Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 07 Dr. J. Schürmann

Üungen zur Mathematik für Physiker IV

Abgabe: Donnerstag, 24.05.07 bis 12.00 im BK 157/158. Blatt 7

Aufgabe 1. Thema: Orthonormalbasen, Fourier-Reihen und -Koeffizien-ten. Für 𝕂 = ℝ, ℂ sei C_{per}(𝕂) der 𝕂-Vektorraum aller stetigen Funktionen f : ℝ → 𝕂, welche 2π-periodisch sind: f(x + 2π) = f(x) für alle x ∈ ℝ. Zeigen bzw. wiederholen Sie:

(a) Wird C_{per}(𝕂) mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := \begin{cases}\frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dx f(x)g(x) & für 𝕂 = ℝ \\ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} dx \overline{f(x)}g(x) & für 𝕂 = ℂ \end{cases}

versehen, so ist {sin(kx), cos(k′x)}_{k,k′∈ℤ} bzw. {e^{ikx}}_{k∈ℤ} ein Orthonormalsystem, d.h. diese Funktionen haben die Norm 1 und sind paarweise orthogonal.

(b) Die Fourier-Reihe S(f) einer solchen Funktion f : ℝ → 𝕂 ist der Limes (für n → ∞, falls er existiert) der Fourier-Polynome

S_{n}(f)(x) = \begin{cases}\frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} · cos(kx) + b_{k} · sin(kx)) & für 𝕂 = ℝ, \\ ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{ikx} & für 𝕂 = ℂ. \end{cases}

Hierbei sind die Fourier-Koeffizienten von f gegeben durch

a_{k} = ⟨cos(kx), f⟩, b_{k} = ⟨sin(kx), f⟩ bzw. c_{k} = ⟨e^{ikx}, f⟩ .

Aufgabe 2. Sei D_{n} := ∑_{k=−n}^{n} e^{ikx} bzw. F_{n} := \frac{1}{n} ∑_{j=0}^{n−1} D_{j} der sogenannte Dirichlet- bzw. Fejér-Kern aus C_{per}(ℝ). Zeigen Sie:

(a) Diese haben für x ∈ ℝ\2πℤ die folgende Darstellung:

D_{n}(x) = \frac{sin((n + \frac{1}{2})x)}{sin(\frac{1}{2}x)} bzw. F_{n}(x) = \frac{1}{n} (\frac{sin(\frac{n}{2}x)}{sin(\frac{1}{2}x)})^{2} .

(b) Für alle n ∈ ℕ gilt: F_{n} ≥ 0 und \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} dx F_{n}(x) = 1.

(c) Zu jedem ϵ > 0 und 0 < r < π gibt es ein N mit

∫_{[−π,π]\[−r,r]} dx F_{n}(x) ≤ \frac{2π}{n · sin^{2}(\frac{r}{2})} < ϵ für alle n ≥ N.

Hinweis: Benutzen Sie in (a) für D_{n} die geometrische Summe und bestimmen Sie hiermit dann n · sin^{2}(\frac{x}{2}) · F_{n}(x) mittels der Additionstheoreme für die Winkelfunktionen. Für (c) benutze man die explizite Beschreibung von F_{n} aus (a).

Aufgabe 3. Für zwei Funktionen f, g ∈ C_{per}(𝕂) definiert man ihre Faltung f ∗ g ∈ C_{per}(𝕂) als

f ∗ g(x) := \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} dt f(t) · g(x − t) .

Zeigen Sie für f ∈ C_{per}(𝕂):

(a) Für das n-te Fourier-Polynom von f gilt S_{n}(f) = f ∗ D_{n}, mit F_{n}, D_{n} wie in Aufgabe 2. Entsprechend wird σ_{n}(f) := f ∗F_{n} als das n-te Fejér-Polynom von f bezeichnet.

(b) σ_{n}(f) konvergiert punktweise auf ℝ gegen f.

Hinweis: Sie dürfen die Resultate von Aufgabe 2 (b-c) benutzen.

(c) Falls die Fourier-Reihe S(f) von f in einem Punkt x ∈ ℝ konvergiert, so gilt

S(f)(x) := lim_{n→∞} S_{n}(f)(x) = lim_{n→∞} σ_{n}(f)(x) = f(x) .

Hinweis: Zeigen Sie: konvergiert die Folge komplexer Zahlen s_{0}, s_{1}, s_{2}, … gegen eine Zahl s, so konvergiert auch die Folge der arithmetischen Mittel a_{n} = \frac{1}{n}(s_{0} + ⋯ + s_{n−1}) gegen s.

Aufgabe 4. Sei f ∈ C_{per}(ℝ) die periodische Fortsetzung von |x| für x ∈ [−π, π]. Zeigen Sie:

(a) Für die Fourier-Koeffizienten von f gilt b_{k} = 0 für alle k ∈ ℕ_{0} und

a_{k} = \begin{cases}π & für k = 0, \\ \frac{−2}{πk^{2}} (1 − (−1)^{k}) & für k ∈ ℕ. \end{cases}

(b) Die Fourier-Reihe S(f)(x) = lim_{n→∞} S_{n}(f)(x) ist für alle x ∈ ℝ konvergent.

(c) Folgern Sie mittels Aufgabe 3(c): ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(2k−1)^{2}} = \frac{π^{2}}{8} .

Allgemeine Hinweise:

• Übungszeiten: Mo: 8.00-10.00 im M6 und Do: 12.00-14.00 im M4 (die Anfangszeiten sind ct.).

• Die Aufgaben sind in Zweiergruppen abzugeben.

• Briefkästen: Mo: 8.00-10.00 den Bk. 157, Do. 12.00-14.00 den Bk. 158 .

• Die erste Aufgabe ist mündlich zu bearbeiten, d.h. die entsprechenden Begriffe werden in den Übungen diskutiert. Von den anderen drei Aufgaben ist genau eine in schriftliche Form abzugeben, wobei deren Auswahl jeder Gruppe selbst überlassen ist. Jede Aufgabe wird mit 5 Punkten bewertet.

• An folgenden Terminen finden zusätzliche Tests in den Übungen statt: 26.04 bzw. 30.04, 21.05 bzw. 24.05, 18.06 bzw. 21.06.

• Klausurtermin: Sa. den 07.07.2007, 15.30-18.00.