auf dem Intervall [0, π] mit der Randbedingung y(0) = 1 und y(π) = 1 (bzw. y(0) = 1 und y(π) = −1 ist nicht lösbar (bzw. hat unendlich viele Lösungen).

(b) Bestimmen Sie zunächst die allgemeine Lösung der inhomognen linearen DGL y′′+x^{2} = 0, und wählen Sie dann die auftretenden Konstanten so dass die Randbedingung y(0) = 0 und y(1) = 0 (bzw. y(0) = 0 und y′(1) = 0) erfüllt ist.

(c) Bestimmen Sie die Greensche Funktion des Randwertproblems für den Laplace-Operator in einer Variablen: y′′ = 0 bezüglich der Randbedingungen y(0) = 0 = y(1), y(0) = 0 = y′(1) und y(0) = 0 = σ · y(1) + y′(1) (mit σ > 0 konstant).

Aufgabe 2. Wir betrachten die DGL der Schwingung einer Saite mit freien Enden bei a = 0 und b = L > 0 mit der Eigenfrequenz ω unter einer konstanten Kraft f:

Ly := y′′ +ω^{2}y = f , mit R_{0}(y) := y′(0) = 0 und R_{L}(y) := y′(L) = 0.

Zusätzlich nehmen wir ωL ∉ πℤ an. Zeigen Sie:

(a) Die zugehörige Greensche Funktion G ist gegeben durch

G(x, t) = \begin{cases}\frac{cos(ωx) cos(ω(t−L))}{ω sin(ωL)} & für x ≤ t, \\ \frac{cos(ω(x−L)) cos(ωt)}{ω sin(ωL)} & für x ≥ t. \end{cases}

(b) Bestimmen Sie die (eindeutige) Lösung y(x) = ∫_{0}^{L} dt f · G(x, t)

dieses Randwertproblems. Hinweis: Vergleiche mit Beispiel 2.9 der Vorlesung.

Aufgabe 3. Das Eigenwertproblem

y′′ + λy = 0 , mit y(0) − y(1) = 0 und y′(0) − y′(1) = 0

ist kein Sturm-Liouvillsches Eigenwertproblem. Zeigen Sie:

(a) Alle Eigenwerte λ sind ≥ 0, und bestimmen Sie diese.

(b) Die zugehörigen Eigenräume E_{λ} sind für λ ≠ 0 alle zweidimensional (im Unterschied zum Sturm-Liouvillsches Eigenwertproblem, wo nach Satz 2.38 alle Eigenräume eindimensional sind). Bestimmen Sie hierzu alle Eigenfunktionen.

Aufgabe 4. Temperaturverteilung in einem Stab. θ(x, t) sei die ortsund zeitabhängige Temperaturverteilung in einem von x = 0 bis x = L > 0 reichenden dünnen Stab, dessen linkes Ende auf konstanter Temperatur 0 gehalten wird, während am rechten Ende Wärmeabgabe an ein umgebendes Medium der Temperatur 0 möglich ist. Die Temperaturverteilung ergibt sich dann als Lösung der Wärmeleitungsgleichung

\frac{∂θ}{∂t} = a^{2} \frac{∂^{2}θ}{∂x^{2}}

mit der Randbedingung:

θ(0, t) = 0 , und \frac{∂θ}{∂x}(L, t) + σ · θ(L, t) = 0 für alle t ≥ 0.

Hierbei sind a und σ positive Materialkonstanten. Zeigen Sie:

(a) Mit dem Produktansatz 0 ≠ θ(x, t) = y(x) · τ(t) ergibt sich für y das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem:

y′′ + λy = 0 , mit y(0) = 0 und σ · y(L) + y′(L) = 0,

und für τ die DGL: τ′ + λa^{2} · τ = 0.

(b) Für jede Lösung y des Eigenwertproblems aus (a) ergibt sich mittels partieller Integration:

λ ∫_{0}^{L} dx y^{2} = − ∫_{0}^{L} dx y · y′′ = σ · y(L)^{2} + ∫_{0}^{L} dx (y′)^{2} .

Folgern Sie hieraus dass jeder Eigenwert λ positiv ist. Dann sind die Eigenwerte λ die positiven Lösungen der Gleichung

tan(L · \sqrt{λ}) = −\frac{\sqrt{λ}}{σ} .

Skizzieren Sie die Lösungen α > 0 der Gleichung tan(α) = −α graphisch.

(c) Geben Sie die entsprechende Eigenfunktionen y_{n} sowie die Reihenentwicklung einer allgemeinen Lösung θ(x, t) der Wärmeleitungsgleichung mit obigen Randbedingungen an.

Hinweis: Vergleiche mit Beispiel 2.10 der Vorlesung.