Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 07 Dr. J. Schürmann

Üungen zur Mathematik für Physiker IV

Dieses Blatt ist nicht schriftlich zu bearbeiten, sondern dient der Vorbereitung auf die Klausur. Blatt 11

Aufgabe 1. Man löse das Anfangswertproblem

y′ = sin(x) · e^{y} mit y(0) = 0

und bestimme das maximale Definitionsintervall der Lösung.

Aufgabe 2. Welche der folgenden Differentialgleichung ist exakt (mit x, y ∈ ℝ)? Man berechne ggf. eine Stammfunktion.

(a)

(y · x^{2} − sin(x) sin(y))dx + (x · y^{2} + cos(x) cos(y))dy = 0 .

(b)

(e^{y} + y · cos(x · y))dx + (x · e^{y} + x · cos(x · y))dy = 0 .

Aufgabe 3. Ein Fundamentalsystem des homogenen DGL-systems y′_{1} = y_{2} und y′_{2} = 0 ist gegeben durch (1, 0)^{t} und (x, 1)^{t}. Bestimmen Sie mittels Variation der Konstanten eine spezielle Lösung des inhomogenen DGL-systems y′_{1} = y_{2} + x und y′_{2} = 1.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie:

(a) Ein Fundamentalsystem der linearen DGL:

y^{(4)} + 4 · y^{(1)} = 0 .

(b) Eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL:

y^{(4)} + 4 · y^{(1)} = sin(2x) .

Aufgabe 5. Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten a_{k} und b_{k} der Fourier-Reihe

S(f)(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} · cos(k · x) + b_{k} · sin(k · x))

der 2π-periodische Fortsetzung f der charakteristischen Funktion

1_{[−π/2,π/2]}(x) := \begin{cases}1 & für |x| ≤ π/2, \\ 0 & für π/2 < |x| ≤ π. \end{cases}

Aufgabe 6. Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte f̂: ℝ → ℝ der Funktion f : ℝ → ℝ gegeben durch (mit a > 0):

f(x) := \begin{cases}x & für |x| ≤ a, \\ 0 & sonst. \end{cases}

Aufgabe 7. Bestimmen Sie die Greensche Funktion des Randwertproblems:

Ly := y′′ − y = 0 ,

mit

R_{0}(y) := y(0) = 0 und R_{ln(2)}(y) := y(ln(2)) − \frac{5}{3} · y′(ln(2)) = 0 .

Allgemeine Hinweise zur Klausur:

• Klausurtermin: Sa. den 07.07.2007, 15.30-18.00.

Bitte erscheinen Sie dort um 15.20.

• Ort: Bibliothek des Mathematischen Instituts.

• Die Klausur wird aus 8 Aufgaben bestehen, wobei in der ersten Aufgabe Definitionen abgefragt werden, bzw. entsprechende Fragen durch Ankreuzen zu beantworten sind.

• Zugelassene Hilfsmittel: ein selbst vorbereitetes Blatt (doppelseitig, aber nicht zwei einzelne Seiten). Ansonsten keine weiteren Hilfsmittel, insbesondere kein Taschenrechner.

• Die Klausur wird in der letzten Vorlesungswoche zurückgegeben, wobei der genaue Termin später mitgeteilt wird.