Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 07 Dr. J. Schürmann

Üungen zur Mathematik für Physiker IV

Abgabe: Dienstag, 12.06.07 bis 12.00 im BK 157/158. Blatt 8 Beachten Sie die erneute Änderung des Abgabetermins, welcher nun wieder Dienstags sein wird! Die Übung von Do. den 07.06 wird auf Di. den 05.06 um 18.00 s.t. im M3 vorverlegt! Am 04. und 05.06 findet der 2. Test in den Übungen statt!

Aufgabe 1. Thema: Fourier-Reihen und -Integrale. Es bezeichne S(ℝ^{n}) den Schwartz-Raum aller beliebig oft stetig differenzierbarer Funktionen f : ℝ^{n} → ℂ, welche im Unendlichen beliebig schnell fallen, d.h.

x^{α}∂^{β}f(x) = x_{1}^{α_{1}} ⋯ x_{n}^{α_{n}} \frac{∂^{β_{1}}}{∂x_{1}^{β_{1}}} ⋯ \frac{∂^{β_{n}}}{∂x_{n}^{β_{n}}} f(x)

ist beschränkt für alle α, β ∈ ℕ^{n}. Beispiele sind C^{∞}-Funktionen mit kompakten Träger oder die Funktion e^{−a||x||^{2}} (a > 0). Zeigen Sie für f, g ∈ S(ℝ^{n}):

(a) Auch die Funktionen f · g und x^{α}∂^{β}f gehören zu S(ℝ^{n}). Für alle N ∈ ℕ ist |f(x)| · ||x||^{N} beschränkt und somit f ∈ L^{p}(ℝ^{n}) für alle p ≥ 1.

(b) Die Fourier-Transformierte f̂ von f ist beliebig oft differenzierbar, mit:

∂^{β}f̂ = (−i)^{|β|} · x̂^{β}f und { \atop ∂^{α} · f} = i^{|α|} · k^{α}f̂.

Insbesondere ist auch f̂ ∈ S(ℝ^{n}).

(c) Die Fourier-Transformation induziert einen Isomorphismus ˆ : S(ℝ^{n}) → S(ℝ^{n}), deren Inverse mittels der Umkehrformel beschrieben wird.

Aufgabe 2. Für a > 0 seien die Funktionen f, g : ℝ → ℝ gegeben als

f(x) := e^{−a|x|} und g(x) := \begin{cases}e^{−ax} & für a ≥ 0, \\ 0 & für a < 0. \end{cases}

Zeigen Sie:

ĝ(k) = \frac{1}{\sqrt{2π}(a + ik)} und f̂(k) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{a}{a^{2} + k^{2}} .

Folgern Sie mit Hilfe der Umkehrformel und 2 cos(kx) = e^{ikx} + e^{−ikx}:

∫_{−∞}^{∞} dk \frac{cos(kx)}{a^{2} + k^{2}} = \frac{π}{a} e^{−a|x|} .

Aufgabe 3. Die Hermiteschen Funktionen h_{n} : ℝ → ℝ seien für n ∈ ℕ definiert als:

h_{n}(x) := (−1)^{n}e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{d}{dx})^{n} e^{−x^{2}} = H_{n}(x) · e^{− \frac{x^{2}}{2}} ,

mit H_{n} die Hermiteschen Polynome. Dann gehört h_{n} zum Schwartz-Raum S(ℝ) aus Aufgabe 1. Zeigen Sie per Induktion:

ĥ_{n} = (−i)^{n} · h_{n} für alle n ∈ ℕ.

Hinweis: Der Induktionsanfang n = 0 folgt aus Aufgabe 1 von Blatt 13 aus dem letzten Semester. Für den Induktionsschritt zeige man die Rekursionsformel h_{n+1} = x · h_{n} − h′_{n} und benutze partielle Integration sowie die erste Formel aus Aufgabe 1b.

Aufgabe 4. Für f, g ∈ L^{1}(ℝ^{n}) sei die Faltung f ∗ g von f und g definiert als

f ∗ g(y) := ∫_{ℝ_{n}} dx f(x) · g(y − x) .

Nach dem Satz von Fubini existiert dieses Integral für fast alle y ∈ ℝ^{n} und f ∗ g ist integrierbar.

(a) Zeigen Sie (mittels des Satzes von Fubini):

{ \atop f ∗ g} = (2π)^{\frac{n}{2}} · f̂· ĝ .

Für a > 0 sei F_{a} : ℝ → ℝ die Cauchysche Wahrscheinlichkeitsdichte

F_{a}(x) := \frac{1}{π} · \frac{a}{a^{2} + x^{2}} .

(b) Aus dem ersten Teil von Aufgabe 2 und der Umkehrformel folgt

F̂_{a}(k) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−a|k|} .

Zeigen Sie mittels (a):

{ \atop F_{a} ∗ F_{b}}(k) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(a+b)|k|} = F̂_{a+b}(k) ,

und folgern Sie mittels der Umkehrformel F_{a} ∗ F_{b} = F_{a+b}.