Lineare Algebra

Inhalt

I Grundlegende Methoden und Begriffe  1
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen . . . . . . . . . . . . . 1
2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II Vektorräume  12
3 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Erzeugendensystem, Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . 16
6 Summen von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
III Lineare Abbildungen  26
7 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8 Bild und Kern einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . 28
9 Zur Theorie linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 33
10 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung . . . . . . . . 35
11 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
12 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
13 Kommutative Diagramme und Basiswechsel . . . . . . . . . . . 46
IV Determinanten  50
14 Definition und Berechnungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . 50
15 Laplacescher Entwicklungssatz und komplementäre Matrix … 55
V Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit  62
16 Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
17 Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
18 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
19 Trigonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
VI Euklidische und unitäre Vektorräume  79
20 Skalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
21 Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
22 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
23 Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen . . . . . . . . . 95
VII Vollständigkeit  102
24 Topologie metrischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
25 Konvergenz in metrischen Räumen. Banach-Räume . . . . . . . 104

i

Preliminary version – 14. Juli 2008

Literatur [1] G. Fischer, “Lineare Algebra,” Vieweg (2005).

ii

Preliminary version – 14. Juli 2008

Teil I

Grundlegende Methoden und Begriffe

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Wir geben hier zunächst eine elementare Einführung in lineare Gleichungssysteme (LGS) und das Standardverfahren zur Bestimmung der Lösung. Eine systematische Untersuchung der Menge der Lösungen erfolgt später, wenn Vektorräume und linearen Abbildungen zwischen ihnen bereitgestellt sind.

Definition 1.1 Es sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Ein lineares Gleichungssystem über 𝕂 aus m Gleichungen mit n Unbekannten ist ein System der Form

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

wobei die Koeffizienten (a_{ij}) = {a_{11}, …, a_{mn}} ∈ 𝕂 und die b_{1}, …, b_{m} ∈ 𝕂 fest vorgegebene Zahlen sind und das n-Tupel (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} eine zu bestimmende Lösung des Systems ist.

Wichtig ist, daß keine Exponenten wie x_{1}^{2}, x_{2}^{−1}, x_{n}^{3} usw. der x_{i} auftreten.

Beispiel 1.2 Gegeben sei das System

x_{1} + x_{3} − x_{5} = 2  ⇔ 1 · x_{1} + 0 · x_{2} + 1 · x_{3} + 0 · x_{4} + (−1) · x_{5} = 2
3x_{2} − x_{4} = 6  ⇔ 0 · x_{1} + 3 · x_{2} + 0 · x_{3} + (−1) · x_{4} + 0 · x_{5} = 6
x_{2} + \frac{1}{4}x_{3} = −\frac{1}{4}x_{5} ⇔ 0 · x_{1} + 1 · x_{2} + \frac{1}{4} · x_{3} + 0 · x_{4} + \frac{1}{4} · x_{5}  = 0
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = x_{5}  ⇔ 1 · x_{1} + 1 · x_{2} + 1 · x_{3} + 1 · x_{4} + (−1) · x_{5} = 0◁

Offenbar gilt:

Satz 1.3 (elementare Zeilenumformungen) Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

Die Menge der Lösungen (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} des Systems bleibt unverändert bei folgenden Typen von Änderungen des Systems:

Typ I Vertauschen zweier Gleichungen.

Typ II Ersetzen der j-ten Gleichung durch die Summe aus der i-ten und j-ten Gleichung und Beibehalten der i-ten Gleichung.

Typ III Multiplikation der i-ten Gleichung mit λ ∈ 𝕂^{∗} (d.h. λ ≠ 0). Die Änderungen vom Typ II und III werden oft zusammen ausgeführt: Typ IV Ersetzen der j-ten Gleichung durch die Summe aus dem λ-fachen der

i-ten Gleichung und der j-ten Gleichung und Beibehalten der i-ten Gleichung.

Alle diese elemenaren Zeilenumformungen lassen sich wieder rückgängig machen. Z.B. Typ II durch

i) Multiplikation der i-ten Gleichung mit (−1)

ii) Addition der neuen i-ten Gleichung zur j-ten

iii) Multiplikation der i-ten Gleichung mit (−1) und Typ III durch

i) Multiplikation der i-ten Gleichung mit \frac{1}{λ}. Die Lösungsstrategie besteht darin, durch elementaren Zeilenumformungen das System so umzuformen, daß zumindest eine der Variablen allein steht und abgelesen werden kann. Das Verfahren wird dann für die verbliebenen n−1 Variablen wiederholt, u.s.w. Wir sehen uns das Beispiel 1.2 an:

Beispiel 1.4 I_{ij} bedeutet Vertauschen der Gleichungen i und j und IV_{ij}(λ) bedeutet Addition der λ-fachen i-ten Gleichung zur j-ten:

\begin{aligned}1 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 0 · x_{4} & + & (−1) · x_{5} & = & 2 \\ 0 · x_{1} & + & 3 · x_{2} & + & 0 · x_{3} & + & (−1) · x_{4} & + & 0 · x_{5} & = & 6 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & \frac{1}{4} · x_{3} & + & 0 · x_{4} & + & \frac{1}{4} · x_{5} & = & 0 \\ 1 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 1 · x_{4} & + & (−1) · x_{5} & = & 0 \end{aligned}

I_{23}, IV_{14}(−1) :  \begin{aligned}1 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 0 · x_{4} & + & (−1) · x_{5} & = & 2 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & \frac{1}{4} · x_{3} & + & 0 · x_{4} & + & \frac{1}{4} · x_{5} & = & 0 \\ 0 · x_{1} & + & 3 · x_{2} & + & 0 · x_{3} & + & (−1) · x_{4} & + & 0 · x_{5} & = & 6 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & 0 · x_{3} & + & 1 · x_{4} & + & 0 · x_{5} & = & −2 \end{aligned}

IV_{23}(−3), IV_{24}(−1) : \begin{aligned}1 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 0 · x_{4} & + & (−1) · x_{5} & = & 2 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & \frac{1}{4} · x_{3} & + & 0 · x_{4} & + & \frac{1}{4} · x_{5} & = & 0 \\ 0 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & (−\frac{3}{4}) · x_{3} & + & (−1) · x_{4} & + & (−\frac{3}{4}) · x_{5} & = & 6 \\ 0 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & (−\frac{1}{4}) · x_{3} & + & 1 · x_{4} & + & (−\frac{1}{4}) · x_{5} & = & −2 \end{aligned}

IV_{34}(−\frac{1}{3}) : \begin{aligned}1 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 0 · x_{4} & + & (−1) · x_{5} & = & 2 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & \frac{1}{4} · x_{3} & + & 0 · x_{4} & + & \frac{1}{4} · x_{5} & = & 0 \\ 0 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & (−\frac{3}{4}) · x_{3} & + & (−1) · x_{4} & + & (−\frac{3}{4}) · x_{5} & = & 6 \\ 0 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 0 · x_{3} & + & \frac{4}{3} · x_{4} & + & 0 · x_{5} & = & −4 \end{aligned}

Daraus lesen wir x_{4} = −3 ab. Schrittweise bestimmen sich die anderen Variablen zu x_{3} + x_{5} = −4, dann x_{2} = 1 und schließlich x_{1} = 6 + 2x_{5}. Die Variable x_{5} ist dabei beliebig. ◁

Das ist eine typische Situation: in Lösungen linearer Gleichungssysteme können manche Variablen beliebig gewählt werden, andere sind eindeutig bestimmt, oder es kann auch gar keine Lösung geben. Wir werden im Verlauf des Semesters Methoden kennenlernen, mit denen die Menge der Lösungen eines LGS charakterisiert werden kann. Zunächst führen wir eine Matrixschreibweise ein, mit der lineare Gleichungssysteme und die elementaren Zeilenumformungen sich übersichtlicher schreiben lassen.

Definition 1.5 Ein Schema der Form

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} )

mit a_{ij} ∈ 𝕂 für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n heißt m × n-Matrix (über 𝕂). Die Menge aller m × n-Matrizen über 𝕂 wird mit M(m × n, 𝕂) bezeichnet.

Man schreibt auch A = (a_{ij}) _{\begin{matrix}i = 1, …, m \\ j = 1, …, n \end{matrix}} oder, wenn die Größe m×n klar ist, auch

A = (a_{ij}), mit dem Eintrag a_{ij} auf der Kreuzung der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte. Der erste Index ist also der Zeilenindex, der zweite Index der Spaltenindex.

Wir identifizieren M(n × 1, 𝕂) mit 𝕂^{n}, d.h. wir schreiben Elemente aus 𝕂^{n}

in der Regel als Spalten x = (x_{i})_{i=1,...,n} = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ). Sind x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) , y =

( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) ∈ 𝕂^{n} und ist λ ∈ 𝕂, so erklärt man die Addition und die Multiplikation

mit Skalaren durch

x + y := ( x_{1} + y_{1} ; ⋮ ; x_{n} + y_{n} ) und λx := ( λx_{1} ; ⋮ ; λx_{n} ) .

Schließlich erklären wir eine Matrixmultiplikation · : M(m×n, 𝕂)×𝕂^{n} → 𝕂^{m} wie folgt:

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) · ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) := ( a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} ; a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} ; ⋮ ; a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} ) .

Die Größe der Matrizen muß dabei passen, d.h. ein Produkt M(m × n, 𝕂) × 𝕂^{l} ist für l ≠ n nicht erklärt! Ist also A = (a_{ij}) _{\begin{matrix}i = 1, …, m \\ j = 1, …, n \end{matrix}} und x = (x_{j})_{j=1,...,n}, so ist

A · x = b = (b_{i})_{i=1,...,m} mit b_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}.

Beispiel 1.6 Sei A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 9 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) ∈ M(3 × 4, ℝ) und x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \\ −2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4},

so ist

A · x = ( \begin{matrix}1 · 1 + 2 · 2 + 3 · (−1) + 4 · (−2) \\ 8 · 1 + 7 · 2 + 6 · (−1) + 5 · (−2) \\ 9 · 1 + 0 · 2 + 1 · (−1) + 2 · (−2) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−6 \\ 6 \\ 4 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3} .

◁

Damit läßt sich ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Unbekannten schreiben als A · x = b, wobei A ∈ M(m × n, 𝕂) und b ∈ 𝕂^{m} gegeben sind und die Lösung x ∈ 𝕂^{n} gesucht ist. Wir können nun die elementaren Zeilenumformungen des LGS A · x = b in Matrixschreibweise formulieren:

Typ I Vetauschen zweier Zeilen von A und der entsprechenden Einträge von b.

Typ II Ersetzen der j-ten Zeile von A durch die Summe aus der i-ten und j-ten Zeile und Beibehalten der i-ten Zeile, sowie Ersetzen des j-ten Eintrags von b durch die Summe aus i-tem und j-tem Eintrag von b und Beibehalten des i-ten Eintrags von b.

Typ III Multiplikation der i-ten Zeile von A und des i-ten Eintrags von b mit λ ∈ 𝕂^{∗}.

Typ IV Ersetzen der j-ten Zeile von A durch die Summe aus dem λ-fachen der i-ten Zeile und der j-ten Zeile und Beibehalten der i-ten Zeile, und entsprechend für die Einträge von b.

Man sieht dabei, daß die elementaren Zeilenumformungen an der Lösung x = (x_{j}) nichts ändern. Deshalb kann x gefahrlos weggelassen werden und die Zeilenumformungen einheitlich für die erweiterte Koeffizientenmatrix

(A|b) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

durchgeführt werden.

Beispiel 1.7 Wir wiederholen die Schritte aus Beispiel 1.4:

( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & −1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & −1 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{\begin{matrix}I & 23 \\ IV_{14}(−1) \end{matrix}}  ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 3 & 0 & −1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & −2 \end{matrix} )

⟶^{\begin{matrix}IV_{24}(−3) \\ IV_{24}(−1) \end{matrix}} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 3 \\ 0 & 0 & −\frac{3}{4} & −1 & −\frac{3}{4} & 6 \\ 0 & 0 & −\frac{1}{4} & 1 & −\frac{1}{4} & −2 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{34}(− \frac{1}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & −\frac{3}{4} & −1 & −\frac{3}{4} & 6 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{4}{3} & 0 & −4 \end{matrix} )

Eine solche Matrix heißt in Zeilenstufenform. Durch Zeilenumformung vom Typ III kann erreicht werden, daß die erste von Null verschiedene Zahl jeder Zeile zu 1 wird:

⟶^{\begin{matrix}III_{3}(− \frac{4}{3} ) \\ III_{4}( \frac{3}{4} ) \end{matrix}}( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} & 1 & −8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & −3 \end{matrix} )

Schließlich kann mit Typ IV erreicht werden, daß alle Zahlen oberhalb der ersten 1 jeder Zeile zu Null werden:

⟶^{IV_{43}(− \frac{4}{3} )}( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & −4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & −3 \end{matrix} ) ⟶^{\begin{matrix}IV_{32}(− \frac{1}{4} ) \\ IV_{31}(−1) \end{matrix}}( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & −2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & −4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & −3 \end{matrix} )

Die Lösung ist damit x_{2} = 1 und x_{4} = −3 sowie x_{3} = −4 − x_{5} und x_{1} = 6 + 2x_{5} mit x_{5} ∈ 𝕂 beliebig. ◁

Eine nützliche Definition ist also

Definition 1.8 Eine Matrix A ∈ M(m × n, 𝕂) heißt in Zeilenstufenform, falls gilt:

i) Es gibt eine Zahl r ≤ m, so daß die Zeilen mit Index i = 1, …, r nicht identisch Null sind, während die Zeilen mit Index i = r + 1, …, m identisch Null sind.

ii) Bezeichne j_{i} := min{j : a_{ij} ≠ 0} den kleinsten Spaltenindex der Zeilen i = 1, …, r mit Eintrag ≠ 0, so gilt j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r}.

Beispiel 1.9 Ein Beispiel für eine Matrix in Zeilenstufenform ist also:

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )
◁

Satz 1.10 Jede Matrix A ∈ M(m×n, 𝕂) läßt sich durch endlich viele elementare Zeilenumfomungen auf spezielle Zeilenstufenform

Ã = ( \begin{matrix}0 & … & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & … \\ 0 & … & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & … \\ 0 & & & & & … & & & & & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 \\ 0 & & & & & & & & & … & & & & & 0 & 1 & … \\ ⋮ & & & & & & & & & … & & & & & & & ... \end{matrix} )

bringen mit a_{ij_{i}} = 1 und a_{kj_{i}} = 0 für k ≠ i, wenn j_{i} := min{j : a_{ij} ≠ 0}. Ein ∗ steht für ein beliebiges Element aus 𝕂. Jede Zeile wird nach einer Reihe von Nullen mit 1 begonnen, und zwar später als in jeder der vorangehenden Zeilen. Oberhalb und unterhalb der führenden 1 sind alle Einträge Null.

Beweis. Suche die erste Spalte j, die nicht identisch Null ist. Durch Zeilenvertauschung (Typ I) läßt sich erreichen, daß der erste Eintrag a_{1j} dieser Spalte ≠ 0 ist. Teile die erste Zeile durch diesen Eintrag a_{1j} (Typ III). Diese neue erste Zeile wird nun festgehalten. Addiere zu jeder Zeile i = 2, … m das (−a_{ij})-fache der neuen ersten Zeile (Typ IV). Dadurch wird a_{ij} = 0 für alle i > 1. Wiederhole das Verfahren für die Zeilen 2 bis m, wobei j nun der kleinste Spaltenindex mit einem a_{ij} ≠ 0 für i = 2, …, m ist, u.s.w. Das Ergebnis ist eine Matrix in Zeilenstufenform, wobei jede Zeile nach einer Reihe von Nullen mit 1 begonnen wird. Durch erneute Umformungen vom Typ IV werden dann (wie in Beispiel 1.7) oberhalb der führenden 1 jeder Zeile die Einträge auf 0 gebracht. □

Definition 1.11 Die Anzahl der Zeilen einer Matrix A ∈ M(m × n, 𝕂), die nach Überführung in Zeilenstufenform nicht identisch Null sind, heißt der Rang von A, geschrieben rang(A).

Wir werden später sehen, daß der Rang unabhängig von der Wahl der elementaren Zeilenumformungen ist.

Liegt die erweiterte Koeffizientenmatrix in spezieller Zeilenstufenform vor (was nach Satz 1.10 durch elementare Zeilenumformungen immer erreicht werden kann, wobei sich nach Satz 1.3 die Menge der Lösungen des LGS nicht ändert), so läßt sich die Lösung des LGS A · x = b mit A ∈ M(m × n, 𝕂) und b ∈ 𝕂^{m} wie folgt ermitteln (Gaußsches Eliminationsverfahren):

• Ist rang(A|b) ≠ rang(A) = r, d.h. b_{r+1} ≠ 0 so gibt es keine Lösung, denn die (r + 1)-te Gleichung 0 = ∑_{j=1}^{n} a_{r+1,j}x_{j} = b_{r+1} ist nicht lösbar.

• Ist rang(A|b) = rang(A), so sind die x_{k} mit k ∉ {j_{1}, …, j_{r}} im Sinne von Definition 1.8.ii), welche also Stufen der Länge ≥ 2 entsprechen, freie Variablen. Sie können beliebig aus 𝕂 gewählt werden.

• Die verbleibenden x_{j_{i}} mit i = 1, …, r sind gebundene Variablen, deren Wert sich nach Wahl der freien x_{k} bestimmt zu x_{j_{i}} = b_{i} − ∑_{k∉{j_{1},...,j_{r}}} a_{ik}x_{k}.

• Offenbar gilt: Für n = r ist die Lösung eindeutig bestimmt, für m = r ist das LGS für alle b ∈ 𝕂^{m} lösbar.

Mit y = ( x_{j_{1}} ; ⋮ ; x_{j_{r}} ) ∈ 𝕂^{r} für die gebundenen Variablen und w = ( x_{k_{1}} ; ⋮ ; x_{k_{n−r}} ) ∈

𝕂^{n−r} mit k_{1} < ⋯ < k_{n−r} ∉ {j_{1}, …, j_{r}} für die freien Variablen und Zusammenfassung der Matrixelemente c_{il} := a_{ik_{l}} zu einer Matrix C = (c_{il}) ∈ M(r × (n − r), 𝕂) ergibt sich die Lösung von A · x = b (in spezieller Zeilen-

stufenform) zu y = b̃ − C · w mit w ∈ 𝕂^{n−r} beliebig und b̃ = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{r} ) ∈ 𝕂^{r}.

Beispiel 1.12 In Beispiel 1.9 mit b_{5} = 0 ergibt sich nach elementaren Zeilenumformungen

{ \atop (A|b)} = ( \begin{matrix}1 & 0 & \frac{11}{9} & 0 & 0 & 0 & b_{1} − \frac{2}{9}b_{2} − \frac{22}{9}b_{3} + \frac{11}{9}b_{4} \\ 0 & 1 & \frac{8}{9} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9}b_{2} − \frac{7}{9}b_{3} + \frac{8}{9}b_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & −1 & b_{3} − 2b_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & b_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Als Lösung ergibt sich

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}b_{1} − \frac{2}{9}b_{2} − \frac{22}{9}b_{3} + \frac{11}{9}b_{4} \\ \frac{1}{9}b_{2} − \frac{7}{9}b_{3} + \frac{8}{9}b_{4} \\ b_{3} − 2b_{4} \\ b_{4} \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}\frac{11}{9} & 0 \\ \frac{8}{9} & 0 \\ 0 & −1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{3} \\ x_{6} \end{matrix} )

mit x_{3}, x_{6} ∈ ℝ beliebig. Die gebundenen Variablen sind also x_{5} = b_{4} − 2x_{6}, x_{4} = b_{3}−2b_{4}+x_{6}, x_{2} = \frac{1}{9}b_{2}− \frac{7}{9}b_{3}+ \frac{8}{9}b_{4}− \frac{8}{9}x_{3} und x_{1} = b_{1}− \frac{2}{9}b_{2}− \frac{22}{9}b_{3}+ \frac{11}{9}b_{4}− \frac{11}{9}x_{3}. ◁

2 Grundbegriffe

2.1 Gruppen

Unter einer Verknüpfung oder Komposition auf einer Menge G versteht man eine Vorschrift, die zwei gegebenen Elementen a, b ∈ G ein neues Element a ∗ b ∈ G zuordnet, d.h. eine Abbildung

∗ : G × G → G , ∗ : (a, b) ↦ a ∗ b := ∗(a, b) .

Beispiele sind die Addition ∗ = + und Multiplikation ∗ = · in ℕ, ℤ, ℚ, ℝ. Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die Menge G = Abb(X, X) = {f : X → X} der Selbstabbildungen von X mit der Komposition ∗ = ∘ als Verknüpfung, f, g ∈ Abb(X, X) ⇒ f ∘ g ∈ Abb(X, X).

Definition 2.1 Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ∗ heißt Gruppe, falls die folgenden Axiome erfüllt sind

(G1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) für alle a, b, c ∈ G (Assoziativgesetz)

(G2) Es gibt ein neutrales Element e ∈ G mit e ∗ a = a für alle a ∈ G

(G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein a^{−1} ∈ G (das zu a inverse Element) mit a^{−1} ∗ a = e

Die Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), falls außerdem a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ G.

Satz 2.2 Ist G eine Gruppe, so gilt:

i) Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt, und außerdem gilt a∗e = a für alle a ∈ G.

ii) Das inverse Element a^{−1} ist für jedes a ∈ G eindeutig bestimmt, und außerdem gilt a ∗ a^{−1} = e sowie (a^{−1})^{−1} = a und (ab)^{−1} = b^{−1} ∗ a^{−1}.

iii) Es gelten die Kürzungsregeln a ∗ b′ = a ∗ b ⇒ b = b′  und  b′ ∗ a =

b ∗ a ⇒ b = b′.

Beweis. Sei e ∈ G eines der neutralen Elemente und a ∈ G. Zum Inversen a^{−1} ∈ G gibt es wieder ein Inverses (a^{−1})^{−1} ∈ G, und es gilt

a ∗ a^{−1} = e ∗ (a ∗ a^{−1}) = ((a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1}) ∗ (a ∗ a^{−1}) = (((a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1}) ∗ a) ∗ a^{−1}

= ((a^{−1})^{−1} ∗ (a^{−1} ∗ a)) ∗ a^{−1} = ((a^{−1})^{−1} ∗ e) ∗ a^{−1} = (a^{−1})^{−1} ∗ (e ∗ a^{−1})

= (a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1} = e

und daraus

a ∗ e = a ∗ (a^{−1} ∗ a) = (a ∗ a^{−1}) ∗ a = e ∗ a = a .

Sei ẽ ∈ G ein weiteres neutrales Element, so gilt aus Sicht von e die Gleichung e ∗ ẽ = ẽ und aus Sicht von ẽ die Gleichung e ∗ ẽ = e, also e = ẽ. Damit ist i) bewiesen und a ∗ a^{−1} = e aus ii).

Sei ã^{−1} ein weiteres Inverses zu a, so gilt

ã^{−1} = ã^{−1} ∗ e = ã^{−1} ∗ (a ∗ a^{−1}) = (ã^{−1} ∗ a) ∗ a^{−1} = e ∗ a^{−1} = a^{−1} ,

also ist das Inverse eindeutig. Damit ist wegen a ∗ a^{−1} = e das Inverse von a^{−1} durch a selbst gegeben. Schließlich gilt

(b^{−1}∗a^{−1})∗(a∗b) = ((b^{−1}∗a^{−1})∗a)∗b = (b^{−1}∗(a^{−1}∗a))∗b = (b^{−1}∗e)∗b = b^{−1}∗b = e so daß b^{−1} ∗ a^{−1} das Inverse zu a ∗ b ist.

Die Kürzungsregeln folgen nach Verknüpfung von links/rechts mit a^{−1} unter Verwendung der Assoziativität. □

Beispiel 2.3 (für Gruppen)

i) ℤ, ℚ, ℝ mit der Addition als Verknüpfung, mit e = 0 als neutralem Element und dem Negativen a ↦ −a als Inverses.

ii) ℚ^{∗} := ℚ \ {0} und ℝ^{∗} := ℝ \ {0} mit der Multiplikation als Verknüpfung

und e = 1 als neutrales Element. iii) Die Menge M(m × n, 𝕂) der (m × n)-Matrizen bezüglich der Addition,

die wie folgt erklärt wird: Ist A = (a_{ij}) und B = (b_{ij}), so ist A+B = (c_{ij}) mit c_{ij} := a_{ij} + b_{ij}.

iv) S(X) := {f ∈ Abb(X, X) : f ist bijektiv} mit der Komposition ∘ als Verknüpfung und der identischen Abbildung id_{X} : x ↦ x als neutrales Element. Diese Gruppe heißt die symmetrische Gruppe der Menge X. Falls X = {1, 2, …, n}, so schreibt man S_{n} := S({1, 2, …, n}). Die Elemente σ ∈ S_{n} sind Permutationen der Zahlen 1, …, n.

v) Drehungen eines starren Körpers um seinen festgehaltenen Schwerpunkt im ℝ^{3}.

vi) Drehungen eines unendlichen Kristalls um den Winkel \frac{2π}{n} um eine geeignete Achse im Kristall, so daß der Kristall in sich selbst überführt wird. ◁

Einige Bemerkungen:

i) Die Komposition von Abbildungen ist stets assoziativ: Sei f : X → Y, g : Y → Z und h : Z → W, dann gilt für x ∈ X

((h ∘ g) ∘ f)(x) = (h ∘ g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ∘ f)(x))
= (h ∘ (g ∘ f))(x) .

ii) Besteht X aus mehr als zwei Elementen, so ist S(X) nicht abelsch. Betrachte z.B. f, g ∈ S_{3} mit f : (1, 2, 3) ↦ (2, 3, 1) und g : (1, 2, 3) ↦ (2, 1, 3), dann ist (f ∘ g)(1) = 3 und (g ∘ f)(1) = 1.

Definition 2.4 Sei G eine Gruppe mit Verknüpfung ∗. Eine nichtleere Teilmenge H ⊂ G heißt Untergruppe, wenn für alle a, b ∈ H auch a ∗ b ∈ H und a^{−1} ∈ H gilt.

Es folgt automatisch e ∈ H (durch Wahl von b = a^{−1}). Ist G eine Gruppe, so sind die Teilmengen H = G und H = {e} Untergruppen. Sie heißen triviale Untergruppen.

Beispiele sind ℚ^{∗} ⊂ ℝ^{∗} bezüglich der Multiplikation oder G als Gruppe der Drehungen eines Körpers und H als Untergruppe der Drehungen um eine feste Achse.

2.2 Ringe

Bei Gruppen hat man eine einzige Verknüpfung, z.B. Addition oder Multiplikation. Im weiteren brauchen wir Mengen, deren Elemente mittels Addition und Multiplikation verknüpft werden können (z.B. die Zahlen). Solche Mengen (mit brauchbaren Eigenschaften) heißen Ringe.

Definition 2.5 Eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen

+ :R × R → R ,  + : (a, b) ↦ a + b  (Addition)
· :R × R → R ,  · : (a, b) ↦ a · b  (Multiplikation)

heißt Ring, wenn folgendes gilt:

(R1) R zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe.

(R2) Die Multiplikation ist assoziativ.

(R3) Es gelten die Distributivgesetze

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c

für alle a, b, c ∈ R.

Ein Ring heißt kommutativ, falls a · b = b · a für alle a, b ∈ R. Ein Element 1 ∈ R heißt Einselement, wenn 1 · a = a · 1 = a für alle a ∈ R.

In (R3) ist die Konvention benutzt, daß die Multiplikation stärker bindet als die Addition.

Ist R ein Ring und 0 ∈ R das Nullelement, d.h. das neutrale Element der kommutativen Gruppe (R, +), dann gilt 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a, also 0 · a = 0 und analog a · 0 = 0.

Beispiel 2.6 (für Ringe)

i) die Zahlbereiche ℤ, ℚ, ℝ, ℂ.

ii) der Ring der reell- oder kompexwertigen stetigen Funktionen über einem

Intervall:

R = {f : I → 𝕂 stetig} , I ⊂ ℝ

mit

(f_{1} + f_{2})(x) := f_{1}(x) + f_{2}(x) und (f_{1} · f_{2})(x) := f_{1}(x) · f_{2}(x) .

iii) der Ring 𝕂[t] der Polynome in der Variablen t mit Koeffizienten aus 𝕂.◁ 2.3 Körper

Wenn in einem Ring auch die Multiplikation zu einer Gruppe wird (abgesehen vom Nullelement), sprechen wir von einem Körper.

Definition 2.7 Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen

+ :K × K → K ,  + : (a, b) ↦ a + b  (Addition)
· :K × K → K ,  · : (a, b) ↦ a · b  (Multiplikation)

heißt Körper, wenn folgendes gilt:

(K1) K zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 0 bezeichnet und das zu a ∈ K inverse Element mit −a.

(K2) Sei K^{∗} := K \{0}, dann ist für a, b ∈ K^{∗} auch a·b ∈ K^{∗}, und K^{∗} mit dieser Multiplikation ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 1 bezeichnet und das zu a ∈ K^{∗} inverse Element mit a^{−1} = 1/a. Man schreibt auch a/b = a^{−1} · b = b · a^{−1}.

(K3) Es gelten die Distributivgesetze

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c

für alle a, b, c ∈ K.

Körper spielen eine zentrale Rolle in linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen, weil die Division (außer durch 0) ausführbar ist.

Beispiel 2.8 (für Körper)

i) die Zahlbereiche ℚ, ℝ, ℂ.

ii) ℤ_{p} = {0, 1, …, p − 1} wenn p eine Primzahl ist (ohne Beweis). Addition und Multiplikation in ℤ modulo p ist wie folgt zu verstehen: Ist a, b ∈ {0, 1, …, p−1}, so sind a+b und a·b erklärt als die eindeutig bestimmten Zahlen s, m ∈ {0, 1, …, p − 1}, für die a + b − s und a · b − m durch p teilbar sind. ◁

In einem Körper gilt

i) 1 ≠ 0 (da 1 ∈ K^{∗} und 0 ∉ K^{∗})

ii) a · 0 = 0 · a = 0 (verwende a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0)

iii) a · b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 (aus (K2))

iv) a · (−b) = −(a · b) und (−a) · (−b) = a · b

v) a · b = a · c und a ≠ 0 ⇒ b = c

Teil II

Vektorräume

3 Definition und Beispiele

Vektorräume sind der zentrale Gegenstand der linearen Algebra.

Definition 3.1 Sei K ein Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung + : V × V → V (der Addition) und einer äußeren Verknüpfung · : K × V → V (Multiplikation mit Skalaren) heißt Vektorraum über K, wenn

(V1) V zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. (Wie üblich wird das neutrale Element wird mit 0 ∈ V bezeichnet und das zu v ∈ V inverse Element mit −v.)

(V2) Für die Multiplikation mit Skalaren gilt

(λ + μ) · v = λ · v + μ · v ,  λ · (v + w) = λ · v + λ · w ,
λ · (μ · v) = (λμ) · v ,  1 · v = v ,

für alle λ, μ ∈ K und v, w ∈ V. Ein Element eines Vektorraumes V heißt Vektor.

Die wichtigsten Fälle sind Vektorräume über K = ℝ und K = ℂ, und schreiben oft auch 𝕂 statt K. Wir sprechen dann von reellen bzw. komplexen Vektorräumen.

Satz 3.2 In einem Vektorraum über K gilt i) 0 · v = 0 ∈ V ∀v ∈ V

ii) λ · 0 = 0 ∈ V ∀λ ∈ K
iii) (−1) · v = −v ∀v ∈ V
iv) λ · v = 0 ∈ V ⇔ λ = 0 oder v = 0

Beweis. Beweis von i),ii),iii) durch gleiche Methoden wie in Teil I. iv): Ist λ · v = 0, aber λ ≠ 0, so gilt v = 1 · v = (λ^{−1}λ) · v = λ^{−1} · (λ · v) = 0. □

Beispiel 3.3 (für Vektorräume)

i) K^{n} = {x = (x_{1}, …, x_{n}) : x_{i} ∈ K} ist ein Vektorraum mit Addition

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})

und skalarer Multiplikation

λ · (x_{1}, …, x_{n}) := (λx_{1}, …, λx_{n}) .

Wir schreiben Vektoren aus K^{n} oft auch als Spalten statt als Zeilen. ii) Der Vektorraum M(m×n, K) der (m×n)-Matrizen mit Einträgen aus K

ist ein Vektorraum mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation: Schreiben wir A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) ∈ M(m × n, K), so ist

A + B := (a_{ij} + b_{ij}) , λ · A := (λa_{ij}) .

iii) ℂ kann als reeller Vektorraum aufgefaßt werden durch · : ℝ × ℂ → ℂ, (λ, x + iy) ↦ λx + iλy.

iv) der Vektorrraum der reell- oder kompexwertigen stetigen Funktionen über einem Intervall:

C(I) = {f : I → 𝕂 stetig} , I ⊂ ℝ

mit (λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝕂)

(λ_{1}f_{1} + λ_{2}f_{2})(x) := λ_{1}f_{1}(x) + λ_{2}f_{2}(x)

v) der Vektorraum 𝕂[t] der Polynome in der Variablen t mit Koeffizienten aus 𝕂. ◁

Definition 3.4 Sei V ein Vektorraum. Eine Teilmenge W ⊂ V heißt Untervektorraum, wenn (UV1) W ≠ ∅

(UV2) v, w ∈ W ⇒ v + w ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen bezüglich der Addition)

(UV3) v ∈ W , λ ∈ K ⇒ λ · v ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit Skalaren)

Ein Untervektorraum ist automatisch ein Vektorraum. Beispiele sind i) der Nullvektor W = {0}

ii) Vielfache W = {λ · v : λ ∈ K} eines ausgewählten Vektors v ∈ V, speziell jede Gerade in der Ebene durch den Nullpunkt, W = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : ax + by = 0} für a, b ∈ ℝ.

Satz 3.5 Seien W_{i} mit i ∈ I (Indexmenge) jeweils Untervektorräume von V, so ist der Durchschnitt W := ⋂_{i∈I} W_{i} ⊂ V wieder ein Untervektorraum von V.

Beweis. 0 ∈ W_{i} ∀i ∈ I, also 0 ∈ W (damit ist W nicht leer). Seien v, w ∈ W, so sind v, w ∈ W_{i} ∀i ∈ I. Dann ist auch v + w ∈ W_{i} ∀i ∈ I und somit v + w ∈ W. Analog ist λ · v ∈ W. □

Dagegen ist die Vereinigung von Untervektorräumen im allgemeinen nicht wieder ein Untervektorraum. Man kann eine solche Vereinigung aber zu einen Vektorraum abschließen.

4 Linearkombinationen

Seien v_{1}, …, v_{r} ∈ V (nicht notwendig verschiedene) Vektoren aus V. Ein Vektor v ∈ V heißt Linearkombination von v_{1}, …, v_{r}, wenn es λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K gibt, so daß

v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} .

Wir bezeichnen mit

span_{K}(v_{1}, …, v_{r}) = {∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} : λ_{i} ∈ K}

den Raum aller Linearkombinationen von v_{1}, …, v_{r}. Offenbar ist span_{K}(v_{1}, …, v_{r}) ein Untervektorraum von V, er heißt der durch v_{1}, …, v_{r} aufgespannte (oder erzeugte) Untervektorraum.

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf Untervektorräume, die von einer Familie (v_{i})_{i∈I} aus möglicherweise unendlich vielen Vektoren aufgespannt wird. Dann ist span_{K}(v_{i})_{i∈I} definiert als die Menge aller endlichen Linearkombinationen, d.h. zu jedem v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} gibt es Indizes i_{1}, …, i_{r} ∈ I und Skalare λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K, so daß v = ∑_{j=1}^{r} λ_{j}v_{i_{j}}.

Beispiel 4.1 (für Linearkombinationen)

i) Für V = ℝ^{3} und v_{1}, v_{2} ∈ V ist span_{ℝ}(v_{1}) die Gerade durch 0 und v_{1}, falls v_{1} ≠ 0, und span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}) die Ebene durch 0, v_{1}, v_{2}, falls v_{1} ≠ 0 und

v_{2} ∉ span_{ℝ}(v_{1}).

ii) Im Vektorraum K^{n} setzen wir e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), wobei die 1 an der i-ten Stelle steht. Dann ist span_{K}(e_{i})_{i=1,...,n} = K^{n}. ◁

Im weiteren wird es wichtig sein, ob sich ein Vektor v ∈ V in eindeutiger Weise als Linearkombination von vorgegebenen Vektoren v_{1}, …, v_{r} darstellen läßt oder nicht.

Definition 4.2 Sei V ein Vektorraum über K. Eine Familie von endlich vielen Vektoren v_{1}, …, v_{r} heißt linear unabhängig (bzw. die Vektoren v_{1}, …, v_{r} heißen linear unabhängig), wenn aus λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} = 0 für λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K folgt λ_{1} = λ_{2} = ⋯ = λ_{r} = 0.

Eine beliebige Familie (v_{i})_{i∈I} heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Entsprechend heißt eine Familie (v_{i})_{i∈I}, die nicht linear unabhängig ist, linear abhängig. In diesem Fall gibt es also v_{i_{1}}, …, v_{i_{r}} ≠ 0 mit i_{1}, …, i_{r} ∈ I und λ_{1}, …, λ_{r} ≠ 0 mit ∑_{j=1}^{r} λ_{j} · v_{i_{j}} = 0.

Satz 4.3 Eine Familie (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{j} = ( v_{1j} ; ⋮ ; v_{mj} ) ∈ K^{m} ist genau

dann linear unabhängig, wenn für die Matrix A = (v_{ij}) ∈ M(m × n, K) gilt rang(A) = n.

Beweis. Nach Definition des Matrixprodukts gilt

λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n} = 0 ⇔ A · x = 0

mit x = ( λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ) ∈ K^{n}. Die Familie (v_{1}, …, v_{n}) ist also genau dann linear

unabhängig, wenn A · x = 0 nur die triviale Lösung x = 0 besitzt. Das erfordert rang(A) = n. □

Beispiel 4.4 Sei z.B. v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix} ) so betrachten wir

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(−2) , IV_{13}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & −3 & 3 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{23}(−3)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Damit ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}) nicht linear unabhängig. Dagegen ist (v_{1}, v_{2}) linear unabhängig, denn Weglassen der 3. Spalte ergibt rang(v_{1}, v_{2}) = 2. ◁

Wir werden später sehen, daß in beliebigen endlich erzeugten Vektorräumen die lineare Unabhängigkeit stets durch Lösen linearer Gleichungssysteme ermittelt werden kann.

Satz 4.5 Für eine Familie (v_{i})_{i∈I} sind folgende Bedingungen äquivalent: i) (v_{i})_{i∈I} ist linear unabhängig

ii) Jeder Vektor v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} läßt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von Vektoren aus (v_{i})_{i∈I} darstellen.

Beweis. i)⇒ii). Sei v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} auf zwei verschiedene Arten als Linearkombination darstellbar,

v = ∑_{i∈I} λ_{i} · v_{i} = ∑_{i′∈I} μ_{i′} · v_{i′} ,

wobei nur endlich viele Skalare λ_{i}, μ_{i′} ungleich Null sind. Es gibt also eine endliche Teilmenge J ⊂ I (Vereinigung der Indizes i, i′, für die λ_{i} ≠ 0 oder μ_{i′} ≠ 0), so daß

∑_{j∈J}(λ_{j} − μ_{j}) · v_{j} = 0 .

Da nach Voraussetzung i) jede endliche Teilfamilie von (v_{i})_{i∈I} linear unabhängig ist, ist λ_{j} = μ_{j} für alle j ∈ J und weiter für alle i ∈ I (auf dem Komplement I \ J ist λ_{i} = μ_{i} = 0).

ii)⇒i). Der Nullvektor läßt sich als Linearkombination von (v_{i})_{i∈I} darstellen, in der sämtliche Skalare Null sind. Ist die Linearkombination eindeutig, so ist (v_{i})_{i∈I} linear unabhängig. □

5 Erzeugendensystem, Basis und Dimension

Definition 5.1 Eine Familie B = (v_{i})_{i∈I} von Vektoren v_{i} ∈ V heißt Erzeugendensystem von V, wenn V = span_{K}(v_{i})_{i∈I}, wenn also jeder Vektor v ∈ V eine endliche Linearkombination von (v_{i})_{i∈I} ist.

Ein Erzeugendensystem B = (v_{i})_{i∈I} heißt Basis von V, wenn B linear unabhängig ist.

Der Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls es ein endliches Erzeugendensystem B = (v_{1}, …, v_{r}) von V gibt.

Beispiel 5.2 (für Erzeugendensysteme und Basen)

i) Im Vektorraum K^{n} ist B = (e_{1}, …, e_{n}), mit e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), ein Erzeugendensystem, denn jeder Vektor x = (x_{1}, …, x_{n}) läßt sich schreiben als x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} mit x_{i} ∈ K. Das Erzeugendensystem ist linear unabhängig und deshalb eine Basis, die Standardbasis des K^{n}.

ii) Im Vektorraum M(m × n, K) ist B = (E_{ij})_{{i=1,...m \atop j=1,...,n}} mit

E_{ij} = ( \begin{matrix}& & & 0 \\ & O & & ⋮ & & O \\ & & & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ & & & 0 \\ & O & & ⋮ & & O \\ & & & 0 \end{matrix} ) ,

wobei die 1 im Schnittpunkt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte steht, ein Erzeugendensystem. Jede Matrix A = (a_{ij}) läßt sich darstellen als A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}. Das Erzeugendensystem ist linear unabhängig und deshalb eine Basis, die Standardmatrixbasis.

iii) In ℂ, aufgefaßt als reeller Vektorraum, ist B = (1, i) eine Basis, denn jede komplexe Zahl kann als z = x · 1 + y · i mit x, y ∈ ℝ geschrieben werden.

Fassen wir ℂ = ℂ^{1} dagegen als komplexen Vektorraum auf, dann ist B = (1, i) zwar ein Erzeugendensystem, aber keine Basis mehr, denn 1 und i sind nicht mehr linear unabhängig über ℂ: 1 · 1 + i · i = 0. iv) Sei P_{n}(x) der Vektorraum der reellen oder komplexen Polynome vom Grad ≤ n in x. Dann ist B = (1, x, x^{2}, …, x^{n}) eine Basis von P_{n}(x): Jedes Polynom p(x) vom Grad ≤ n läßt sich schreiben als p(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} mit a_{k} ∈ 𝕂 (also ist B Erzeugendensystem). Aus p(x) = 0 folgt nach dem Identitätssatz für Polynome (Satz 9.5 aus dem 1. Semster) a_{k} = 0. also ist B linear unabhängig. ◁

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) ein endliches Erzeugendensystem bzw. eine endliche Basis, dann ist jede Permutation (Umordnung) der Vektoren v_{i} wieder ein endliches Erzeugendensystem bzw. eine endliche Basis. Z.B. ist B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) mit v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (0, 0, 1), v_{3} = (0, 1, 0) eine Basis von K^{3}, aber es ist übersichtlicher, statt B mit der durch Umordnung erhaltenen Standardbasis (v_{1}, v_{3}, v_{2}) zu arbeiten.

Für die Definition einer Basis gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten. Wir beschränken uns zunächst auf endlich erzeugte Vektorräume:

Satz 5.3 Für eine Familie B = (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{i} ∈ V, V ≠ {0}, sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V (also eine Basis).

ii) B ist ein Erzeugendensystem von V, aber (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ist für jedes 1 ≤ r ≤ n kein Erzeugendensystem mehr.

iii) Zu jedem v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} (Eindeutigkeit der Zerlegung von v nach der Basis).

iv) B ist linear unabhängig, während (v_{1}, …, v_{n}, v) linear abhängig ist für alle v ∈ V.

Beweis. i)⇒ii). Wäre (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem, dann gibt es λ_{1}, …, λ_{r−1}, λ_{r+1}, …, λ_{n} ∈ K mit v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1} λ_{i} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} λ_{j} · v_{j}. Damit ist 0 = ∑_{i=1}^{r−1} λ_{i} · v_{i} + (−1) · v_{r} + ∑_{j=r+1}^{n} λ_{j} · v_{j}, so daß B nicht linear unabhängig wäre.

ii)⇒iii). Angenommen, es gibt ein v ∈ V und für dieses zwei verschiedene Darstellungen

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} und v = ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · v_{i}

mit λ_{r} ≠ μ_{r} für mindestens ein r. (Es gibt mindestens eine Darstellung, da B Erzeugendensystem.) Subtraktion beider Gleichungen und Division durch (λ_{r} − μ_{r}) ergibt

v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1} \frac{λ_{i} − μ_{i}}{μ_{r} − λ_{r}} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} \frac{λ_{j} − μ_{j}}{μ_{r} − λ_{r}} · v_{j}

Das würde bedeuten, daß (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem wäre, denn in einer Linearkombination ließe sich v_{r} durch die v_{i}, v_{j} mit i, j ≠ r ausdrücken, im Widerspruch zu ii).

iii)⇒iv). Nach Satz 4.5 ist B linear unabhängig. Andererseits gibt es für jedes v ∈ V Skalare λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} + (−1) · v, so daß (v_{1}, …, v_{n}, v) nicht linear unabhängig ist.

iv)⇒i). Da (v_{1}, …, v_{n}, v) für alle v ∈ V linear abhängig ist, gibt es λ_{1}, …, λ_{n}, λ ∈ K, welche nicht alle gleich 0 sind, mit 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} ·v_{i} +λ·v. Wäre λ = 0, so auch λ_{i} = 0 für alle i = 1, …, n, da B linear unabhängig ist. Also ist λ ≠ 0 und somit

v = ∑_{i=1}^{n} \frac{−λ_{i}}{λ} · v_{i} .

Damit ist B ein Erzeugendensystem. □

Die wichtigste Eigenschaft einer Basis ist wohl die Eindeutigkeit der Zerlegung eines gegebenen Vektors nach einer Basis des Vektorraums. Ist eine Basis fixiert, dann kann man an Stelle des Vektors v ∈ V mit einer Folge von Zahlen (λ_{1}, …, λ_{n}) mit λ_{i} ∈ K arbeiten. Diese Zahlen λ_{i} heißen die Koordinaten von v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} bezüglich der Basis (v_{1}, …, v_{n}). Die Beziehung zwischen einem Vektor und seinen Koordinaten wird im Abschnitt über lineare Abildungen weiter untersucht.

Satz 5.4 Ist V nicht endlich erzeugt, dann gibt es eine unendliche linear unabhängige Familie von Vektoren.

Beweis. Durch Induktion nach der Anzahl n linear unabhängiger Vektoren von V: Seien (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig. Wäre (v_{1}, …, v_{n}, v_{n+1}) linear abhängig für jedes v_{n+1} ∈ V, so wäre (v_{1}, …, v_{n}) Erzeugendensystem, Widerspruch. □

Satz 5.5 (Austauschlemma von Steinitz) Es sei (v_{1}, …, v_{n}) Erzeugendensystem (bzw. eine Basis) eines Vektorraums V über K und w = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} mit λ_{r} ≠ 0 für ein r ∈ {1, …, n}. Dann ist auch (v_{1}, …, v_{r−1}, w, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem (bzw. eine Basis) von V.

Beweis. Unter den Voraussetzungen gilt

v_{r} = \frac{1}{λ_{r}} · w + ∑_{i=1}^{r−1} \frac{−λ_{i}}{λ_{r}} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} \frac{−λ_{j}}{λ_{r}} · v_{j} .

Sei v ∈ V ein beliebiger Vektor, dann gibt es μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K mit v = ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · v_{i}. Einsetzen von v_{r} liefert

v = ∑_{i=1}^{r−1} (μ_{i} − \frac{μ_{r}λ_{i}}{λ_{r}} ) · v_{i} + \frac{μ_{r}}{λ_{r}} · w + ∑_{j=r+1}^{n} (μ_{j} − \frac{μ_{r}λ_{j}}{λ_{r}} ) · v_{j} .

Damit ist (v_{1}, …, v_{r−1}, w, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem.

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis, dann betrachten wir zur Untersuchung der linearen Unabhängigkeit

0 = ∑_{i=1}^{r−1} μ_{i} · v_{i} + μ · w + ∑_{j=r+1}^{n} μ_{j} · v_{j} .

Einsetzen von w liefert

0 = ∑_{i=1}^{r−1}(μ_{i} + μλ_{i}) · v_{i} + μλ_{r} · v_{r} + ∑_{j=r+1}^{n}(μ_{j} + μλ_{j}) · v_{j} .

Da B linear unabhängig, folgt μ_{i} + μλ_{i} = 0 für i ≠ r und μλ_{r} = 0, also μ = 0 und dann μ_{i} = 0. □

Beispiel 5.6 Seien v_{1} = (\begin{matrix}2 \\ 5 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) , v_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −3 \\ 6 \end{matrix}) , v_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , v_{4} = (\begin{matrix}2 \\ −1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{4}.

Ist die Familie B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) linear unabhängig?

Nach Satz 4.3 kann die Frage durch Bestimmen des Rangs der Matrix

A = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 4 & −1 \\ 3 & −3 & 0 & 5 \\ 7 & 6 & 1 & 1 \end{matrix} )

beantwortet werden. Wir gehen hier einen anderen Weg über mehrfache Anwendung des Austauschlemmas. Wir dürfen die r-te Spalte v_{r} durch eine Linearkombination w = ∑_{j=1}^{4} λ_{j}v_{j} ersetzen, wenn λ_{r} ≠ 0. Das ist aber gerade eine elementare Spaltenumformung vom Typ IV, definiert in Analogie zu den Zeilenumformungen aus Abschnitt 1. Vertauschen von Vektoren (Typ I) erhält ebenfalls das Erzeugendensystem. Spaltenumformungen liefern also

A ⟶^{\begin{matrix}IV_{12}(− \frac{1}{2} ) \\ IV_{13}(− \frac{1}{2} ) \\ IV_{14}(−1) \end{matrix}} ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & −\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & −6 \\ 3 & −\frac{9}{2} & −\frac{3}{2} & 2 \\ 7 & \frac{5}{2} & −\frac{5}{2} & −6 \end{matrix} ) ⟶^{\begin{matrix}IV_{23}(1) \\ IV_{24}(−4) \end{matrix}} ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & −\frac{3}{2} & 0 & 0 \\ 3 & −\frac{9}{2} & −6 & 20 \\ 7 & \frac{5}{2} & 0 & −16 \end{matrix} )

⟶^{\begin{matrix}III_{2}(2) \\ IV_{34}( \frac{10}{3} ) \end{matrix}} ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & −3 & 0 & 0 \\ 3 & −9 & −6 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & −16 \end{matrix} )

Damit ist B linear unabhängig. Durch weitere Spaltenumformungen läßt sich B auch in die Standardbasis überführen. ◁

Würde sich bei diesem Verfahren der Nullvektor ergeben, so kann dieser aus dem Erzeugendensystem weggelassen werden. Allgemein gilt:

Satz 5.7 (Basisauswahlsatz) Aus jedem endlichen Erzeugendensystem läßt sich eine Basis auswählen. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis.

Beweis. Man nehme aus einem endlichen Erzeugendensystem einzelne Vektoren weg, so daß die reduzierte Familie immer noch ein Erzeugendensystem des Vektorraums bleibt. Ist das nicht mehr möglich, so liegt eine Basis vor. □

Wir zeigen nun, daß alle Basen eines endlich erzeugten Vektorraums aus der gleichen Anzahl an Vektoren bestehen.

Satz 5.8 (Austauschsatz) In einem Vektorraum V über K sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis und (w_{1}, …, w_{r}) eine linear unabhängige Familie von Vektoren aus V. Dann ist r ≤ n, und es gibt paarweise verschiedene Indizes i_{1}, …, i_{r} ∈ {1, 2, …, n}, so daß man nach Austausch von v_{i_{j}} durch w_{j} für alle 1 ≤ j ≤ r wieder eine Basis von V erhält. Nach Permutation der Indizes (Umnumerierung) erreicht man, daß B^{∗} = (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) eine Basis von V ist.

Beweis. Wir tauschen schrittweise die Basisvektoren aus. Im ersten Schritt finden wir ein 1 ≤ s ≤ n, so daß (v_{1}, …, v_{s−1}, w_{1}, v_{s+1}, …, v_{n}) eine Basis ist. Nun nennen wir v_{1} ↦ v_{s} und ordnen durch Vertauschen von v_{s} ↔ w_{1} die Basis um, so daß (w_{1}, v_{2}, …, v_{n}) eine Basis ist.

Dann gibt es μ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} ∈ K mit w_{2} = μ_{1} · w_{1} + ∑_{i=2}^{n} λ_{i} · v_{i}. Mindestens eines der λ_{i} ist von 0 verschieden, denn sonst wäre w_{2} = μ_{1} · w_{1}, und die Familie (w_{1}, …, w_{r}) wäre nicht linear unabhängig. Es läßt sich deshalb ein v_{s} mit 2 ≤ s ≤ n durch w_{2} austauschen, so daß nach Umnumerierung (w_{1}, w_{2}, v_{3} …, v_{n}) eine Basis von V ist.

Ist r ≤ n, so führt die wiederholte Anwendung dieses Verfahrens auf eine Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}). Wäre r > n, dann erhalten wir im n-ten Schritt eine Basis (w_{1}, …, w_{n}) von V. Dann ist w_{n+1} nach dieser Basis zerlegbar, so daß (w_{1}, …, w_{r}) für r > n nicht mehr linear unabhängig wäre. □

Satz 5.9 Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Dann besteht jede Basis von V aus der gleichen Anzahl von Vektoren.

Beweis. Seien zwei Basen B_{1} = (v_{1}, …, v_{n}) und B_{2} = (w_{1}, …, w_{r}) von V gegeben. Ist n < r, dann wäre nach Satz 5.8 B_{2} nicht linear unabhängig, also keine Basis. Ist n > r, dann wäre nach Satz 5.8 B_{1} nicht linear unabhängig, also keine Basis. Folglich gilt n = r. □

Definition 5.10 In einem Vektorraum V über K heißt die durch

dim_{K}V := \{ \begin{matrix}0 & falls V = \{0\}, \\ n & falls V endlich erzeugt ist und eine aus n Vektoren bestehende Basis besitzt, \\ ∞ & falls V nicht endlich erzeugt ist \end{matrix}

definierte Zahl die Dimension von V.

Offenbar ist dim_{K}(K^{n}) = n und dim_{ℝ}(ℂ) = 2, aber dim_{ℂ}(ℂ) = 1. Wir schreiben auch dim(V) statt dim_{K}(V), wenn der Körper klar ist. Die Dimension ist eine entscheidende Charakterisierung eines Vektorraums.

Satz 5.11 Ist W ⊂ V Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraums V, so ist auch W endlich erzeugt, und es gilt

i) dim(W) ≤ dim(V),

ii) aus dim(W) = dim(V) folgt W = V.

Beweis. i) Wäre W nicht endlich erzeugt, dann gäbe es nach Satz 5.4 eine unendliche linear unabhängige Familie, die auch in V linear unabhängig wäre, Widerspruch. Ebenso kann es nach dem Austauschsatz höchstens n := dim_{K}(V) linear unabhängige Vektoren in W geben.

ii) Sei dim(W) = dim(V) = n und (w_{1}, …, w_{n}) eine Basis von W. Wäre V ≠ W, so gibt es ein v ∈ V \ W, das keine Linearkombination von (w_{1}, …, w_{n}) ist. Damit wäre (w_{1}, …, w_{n}, v) linear unabhängig, Widerspruch. □

Dieser Satz ist sehr hilfreich. Wenn wir schon wissen, daß ein Vektorraum V die Dimension n hat und n linear unabhängige Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V gegeben sind, dann ist W = span(v_{1}, …, v_{n}) ein Untervektorraum, in dem (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis ist. Aus der Gleichheit der Dimensionen folgt W = V, also ist (v_{1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem von V. Es ist wesentlich einfacher, die lineare Unabhängigkeit mit dem Gaußschen Algorithmus für lineare Gleichungssysteme zu überprüfen als die Eigenschaft des Erzeugendensystems. Daraus wird die Bedeutung der Dimension ersichtlich.

Ein weiteres nützliches Hilfsmittel ist:

Satz 5.12 (Basisergänzungssatz) In einem endlich erzeugten Vektorraum V sei eine Familie (w_{1}, …, w_{r}) von linear unabhängigen Vektoren gegeben. Dann läßt sich diese Familie zu einer Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V ergänzen.

Beweis. Man nehme irgendeine Basis von V und wende den Austauschsatz an. □

In nicht endlich erzeugten (also unendlich-dimensionalen) Vektorräumen gibt es einige Besonderheiten. Zwar gilt unter Benutzung des Auswahlaxioms:

Satz 5.13 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Jedoch läßt sich in nicht endlich erzeugten Vektorräumen eine Basis im allgemeinen nicht angeben. Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen V = {(a_{1}, a_{2}, …) : a_{i} ∈ ℝ} sind die Vektoren

{(1, 0, 0, 0, …), (0, 1, 0, 0, …), (0, 0, 1, 0, …), …}

zwar linear unabhängig, aber sie bilden keine Basis (auch kein Erzeugendensystem), denn z.B. wird die Folge (1, 1, 1, …) nicht davon als endliche Linearkombination erzeugt.

Wir werden später unitäre und euklidische Vektorräume einführen, die auch unendlich-dimensional sein können. Dort gibt es sogenannte Orthonormalbasen, so daß sich jeder Vektor als eindeutige unendliche (aber konvergente) Linearkombination darstellen läßt. Die Konvergenz erfordert dann Methoden der Analysis. Unter Verwendung des Auswahlaxioms existiert zwar auch dort eine Basis, so daß jeder Vektor eine endliche Linearkombination ist, diese Basis ist aber viel größer (überabzählbar) als die sehr natürliche Orthonormalbasis.

Beispiel 5.14 Es sei

V = C_{per}^{1}([0, 2π]) := {f : [0, 2π] → ℝ stetig differenzierbar, f(0) = f(2π)}

der Vektorraum der 2π-periodischen stetig differenzierbaren Funktionen. Man kann zeigen, daß die Familie (v_{n}, w_{n})_{n∈ℕ} mit v_{n}(x) = cos(nx) und w_{n} = sin((n + 1)x) eine Orthonormalbasis ist, d.h. jede Funktion f ∈ V eindeutig geschrieben werden kann als unendliche konvergente Linearkombination

f(x) = λ_{0} + ∑_{n=1}^{∞} (λ_{n} · cos(nx) + μ_{n} · sin(nx)) ,  λ_{n}, μ_{n} ∈ ℝ , x ∈ [0, 2π] . ◁

6 Summen von Vektorräumen

Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V, dann erzeugt jeder Basisvektor v_{i} einen eindimensionalen Untervektorraum W_{i} = Kv_{i} := span_{K}(v_{i}). Da jeder Vektor v ∈ V als Summe v = ∑_{i=1}^{n} w_{i} mit w_{i} ∈ Kv_{i} dargestellt werden kann, ist es sinnvoll, V selbst als Summe der Untervektorräume aufzufassen. Diese Summe läßt sich dann verallgemeinern auf höherdimensionale Untervektorräume:

Definition 6.1 Sei V ein Vektorraum und W_{1}, …, W_{r} ⊂ V Untervektorräume. Dann heißt

W = W_{1} + ⋯ + W_{r} := {v ∈ V : es gibt v_{j} ∈ W_{j} mit v = v_{1} + ⋯ + v_{r} }

die Summe von W_{1}, …, W_{r}.

Offenbar ist W wieder ein Untervektorraum von V, und es gilt dim(∑_{i=1}^{r} W_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{r} dim(W_{i}). Für r = 2 können wir mehr zeigen:

Satz 6.2 Für endlich-dimensionale Untervektorräume W_{1}, W_{2} ⊂ V gilt dim(W_{1} + W_{2}) = dim(W_{1}) + dim(W_{2}) − dim(W_{1} ∩ W_{2}).

Beweis. W_{1} ∩ W_{2} ist ein endlich-dimensionaler Untervektorraum von V. Man nehme eine Basis (v_{1}, …, v_{m}) von W_{1} ∩ W_{2} und ergänze sie zu Basen (v_{1}, …, v_{m}, w_{1}, …, w_{r}) von W_{1} und (v_{1}, …, v_{m}, w′_{1}, …, w′_{s}) von W_{2}. Damit wird W_{1} + W_{2} von B = (v_{1}, …, v_{m}, w_{1}, …, w_{r}, w′_{1}, …, w′_{s}) erzeugt. Wir zeigen: B ist linear unabhängig, also Basis. Dazu sei

0 = \underbrace{∑_{i=1}^{m} λ_{i}v_{i} + ∑_{j=1}^{r} μ_{j}w_{j}}_{=v∈W_{1}} + \underbrace{∑_{k=1}^{s} μ′_{k}w_{k}}_{=−v∈W_{2}} .

Das bedeutet v ∈ W_{1} ∩ W_{2}, also μ_{j} = 0 und μ′_{k} = 0 und somit v = 0. Aus der linearen Unabhängigkeit von (v_{1}, …, v_{m}) folgt schließlich auch λ_{i} = 0. Damit ist ist dim(W_{1} + W_{2}) = m + r + s sowie dim(W_{1}) = m + r und dim(W_{2}) = m + s. □

Beispiel 6.3 Sei W_{1} = span(v_{1}, v_{2}, v_{3}) und W_{2} = span(v_{4}, v_{5}) mit v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ),

v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix} ) sowie v_{4} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), v_{5} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ). Nach Beispiel

Beispiel 4.4 gilt dim(W_{1}) = 2, insbesondere W_{1} = span(v_{1}, v_{2}). Die Dimension dim(W_{2}) = 2 ist klar. Setzen wir A = (v_{1}, v_{2}, v_{4}, v_{5}), so suchen wir zur Bestimmung von W_{1} ∩ W_{2} die Lösungsmenge x ∈ ℝ^{4} des LGS Ax = 0 durch elementare Zeilenumformungen. Die rechte Seite b = 0 kann weggelassen werden:

( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 0 & 1 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & −3 & 1 \\ 0 & −3 & −8 & 1 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & −3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} )

↦ ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & −1 & 0 & −5 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −6 \\ 0 & −1 & 0 & −5 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} )

Damit ergibt sich ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −5 \\ 2 \end{matrix} ) · x_{5} und x_{5} ∈ ℝ beliebig. Das bedeutet

∑_{i=1,2,4,5} x_{i}v_{i} = x_{5} · (6v_{1} − 5v_{2} + 2v_{4} + v_{5}) = 0, d.h. Linearkombinationen von

\underbrace{5v_{2} − 6v_{1}}_{∈W_{1}} = \underbrace{2v_{4} + v_{5}}_{∈W_{2}} = ( \begin{matrix}4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} )

spannen W_{1}∩W_{2} auf. Somit ist dim(W_{1}∩W_{2}) = 1 und nach der Dimensionsformel (Satz 6.2) dim(W_{1} + W_{2}) = 3. ◁

Aus Satz 6.2 erhält man schrittweise eine allgemeine Dimensionsformel für Summen von Vektorräumen, z.B.

dim( ∑_{i=1}^{r} W_{i}) = dim( ∑_{i=1}^{r−1} W_{i}) + dim(W_{r}) − dim(W_{r} ∩ ∑_{i=1}^{r−1} W_{i}) = …

= ∑_{i=1}^{r} dim(W_{i}) − ∑_{l=2}^{r} dim(W_{l} ∩ ∑_{i=1}^{l−1} W_{i}) .

Die Dimensionen der entstehenden Durchschnitte (W_{l} ∩ (W_{1} + ⋯ + W_{l−1}) für l = 2, …, r lassen sich im allgemeinen nicht besser ausdrücken.

Es gilt dim(W_{1} ∩ W_{2}) = 0 genau dann, wenn W_{1} ∩ W_{2} = {0}, d.h. wenn beliebige von 0 verschiedene Vektoren w_{1} ∈ W_{1} und w_{2} ∈ W_{2} linear unabhängig sind.

Definition 6.4 Sei V ein Vektorraum und W_{1}, …, W_{k} Untervektorräume von V. Ein Vektorraum W heißt direkte Summe der Untervektorräume W_{1}, …, W_{k}, bezeichnet mit

W = W_{1} ⊕ W_{2} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k} ,

wenn gilt:

(DS1) W = W_{1} + ⋯ + W_{k}

(DS2) Von Null verschiedene Vektoren w_{1} ∈ W_{1}, …, w_{k} ∈ W_{k} sind linear unabhängig in V.

Beispiel 6.5 Sei V = ℝ^{3} und v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ V linear unabhängig, dann ist z.B. V = ℝv_{1} ⊕ ℝv_{2} ⊕ ℝv_{3} oder V = span_{ℝ}(v_{1}, v_{3}) ⊕ ℝv_{2}. ◁

Satz 6.6 Für Untervektorräume W_{1}, …, W_{k} eines endlich-dimensionalen Vektorraums V sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) V = W_{1} ⊕ W_{2} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k}

ii) Ist für jedes i = 1, …, k eine Basis B^{(i)} := (v_{1}^{(i)}, … v_{r_{i}}^{(i)}) von W_{i} gegeben, dann ist B = (v_{1}^{(1)}, … v_{r_{1}}^{(1)}, … v_{1}^{(k)}, … v_{r_{k}}^{(k)}) eine Basis von V.

iii) Jeder Vektor v ∈ V ist eindeutig darstellbar als v = w_{1} + ⋯ + w_{k} mit w_{j} ∈ W_{j}.

iv) V = W_{1} + ⋯ + W_{k} und dim(W_{1}) + ⋯ + dim(W_{k}) = dim(V).

Beweis. i) ⇒ ii) Nach (DS1) ist V durch B erzeugt. Nach (DS2) sind in der Linarkombination

0 = \underbrace{∑_{i=1}^{r_{1}} λ_{i}^{(1)}v_{i}^{(1)}}_{w_{1}} + ⋯ + \underbrace{∑_{i=1}^{r_{k}} λ_{i}^{(k)}v_{i}^{(k)}}_{w_{k}}

alle w_{i} = 0, und damit λ_{i}^{(j)} = 0. Also ist B Basis von V.

ii) ⇒ iii) Ist B Basis, dann gibt es eine eindeutige Zerlegung v =

\underbrace{∑_{i=1}^{r_{1}} λ_{i}^{(1)}v_{i}^{(1)}}_{w_{1}} + ⋯ + \underbrace{∑_{i=1}^{r_{k}} λ_{i}^{(k)}v_{i}^{(k)}}_{w_{k}}.

iii) ⇒ i) Offenbar ist V = ∑_{j=1}^{k} W_{j}, und 0 = w_{1} + ⋯ + w_{k} hat die eindeutige Lösung w_{i} = 0, d.h. (DS2).

ii) ⇔ iv) folgt aus der Definition der Dimension. □

Satz 6.7 Sei V eine endlich-dimensionaler Vektorraum und W ⊂ V ein Untervektorraum. Dann gibt es einen (nicht eindeutig bestimmten) Untervektorraum W′ ⊂ V mit V = W ⊕ W′. (W′ heißt direkter Summand von V zu W.)

Beweis. Ist dim(W) = dim(V), so ist V = W ⊕ {0}. Sei nun dim(W) < dim(V), (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und (w_{1}, …, w_{r}) eine Basis von W. Nach dem Basisaustauschsatz gibt es nach möglicher Umnumerierung der Indizes eine Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V. Also ist W′ := span(v_{r+1}, …, v_{n}) ein direkter Summand. □

Teil III

Lineare Abbildungen

7 Definition und Beispiele

Definition 7.1 Seien V, W Vektorräume über K. Eine Abbildung F : V → W heißt linear (genauer: K-linear) oder Homomorphismus von Vektorräumen (über K), wenn

(L) F (λ_{1}·v_{1}+λ_{2}·v_{2}) = λ_{1}·F (v_{1})+λ_{2}·F (v_{2}) für alle v_{1}, v_{2} ∈ V und λ_{1}, λ_{2} ∈ K.

Eine lineare Abbildung F : V → W heißt

• Isomorphismus, wenn F bijektiv ist,

• Endomorphismus, wenn W = V ist,

• Automorphismus, wenn F bijektiv und W = V ist.

Beispiel 7.2

i) Skalentransformationen (Dilatationen). Sei V ein reeller Vektorraum und c > 0, dann definiert F_{c} : v ↦ c · v einen Automorphismus von V (eine lineare Abbildung F_{c} : V → V, die bijektiv ist mit F_{c}^{−1} = F_{\frac{1}{c}} : v ↦ \frac{1}{c} ·v).

ii) Drehungen in der Ebene. Sei V = ℝ^{2} und F_{α} die Drehung um den Nullpunkt mit dem Winkel α,

F_{α} : ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ F_{α} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) := ( \begin{matrix}x cos α − y sin α \\ x sin α + y cos α \end{matrix} ) .

F ist ebenfalls ein Automorphismus mit F_{α}^{−1} = F_{−α}.

iii) Matrizen. Sei V = W = ℝ^{2} und

F_{a} : ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} \end{matrix} ) .

Dann ist F_{a} : ℝ^{2} → ℝ^{2} eine lineare Abbildung, welche durch die Ma-

trix a = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ∈ M(2 × 2, ℝ) parametrisiert wird. Die beiden

Beispiele i) und ii) sind Spezialfälle mit a = ( \begin{matrix}c & 0 \\ 0 & c \end{matrix} ) (für V = ℝ^{2})

und a = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ). Für allgemeines a ist F ein Endomorphis-

mus. Es wird wichtig sein zu untersuchen, wann F bijektiv ist, also ein Automorphismus ist. iv) Projektionen der Ebene auf eine Gerade durch den Nullpunkt. Sei V = ℝ^{2}

und (v_{1}, v_{2}) eine Basis, z.B. v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) und v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ). Dann definiert

die eindeutige Zerlegung von v nach der Basis v = λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} zwei Projektionen

F_{1} : λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ↦ λ_{1} · v_{1} ,
F_{2} : λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ↦ λ_{2} · v_{2} .

Diese Projektionen F_{1}, F_{2} sind lineare Abbildungen.

v) In Analogie zu Beispiel iii) definieren wir F_{a} : ℝ^{2} → ℝ^{1} durch F_{a} :

( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}. Dann ist F_{a} eine lineare Abbildung, die durch

die Matrix a = ( a_{11} a_{12} ) ∈ M(1 × 2, ℝ) parametrisiert wird. Beispiel

iv) für v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) und v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) ist ein Spezialfall mit F_{1} ⇔ a = (1 0)

und F_{2} ⇔ a = (0 1).

vi) Projektionen auf einen Untervektorraum. In Verallgemeinerung von Beispiel iv) sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, W ⊂ V ein Untervektorraum und V = W ⊕ W′. Dann ist die Projektion F_{W} : V → W eine lineare Abbildung, die wie folgt erhalten wird. Man nehme eine Basis (w_{1}, …, w_{r}) von W und eine Basis (w′_{r+1}, …, w′_{n}) von W′ (also n − r Vektoren von V, so daß (w_{1}, …, w_{r}, w′_{r+1}, …, w′_{n}) eine Basis von V ist) und zerlege v ∈ V nach dieser Basis, v = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} μ_{j} · w′_{j}. Dann ist F_{W} : v ↦ ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i}. Diese Abbildung F_{W} ist unabhängig vom direkten Summanden W′ (welcher nicht eindeutig war) und unabhängig von der Basis von W.

vii) Differentiation. Für ein offenes Intervall I = ]a, b[ ⊂ ℝ seien V = C^{1}(I) und W = C(I) die (unendlich-dimensionalen) Vektorräume der einmal stetig differenzierbaren bzw. der stetigen reellwertigen Funktionen auf I, mit (λ_{1} · f_{1} + λ_{2} · f_{2})(x) := λ_{1} · f_{1}(x) + λ_{2} · f_{2}(x) für x ∈ ]a, b[. Dann ist das Differential D : V → W mit D : f ↦ f′ eine lineare Abbildung. Ist V = C^{∞}(I) der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen über I, dann ist das Differential D : V → V ein Endomorphismus.

viii) Integration. Für ein abgeschlossenes Intervall I = [a, b] ⊂ ℝ definiert das Integral ∫ : f ↦ ∫_{a}^{b} f(x) dx eine lineare Abbildung ∫ : C(I) → ℝ.

Diese sehr unterschiedlichen Beispiele zeigen, daß lineare Abbildungen häufig auftreten. Kenntnisse der allgemeinen Eigenschaften von linearen Abbildungen und von Methoden zu ihrer Untersuchung sind deshalb sehr wichtig.

8 Bild und Kern einer linearen Abbildung

Satz 8.1 Sei F : V → W eine lineare Abbildung. Dann gilt

i) F (0) = 0, F (v − w) = F (v) − F (w), F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}) = λ_{1} · F (v_{1}) + ⋯ + λ_{n} · F (v_{n}).

ii) Ist die Familie (v_{i})_{i∈I} linear abhängig in V, so ist die Familie (F (v_{i}))_{i∈I} linear abhängig in W.

iii) Sind V′ ⊂ V und W′ ⊂ W Untervektorräume, so ist das Bild F (V′) ⊂ W Untervektorraum von W und das Urbild F^{−1}(W′) ⊂ V Untervektorraum von V.

iv) dim(F (V)) ≤ dim(V).

v) Ist F ein Isomorphismus, so ist auch das Urbild F^{−1} : W → V eine lineare Abbildung (und damit ein Isomorphismus).

Beweis. i) ist klar.

ii) Sei 0 = ∑_{i∈I} λ_{i} · v_{i}, wobei mindestens einer und insgesamt endlich viele Skalare λ_{i} ungleich 0 sind. Dann ist auch 0 = F (0) = ∑_{i∈I} λ_{i} · F (v_{i}).

iii) 0 ∈ V′ und 0 = F (0) ∈ F (V′), also F (V′) ≠ ∅. Sind w_{1}, w_{2} ∈ F (V′), dann gibt es v_{1}, v_{2} mit w_{1} = F (v_{1}) und w_{2} = F (v_{2}). Also λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2} = λ_{1}·F (v_{1})+λ_{2}·F (v_{2}) = F (λ_{1}·v_{1}+λ_{2}·v_{2}) ∈ F (V′), und F (V′) ist Untervektorraum.

Sind v_{1}, v_{2} ∈ F^{−1}(W′), so ist F (v_{1}), F (v_{2}) ∈ W′ und auch λ_{1} · F (v_{1}) + λ_{2} · F (v_{2}) ∈ W′, da W′ Untervektorraum. Also ist F (λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2}) = λ_{1} · F (v_{1}) + λ_{2} · F (v_{2}) ∈ W′ und damit λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2} ∈ F^{−1}(W′), und F^{−1}(W′) ist Untervektorraum.

iv) Sind F (v_{1}), …, F (v_{n}) linear unabhängig, so sind auch v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, denn das Gegenteil führt wegen ii) zu einem Widerspruch.

v) Seien w_{1}, w_{2} ∈ W und v_{1}, v_{2} ∈ V mit F (v_{1}) = w_{1} und F (v_{2}) = w_{2}. Dann ist F (λ_{1} · v_{1} + λ_{2} · v_{2}) = λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2}. Anwenden von F^{−1} liefert F^{−1}(λ_{1} · w_{1} + λ_{2} · w_{2}) = λ_{1} · F^{−1}(w_{1}) + λ_{2} · F^{−1}(w_{2}). □

Seien V, W Vektorräume über K, dann bezeichnen wir mit

Hom_{K}(V, W) := {F : V → W : F ist K-linear}

die Menge aller K-linearen Abbildungen (aller Homomorphismen) von V nach W. Die Menge Hom_{K}(V, W) ist ein Vektorraum mit Verknüpfungen

(λ_{1} · F_{1} + λ_{2} · F_{2})(v) := λ_{1} · F_{1}(v) + λ_{2} · F_{2}(v) .

Insbesondere ist der Nullvektor die lineare Abbildung 0 : v ↦ 0 für alle v ∈ V, und die negative Abbildung ist −F : v ↦ −F (v). Ist der Körper klar, dann schreiben wir Hom(V, W) statt Hom_{K}(V, W).

Ist V = W, so schreiben wir End(V) := Hom(V, V), und End(V) ist wieder ein Vektorraum. Entsprechend bezeichnet

Aut_{K}(V) := {F : V → V : F ist K-linear und bijektiv}

die Menge der bijektiven linearen Abbildungen von V nach V. Jedoch ist Aut(V) kein Vektorraum, denn für F ∈ Aut(V) ist 0 · F = 0 ∉ Aut(V).

Lineare Abbildungen lassen sich ganz analog wie allgemeine Abbildungen hintereinander ausführen.

Satz 8.2 Sind U, V, W Vektorräume und G : U → V sowie F : V → W lineare Abbildung, dann ist auch die Komposition F ∘G : U → W eine lineare Abbildung.

Beweis.

(F ∘ G)(λ_{1} · u_{1} + λ_{2} · u_{2}) := F (G(λ_{1} · u_{1} + λ_{2} · u_{2}))
= F (λ_{1} · G(u_{1}) + λ_{2} · G(u_{2}))
= λ_{1} · F (G(u_{1})) + λ_{2} · F (G(u_{2}))
= λ_{1} · (F ∘ G)(u_{1}) + λ_{2} · (F ∘ G)(u_{2}) .  □

Ohne Beweis erwähnen wir:

Satz 8.3 Ist V ein Vektorraum, so ist End(V) ein Ring mit der Komposition als Multiplikation, und Aut(V) ist eine Gruppe mit der Komposition als Verknüpfung.

Definition 8.4 Ist F : V → W eine lineare Abbildung, so heißt

• im(F) := F (V) ⊂ W das Bild von F,
• ker(F) := F^{−1}(0) ⊂ V der Kern von F.

Satz 8.5 Sei F : V → W linear. Dann gilt:

i) im(F) ⊂ W und ker(F) ⊂ V sind Untervektorräume.

ii) F surjektiv ⇔ im(F) = W

iii) F injektiv ⇔ ker(F) = {0}

iv) Ist F injektiv und sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig, so sind auch F (v_{1}), …, F (v_{n}) linear unabhängig.

Beweis. i) ist in Satz 8.1.iii) bewiesen und ii) ist die Definition der Surjektivität.

iii) 0 ∈ ker(F). Ist F injektiv, so folgt aus F (v) = 0 = F (0), daß v = 0. Gibt es umgekehrt v_{1} ≠ v_{2} ∈ V mit F (v_{1}) = F (v_{2}), so wäre F (v_{1} − v_{2}) = 0, also 0 ≠ v_{1} − v_{2} ∈ ker(F). Widerspruch

iv) Sei λ_{1} · F (v_{1}) + ⋯ + λ_{n} · F (v_{n}) = 0, dann gilt 0 = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n}) nach Linearität und λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n} = 0 nach iii). Also ist λ_{i} = 0. □

Definition 8.6 Ist F : V → W linear, so heißt die Zahl rang(F) := dim(im(F)) der Rang der Abbildung F.

Der Rang ist eine wichtige Charakterisierung einer linearen Abbildung.

Satz 8.7 Ist V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und F : V → W eine lineare Abbildung, so gilt

dim(V) = dim(im(F)) + dim(ker(F)) .

Beweis. Wir wissen dim(im(F)) ≤ dim(V) nach Satz 8.1.iv) und dim(ker(F)) ≤ dim(V) nach Satz 8.5.i). Seien also (v_{1}, …, v_{k}) eine Basis von ker(F) und (w_{1}, …, w_{r}) eine Basis von im(F). Wir wählen u_{1}, …, u_{r} ∈ V mit F (u_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r. Für v ∈ V gibt es eine eindeutige Darstellung F (v) = λ_{1}·w_{1}+⋯+ λ_{r} ·w_{r}. Für die so bestimmten λ_{i} konstruieren wir v′ := λ_{1} ·u_{1} +⋯+λ_{r} ·u_{r}. Dann gilt F (v − v′) = 0, also v − v′ ∈ ker(F). Es existieren also eindeutig bestimmte μ_{1}, …, μ_{k} mit v − v′ = μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k}. Also gilt

v = λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r} + μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} .

Damit ist V durch die Familie B = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k},) erzeugt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r} + μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} = 0. Anwenden von F ergibt F (λ_{1} · u_{1} + ⋯ + λ_{r} · u_{r}) = λ_{1} · w_{1} + ⋯ + λ_{r} · w_{r} = 0, und damit λ_{i} = 0. Das liefert μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{k} · v_{k} = 0 und damit μ_{j} = 0. Damit ist B eine Basis von V aus dim(im(F)) + dim(ker(F)) Vektoren. □

Satz 8.8 Zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen V, W gibt es genau dann einen Isomorphismus, wenn dim(V) = dim(W).

Beweis. F ist Isomorphismus, wenn linear, injektiv und surjektiv. F injektiv heißt dim(ker(F)) = 0 und F surjektiv heißt im(F) = W. Aus dem vorigen Satz folgt dann die Behauptung. □

Satz 8.9 Ist dim(V) = dim(W) < ∞ und ist F linear, dann sind für F Injektivität, Surjektivität und Bijektivität äquivalent.

Beweis. injektiv⇒ surjektiv: F injektiv, dann ker(F) = {0} und dim(V) = dim(im(F)). Also dim(im(F)) = dim(W) und dann im(F) = W.

surjektiv⇒injektiv: F surjektiv, dann dim(im(F)) = dim(W) = dim(V). Also dim(ker(F)) = 0 und ker(F) = {0}, somit F injektiv. □

Satz 8.10 (Faktorisierungssatz) Sei F : V → W linear und B = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k}) eine Basis von V mit ker(F) = span(v_{1}, …, v_{k}). Mit U := span(u_{1}, …, u_{r}) gilt:

i) V = U ⊕ ker(F)

ii) Die Einschränkung F |_{U} : U → im(F) ist ein Isomorphismus.

iii) Sei P_{U} : V = U ⊕ker(F) → U die Projektion auf den ersten Summanden, definiert für v = u+v′ ∈ V mit u ∈ U und v′ ∈ ker(F) durch P_{U}(v) := u, so gilt F = F |_{U} ∘ P_{U}.

Beweis. i) ist klar, denn U und ker(F) sind linear unabhängig.

ii) ker(F |_{U}) = ker(F)∩U = {0}, also ist F |_{U} : U → im(F) injektiv, außerdem surjektiv und damit bijektiv.

iii) Für v = u + v′ mit u ∈ U und v′ ∈ ker F ist F (v) = F (u) + F (v′) = F (u) = F |_{U}(u) = F |_{U}(P (v)). □

Zu beachten ist, daß U in der direkten Summe V = U ⊕ker(F) nicht eindeutig definiert ist. Die F |_{U} sind also, je nach Wahl von U, verschiedene Isomorphismen.

Ist A ∈ M(m × n, K), so wird durch F_{A}(x) := A · x für x ∈ K^{n} eine lineare Abbildung F_{A} : K^{n} → K^{m} definiert. Dazu gibt es folgende Umkehrung:

Satz 8.11 Sei F : K^{n} → K^{m} eine lineare Abbildung. Dann existiert genau eine Matrix A_{F} ∈ M(m × n, K) mit F (x) = A_{F} · x für alle x ∈ K^{n}. Für diese Matrix A_{F} gilt A_{F} := (F (e_{1}), …, F (e_{n})), d.h. die j-te Spalte von A_{F} ist der Vektor F (e_{j}) ∈ K^{m}, wobei e_{j} ∈ K^{n} der j-te Standardbasisvektor ist.

Damit definiert die Zuordnung F ↦ A_{F} eine bijektive Abbildung M_{m}^{n} : Hom(K^{n}, K^{m}) → M(m × n, K).

Beweis. Sei A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K) und a_{j} := ( a_{1j} ; ⋮ ; a_{mj} ) ∈ K^{m} die j-te Spalte

von A. Dann gilt für alle x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n}

A · x = ( x_{1}a_{11} + x_{2}a_{12} + ⋯ + x_{n}a_{1n} ; ⋮ ; x_{1}a_{m1} + x_{2}a_{m2} + ⋯ + x_{n}a_{mn} ) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}a_{j} .

Sei nun F : K^{n} → K^{m} linear und A_{F} := (F (e_{1}), …, F (e_{n})), dann gilt A_{F} · x = ∑_{j=1}^{n} x_{j}F (e_{j}) = F (∑_{j=1}^{n} x_{j}e_{j}) = F (x).

Sei A′ = (a′_{1}, …, a′_{n}) ∈ M(m × n, K) mit A′ ≠ A. Dann gibt es ein r ∈ {1, …, n}, so daß für die r-te Spalte gilt a′_{r} ≠ a_{r}. Für x = e_{r} gilt dann A′ · x = a′_{r} ≠ a_{r} = F (x). Damit ist A_{F} durch F eindeutig bestimmt. □

Die wichtigen Begriffe von Bild, Kern und Rang einer linearen Abbildung übertragen sich somit auf Matrizen.

Definition 8.12 Für A ∈ M(m × n, K) heißt • ker(A) = {x ∈ K^{n} : A · x = 0 ∈ K^{m}} ⊂ K^{n} der Kern von A,

• im(A) = {b ∈ K^{m} : es gibt ein x ∈ K^{n} mit A · x = b} ⊂ K^{m} das Bild von A,

• rang(A) = dim(im(A)) der Rang von A.

Damit ist ker(A) die Lösungsmenge des homogenen LGS A · x = 0. Der Faktorisierungssatz liefert dann eine Methode zur Bestimmung von im(A): Ist (v_{1}, …, v_{n−r}) eine Basis von ker A ⊂ K^{n}, so ergänze man sie zu einer Basis (v_{1}, …, v_{n−r}, u_{1}, …, u_{r}) von K^{n}. Dann ist (A·u_{1}, …, A·u_{r}) eine Basis von im(A).

Beispiel 8.13 Durch F ((w, x, y, z)) = (w + x − y, x + y − z, w + 2x − z) für w, x, y, z ∈ ℝ werde eine lineare Abbildung F : ℝ^{4} → ℝ^{3} definiert. Daraus lesen wir ab:

F (e_{1}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , F (e_{2}) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) , F (e_{3}) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , F (e_{4}) = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) .

Folglich wird F durch die Matrix A_{F} = ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & −1 \\ 1 & 2 & 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ M(3 × 4, ℝ)

dargestellt. Zur Berechnung des Kerns als Lösung von A · x = 0 führen wir folgende elementare Zeilenumformungen durch:

A_{F} ⟶^{IV_{13}(−1),IV_{23}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{21}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 0 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Daraus lesen wir als Lösung ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) ab mit x_{3}, x_{4} ∈ ℝ

beliebig. Folglich ist dim(ker A) = 2, und eine Basis von ker A ist (v_{1}, v_{2}) mit

v_{1} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) .

Wir können sie z.B. zur Basis (v_{1}, v_{2}, e_{1}, e_{2}) von ℝ^{4} ergänzen. Somit ist (F (e_{1}), F (e_{2}) eine Basis von im(A). ◁

Wir zeigen im nächsten Abschnitt, daß die hier gegebene Definition des Rangs einer Matrix mit Definition 1.11 übereinstimmt.

9 Zur Theorie linearer Gleichungssysteme

Definition 9.1 Eine Teilmenge X ⊂ V eines K-Vektorraums V heißt affiner Unterraum, falls es ein v ∈ V und einen Untervektorraum W ⊂ V gibt, so daß

X = v + W := {x ∈ V : es gibt ein w ∈ W mit x = v + w} .

Beispiel 9.2 Ist V = ℝ^{2} die reelle Zahlenebene, dann sind die eindimensionalen Untervektorräume W ⊂ V die Geraden durch den Nullpunkt. Ein aus der Geraden W durch 0 hervorgehender affiner Unterraum X = v + W ist dann die Parallele zu W durch v. ◁

Satz 9.3 Ist X = v + W ein affiner Unterraum, dann gilt

i) Für beliebiges v′ ∈ X ist X = v′ + W.

ii) Ist v′ ∈ V und W′ ⊂ V ein Untervektorraum mit v′ + W′ = v + W, so folgt W = W′ und v′ − v ∈ W.

Beweis. i) Wegen v′ ∈ X gibt es ein w′ ∈ W mit v′ = v + w′. Sei x = v + w ∈ X ein beliebiges Element, so schreibt sich x = v′ + w − w′. Also ist X ⊂ v′ + W. Durch Vertauschen von v, v′ folgt v′ + W = X.

ii) Seien x, x′ ∈ X = v + W, dann ist x − x′ ∈ W. Gäbe es eine zweite Darstellung X = v′ + W′, dann ist x − x′ ∈ W′ für alle x, x′, also W = W′. Dann folgt v′ − v ∈ W. □

Da also in einem affinen Unterraum X = v+W der Untervektorraum eindeutig ist, definieren wir die Dimension dim(X) := dim(W) wenn X = v + W.

Wir untersuchen den Lösungsraum

Lös(A, b) := {x ∈ K^{n} : Ax = b}

eines linearen Gleichungssystems Ax = b zu gegebener Matrix A ∈ M(m × n, K) und gegebenem Vektor b ∈ K^{m}. Ist F : K^{n} → K^{m} die durch A ∈ M(m × n, K) definierte lineare Abbildung, F (x) = A · x, so ist Lös(A, b) = F^{−1}(b) und insbesondere Lös(A, 0) = F^{−1}(0) = ker(F). Damit gilt stets 0 ∈ Lös(A, 0), und diese Lösung heißt die triviale Lösung des homogenen Systems. Geht die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) durch elementare Zeilenumformungen in eine erweiterte Koeffizientenmatrix (Ã|b̃) über, dann gilt Lös(A, b) = Lös(Ã, b̃) nach Satz 1.3.

Satz 9.4 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b aus m Gleichungen mit n Unbekannten. Ist rang(A) = r, dann gilt für die Lösungsräume:

i) Lös(A, 0) ⊂ K^{n} ist ein Untervektorraum der Dimension n − r.

ii) Lös(A, b) ⊂ K^{n} ist entweder leer oder ein affiner Raum der Dimension n − r. Ist v ∈ Lös(A, b) eine beliebige Lösung, dann gilt Lös(A, b) = v + Lös(A, 0).

Beweis. i) Sei F : K^{n} → K^{m} die durch F (x) = A · x definierte lineare Abbildung. Nach Satz 8.5 ist Lös(A, 0) = ker(F) ein Untervektorraum. Nach Satz 8.7 ist seine Dimension dim(ker(F)) = dim(K^{n}) − dim(im(F)) = n − r wegen rang(A) := dim(im(F)).

ii) Seien v, v′ ∈ Lös(A, b) zwei Lösungen des linearen Gleichungssystems, also Av = b und Av′ = b. Dann ist A(v − v′) = 0, also v − v′ ∈ Lös(A, 0). □

Der Satz besagt, daß man eine allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems erhält, indem man zu einer speziellen Lösung des inhomogonen Systems die allgemeine Lösung des homogenen Systems addiert. Sei also (w_{r+1}, …, w_{n}) eine Basis von Lös(A, 0) (wenn r < n) und v ∈ Lös(A, b) eine beliebige spezielle Lösung des inhomogenen Systems, so ist

Lös(A, b) = v + Kw_{r+1} + ⋯ + Kw_{n} mit Kw := span_{K}(w) .

Satz 9.5 Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist genau dann nicht leer, wenn rang(A, b) = rang(A).

Beweis. Die Matrizen A ∈ M(m × n, K) und (A, b) ∈ M(m × (n + 1), K) beschreiben lineare Abbildungen A : K^{n} → K^{m} bzw. A′ : K^{n+1} → K^{m} mit A(e_{j}) = A′(e_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}e_{i} für 1 ≤ j ≤ n und A′(e_{n+1}) = b. Damit ist im(A) ⊂ im(A′), also rang(A) ≤ rang(A′), sowie b ∈ im(A′). Ist nun rang(A) = rang(A′), dann ist im(A) = im(A′) und damit b ∈ im(A), das Gleichungssystem ist also lösbar.

Ist rang(A) < rang(A′), dann muß es Vektoren v ∈ im(A′) geben, die nicht in im(A) liegen. Da span(A′(e_{j}))_{j=1,...,n} ⊂ im(A), bleiben nur die b enthaltenden Linearkombinationen, welche nicht in im(A) liegen. Das bedeutet b ∉ im(A). □

Insbesondere ist der Lösungsraum Lös(A, b) für A ∈ M(m × n, K) nichtleer, wenn rang(A) = m, da dann die durch A beschriebene lineare Abbildung surjektiv ist. Das bedeutet, daß Ax = b für jedes b ∈ K^{m} lösbar ist. In diesem Fall heißt das lineare Gleichungssystem universell lösbar. Ist rang(A) < m, so gibt es nicht für alle b ∈ K^{m} eine Lösung. Es ist nur für jene b ∈ K^{m} lösbar, für die die rang(A) = rang(A, b) gilt.

Wir sagen, das lineare Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar, wenn Lös(A, b) nur aus einem Element besteht.

Satz 9.6 Das lineare Gleichungssystem Ax = b für A ∈ M(m × n, K) und b ∈ K^{m} ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rang(A) = rang(A, b) = n.

Beweis. Nach Satz 9.5 gibt es eine Lösung, und nach Satz 9.4 ist diese eindeutig. □

Satz 9.7 Die Definitionen 8.12 und 1.11 für den Rang einer Matrix A ∈ M(m× n, K) stimmen überein.

Beweis. Es sei Ã ∈ M(m × n, K) eine aus A durch elementare Zeilenumformungen hervorgehende Matrix. Der Lösungsraum eines LGS bleibt unverändert bei elementaren Zeilenumformungen, d.h. es gilt Lös(A, 0) = Lös(Ã, 0) und damit r := dim(im(A)) = dim(im(Ã)) nach der Dimensionsformel aus Satz 8.7. Sei r̃ die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen von Ã und Vr̃ = span(e_{1}, …, er̃) ⊂ K^{m} der durch die ersten r̃ Basisvektoren e_{1}, …, er̃ ∈ K^{m} aufgespannte Untervektorraum. Dann gilt Ã · x ∈ Vr̃ für beliebige x ∈ K^{n}. Andererseits ist nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Gleichung Ã · x = b̃ für beliebige b̃ ∈ Vr̃ lösbar, d.h. im(Ã) = Vr̃ und somit r̃ = r. □

10 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung

Im folgenden geht es darum, die Äquivalenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen auf beliebige endlich-dimensionale Vektorräume zu verallgemeinern. Der erste Schritt ist

Satz 10.1 Gegeben seien endlich-dimensionale Vektorräume V und W und Vektoren v_{1}, …, v_{r} ∈ V und w_{1}, …, w_{r} ∈ W. Dann gilt:

i) Sind die v_{1}, …, v_{r} linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung F : V → W mit F (v_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r.

ii) Ist (v_{1}, …, v_{r}) eine Basis, so gibt es genau eine lineare Abbildung F : V → W mit F (v_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r. Für diese Abbildung F gilt

• im(F) = span(w_{1}, …, w_{r})

• F injektiv ⇔ (w_{1}, …, w_{r}) ist linear unabhängig.

Beweis. ii) Ist v = λ_{1} ·v_{1} +⋯+λ_{r} ·v_{r} ∈ V, so definieren wir F (v) := λ_{1} ·w_{1} +⋯+ λ_{r} · w_{r}. Da die λ_{i} eindeutig bestimmt sind, ist auch F (v) eindeutig. Zu zeigen ist aber, daß F wirklich linear ist. Sei v′ = μ_{1} · v_{1} + ⋯ + μ_{r} · v_{r} ein weiterer Vektor. Dann gilt

λ · v + μ · v′ = ∑_{i=1}^{r}(λλ_{i} + μμ_{i}) · v_{i} und

F (λ · v + μ · v′) = ∑_{i=1}^{r}(λλ_{i} + μμ_{i}) · w_{i} = λ( ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · w_{i}) + μ( ∑_{i=1}^{r} μ_{i} · w_{i})
= λ · F (v) + μ · F (v′) .

Klar ist, daß im(F) ⊂ span(w_{1}, …, w_{r}). Andererseits ist w = λ_{1}·w_{1}+⋯+λ_{r}w_{r} = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}) und damit span(w_{1}, …, w_{r}) ⊂ im(F).

Sei (w_{1}, …, w_{r}) linear abhängig, so gibt es mindestens ein λ_{i} ≠ 0, so daß 0 = λ_{1}w_{1} + … λ_{r}w_{r} = F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}). Da (v_{1}, …, v_{r}) eine Basis ist, ist λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} ≠ 0, und damit ist F nicht injektiv. Das bedeutet F injektiv ⇒ (w_{1}, …, w_{r}) linear unabhängig. Ist umgekehrt (w_{1}, …, w_{r}) linear unabhängig, dann betrachten wir F (v) = 0 mit v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}, also F (λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r}) = λ_{1} · w_{1} + ⋯ + λ_{r} · w_{r}, was zu λ_{i} = 0 und damit v = 0 führt. Also ist ker(F) = {0} und F ist injektiv.

i) Ist (v_{1}, …, v_{r}) linear unabhängig, aber keine Basis, dann können wir eine Basis (v_{1}, …, v_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V finden. Für diese geben wir beliebige Vektoren w_{r+1}, …, w_{n} ∈ W vor und finden für jede Wahl von w_{r+1}, …, w_{n} eine lineare Abbildung F mit F (v_{i}) = w_{i}. □

Satz 10.2 Sei B = (w_{1}, …, w_{n}) Basis eines Vektorraums W.

i) Es gibt genau einen Isomorphismus Φ_{B} : K^{n} → W mit Φ_{B}(e_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ n, wobei (e_{i})_{i=1,...,n} die Standardbasis ist.

ii) Ist W = K^{n} und B = (w_{1}, …, w_{n}) eine Basis von W, dann gilt Φ_{B}(x) = A_{B} · x mit A_{B} = (w_{1}, …, w_{n}) ∈ M(n × n, K), für alle x ∈ K^{n}. (Die Spalten von A_{B} sind also die nebeneinandergeschriebenen Basisvektoren w_{i}.)

Beweis. i) folgt aus Satz 10.1 und ii) ist Satz 8.11. □

Wir können nun die Verallgemeinerung von Satz 8.11 angeben:

Satz 10.3 Gegeben seien K-Vektorräume V mit Basis A = (v_{1}, …, v_{n}) und W mit Basis B = (w_{1}, …, w_{m}).

i) Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F : V → W genau eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), so daß F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · w_{i}.

ii) Die so erhaltene Abbildung

M_{B}^{A} : Hom(V, W) → M(m × n, K) , M_{B}^{A} : F ↦ A = M_{B}^{A}(F)

ist ein Isomorphismus von Vektorräumen über K, und insbesondere gilt

M_{B}^{A}(λ · F + μ · G) = λ · M_{B}^{A}(F) + μ · M_{B}^{A}(G) .

Ist V = K^{n} und W = K^{m} und sind A und B die Standardbasen, dann ist M_{B}^{A} = M_{m}^{n} : Hom(K^{n}, K^{m}) → M(m × n, K) die Konstruktion aus Satz 8.11.

Definition 10.4 Mit den Bezeichnungen aus Satz 10.3 heißt A = M_{B}^{A}(F) die darstellende Matrix von F : V → W bezüglich der Basen A von V und B von W.

Beweis von Satz 10.3. i) Durch Komposition von F mit den Isomorphismen Φ_{A} und Φ_{B} aus Satz 10.2:

A := (Φ_{B})^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} : K^{n} → K^{m} , A · x := (Φ_{B})^{−1}(F (Φ_{A}(x))) .

Umgekehrt ergibt sich F aus A durch F = Φ_{B} ∘ A ∘ (Φ_{A})^{−1} : V → W mit A ∘ x := A · x. Zunächst ist (Φ_{A})^{−1}(v_{j}) = e_{j} ∈ K^{n}. Matrixmultiplikation liefert

A · ((Φ_{A})^{−1}(v_{j})) = ( a_{1j} ; ⋮ ; a_{mj} ) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i} ∈ K^{m} .

Anwenden von Φ_{B} liefert Φ_{B}(A · ((Φ_{A})^{−1}(v_{j}))) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · w_{i} ∈ W.

ii) Als Komposition linearer Abbildungen ist M_{B}^{A} : Hom(V, W) → M(m × n, K) mit

A = M_{B}^{A}(F) = (Φ_{B})^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} : K^{n} → K^{m} .

linear. Da A eine Basis ist, gibt es nach Satz 10.1.ii) genau eine lineare Abbildung F mit F (v_{j}) = w̃_{j} := ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · w_{i}. Also ist M_{B}^{A} bijektiv. □

Beispiel 10.5 Wir betrachten die durch F ((x, y, z)) = (x − y, 2x + y − z) definierte lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} bezüglich der Basen (v_{1}, v_{2}, v_{3}) von ℝ^{3} und (w_{1}, w_{2}) von ℝ^{2} mit

v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , w_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , w_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) .

Damit gilt

F (v_{1}) = F ((0, 1, 1)) = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ) , F (v_{2}) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , F (v_{3}) = ( \begin{matrix}0 \\ 3 \end{matrix} ) .

Diese Vektoren sind nun bezüglich der Basis (w_{1}, w_{2}) darzustellen, w_{1}a_{1j}+w_{2}a_{2j} = F (v_{j}). Es handelt sich also um drei lineare Gleichungssysteme aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:

( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} )  ⇒ ( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−\frac{1}{3} \\ −\frac{1}{3} \end{matrix} )
( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )  ⇒ ( \begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )
( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a_{13} \\ a_{23} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 3 \end{matrix} )  ⇒ ( \begin{matrix}a_{13} \\ a_{23} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) .

Die darstellende Matrix ist folglich A = ( \begin{matrix}−\frac{1}{3} & 1 & 2 \\ −\frac{1}{3} & 0 & −1 \end{matrix} ). ◁

Sind also die Basen der Vektorräume V und W festgelegt, dann kann man die Vektorräume mit den Standardräumen K^{n}, K^{m} der Koordinaten identifizieren und lineare Abbildungen F : V → W mit Matizen A ∈ M(m × n, K). Eine oftmals sinnvolle Wahl besteht aus Basen, in denen für die Koordinatenmatrix die Einheitsmatrix entsteht:

Definition 10.6 Die Matrix

E_{r} = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \end{matrix} ) ∈ M(r × r, K) ,

in der sämtliche Einträge auf der Diagonalen gleich 1 und alle anderen Einträge gleich 0 sind, heißt (r × r)-Einheitsmatrix. Ihre Komponenten sind also E_{r} = (δ_{ij}), wobei

δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j \\ 0 & für i ≠ j \end{matrix}

das Kronecker-Symbol ist.

Satz 10.7 Sei F : V → W linear und dim(V) = n, dim(W) = m, dim(im(F)) = rang(F) = r. Dann gibt es Basen A von V und B von W mit

M_{B}^{A}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(n−r)} \\ 0_{(m−r)×r} & 0_{(m−r)×(n−r)} \end{matrix} ) .

Dabei ist 0_{p×q} ∈ M(p × q, K) die Matrix, in der sämtliche Einträge gleich 0 sind.

Beweis. Wir wählen eine Basis (w_{1}, …, w_{r}) von im(F) und ergänzen sie zu einer Basis B = (w_{1}, …, w_{r}, w_{r+1}, …, w_{m}) von W. Dann wählen wir wie im Beweis von Satz 8.7 Vektoren u_{1}, … u_{r} ∈ V mit F (u_{i}) = w_{i} für alle 1 ≤ i ≤ r und ergänzen sie mit einer Basis (v_{1}, …, v_{k}) von ker(F) zu einer Basis A = (u_{1}, …, u_{r}, v_{1}, …, v_{k}) von V. Dann hat M_{B}^{A}(F) die angegebene Form. □

11 Multiplikation von Matrizen

Seien G : K^{r} → K^{n} und F : K^{n} → K^{m} lineare Abbildungen, dargestellt (bezüglich der Standardbasen) nach Satz 8.11 durch Matrizen B = M_{n}^{r}(G) ∈ M(n × r, K) und A = M_{m}^{n}(F) ∈ M(m × n, K).

Nach Satz 8.2 ist die Komposition F ∘ G : K^{r} → K^{m} wieder eine lineare Abbildung, welche durch eine Matrix C = M_{m}^{r}(F ∘ G) ∈ M(m × r, K) dargestellt wird. Das bedeutet C = M_{m}^{r}((M_{m}^{n})^{−1}(A)∘(M_{n}^{r})^{−1}(B)), und auf diese Weise wird ein Produkt

· : M(m × n, K) × M(n × r, K) → M(m × r, K) ,
A · B := M_{m}^{r}((M_{m}^{n})^{−1}(A) ∘ (M_{n}^{r})^{−1}(B))

von Matrizen passender Größe definiert. Im Produkt muß die Zahl der Spalten der linken Matrix gleich der Zahl der Zeilen der rechten Matrix sein.

Satz 11.1 Ist A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), B = (B_{jk}) ∈ M(n × r, K) und A · B =

C = (c_{ik}) ∈ M(r × s, K), so gilt c_{ik} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}.

Beweis. Sei F = (M_{n}^{m})^{−1}(A) : K^{n} → K^{m} und G = (M_{r}^{n})^{−1}(B) : K^{r} → K^{n} sowie F ∘ G = (M_{r}^{m})^{−1}(C) : K^{r} → K^{m}. Seien (E_{1}, …, E_{r}) die Standardbasis im K^{r}, (ϵ_{1}, …, ϵ_{n}) die Standardbasis im K^{n} und (e_{1}, …, e_{m}) die Standardbasis im K^{m}. Dann gilt

(F ∘ G)(E_{k}) = ∑_{i=1}^{m} c_{ik} · e_{i}  (Satz 10.3 für F ∘ G)
= F (G(E_{k}))  (Definition von F ∘ G)
= F ( ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · ϵ_{j})  (Satz 10.3 für G)

= ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · F (ϵ_{j})  (Linearität von F)

= ∑_{j=1}^{n} b_{jk} · ( ∑_{i=1}^{m} a_{ij} · e_{i})  (Satz 10.3 für F)

= ∑_{i=1}^{m} ( ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk}) · e_{i}  (Umordnen der Summen)

Die Behauptung folgt nun aus der Eindeutigkeit der Koeffizienten zur Basis (e_{i})_{i=1,...,m} von K^{m}. □

Ein Spezialfall dieser Rechenregel ist das schon zuvor erklärte Matrixprodukt A · v ∈ K^{m} einer Matrix A ∈ M(m × n, K) mit einem Spaltenvektor v ∈ K^{n}. Mit den Bezeichnungen aus Satz 11.1 gilt: Die i-te Zeile von A ist (a_{i1} a_{i2} … a_{in}),

und die j-te Spalte von B ist ( b_{1j} ; ⋮ ; b_{nj} ). Damit folgt: Das Matrixelement c_{ij} von

C = A · B ist das “Produkt” der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.

Beispiel 11.2 Sei A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ), dann gilt

A · B = ( \begin{matrix}3 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 8 \end{matrix} ) und B · A = ( \begin{matrix}7 & 10 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) .

Daraus ist ersichtlich, daß selbst wenn sowohl A · B als auch B · A erklärt sind, im allgemeinen A · B ≠ B · A gilt. ◁ Beispiel 11.3 Eine Drehung in der Ebene um den Ursprung mit Winkel α

wird durch die Matrix A = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ) beschrieben. Entsprechend be-

schreibt B = ( \begin{matrix}cos β & − sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} ) eine Drehung mit Winkel β. Die Hintereinan-

derausführung beider Drehungen ist durch das Matrixprodukt gegeben:

A · B = ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos β & − sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}cos α cos β − sin α sin β & − sin α cos β − cos α sin β \\ sin α cos β + cos α sin β & cos α cos β − sin α sin β \end{matrix} ) .

Andererseits ist die Hintereinanderausführung beider Drehungen wieder eine Drehung mit Gesamtwinkel α + β. Daraus folgen die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus,

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β , cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β ◁

Satz 11.4 Sind Matrizen A, A′ ∈ M(m × n, K), B, B′ ∈ M(n × s, K) und C ∈ M(r × s, K) gegeben sowie λ ∈ K, so gilt:

i) A · (B + B′) = A · B + A · B′ und (A + A′) · B = A · B + A′ · B (Distributivgesetze)

ii) A · (λ · B) = (λ · A) · B = λ · (A · B)

iii) (A · B) · C = A · (B · C) (Assoziativgesetz)

iv) E_{m} · A = A · E_{n} = A (Neutralität der Einheitsmatrix)

Beweis. i) und ii) folgen aus der Summendarstellung des Matrixprodukts.

iii) Unter Verwendung der Assoziativität der Komposition beliebiger Abbildungen (Bemerkung i) nach Beispiel 2.3) gilt

(A · B) · C = M_{m}^{s}((M_{m}^{r})^{−1}(A · B) ∘ (M_{r}^{s})^{−1}(C))
= M_{m}^{s}(((M_{m}^{n})^{−1}(A) ∘ (M_{n}^{r})^{−1}(B)) ∘ (M_{r}^{s})^{−1}(C))
= M_{m}^{s}((M_{m}^{n})^{−1}(A) ∘ ((M_{n}^{r})^{−1}(B) ∘ (M_{r}^{s})^{−1}(C)))
= M_{m}^{s}((M_{m}^{n})^{−1}(A) ∘ (M_{n}^{s})^{−1}(B · C)) = A · (B · C)

iv) Sei E_{m} · A = (α_{ij}) ∈ M(m × n, K), dann gilt α_{ij} = ∑_{k=1}^{m} δ_{ik}a_{kj} = a_{ij}, denn zu gegebenem Index i überlebt in der Summe nur der Term mit i = k. Analog folgt A · E_{n} = A. □

Im weiteren schreiben wir oft AB statt A · B für das Produkt der Matrizen.

Satz 11.5 Die Menge M(n, K) := M(n × n, K) der quadratischen Matrizen ist ein Ring mit Einselement E_{n}. □

Definition 11.6 Die Abbildung t : M(m × n, K) → M(n × m, K) definiert durch t : A = (a_{ij}) ↦ A^{t} := (a_{ji}) heißt Transposition von Matrizen.

Satz 11.7 Wenn das Matrixprodukt AB erklärt ist, dann gilt (A · B)^{t} = B^{t} · A^{t}.

Beweis. Sei A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K), B = (b_{jk}) ∈ M(n × r, K) und C = AB = (c_{ik}) ∈ M(m × r, K). Dann ist c_{ik} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} und C^{t} = (c′_{ki}) mit c′_{ki} = c_{ik}. Weiter ist B^{t} = (b′_{kj}) mit b′_{kj} = b_{jk} und A^{t} = (a′_{ji}) mit a′_{ji} = a_{ij}. Dann ist B^{t}A^{t} = D = (d_{ki}) mit d_{ki} = ∑_{j=1}^{n} b′_{kj}a′_{ji} = ∑_{j=1}^{n} b_{jk}a_{ij} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} = c_{ik} = c′_{ki} und somit D = C^{t}. □

Definition 11.8 Eine quadratische Matrix A ∈ M(n, K) heißt invertierbar, wenn es ein A^{−1} ∈ M(n, K) gibt mit A · A^{−1} = A^{−1} · A = E_{n}.

Satz 11.9 Die Menge

GL(n, K) = {A ∈ M(n, K) : A ist invertierbar}

der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung und der Einheitsmatrix E_{n} als neutralem Element.

Diese Gruppe GL(n, K) heißt die allgemeine lineare Gruppe.

Beweis. Da E_{n} ein neutrales Element ist, ist nur zu zeigen, daß aus A, B ∈ GL(n, K) auch AB ∈ GL(n, K) folgt. Die Matrix B^{−1}A^{−1} erfüllt (B^{−1}A^{−1})AB = E_{n} unter Verwendung des Assoziativgesetzes. Aus den allgemeinen Gruppeneigenschaften folgt, daß das neutrale Element und das zu A inverse Element eindeutig sind. □

Satz 11.10

i) A ∈ M(n, K) ist genau dann invertierbar, wenn rang(A) = n.

ii) Für A ∈ GL(n, K) gilt (A^{t})^{−1} = (A^{−1})^{t}.

Beweis. i) Ist rang(A) = rang(F) = n, dann ist F surjektiv nach Satz 8.5.ii) und dann bijektiv nach Satz 8.9.

ii) Wir haben (A^{−1})^{t}A^{t} = (AA^{−1})^{t} = E_{n}^{t} = E_{n}, so daß (A^{−1})^{t} das Inverse zu A^{t} ist. □

Ist A ∈ M(n, K) invertierbar, dann ist das lineare Gleichungssystem Ax = b wegen rang(A) = n eindeutig lösbar mit Lösung x = A^{−1}b für beliebiges b ∈ K^{n}. Im nächsten Abschnitt werden wir eine Methode zur Bestimmung der inversen Matrix gewinnen.

12 Elementarmatrizen

Die elementaren Zeilenumformungen, die eine Matrix B ∈ M(m×n, K) (z.B. die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b), welche ein ein lineares Gleichungssystem beschreibt) in Zeilenstufenform bringen, lassen sich durch Linksmultiplikation von B mit geeigneten (m × m)-Matrizen beschreiben. Diese Elementarmatrizen sind:

Typ I: B ⟶^{I_{ik}} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = P_{ik} · B mit

P_{ik} = ( \begin{matrix}1 & & & | & & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | & & & & | \\ − & − & − & 0 & − & − & − & 1 & − & − & − \\ & & & | & 1 & & & | \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 & | \\ − & − & − & 1 & − & − & − & 0 & − & − & − \\ & & & | & & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & & | & & & 1 \end{matrix} )

= E_{m} − E_{ii} − E_{kk} + E_{ik} + E_{ki}

(Angedeutet sind die i-te und k-te Zeile und Spalte. Alle nicht bezeichneten Einträge sind 0.)

Typ II: ist Spezialfall λ = 1 von Typ IV

Typ III: B ⟶^{III_{i}} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = S_{i}(λ) · B mit

S_{i}(λ) = ( \begin{matrix}1 & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | \\ − & − & − & λ & − & − & − \\ & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 \end{matrix} ) = E_{m} + (λ − 1)E_{ii}

Typ IV: B ⟶^{IV_{ik}(λ)} B̃ ist Matrixmultiplikation B̃ = Q_{ik}(λ) · B mit

Q_{ik}(λ) = ( \begin{matrix}1 & & & | & & & & | \\ . & . & . \\ & & 1 & | & & & & | \\ − & − & − & 1 & − & − & − & 0 & − & − & − \\ & & & | & 1 & & & | \\ . & . & . \\ & & & | & & & 1 & | \\ − & − & − & λ & − & − & − & 1 & − & − & − \\ & & & | & & & & | & 1 \\ . & . & . \\ & & & | & & & & | & & & 1 \end{matrix} ) = E_{m} + λE_{ki}

(Angedeutet sind die i-te und k-te Zeile und Spalte.)

Analog sind elementare Spaltenumformungen einer Matrix A ∈ M(m × n, K) gegeben durch die entsprechenden Rechtsmultiplikationen von A mit Elementarmatrizen P, Q, S ∈ M(n × n, K).

Tatsächlich genügen die Matrizen S_{i}(λ) und Q(1) für Typ II und III, denn Typ I eine Kombination aus mehreren Umformungen vom Typ II und III (ersteres als Spezialfall von IV):

P_{ik} = Q_{ik}(1) S_{k}(−1)Q_{ki}(−1)S_{i}(−1)Q_{ik}(1)S_{i}(−1) ,

denn

(i, k) ⟶^{III_{i}(−1)} (−i, k) ⟶^{II_{ik}} (−i, k−i) ⟶^{III_{i}(−1)} (i, k−i) ⟶^{II_{ki}} (k, k−i) ⟶^{III_{k}(−1)} (k, i−k) ⟶^{II_{ik}} (k, i) .

Für Typ IV gilt

Q_{ij}(λ) = S_{i}(\frac{1}{λ})Q_{ik}(1)S_{i}(λ) ,

denn

(i, k) ⟶^{III_{i}(λ)} (λi, k) ⟶^{II_{ik}} (λi, k + λi) ⟶^{III_{i}( \frac{1}{λ})} (i, k + λi)

Die Elementarmatrizen sind invertierbar mit

P_{ik}^{−1} = P_{ik} ,  (Q_{ik}(λ))^{−1} = Q_{ik}(−λ) ,  (S_{i}(λ))^{−1} = S_{i}(\frac{1}{λ}) .

Eine wichtige Anwendung der Elementarmatrizen ist der folgende Satz:

Satz 12.1 Jede invertierbare Matrix A ∈ GL(n, K) ist ein endliches Produkt von Elementarmatrizen.

Beweis. Da rang(A) = n, führen elementare Zeilenumformungen mit Typ I und IV erst zu einer Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen d_{ii} ≠ 0 für alle 1 ≤ i ≤ n, nach weiterer Umformung mit Typ IV dann zu einer Diagonalmatrix mit gleichen Diagonalelementen d_{ii} ≠ 0, und schließlich mit Typ III zur Einheitsmatrix. Damit gilt B_{r} ⋯ B_{2}·B_{1}·A = E_{n}, wobei jedes B_{s} eine Elementarmatrix Q_{ik}(λ) oder S_{i}(λ) ist. Folglich gilt A = B_{1}^{−1} · B_{2}^{−1} ⋯ B_{r}^{−1} und A^{−1} = B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1}. □

Eine nützliche Anwendung dieses Beweises besteht in einer effizienten Berechnungsmethode für die inverse Matrix. Durch Vergleich von B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1} · A = E_{n} mit A^{−1} = B_{r} ⋯ B_{2} · B_{1} · E_{n} lesen wir ab:

Satz 12.2 Dieselben Zeilenumformungen, welche eine invertierbare Matrix A ∈ GL(n, K) in E_{n} überführen, überführen E_{n} in A^{−1}. □

Beispiel 12.3

( \begin{matrix}9 & 4 & 1 & 0 \\ 11 & 5 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(− \frac{11}{9} )} ( \begin{matrix}9 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} & −\frac{11}{9} & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{21}(−36)} ( \begin{matrix}9 & 0 & 45 & −36 \\ 0 & \frac{1}{9} & −\frac{11}{9} & 1 \end{matrix} )
⟶^{S_{1}( \frac{1}{9} )S_{2}(9)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 5 & −4 \\ 0 & 1 & −11 & 9 \end{matrix} )

Folglich ist ( \begin{matrix}9 & 4 \\ 11 & 5 \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}5 & −4 \\ −11 & 9 \end{matrix} ), was durch Ausmultiplizieren leicht zu

überprüfen ist. ◁

Ein anderer Weg, diese Rechnung zu verstehen, interpretiert A · A^{−1} = E_{n} als n lineare Gleichungssysteme A · x^{(p)} = b^{(p)}. Dabei sind die x^{(p)} bzw. b^{(p)} mit 1 ≤ p ≤ n gerade die n Spalten von A^{−1} bzw. E_{n}. Anstatt nun die Berechnung von x^{(p)} durch Zeilenumformung jeder dieser erweiterten Koeffizientenmatrizen (A, b^{(p)}) separat durchzuführen, schreiben wir alle Spalten b^{(p)} nebeneinander und formen die entstehende Matrix (A, E_{n}) gleichzeitig um. (Es ist stets dieselbe Rechnung, die A in E_{n} überführt, unabhängig von b).

Man muß zunächst nicht wissen, ob A invertierbar ist, um dieses Verfahren durchzuführen. Wir können sogar nichtquadratische Matrizen A ∈ M(m × n, K) zulassen. Sei also rang(A) = r, dann führen die Zeilenumformungen zu (m − r) Zeilen, in denen sämtliche Einträge gleich 0 sind. Wir erreichen dann bestenfalls die Blockdarstellung

(A, E_{m}) ↦ ( \begin{matrix}D_{r×n} & L_{r×m} \\ 0_{(m−r)×n} & M_{(m−r)×m} \end{matrix} ) ,

wobei die Größe der Matrizen entsprechend D_{r×n} ∈ M(r × n, K) usw. gekennszeichnet ist. Nach Konstruktion als Matrix in spezieller Zeilenstufenform sind r der n ≥ r Spalten von D_{r×n} die paarweise verschiedenen Standardbasisvektoren e_{1}, …, e_{r} ∈ K^{r}.

Es gibt also Elementarmatrizen B_{1}, …, B_{r} ∈ GL(m, K) mit B_{r} ⋯ B_{1} · A =

( \begin{matrix}D_{r×n} \\ 0_{(m−r)×n} \end{matrix} ) und B_{r} ⋯ B_{1} · E_{m} = ( \begin{matrix}L_{r×m} \\ M_{(m−r)×m} \end{matrix} ) =: L^{−1}. Durch Transposition

entsteht die Matrix ( \begin{matrix}D_{r×n} \\ 0_{(m−r)×n} \end{matrix} )^{t} = ( D_{r×n}^{t} 0_{n×(m−r)} ) ∈ M(n × m, K), wobei

nun r der n ≥ r Zeilen von D_{r×n}^{t} =: D̃_{n×r} die transponierten Standardbasisvektoren e_{1}^{t}, …, e_{r}^{t} ∈ K^{r} sind. Elementare Zeilenumformungen überführen diese Matrix

in ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(m−r)} \\ 0_{(n−r)×r} & 0_{(n−r)×(m−r)} \end{matrix} ) ∈ M(n × m, K). Es gibt also Elementarmatrizen

C_{1}, …, C_{s} ∈ GL(n, K) mit

C_{s} ⋯ C_{2} · C_{1} · ( \begin{matrix}D_{r×n} \\ 0_{(m−r)×n} \end{matrix} )^{t} = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

und somit nach Rücktransposition

( \begin{matrix}D_{r×n} \\ 0_{(m−r)×n} \end{matrix} ) · (C_{s} ⋯ C_{2} · C_{1})^{t} = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

Das Produkt dieser Elementarmatrizen R̃ = C_{s} ⋯ C_{2} · C_{1} erhalten wir wieder durch die korrespondierende Zeilenumformung der Einheitsmatrix:

( D̃_{n×r} 0_{n×(m−r)} ∥E_{n}) ↦ ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ∥R̃) .

Damit haben wir folgenden Satz bewiesen: Satz 12.4 Zu jeder Matrix A ∈ M(m × n, K) mit rang(A) = r gibt es invertier-

bare Matrizen L ∈ GL(m, K) und R ∈ GL(n, K), so daß A = L·( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )·R^{−1}.

(Dabei ist R = R̃^{t}.) Beispiel 12.5

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & −3 & −6 & −4 & 1 \end{matrix} )

⟶^{Q_{21}( \frac{2}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & −\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & −3 & −6 & −4 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{S_{2}(− \frac{1}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 & −\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} & −\frac{1}{3} \end{matrix} ) .

Damit ist L^{−1} = ( \begin{matrix}−\frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & −\frac{1}{3} \end{matrix} ). Die übliche Rechnung für das Inverse liefert

L = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} ).

Nach Transposition berechnen wir

( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{13}(1) Q_{23}(−2)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −2 & 1 \end{matrix} ) ,

also R̃^{t} = R = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ). Diese Matrix ist nun leicht zu invertieren: R^{−1} =

( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

Folglich gilt

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Man kann Satz 12.4 auch abstrakt verstehen: Die Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(m × n, K) entspricht einer linearen Abbildung F : K^{n} → K^{m} mit F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij} ·e_{i}. Ist rang(F) = rang(A) = r, dann existieren nach Satz 10.7 Basen A = (v_{1}, …, v_{n})

von K^{n} und B = (w_{1}, …, w_{m}) von K^{m}, so daß M_{B}^{A}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = Ã = (ã_{kl}).

Die mit L und R bewirkte Umrechnung von A in Ã ist ein Beispiel für eine Koordinatentransformation.

Satz 12.6 Für A ∈ M(m × n, K) ist rang(A) = rang(A^{t}).

Beweis. Sei rang(A) = r. Nach Satz 10.7 gibt es angepaßte Basen A in K^{n}

und B in K^{m}, so daß A = L · ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(n−r)} \\ 0_{(m−r)×r} & 0_{(m−r)×(n−r)} \end{matrix} ) · R^{−1} für invertierbare

Matrizen L ∈ GL(m, K) und R ∈ GL(n, K). Dann ist A^{t} = (R^{−1})^{t} · B_{r} · L^{t} mit

B_{r} := ( \begin{matrix}E_{r} & 0_{r×(m−r)} \\ 0_{(n−r)×r} & 0_{(n−r)×(m−r)} \end{matrix} ). Mit R ist auch R^{t} invertierbar, also ist (R^{−1})^{t} :

K^{n} → K^{m} ein Isomorphismus. Somit gilt dim(im(A^{t})) = dim(im(B_{r} · L^{t}) ≤ r. Durch Umkehrung von A ↦ A^{t} (oder Verwendung der Surjektivität von L^{t}) folgt die Behauptung. □

13 Kommutative Diagramme und Basiswechsel

Koordinatentransformationen werden hervorgerufen durch einen Basiswechsel in einem Vektorraum. Sind in einem Vektorraum V zwei Basen A = (v_{1}, …, v_{n}) und Ã = (ṽ_{1}, …, ṽ_{n}) gegeben, so existieren nach Satz 10.2 Isomorphismen Φ_{A} : K^{n} → V und ΦÃ : K^{n} → V mit Φ_{A}(e_{i}) = v_{i} und ΦÃ(e_{i}) = v_{i}. Die identitische Abbildung auf V induziert dann einen Isomorphismus T Ã ; A := Φ−1 ; Ã ∘Φ_{A} : K^{n} → K^{n}, den man am besten als kommutatives Diagramm schreibt:

\xymatrix{K^{n} \ar[r]^{Φ_{A}} \ar[d]_{T A ; Ã=Φ−1 ; Ã∘Φ_{A}} & V \ar[d]^{id_{V}} \\ K^{n} \ar[r]_{ΦÃ} & V}  bzw.  \xymatrix{K^{n} \ar[dr]^{Φ_{A}} \ar[dd]_{T A ; Ã=Φ−1 ; Ã∘Φ_{A}} \\  & V \\ K^{n} \ar[ur]_{ΦÃ}}

Dabei bedeutet Kommutativität, daß die Komposition der Abbildungen unabhängig vom Weg ist.

Die darstellende Matrix der identischen Abbildung ist somit T A ; Ã = (T_{ij}) =

MA ; Ã(id_{V}) mit id_{V} (v_{j}) = v_{j} = ∑_{i=1}^{n} T_{ij}ṽ_{i}. Sei v = ∑_{j=1}^{n} x_{j}v_{j} = ∑_{i=1}^{n} y_{i}ṽ_{i} ∈ V,

dann gilt

v = ∑_{j=1}^{n} x_{j}v_{j} = ∑_{i,j=1}^{n} T_{ij}x_{j}ṽ_{i} = ∑_{i=1}^{n} y_{i}ṽ_{i} ⇒ y = T A ; Ã · x .

Kennt man also die Transformationsmatrix T A ; Ã, so kann man die neuen Koordinaten y von v ∈ V bezüglich der Basis Ã aus den alten Koordinaten x bezüglich der Basis A berechnen. Besonders wichtig ist der Fall V = K^{n}. Dann sind Φ_{A} =: A ∈ M(n × n, K) und ΦÃ = Ã ∈ M(n × n, K) selbst Matrizen, gegeben durch die jeweiligen Basisvektoren als Spalten. In diesem Fall ist nach Definition des Matrixprodukts T A ; Ã = Ã^{−1} · A. An Stelle der Lösung eines linearen Gleichungssystems tritt nun die einfachere Aufgabe der Berechnung einer inversen Matrix.

Allgemein läßt sich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung F : V → W bezüglich Basen A von V und B von W als kommutatives Diagramm auffassen:

\xymatrix{K^{n} \ar[r]^{Φ_{A}} \ar[d]_{M_{B}^{A}(F)=Φ_{B}^{−1}∘F ∘Φ_{A}} & V \ar[d]^{F} \\ K^{m} \ar[r]_{Φ_{B}} & W}

Durch Kombination mit dem Basiswechsel erhalten wir:

Satz 13.1 (Transformationsformel) Es sei F : V → W eine lineare Abbildung sowie A, Ã Basen von V und B, B̃ Basen von W, mit dim(V) = n und dim(W) = m. Dann ist folgendes Diagramm kommutativ:

\xymatrix{K^{n} \ar[dr]^{Φ_{A}} \ar[dd]_{T A ; Ã} \ar[rrr]^{M_{B}^{A}(F)} &  &  & K^{m} \ar[dl]_{Φ_{B}} \ar[dd]^{T B ; B̃} \\  & V \ar[r]^{F} & W \\ K^{n} \ar[ur]_{ΦÃ} \ar[rrr]_{M Ã ; B̃(F)} &  &  & K^{m} \ar[ul]^{ΦB̃}}

Insbesondere gilt M Ã ; B̃(F) = T B ; B̃ · M_{B}^{A}(F) · (T A ; Ã)^{−1}.

Beweis. Alle Dreiecke und Teilvierecke sind kommuativ, also auch das gesamte Diagramm. □

Insbesondere läßt sich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung F : K^{n} → K^{m} bezüglich anderer als der Standardbasen sehr leicht berechnen. Wir betrachten erneut Beispiel 10.5:

Beispiel 13.2 Wir betrachten die durch F ((x, y, z)) = (x − y, 2x + y − z) definierte lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{2} bezüglich der Basen Ã = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) von ℝ^{3} und B̃ = (w_{1}, w_{2}) von ℝ^{2} mit

v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , w_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , w_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \end{matrix} ) .

Bezüglich der Standardbasen ist M_{n}^{m}(F) = ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 2 & 1 & −1 \end{matrix} ) (Bilder der Basisvek-

toren als Spalten). Die Transformationsmatrizen sind nach Satz 10.2 und wegen Φ_{A} = id und Φ_{B} = id gegeben als

T A ; Ã = Φ−1 ; Ã = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )^{−1}

und

T B ; B̃ = Φ−1 ; B̃ = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix} )^{−1} = ( \frac{1}{3} −\frac{1}{3}^{\frac{1}{3} \frac{2}{3}} ) .

Somit gilt

M Ã ; B̃(F) = ( \frac{1}{3} −\frac{1}{3}^{\frac{1}{3} \frac{2}{3}} ) · ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 2 & 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−\frac{1}{3} & 1 & 2 \\ −\frac{1}{3} & 0 & −1 \end{matrix} ) ,

in Übereinstimmung mit der ersten Rechnung. ◁

Schließlich können wir den Zusammenhang zwischen Matrixprodukt und Komposition linearer Abbildungen (Abschnitt 11) für beliebige endlichdimensionale Vektorräume formulieren:

Satz 13.3 Gegeben seien Vektorräume U, V, W mit Basen A, B, C sowie lineare Abbildungen G : U → V und F : V → W. Dann gilt M_{C}^{A}(F ∘ G) = M_{B}^{A}(F) · M_{C}^{B}(G).

Beweis. Wir betrachten das folgende Diagramm:

\xymatrix{K^{r} \ar[dr]^{B} \ar[dd]_{A·B} \ar[rrr]^{Φ_{A}} &  &  & U \ar[dl]_{G} \ar[dd]^{F ∘G} \\  & K^{n} \ar[r]^{Φ_{B}} \ar[dl]_{A} & V \ar[dr]^{F} \\ K^{m} \ar[rrr]_{Φ_{C}} &  &  & W}

mit A = M_{B}^{A}(F) = Φ_{C}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{B} : K^{n} → K^{m} und B = M_{C}^{B}(G) = Φ_{B}^{−1} ∘ G ∘ Φ_{A} : K^{r} → K^{n}. Alle Teildiagramme sind kommutativ, damit auch das äußere Viereck. □

Teil IV

Determinanten

14 Definition und Berechnungsmethoden

Bei der Determinante hantelt es sich um eine wichtige Charakterisierung quadratischer Matrizen. Die Determinante ist ein Kriterium für die Invertierbarkeit einer Matrix. Sie tritt außerdem auf beim Eigenwertproblem für Matrizen.

Definition 14.1 Eine Abbildung

det : M(n, K) → K , det : A ↦ det A

heißt Determinante, wenn folgendes gilt:

(D1) det ist linear in jeder Zeile, d.h. ist die i-te Zeile a_{i} = λ′a′_{i} + λ′′a′′_{i} ∈ K^{n}, so gilt

det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) = λ′ det ( ⋮ ; a′_{i} ; ⋮ ) + λ′′ det ( ⋮ ; a′′_{i} ; ⋮ ) .

(Die mit ⋮ symbolisierten Zeilen a_{1}, …, a_{i−1}, a_{i+1}, …, a_{n} sind in jeder der drei Matrizen identisch.)

Insbesondere gilt: Entsteht B aus A durch Multiplikation der i-ten Zeile mit λ ≠ 0, ist also eine Zeilenumformung vom Typ III mit B = S_{i}(λ) · A, so ist det B = λ · det A.

(D2) det ist alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Zeilen, so gilt det A = 0.

(D3) det ist normiert auf det E_{n} = 1.

Man kann zeigen, daß solche Determinanten existieren. Wir beschränken uns auf den Beweis der Eindeutigkeit der Determinante. Dazu leiten wir aus der Definition weitere Eigenschaften her, die insbesondere eine Berechnungsmethode beinhalten:

Satz 14.2 Die Determinante hat folgende weitere Eigenschaften:

(D4) det(λ · A) = λ^{n} det A ∀λ ∈ K.

(D5) Ist eine Zeile von A identisch Null, so folgt det A = 0.

(D6) Die Determinante ändert das Vorzeichen bei Zeilenumformungen von Typ I: Entsteht B aus A durch Zeilenvertauschung, also B = P_{ik} · A, so gilt det B = − det A.

(D7) Zeilenumformungen von Typ IV lassen die Determinante unverändert: Entsteht B aus A durch Addition der λ-fachen i-ten Zeile zur k-ten Zeile, also B = Q_{ik}(λ) · A, so gilt det B = det A.

(D8) Ist A = ( \begin{matrix}a_{11} & . & … & . \\ 0 & a_{22} & … & . \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) eine obere Dreiecksmatrix, so gilt

det A = a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}.

(D9) Sei n ≥ 2, und A ∈ M(n, K) habe die folgende Blockdarstellung:

A = ( \begin{matrix}A_{1} & C \\ 0 & A_{2} \end{matrix} ) , A_{1} ∈ M(n_{1}, K) , A_{2} ∈ M(n_{2}, K) , n_{1} +n_{2} = n .

Dann gilt det A = det A_{1} · det A_{2}.

(D10) det A = 0 ⇔ rang(A) < n.

(D11) Es gilt der Determinantenmultiplikationssatz det(A·B) = det A·det B für alle A, B ∈ M(n, K). Insbesondere ist det A^{−1} = \frac{1}{det A} für A ∈ GL(n, K). Anders formuliert: det : GL(n, K) → K^{∗} ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis. D4) Nach (D1) gilt

det ( λa_{1} ; λa_{2} ; ⋮ ; λa_{n} ) = λ det ( a_{1} ; λa_{2} ; ⋮ ; λa_{n} ) = λ^{2} det ( a_{1} ; a_{2} ; λa_{3} ; ⋮ ; λa_{n} ) = ⋯ = λ^{n} det ( a_{1} ; a_{2} ; ⋮ ; a_{n} )

D5) folgt aus (D1) mit λ = 0 D6) Ist B = P_{ik}A, so berechnen wir

det A + det B = det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ )

=^{(D2)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ )

=^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) + det ( ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) =^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ; a_{i} + a_{k} ; ⋮ ) =^{(D2)} 0

(D7) Ist B = Q_{ik}(λ)A, so gilt

det B = det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} + λa_{i} ; ⋮ ) =^{(D1)} det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{k} ; ⋮ ) + λ det ( ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ; a_{i} ; ⋮ ) =^{(D2)} det A

(D8) Für Diagonalmatrizen folgt durch wiederholte Anwendung von (D1)

det ( \begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) =^{(D1)} a_{11} det ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} ) =^{(D1)} …

=^{(D1)} a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn} det E_{n} =^{(D3)} a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}

Sind für eine allgemeine obere Dreiecksmatrix alle a_{ii} ≠ 0, so bringen wir sie durch Zeilenumformung vom Typ IV in Diagonalform mit den gleichen Diagonalelementen. Ist a_{ii} = 0 und a_{kk} ≠ 0 für alle k > i, so führt Zeilenumformung vom Typ IV auf die Zeile a_{i} = 0.

(D9) Wir können Zeilenumformungen verwenden, die die beiden Blöcke nicht mischen. Durch Umformungen nur der ersten n_{1} Zeilen und dann nur der letzten n_{2} Zeilen erreicht man

det A = (−1)^{s_{1}+s_{2}} det ( \begin{matrix}D_{1} & C′ \\ 0 & D_{2} \end{matrix} ) ,

wobei D_{1}, D_{2} obere Dreiecksmatrizen sind und s_{1}, s_{2} die Anzahl der Zeilenumformungen vom Typ I im oberen bzw unteren Block sind. Die Behauptung folgt nun aus (D8).

(D10) Durch elementare Zeilenumformung überführen wir A in eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen a_{11}, …, a_{nn}. Dann ist det A = ±a_{11} ⋯ a_{nn}. Aus det A = 0 und der Zeilenstufenform folgt a_{nn} = 0 and damit det A = 0 nach (D5), also rang(A) < n. Ist umgekehrt rang(A) < n, so führt elementare Zeilenumformung auf eine obere Dreiecksmatrix mit a_{nn} = 0, so daß det A = 0.

(D11) Ist rang(A) < n, so ist auch rang(AB) < n als Dimension des Bildes der Hintereinanderausführung linearer Abbildungen. Dann ist det(A) = det(AB) = 0. Ist rang(A) = n, so ist A invertierbar und nach Satz 12.1 ein endliches Produkt von Elementarmatrizen. Also ist det(AB) = det(C_{1} ⋯ C_{r} ·B), wobei C_{p} = Q_{ik}(λ) oder C_{p} = S_{i}(λ) für 1 ≤ p ≤ r. Es gilt det(Q_{ik}(λ)B) = det B nach (D7) und det(S_{i}(λ)B) = λ det B nach (D1). Also ist det(AB) = λ_{1} ⋯ λ_{s} det B, wobei λ_{p} die Koeffizienten in den Umformungen vom Typ III sind. Andererseits ist det(A) = det(AE_{n}) = λ_{1} ⋯ λ_{s}, was die Behauptung liefert. □

Zusammengefaßt haben wir damit aus den Axiomen ein Berechnungsverfahren für die Determinante einer Matrix abgeleitet: Wir überführen mit elementaren Zeilenumformungen vom Typ I und IV die Matrix A ∈ M(n, K) in Zeilenstufenform Ã = (a_{ij}): Sind dabei s Vertauschungen von Zeilen (Typ I) notwendig, dann ist det A = (−1)^{s}a_{11} ⋯ a_{nn}. Das Verfahren beweist die Eindeutigkeit der Determinante: Gäbe es zwei Abbildungen det und d̃et, die (D1), (D2) und (D3) erfüllen, so folgt aus beiden die Berechnungsvorschrift für die durch Zeilenumformung erhaltene Dreiecksmatrix Ã = (a_{ij}) mit det A = d̃etA = (−1)^{s}a_{11} ⋯ a_{nn}.

Beispiel 14.3

det ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 9 \end{matrix} ) =^{I_{12}} − det ( \begin{matrix}3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 6 & 7 & 9 \end{matrix} ) =^{IV_{13}(−2)} − det ( \begin{matrix}3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} )

=^{IV_{23}(1)} − det ( \begin{matrix}3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = −3 .  ◁

Satz 14.4 Es gilt det(A^{t}) = det(A) für alle A ∈ M(n, K).

Beweis. Ist det A = 0, so ist rang(A^{t}) = rang(A) < n und damit det(A^{t}) = 0. Ist det A ≠ 0, so ist A invertierbar und damit darstellbar als endliches Produkt von Elementarmatrizen A = C_{1} ⋯ C_{r} mit C_{p} = Q_{ik}(λ) oder C_{p} = S_{i}(λ). Nach dem Determinatenmultiplikationssatz ist det A = det C_{1} ⋯ det C_{r} und det A^{t} = det C_{1}^{t} ⋯ det C_{r}^{t}. Es gilt (Q_{ik}(λ))^{t} = Q_{ki}(λ) und (S_{i}(λ))^{t} = S_{i}(λ). Die Behauptung folgt nun aus det(Q_{ik}(λ)) = 1 für alle i, k, λ und det(S_{i}(λ)) = λ. □

Daraus ergeben sich mehrere Folgerungen:

Satz 14.5 (D2’) Die Determinate ist linear in jeder Spalte. (D3’) besitzt A ∈ M(n, K) zwei gleiche Spalten, so gilt det A = 0. □

Satz 14.6 Für A ∈ M(n, K) sind äquivalent:

i) det A ≠ 0
ii) rang(A) = n

iii) A ist invertierbar

iv) Die Zeilen von A sind linear unabhängig.

v) Die Spalten von A sind linear unabhängig. □

Satz 14.7 Die Gruppe

SL(n, K) := {A ∈ GL(n, K) : det A = 1}

ist eine Untergruppe von GL(n, K). Sie heißt die die spezielle lineare Gruppe.

Beweis. Für A, B ∈ SL(n, K) folgt aus den Eigenschaften der Determinante det(AB) = 1 und det A^{−1} = 1. □

Die Determinantenbildung für Matrizen läßt sich sofort auf die Determinate für Endomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume verallgemeinern. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und F : V → V eine lineare Abbildung (ein Endomorphismus). Wir wählen eine beliebige Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V und stellen F in dieser Basis dar:

F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · v_{i} , a_{ij} ∈ K .

Dann ist A = (a_{ij}) = M_{B}^{B}(F) die darstellende Matrix von F bezüglich der Basis B. Wir definieren det F := det(M_{B}^{B}(F)). Diese Definition ist sinnvoll, denn sie hängt nicht von der Wahl der Basis ab: Sei A eine andere Basis von V, dann gilt nach Satz 13.1 M_{B}^{B}(F) = T_{B}^{A}·M_{A}^{A}(F)·(T_{B}^{A})^{−1} und deshalb det(M_{B}^{B}(F)) = det(M_{A}^{A}(F)).

In direkter Verallgemeinerung der Determinanteneigenschaften gilt:

Satz 14.8 Sind F, G ∈ End(V), so gilt

i) det F ≠ 0 ⇔ F ∈ Aut(V)

ii) F ∈ Aut(V) ⇒ det F^{−1} = \frac{1}{det F}

iii) det(F ∘ G) = det F · det G

Eine weitere nützliche Anwendung ist die Definition der Orientierung von Automorphismen und von Basen.

Definition 14.9 Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K. Ein Automorphismus F ∈ Aut(V) heißt orientierungstreu, falls det F > 0, ansonsten orientierngsuntreu.

Zwei Basen A und B von V heißen gleich orientiert, wenn für die darstellende Matrix der Identität gilt det(M_{B}^{A}(id_{V})) > 0, ansonsten ungleich orientiert.

Offenbar gilt:

Satz 14.10 Die Menge

Aut^{+}(V) := {F ∈ Aut(V) : det F > 0}

der orientierungstreuen Automorphismen von V ist eine Untergruppe von Aut(V). Insbesondere ist

GL^{+}(m, K) := {A ∈ GL(n, K) : det A > 0}

eine Untergruppe von GL(n, K).

15 Laplacescher Entwicklungssatz und komplementäre Matrix

In Beweisen und für speziell gewählte Matrizen sind auch rekursive und abstrakte Berechnungsformeln nützlich:

Satz 15.1 (Entwicklungssatz von Laplace) Ist A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) und seien die Matrizen A_{ij} ∈ M(n − 1, K) aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhalten. Dann gilt für beliebiges 1 ≤ i ≤ n

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}  Entwicklung nach der i-ten Zeile

und für beliebiges 1 ≤ j ≤ n

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}  Entwicklung nach der j-ten Spalte.

Beweis. (für die Zeilenentwicklung). Wir schreiben die i-te Zeile a_{i} = (a_{i1}, a_{i2}, …, a_{in}) von A = (a_{ij}) als Linearkombination der kanonischen Basen

a_{i} = a_{i1}(1, 0, 0, …, 0) + a_{i2}(0, 1, 0, …, 0) + ⋯ + a_{in}(0, 0, …, 0, 1)

Anwenden von (D1) ergibt

det A = ∑_{j=1}^{n} a_{ij} det A′_{ij} ,

A′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & a_{i−1,j} & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & a_{i+1,j} & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & a_{nj} & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

In jeder der Matrizen A′_{ij} bringen wir mit Zeilenumformungen vom Typ IV (welche die Determinante nicht ändern) alle anderen Einträge der j-ten Spalte auf 0:

det A′_{ij} = det A′′_{ij} , A′′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & 0 & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & 0 & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & 0 & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & 0 & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

Durch Vertauschen mit jeweils benachbarten Zeilen bringen wir die i-te Zeile von A′′_{ij} an die j-te Stelle, wobei sich die Reihenfolge aller anderen Zeilen nicht ändert. Dazu sind |i − j| Zeilenvertauschungen erforderlich. Die 1 steht nun auf der Diagonale: Für i < j erhalten wir:

det A′′_{ij} = (−1)^{|i−j|} det A′′′_{ij} , A′′′_{ij} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,j−1} & 0 & a_{1,j+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i−1,1} & … & a_{i−1,j−1} & 0 & a_{i−1,j+1} & … & a_{i−1,n} \\ a_{i+1,1} & … & a_{i+1,j−1} & 0 & a_{i+1,j+1} & … & a_{i+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{j,1} & … & a_{j,j−1} & 0 & a_{j,j+1} & … & a_{j,n} \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ a_{j+1,1} & … & a_{j+1,j−1} & 0 & a_{j+1,j+1} & … & a_{j+1,n} \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,j−1} & 0 & a_{n,j+1} & … & a_{nn} \end{matrix} ) .

Durch elementare Zeilenumformung vom Typ I und IV überführen wir A′′′_{ij} in eine obere Dreiecksmatrix und lesen die Determinante ab. Bei diesen Umformungen wird an der j-ten Zeile und Spalte von A′′′_{ij} nichts geändert. Deshalb stimmt det A′′′_{ij} mit der Determinante jener Matrix A_{ij} ∈ M(n − 1, K) überein, die aus A′′′_{ij} durch Weglassen des Kreuzes aus j-ter Zeile und j-ter Spalte erhalten wird. Dieselbe Matrix A_{ij} entsteht aber auch aus A′_{ij} und damit auch aus A selbst durch Weglassen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Unter Verwendung von (−1)^{|i−j|} = (−1)^{i+j} folgt die Behauptung. Analog für die Spaltenentwicklung. □

Wir können nun über den Laplaceschen Entwicklungssatz die Existenz der Determinante beweisen:

Satz 15.2 Für alle n ∈ ℕ \ {0} gibt es eine Abbildung det : M(n, K) → K mit den Eigenschaften (D1), (D2) und (D3) aus Definition 14.1.

Beweis. Durch Induktion nach n. Für n = 1 setzen wir det(a) := a. Dann ist (D2) eine leere Aussage, (D1) und (D3) sind klar. Sei die Existenz bis M(n − 1, K) bewiesen. Wir definieren det : M(n, K) → K über den Laplaceschen Entwicklungssatz und Entwicklung nach der j-ten Spalte. Zu zeigen sind (D1) − (D3).

(D1) Betrachtet werde die k-te Zeile von A ∈ M(n, K). Es gilt det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} = (−1)^{k+j}a_{kj}A_{kj}+∑_{i≠k}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}. Im ersten Term ist A_{kj} unabhängig von der k-ten Zeile, und a_{kj} ist linear. In jedem anderen Term i ≠ k ist det A_{ij} linear in der k-ten Zeile nach Induktionsvoraussetzung, und a_{ij} ist unabhängig von der k-ten Zeile.

(D2) Seien die k-te und l-te Zeile von A ∈ M(n, K) gleich, und k < l. Ist i ≠ k und i ≠ l, so sind die entsprechenden Zeilen auch in A_{ij} ∈ M(n − 1, K) gleich, damit det A_{ij} = 0. Im Entwicklungssatz verbleibt det A = (−1)^{k+j}a_{kj} det A_{kj} + (−1)^{l+j}a_{lj} det A_{lj}. Die Annahme (Gleichheit det k-ten und l-ten Zeile von A) ergibt zunächst a_{kj} = a_{lj}. Ist n = 2, so ist k = 1 und l = 2, damit (−1)^{k+j} = −(−1)^{l+j} und det A_{1j} = det A_{2j} wegen Gleichheit beider Zeilen von A ∈ M(n, K). Sei also n ≥ 3 und a_{i} ∈ K^{n} die i-te Zeile von A mit a_{k} = a_{l} =: b ∈ K^{n}. Seien a′_{i}, b′ ∈ K^{n−1} die aus a_{i}, b durch Weglassen des j-ten Eintrags entstehenden Zeilenvektoren. Dann ist

A = ( a_{1} ; ⋮ ; a_{k−1} ; b ; a_{k+1} ; ⋮ ; a_{l−1} ; b ; a_{l+1} ; ⋮ ; a_{n} ) ,  A_{kj} = ( a′_{1} ; ⋮ ; a′_{k−1} ; a′_{k+1} ; ⋮ ; a′_{l−1} ; b′ ; a′_{l+1} ; ⋮ ; a′_{n} ) ,  A_{lj} = ( a′_{1} ; ⋮ ; a′_{k−1} ; b′ ; a′_{k+1} ; ⋮ ; a′_{l−1} ; a′_{l+1} ; ⋮ ; a′_{n} ) .

Durch l−1−k Vertauschungen benachbarter Zeilen bringen wir die (l−1)-te Zeile b′ von A_{kj} in die k-te Zeile, alle Zeilen a′_{k+1}, …, a_{l−1′} verschieben sich um eine Zeile nach unten. Das Ergebnis dieser l − 1 − k Zeilenvertauschungen ist A_{lj}, d.h. es gilt det A_{kj} = (−1)^{l−1−k} det A_{lj} und damit (−1)^{k+j} det A_{kj} − (−1)^{l+k} det A_{lj}. Das liefert (D2).

(D3) Es gilt det E_{n} = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}δ_{ij} det(E_{n})_{ij} = (−1)^{2j} det(E_{n})_{jj} = det(E_{n−1}) = 1. □

Die Berechnung der Determinante von A ∈ M(n, K) wird durch Satz 15.1 auf die Berechnung der Determinanten kleinerer Matrizen zurückgeführt. Als Beispiel berechnen wir

det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) = (−1)^{1+1}a_{11} det(a_{22}) + (−1)^{1+2}a_{12} det(a_{21}) = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} .

Einfache Rechenregel: Für 2 × 2-Matrizen ist die Determinante gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente. Eine ähnliche graphische Rechenregel gibt es auch für 3 × 3-Matrizen (Regel von Sarrus). Ein Analogon für M(n, K) mit n ≥ 4 wäre falsch!

Beispiel 15.3 Wir berechnen erneut Beispiel 14.3 durch Entwicklung nach der 1. Zeile:

det ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 9 \end{matrix} ) = 0 · det ( \begin{matrix}4 & 5 \\ 7 & 9 \end{matrix} ) + (−1) · det ( \begin{matrix}3 & 5 \\ 6 & 9 \end{matrix} ) + 2 · det ( \begin{matrix}3 & 4 \\ 6 & 7 \end{matrix} )

= −1 · 3 · 9 + 1 · 6 · 5 + 2 · 3 · 7 − 2 · 6 · 4 = −27 + 30 + 42 − 48 = −3 ,

in Übereinstimmung mit der ersten Rechnung. ◁

Allgemein wird durch den Entwicklungssatz die Determinante von A = (a_{ij}) rekursiv durch Summen und Differenzen von Produkten a_{i_{1}j_{1}} ⋯ a_{i_{n}j_{n}} der Einträge a_{ij} berechnet. Durch Entwicklung nach der jeweils obersten Zeile sieht man, daß in jedem dieser Produkte jeder Zeilenindex genau einmal vorkommt. Andererseits kommt auch jeder Spaltenindex genau einmal vor: Damit a_{ij} in einem Produkt vorkommen kann, darf zuvor kein a_{kj} aufgetreten sein, da sonst die j-te Spalte gestrichen wäre. Nach dem Auftreten von a_{ij} wird die j-te Spalte weggelassen und weitere a_{kj} können im Produkt nicht vorkommen. Eine solche injektive/surjektive/bijektive Zuordnung eines Spaltenindex j = σ(i) ∈ {1, …, n} zu jedem Zeilenindex i ∈ {1, …, n} heißt Permutation. Ein Beispiel ist durch

folgende Tabelle gegeben: \begin{matrix}i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ σ(i) & 2 & 5 & 3 & 1 & 4 \end{matrix}

Sei S_{n} die Menge (und Gruppe) aller Permutationen der Menge {1, 2, …, n}, dann gilt

det A = ∑_{σ∈S_{n}} λ(σ) a_{1σ(1)}a_{2σ(2)} ⋯ a_{nσ(n)} .

Dabei ist λ(σ) ∈ ±1, denn jede Permutation kommt vor und zwar mit Vorfaktor +1 oder −1 entsprechend dem Entwicklungssatz. Man kann zeigen, daß λ(σ) = sign(σ) das Vorzeichen der Permutation ist, das wie folgt berechnet werden kann: Eine Permutation τ heißt Transposition, wenn sie zwei Elemente aus {1, …, n} austauscht und alle anderen an ihrer Stelle beläßt. Jede Permutation kann als (nicht eindeutige) Hintereinanderausführung von Transpositionen erhalten werden. Dann ist

sign(σ) = (−1)^{Zahl der Transpositionen in σ} .

Das Vorzeichen ist eindeutig, auch wenn die Zahl der Transpositionen selbst nicht eindeutig ist.

Alternativ kann man das Vorzeichen aus der Zahl der Fehlstellen der Permutation ablesen. Eine Fehlstelle ist ein Paar (i, j) mit i < j und σ(i) > σ(j). Dann ist

sign(σ) = (−1)^{Zahl der Fehlstellen in σ} .

Damit gilt (insgesamt hier ohne Beweis)

Satz 15.4 (Formel von Leibniz )

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sign(σ) a_{1σ(1)}a_{2σ(2)} ⋯ a_{nσ(n)} .

Es gibt n! Permutationen σ ∈ S_{n}, so daß die Zahl der Produkte in der Formel von Leibniz mit wachsendem n sehr groß wird. Deshalb ist die Formel von Leibniz vor allem aus theoretischer Sicht bedeutsam. Sind z.B. die Einträge der Matrix stetige/differenzierbare Funktionen, so ist auch die Determinante eine stetige/differenzierbare Funktion. Für praktische Berechnungen sind Zeilenumformungen geeigneter.

Definition 15.5 Sei A = (a_{ij}) ∈ M(n, K). Dann heißt die Matrix

A^{♯} = (a_{ij}^{♯}) ∈ M(n, K) , a_{ij}^{♯} := (−1)^{i+j} det A_{ji} .

die zu A komplementäre Matrix, wobei A_{ji} ∈ M(n − 1, K) durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte entsteht.

Man beachte die Vertauschung der Reihenfolge von i, j: Im Matrixelement a_{ij}^{♯} steht A_{ji}, nicht A_{ij}!

Satz 15.6 Ist A ∈ M(n, K) und sei A^{♯} die zu A komplementäre Matrix, dann gilt A · A^{♯} = A^{♯} · A = (det A)E_{n}. Insbesondere gilt A^{−1} = \frac{1}{det A}A^{♯} für invertierbare Matrizen A ∈ GL(n, K).

Beweis. Wir berechnen die Komponenten von A^{♯} · A:

(A^{♯} · A)_{kj} = ∑_{i=1}^{n} a_{ki}^{♯}a_{ij} = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ij} det A_{ik} .

Ist j = k beliebig, so entsteht gerade der Spaltenentwicklungssatz von Laplace: det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij}. Für j ≠ k betrachten wir die Matrix B = (b_{il}) ∈ M(n, K), die aus A entsteht, wenn man die k-te Spalte von A durch die j-te Spalte von A ersetzt. Es ist also b_{il} = a_{il} für l ≠ k und b_{ik} = a_{ij}. Da B zwei gleiche Spalten besitzt, ist det B = 0. Wir entwickeln det B nach der k-ten Spalte:

0 = det B = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}b_{ik} det B_{ik} = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ij} det A_{ik}

wegen A_{ik} = B_{ik}. Folglich ist (A^{♯} · A)_{kj} = (det A)δ_{kj}. □

Mit A^{−1} = \frac{1}{det A}A^{♯} für A ∈ GL(n, K) haben wir eine weitere Methode zur Berechnung der inversen Matrix kennengelernt. Für n > 3 ist diese Methode jedoch sehr aufwendig. Allerdings ist diese abstrakte Darstellung in der Analysis sehr nützlich, denn die Determinantenbildung hängt als Produkt der a_{ij} stetig und sogar differenzierbar von den Einträgen a_{ij} ab. Daraus folgt, daß für A ∈ GL(n, K) die Abbildung A ↦ A^{−1} differenzierbar ist.

Eine weitere Anwendung der Determinanten besteht in einem Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit invertierbaren Matrizen:

Satz 15.7 (Cramersche Regel) Seien A = (a_{ij}) ∈ GL(n, K) und b ∈ K^{n} gegeben und sei x = (x_{1}, …, x_{n})^{t} ∈ K^{n} die eindeutig bestimmte Lösung des linearen Gleichungssystems A · x = b. Bezeichnen wir mit a_{1}, …, a_{n} die Spalten von A, also a_{j} = (a_{1j}, …, a_{nj})^{t}, dann gilt

x_{j} = \frac{det(a_{1}, …, a_{j−1}, b_{j}, a_{j+1}, …, a_{n})}{det A} .

Beweis. Die endeutig bestimmte Lösung des linearen Gleichungssystems ist durch x = A^{−1} · b gegeben. In Komponenten gilt damit

x_{j} = ∑_{i=1}^{n}(A^{−1})_{ji}b_{i} = \frac{1}{det A} ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}b_{i}(det A_{ij}) .

Nach dem Spaltenentwicklungssatz von Laplace ist ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}b_{i}(det A_{ij}) gerade die Determinante einer Matrix B = (b_{il}), deren Einträge auf der j-ten Spalte durch b_{ij} = b_{i} gegeben sind und deren andere Spalten identisch sind mit den Spalten von A. □

Wieder liegt die Bedeutung der Cramerschen Regel in theoretischen Betrachtungen wie der Schlußfolgerung, daß die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b für A ∈ GL(n, K) differenzierbar von der rechten Seite b ∈ K^{n} sowie den Einträgen der Matrix A ∈ GL(n, K) abhängt.

Zum Abschluß geben wir ohne Beweis noch die Verallgemeinerung von det(A· B) = det A · det B, hier mit A, B ∈ M(n, K), auf Produkte nichtquadratischer Matrizen an:

Satz 15.8 (Binet-Cauchy) Es seien A = (a_{1}, …, a_{n+k}) ∈ M(n × (n + k), K) und B = (b_{1}, …, b_{n+k}) ∈ M(n × (n + k), K) zwei rechteckige Matrizen, gebildet aus den Spaltenvektoren a_{i}, b_{i} ∈ K^{n}, und k ∈ ℕ. Für 1 ≤ m_{1} < m_{2} < ⋯ < m_{n} ≤ n + k seien quadratische Matrizen A^{m_{1}m_{2}...m_{n}} := (a_{m_{1}}, a_{m_{2}}, …, a_{m_{n}}) ∈ M(n, K) und B^{m_{1}m_{2}...m_{n}} := (b_{m_{1}}, b_{m_{2}}, …, b_{m_{n}}) ∈ M(n, K) definiert. Dann gilt

det(A · B^{t}) = ∑_{1≤m_{1}<m_{2}<···<m_{n}≤n+k}(det A^{m_{1}m_{2}...m_{n}})(det B^{m_{1}m_{2}...m_{n}}) .

Die Summe läuft über die \binom{n+k}{k} = \frac{(n+k)!}{n!k!} verschiedenen Möglichkeiten, n der n+k Spalten der Matrizen auszuwählen.

Ein Beweis findet sich z.B. in G. Fischer: Lineare Algebra, Kapitel 3.3. Man kann sich auf Matrizen A, B ∈ M(n × l, K) mit l ≥ n beschränken, da sich zeigen läßt, daß für A, B ∈ M(n × l, K) mit l < n stets det(A · B^{t}) = 0 gilt. Aus Satz 15.8 folgt insbesondere det(A · A^{t}) = ∑_{1≤m_{1}<m_{2}<···<m_{n}≤n+k}(det A^{m_{1}m_{2}...m_{n}})^{2} (Gramsche

Determinante), d.h. für reellwertige Matrizen ist det(A · A^{t}) ≥ 0.

Teil V

Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit

Wir hatten im Abschnitt über Matrizen (Satz 10.7) gesehen, daß zu jeder linearen Abbildung F : V → W angepaßte Basen A von V und B von W existieren, so daß

die darstellende Matrix die Form M_{B}^{A}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) hat. Natürlich können

wir W = V wählen und dann entsprechende Basen A, B von V finden. Die Frage ist: Gibt es zu einem Endomorphismus F : V → V auch eine Basis B von V,

so daß für die darstellende Matrix gilt: M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )? Die Antwort ist:

Nein!

16 Definitionen und Eigenschaften

Es geht nun darum, zu gegebenem Endomorphismus die Basis so sinnvoll wie möglich zu wählen.

Definition 16.1 Sei F : V → V Endomorphismus eines Vektorraums V über K. Ein Skalar λ ∈ K heißt Eigenwert von F, wenn es einen Vektor v ≠ 0 von V gibt, so daß F (v) = λ · v. Jeder Vektor v ≠ 0 von V mit F (v) = λ · v heißt Eigenvektor von F zum Eigenwert λ.

Zu beachten ist, daß es zu einem Eigenwert λ mehrere Eigenvektoren geben kann.

Definition 16.2 Ein Endomorphismus F ∈ End(V) heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis von V aus Eigenvektoren von F gibt.

In diesem Fall gilt:

Satz 16.3 Ist dim(V) = n, so ist F ∈ End(V) genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V gibt, so daß M_{B}^{B}(F) =

( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ).

Beweis. Für die darstellende Matrix M_{B}^{B}(F) = (a_{ij}) gilt F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · v_{i}. Damit sind die v_{i} die Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ_{i}. □

Das ist die optimalste Situation für eine Basis zu gegebenem Endomorphismus. Jedoch ist nicht klar, daß jeder Endomorphismus auch diagonalisierbar ist. Zunächst untersuchen wir, ob die Eigenvektoren linear unabhängig sind:

Satz 16.4 Sei F ∈ End(V) ein Endomorphismus und seien v_{1}, …, v_{m} Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{m} von V. Dann sind die (v_{1}, …, v_{m}) linear unabhängig.

Beweis. Wir beweisen den Satz durch Induktion nach der Anzahl m linear unabhängiger Eigenvektoren. Für m = 1 ist nichts zu zeigen. Angenommen, v_{2}, …, v_{m} seien linear unabhängig. Wir betrachten

μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{m}v_{m} = 0

Anwenden von F einerseits und Subtraktion des λ_{1}-fachen dieser Gleichung ergibt

0 = μ_{1}(λ_{1} − λ_{1})v_{1} + μ_{2}(λ_{2} − λ_{1})v_{2} + ⋯ + μ_{m}(λ_{m} − λ_{1})v_{2} .

Da λ_{1} ≠ λ_{i} für 2 ≤ i ≤ m und (v_{2}, …, v_{m}) linear unabhängig, folgt μ_{j} = 0 für alle 1 ≤ j ≤ m. Damit ist (v_{1}, …, v_{m}) linear unabhängig. □

Als direkte Konsequenz ergibt sich:

Satz 16.5 Seien λ_{1}, …, λ_{m} paarweise verschiedene Eigenwerte eines Endomorphismus F ∈ End(V) und sei dim(V) = n. Dann gilt:

i) m ≤ n

ii) Ist m = n, dann ist F diagonalisierbar.

Beweis. i) Für m > n wären nach dem vorigen Satz mehr als n Vektoren aus V, nämlich Eigenvektoren zu λ_{1}, …, λ_{m}, linear unabhängig. Das ist durch die Dimension ausgeschlossen.

ii) Ist dim(V) = n, dann bilden n linear unabhängige Vektoren eine Basis. Damit ist (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis aus Eigenvektoren, und F ist diagonalisierbar. □

Es gibt natürlich Endomorphismen mit weniger als dim(V) paarweise verschiedenen Eigenwerten, die trotzdem diagonalisierbar sind. Ein Beispiel ist id_{V} ∈ End(V). Es gibt nur einen Eigenwert λ = 1, aber jede Basis von V diagonalisiert id_{V}. Die Untersuchung der Eigenräume zu gegebenem Eigenwert ist also entscheidend:

Definition 16.6 Ist F ∈ End(V) und ist λ ∈ K Eigenwert von F, dann heißt

Eig(F; λ) := {v ∈ V : F (v) = λ · v}

der Eigenraum von F zum Eigenwert λ.

Zu beachten ist, daß der Nullvektor im Eigenraum liegt, 0 ∈ Eig(F; λ), obwohl er kein Eigenvektor ist. Der Grund ist i) im folgenden Satz:

Satz 16.7 Sei Eig(F; λ) der Eigenraum von F ∈ End(V) zum Eigenwert λ. Dann gilt:

i) Eig(F; λ) ⊂ V ist Untervektorraum

ii) λ ist Eigenwert von F ⇔ Eig(F; λ) ≠ {0} ⇔ dim(Eig(F; λ)) > 0

iii) Eig(F; λ) \ {0} ist die Menge der Eigenvektoren von F zum Eigenwert λ

iv) Eig(F; λ) = ker(F − λ · id_{V})

v) Ist λ_{1} ≠ λ_{2}, so folgt Eig(F; λ_{1}) ∩ Eig(F; λ_{2}) = {0}

Beweis. i) Sind v_{1}, v_{2} ∈ Eig(F; λ) und μ_{1}, μ_{2} ∈ K, so folgt

F (μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2}) = μ_{1}F (v_{1}) + μ_{2}F (v_{2}) = μ_{1}(λv_{1}) + μ_{2}(λv_{2}) = λ(μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2})

und damit μ_{1}v_{1} + μ_{2}v_{2} ∈ Eig(F; λ).

ii) Es gibt ein v ≠ 0 mit F (v) = λv. Dann ist v ∈ Eig(F; λ) ≠ {0}.

iii) ist klar

iv) Sei v ∈ Eig(F; λ). Dann gilt:

(F − λ · id_{V})(v) = λv − λv = 0 ,

also v ∈ ker(F − λ · id_{V}). Ebenso folgt die Umkehrung.

v) Ist λ_{1} ≠ λ_{2} und v ∈ Eig(F; λ_{1}), so ist

(F − λ_{2} · id_{V})(v) = (λ_{1} − λ_{2})v .

Damit ist v ∈ ker(F − λ_{2} · id_{V}) genau dann, wenn v = 0. □

17 Das charakteristische Polynom

Es geht nun um ein Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren eines Endomorphismus, wobei die Determinante eine entscheidende Rolle spielt.

Satz 17.1 Sei F ∈ End(F) Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums V. Ein Skalar λ ∈ K ist genau dann Eigenwert von F, wenn

det(F − λ · id_{V}) = 0 .

Beweis. Nach Satz 16.7.ii) und Satz 16.7.iv) ist λ genau dann Eigenwert von F, wenn dim(ker(F − λ · id_{V})) > 0. Das ist gleichbedeutend mit

dim(im(F − λ · id_{V})) = rang(F − λ · id_{V}) < dim(V) .

Nach der Determinanteneigenschaft (D10) ist diese Eigenschaft äquivalent zu det(F − λ · id_{V}) = 0. □

Die Determinante eines Endomorphismus F ∈ End(V) berechnet sich als die Determinante der darstellenden Matrix M_{A}^{A}(F) = A = (a_{ij}) ∈ M(n, K) bezüglich einer beliebigen Basis A = (w_{1}, …, w_{n}) von V. Es gilt

M_{A}^{A}(F − t · id_{V}) = A − t · E_{n} ,

denn M_{A}^{A} ist eine lineare Abbildung (Satz 10.3) und M_{A}^{A}(id_{V}) = E_{n} unabhängig von der Wahl der Basis. Damit ist die Suche nach Eigenwerten von F ∈ End(V) zurückgeführt auf die Bestimmung der Nullstellen der Abbildung

P_{A} : K → K : P_{A} : t ↦ det(A − t · E_{n}) .

Nach der Formel von Leibniz gilt

det(A − t · E_{n}) = (a_{11} − t)(a_{22} − t) ⋯ (a_{nn} − t) + Q ,

wobei in Q aus Summen und Differenzen von Produkten der Matrixelemente besteht, in denen mindestens zwei Nichtdiagonalelemente a_{ij} mit i ≠ j auftreten (welche kein t beinhalten): Wenn in einem solchen Produkt a_{ij} auftritt, dann berechnen sich nach dem Entwicklungssatz von Laplace die weiteren Faktoren zu (−1)^{i+j} det A_{ij}, aber A_{ij} enthält nicht die Diagonalelemente a_{ii} − t und a_{jj} − t. Ausmultiplikation der Produkte und Ordnen nach Potenzen von t ergibt:

det(A − t · E_{n}) = ∑_{k=0}^{n} α_{k}t^{k} ,
α_{n} = (−1)^{n} , α_{n−1} = (−1)^{n−1}(a_{11} + ⋯ + a_{nn}) , …, α_{0} = det A .

Dabei heißt im zweithöchsten Term tr(A) := a_{11} + ⋯ + a_{nn} die Spur der Matrix A ∈ M(n, K). Der niedrigste Term ist unabhängig von t und stimmt damit mit der Rechnung für t = 0 überein, was gerade die Determinante von A ergibt. Die anderen Koeffizienten α_{1}, …, α_{n−2} sind schwieriger zu charakterisieren. Insgesamt entsteht mit

∑_{k=0}^{n} α_{k}t^{k} , α_{k} ∈ K

ein Polynom in t mit Koeffizienten im Körper K vom Grad n. In Verallgemeinerung von Abschnitt 9 aus dem letzten Semester bezeichnen wir mit K[t] den Vektorraum der Polynome in t mit Koeffizienten aus K.

Definition 17.2 Das spezielle Polynom P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) ∈ K[t] heißt das charakteristische Polynom der Matrix A ∈ M(n, K).

Sinnvollerweise heißt ein λ ∈ K Nullstelle eines Polynoms f ∈ K[t], wenn f(λ) = 0. In Verbindung mit Satz 17.1 gilt:

Satz 17.3 Sei F ∈ End(V) Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums. Dann sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(F − t · id_{V}) ∈ K[t] die Eigenwerte von F. □

Wir erinnern an einige Eigenschaften, die wir für K = ℂ im letzten Semester bewiesen haben, deren Beweis sich aber auf beliebige Körper überträgt. Aus der Eindeutigkeit der Division mit Rest ergab sich:

Satz 17.4 Ist λ ∈ K eine Nullstelle von f ∈ K[t], so gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom g ∈ K[t] mit

i) f = (t − λ) · g

ii) deg(g) = deg(f) − 1

Der Grad deg eines Polynoms f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}t^{i} ∈ K[t] war der höchste Exponent deg(f) = max(i : a_{i} ≠ 0), mit deg(f) = −∞ für f = 0. Ist λ ∈ K Nullstelle von f ∈ K[t] und sei g ∈ K[t] durch f = (t − λ) · g definiert, dann kann das gleiche λ auch Nullstelle von g sein. Wir sagen, daß λ eine vielfache Nullstelle ist:

Definition 17.5 Ist f ∈ K[t] verschieden vom Nullpolynom und λ ∈ K, so heißt

μ(f; λ) := max{r ∈ ℕ : f = (t − λ)^{r} · g für g ∈ K[t]}

die Vielfachkeit der Nullstelle λ.

Ist f = (t − λ)^{r} · g und r = μ(f; λ), so ist g(λ) ≠ 0. Durch wiederholtes Abdividieren der Nullstellen läßt sich jedes Polynom f ∈ K[t] darstellen als

f = (t−λ_{1})^{r_{1}}(t−λ_{2})^{r_{2}} ⋯ (t−λ_{k})^{r_{k}} ·g , deg(g) = deg(f)−r_{1}−r_{2}−⋯−r_{k} ≥ 0 ,

wobei g ein Polynom ohne Nullstellen ist. Insbesondere besitzt jedes Polynom n-ten Grades höchstens n mit Vielfachheit gezählte Nullstellen (damit auch höchstens n paarweise verschiedene Nullstellen). Ist deg(g) = 0, dann sagen wir, daß f in Linearfaktoren zerfällt. Von größter Bedeutung ist

Theorem 17.6 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom f ∈ ℂ[t] zerfällt in Linearfaktoren, d.h. es gibt a ∈ ℂ und (nicht notwendig verschiedene) λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ mit n = deg(f), so daß

f(t) = a(t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{n}) .

Im reellen Fall K = ℝ zerfällt ein Polynom im allgemeinen nicht in Linearfaktoren. Das einfachste Beispiel ist f(t) = t^{2} + 1, welches keine reelle Nullstelle besitzt. Man kann aber ℝ ⊂ ℂ ausnutzen und somit für jedes reelle Polynom f ∈ ℝ[t] mit deg(f) = n genau n komplexe Nullstellen λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ (gezählt mit Vielfachheit) finden. Es gibt zwei Möglichkeiten: Ist λ_{i} ∈ ℝ ⊂ ℂ, dann ist λ_{i} auch eine Nullstelle von f ∈ ℝ[t]. Ist λ_{i} ∉ ℝ, dann ist auch λ̄_{i} eine komplexe Nullstelle, was durch komplexe Konjugation folgt:

f(t) = ∑_{i=0}^{n} α_{i}t^{i} mit α_{i} ∈ ℝ und f(λ) = 0 für λ ∉ ℝ

⇒ f̄(t̄) = ∑_{i=0}^{n} α_{i}t̄^{i} = f(t̄)  hat Nullstelle t̄= λ, also t = λ̄ Nullstelle von f .

Außerdem ist die Vielfachheit der komplexen Nullstellen λ, λ̄ gleich, d.h.

μ(f; λ) = μ(f, λ̄) ∀ f ∈ ℝ[t] .

Angenommen, wir hätten f(t) = (t − λ)^{r}(t − λ̄)^{r′}g(t) mit r ≠ r′ und λ, λ̄ sind keine Nullstellen von g ∈ ℂ[t]. Dann sind λ, λ̄ auch keine Nullstellen von ḡ ∈ ℂ[t], und es gilt

\overline{f(t)} = f(t̄) = (t̄− λ̄)^{r}(t̄− λ)^{r′} \overline{g(t)} .

Durch Austausch der formalen Variable t ↦ t̄ folgt, daß nun μ(f; λ̄) = r und μ(f; λ) = r′, also r = r′. Aus

(t − λ)(t − λ̄) = t^{2} − 2Re(λ)t + |λ|^{2} ∈ ℝ[t]

folgt nun, daß für jedes reelle Polynom f ∈ ℝ[t] gilt:

f = a(t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{n−2r}) · g_{1} ⋯ g_{r} ,  g_{j} = (t − α_{j})^{2} + β_{j}^{2} > 0 ,
a, λ_{i}, α_{j}, β_{j} ∈ ℝ , β_{j} ≠ 0 , r, n − 2r ≥ 0 .

Die analytische Berechnung (zunächst komplexer Nullstellen) ist im allgemeinen nur für Polynome vom Grad ≤ 4 möglich. Für Polynome mit höherem Grad ist man auf numerische Näherungsverfahren angewiesen. Der Fundamentalsatz der Algebra und für reelle Polynome zusätzlich die Gleichheit der Vielfachheit komplexer Nullstellen ist dann eine wichtige Kontrolle, ob man wirklich alle Nullstellen numerisch gefunden hat!

18 Diagonalisierbarkeit

Wir kommen nun zurück auf Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit.

Satz 18.1 Sei F ∈ End(V) und A = M_{A}^{A}(F) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis A = (w_{1}, …, w_{n}) von V. Dann gilt

Eig(F; λ) = Φ_{A}(Lös(A − λ · E_{n}, 0)) .

Dabei ist

Φ_{A} : K^{n} → V , Φ_{A}(e_{i}) = w_{i} ,

der Isomorphismus, der die Standardbasis des K^{n} in die Basis A überführt, und

Lös(A − λ · E_{n}, 0) = {x ∈ K^{n} : (A − λ · E_{n})x = 0} .

Beweis. Sei v ∈ Eig(F; λ), dann ist

F (v) = λv ⇔ Φ_{A}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} ∘ Φ_{A}^{−1}(v) = λΦ_{A}^{−1}(v) .

Wir setzen x = Φ_{A}^{−1}(v) ∈ K^{n}. Mit A = M_{A}^{A}(F) := Φ_{A}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{A} ∈ M(n, K) folgt

v ∈ Eig(F; λ) ⇔ A · x = λ · x ⇔ (A − λ · E_{n})x = 0  □

Damit haben wir ein Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten und zugehörigen Eigenräumen von F ∈ End(V) gefunden:

1. Wähle eine beliebige Basis A = (w_{1}, …, w_{n}) von V. Bestimme die darstellende Matrix A = (a_{ij}) durch Zerlegen der n Vektoren F (v_{j}) nach der Basis A,

F (w_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} · w_{i} .

2. Berechne das charakteristische Polynom P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) ∈ K[t] und bestimme seine Nullstellen λ_{1}, …, λ_{m} ∈ K (paarweise verschieden) und ihre Vielfachheit r_{i} := μ(P_{A}; λ_{i}) aus der Darstellung

P_{A}(t) = (t − λ_{1})^{r_{1}} ⋯ (t − λ_{m})^{r_{m}} · g(t) ,

wobei g ∈ K[t] keine Nullstelle in K besitzt. Die λ_{1}, …, λ_{m} sind dann genau die Eigenwerte von F. Für K = ℂ gilt n = r_{1} + ⋯ + r_{m}.

3. Löse zu jeder Nullstelle λ_{i} des charakteristischen Polynoms das lineare Gleichungssystem (A − λ_{i} · E_{n})x^{(i)} = 0. Der Lösungsraum ist ein s_{i}-dimensionaler Untervektorraum von K^{n}. Ist x^{(i)} = ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{(i)}e_{j} ∈ Lös(A − λ_{i} · E_{n}, 0), dann ist v^{(i)} = Φ_{A}(x^{(i)}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{(i)}v_{j} ∈ Eig(F; λ_{i}) mit dim(Eig(F; λ_{i})) = s_{i}.

Beispiel 18.2 Es sei F : ℝ^{3} → ℝ^{3} in der Standardbasis gegeben durch F (x) =

A · x mit A = ( \begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & −2 & 1 \end{matrix} ). Schritt 1 entfällt.

Schritt 2. Es gilt

det(A − tE_{n}) = det ( \begin{matrix}2 − t & 2 & 3 \\ 1 & 2 − t & 1 \\ 2 & −2 & 1 − t \end{matrix} )

= (2 − t) · det ( \begin{matrix}2 − t & 1 \\ −2 & 1 − t \end{matrix} ) − 2 · det ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 1 − t \end{matrix} ) + 3 · det ( \begin{matrix}1 & 2 − t \\ 2 & −2 \end{matrix} )

= (2 − t) · (t^{2} − 3t + 4) + 2(t + 1) + 3(2t − 6) = −t^{3} + 5t^{2} − 2t − 8 = −(t + 1)(t^{2} − 6t + 8) = −(t + 1)(t − 4)(t − 2) .

Damit hat F die Eigenwerte λ_{1} = −1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 4. Insbesondere ist F diagonalisierbar.

Schritt 3. Die Eigenräume bestimmen sich (dank der Standardbasis) zu Eig(F; λ_{i}) = ker(A − λ_{i} · E_{3}), sie werden also als Lösung eines homogenen LGS erhalten. Wir bestimmen Eig(F; −1) = {v_{1} ∈ ℝ^{3} : (A − (−1)E_{3})v_{1} = 0} durch Zeilenumformungen zu

( \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & −2 & 2 \end{matrix} ) ⟼^{IV_{12}(− \frac{1}{3} ), IV_{13}(− \frac{2}{3} )} ( \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 0 & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & −\frac{10}{3} & 0 \end{matrix} ) ⟼^{IV_{23}( \frac{10}{7} ), III_{2}( \frac{3}{7} )} ( \begin{matrix}3 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

⟼^{IV_{21}(−2), III_{1}( \frac{1}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  ⇒ v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) t_{1} ,  t_{1} ∈ ℝ .

Analog findet man v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ −2 \end{matrix} ) t_{2} und v_{3} = ( \begin{matrix}8 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} ) t_{3}. Sämtliche Eigenräume

sind eindimensional.

Für t_{i} ≠ 0 bildet B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basis von ℝ^{3}. Aufgefaßt als Matrix vermittelt S = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∈ GL(3, ℝ) die Transformation von der Standardbasis A = E in die Eigenbasis B von F, d.h. es gilt Φ_{B}(x) = S · x in den Bezeichnungen von Satz 10.2. Nach Satz 13.1 (bzw. dem kommuativen Diagramm davor) gilt M_{B}^{B}(F) = Φ_{B}^{−1} ∘ F ∘ Φ_{B} = S^{−1} · A · S. Für t_{1} = t_{2} = t_{3} = 1 ist

S = ( \begin{matrix}1 & 2 & 8 \\ 0 & 3 & 5 \\ −1 & −2 & 2 \end{matrix} ) ⇒ S^{−1} = \frac{1}{30} ( \begin{matrix}16 & −20 & −14 \\ −5 & 10 & −5 \\ 3 & 0 & 3 \end{matrix} )

und

S^{−1} · A · S = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} )

◁

Sei F ∈ End(V) mit dim(V) = n und A = M_{A}^{A}(F) ∈ M(n, K) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis A von V. Wir wissen:

i) Ist F diagonalisierbar, dann ist P_{A}(t) = (−1)^{n}(t − λ_{1})^{r_{1}} ⋯ (t − λ_{m})^{r_{m}}, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren (wähle eine Basis aus Eigenvektoren).

ii) Ist P_{A}(t) = (−1)^{n}(t − λ_{1}) ⋯ (t − λ_{n}) und alle λ_{i} sind paarweise verschieden, dann ist F diagonalisierbar.

Es verbleibt also zu untersuchen, wann F diagonalisierbar ist im Falle von Vielfachheiten der Eigenwerte.

Satz 18.3 Sei F ∈ End(V) und A seine darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis von V. Ist λ ein Eigenwert von F, dann gilt

1 ≤ dim(Eig(F; λ)) ≤ μ(P_{A}; λ) .

Beweis. Sei (v_{1}, …, v_{s}) eine Basis von Eig(F; λ). Dann ist s ≥ 1, da λ Eigenwert. Wir ergänzen (v_{1}, …, v_{s}) zu einer Basis A = (v_{1}, …, v_{s}, v_{s+1}, …, v_{n}) von V. Für die darstellende Matrix A = M_{A}^{A}(F) = (a_{ij}) gilt

A = ( \begin{matrix}λ & & 0 \\ & ... & & B \\ 0 & & λ \\ & 0 & & C \end{matrix} ) ,

wobei oben links der Block λE_{s} steht. Dann gilt für das charakteristische Polynom

P_{A}(t) := det(A − tE_{n}) = (−1)^{s}(t − λ)^{s} det(C − tE_{n−s}) .

Folglich ist s ≤ μ(P_{A}; λ). □

Der Fall dim(Eig(F; λ)) = μ(P_{A}; λ) ist von besonderem Interesse:

Satz 18.4 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, F ∈ End(V) und A = M_{A}^{A}(F) ∈ M(n, K) die darstellende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis A von V. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

i) F ist diagonalisierbar.

ii) Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren und es gilt dim(Eig(F; λ)) = μ(P_{A}; λ) für jeden Eigenwert λ von F.

iii) Sind λ_{1}, …, λ_{k} die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F, dann gilt V = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k}).

Bemerkung: ii) liefert damit das entscheidende Kriterium für Diagonalisierbarkeit: Das charakteristische Polynom muß in Linearfaktoren zerfallen und die Dimensionen der Eigenräume müssen gleich den Vielfachheiten der Nullstellen sein.

Beweis. i)⇒ii) Ist F diagonalisierbar, so ordnen wir die zugehörige Basis aus Eigenvektoren wie folgt:

B = (v_{1}^{(1)}, …, v_{s_{1}}^{(1)}, v_{1}^{(2)}, …, v_{s_{2}}^{(2)}, …, v_{1}^{(k)}, …, v_{s_{k}}^{(k)}) .

Dabei ist (v_{1}^{(i)}, …, v_{s_{i}}^{(i)}) eine Basis von Eig(F; λ_{i}), und insbesondere gilt F (v_{j}^{(i)}) = λ_{i}v_{j}^{(i)} für 1 ≤ j ≤ s_{i}. In dieser Basis gilt für das charakteristische Polynom

P_{F} (t) = (λ_{1} − t)^{s_{1}}(λ_{2} − t)^{s_{2}} ⋯ (λ_{k} − t)^{s_{k}} ,

welches somit die Eigenschaften ii) besitzt.

ii)⇒iii) Durch W = Eig(F; λ_{i}) + ⋯ + Eig(F; λ_{k}) werde ein Untervektorraum von V definiert. Da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, gilt W = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k}). Dann folgt dim(W) = s_{1} + ⋯ + s_{k} = n und somit W = V.

iii)⇒i) Sei B_{i} = (v_{1}^{(i)}, …, v_{s_{i}}^{(i)}) eine Basis von Eig(F; λ_{i}). Dann ist

B = (v_{1}^{(1)}, …, v_{s_{1}}^{(1)}, v_{1}^{(2)}, …, v_{s_{2}}^{(2)}, …, v_{1}^{(k)}, …, v_{s_{k}}^{(k)})

eine Basis von V. Wegen F (v_{j}^{(i)}) = λ_{i}v_{j}^{(i)} für 1 ≤ j ≤ s_{i} ist B eine Basis aus Eigenvektoren von F, d.h. F ist diagonalisierbar. □

Wir sehen uns ein Beispiel zur Diagonalisierung an:

Beispiel 18.5 Es sei F ∈ End(ℝ^{3}) gegeben durch

F (x, y, z) := (y − z, 3x + 2y − 3z, 2x + 2y − 3z) .

1. Schritt: Bestimmung der darstellenden Matrix bezüglich einer Basis. Die Vektoren v = (x, y, z) und w = (y − z, 3x + 2y − 3z, 2x + 2y − 3z) sind bereits in der Standardbasis A = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) des ℝ^{3} dargestellt. Daraus lesen wir

F (e_{1}) = 3e_{2} + 2e_{3} ,  F (e_{2}) = e_{1} + 2e_{2} + 2e_{3} ,  F (e_{3}) = −e_{1} − 3e_{2} − 3e_{3}

ab. Dann ist die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis A = (a_{ij}) = M_{A}^{A}(F) gegeben durch F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{3} a_{ij} · e_{i}. Wir lesen ab:

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 3 & 2 & −3 \\ 2 & 2 & −3 \end{matrix} ) .

(Die Bilder der Basisvektoren ergeben die Spalten von A.)

2. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms. Zu berechnen ist det(A− t · E_{3}), z.B. durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix:

det(A − t · E_{3}) = det ( \begin{matrix}−t & 1 & −1 \\ 3 & 2 − t & −3 \\ 2 & 2 & −3 − t \end{matrix} ) =^{P_{13}} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 3 & 2 − t & −3 \\ −t & 1 & −1 \end{matrix} )

=^{Q_{12}(− \frac{3}{2} )·Q_{13}( \frac{t}{2} )} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 0 & −1 − t & \frac{3}{2} + \frac{3}{2}t \\ 0 & 1 + t & −1 − \frac{3}{2}t − \frac{1}{2}t^{2} \end{matrix} )

=^{Q_{23}(1)} − det ( \begin{matrix}2 & 2 & −3 − t \\ 0 & −1 − t & \frac{3}{2} + \frac{3}{2}t \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} − \frac{1}{2}t^{2} \end{matrix} ) = −2(−1 − t)(\frac{1}{2} − \frac{1}{2}t^{2}) = (1 + t)(1 − t^{2})

= −(t − 1)(t − (−1))^{2} .

Damit zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren. Seine Nullstellen sind λ_{1} = 1 mit Vielfachheit μ(P_{A}, 1) = 1 und λ_{2} = −1 mit Vielfachheit μ(P_{A}, −1) = 2.

3. Schritt: Bestimmen der Eigenräume. Zum Eigenwert λ_{1} = 1 lösen wir das lineare Gleichungssystem (A−λ_{1} ·E_{3})x = 0 durch elementare Zeilenumformungen:

( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ 3 & 1 & −3 \\ 2 & 2 & −4 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(3) Q_{13}(2)} ( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ 0 & 4 & −6 \\ 0 & 4 & −6 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{23}(−1)} ( \begin{matrix}−1 & 1 & −1 \\ 0 & 4 & −6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

⟶^{Q_{12}(− \frac{1}{4} )} ( \begin{matrix}−1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 4 & −6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{S_{1}(−1) S_{2}( \frac{1}{4} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & −\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Damit gilt dim(Eig(F; 1)) = 1, genauer

Eig(F; 1) = ℝv_{1}^{(1)} , v_{1}^{(1)} = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) .

Zur Bestimmung des Eigenraums Eig(F; −1) ist das LGS (A+E_{3})x = 0 zu lösen:

( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 3 & 3 & −3 \\ 2 & 2 & −2 \end{matrix} ) ⟶^{Q_{12}(−3) Q_{13}(−2)} ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Damit gilt dim(Eig(F; 1)) = 2, und die Lösungsvektoren sind

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−w_{1} + w_{2} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix} ) .

Damit finden wir die beiden Basisvektoren

v_{1}^{(2)} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{2}^{(2)} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) .

Also sind die Dimensionen der Eigenräume gleich der Vielfachheit der Nullstellen, und F ist diagonalisierbar. Eine Basis von V, welche F diagonalisiert, ist also

B = ( ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ) , ⇒ S = ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

In dieser Basis gilt also

Λ := M_{B}^{B}(F) = S^{−1} · A · S = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

◁

Über die Diagonalisierung lassen sich Polynome und sogar geeignete Potenzreihen von Matrizen bequem ausrechnen. Es sei A = S · Λ · S^{−1} ∈ M(n, K) diagonalisierbar, wobei Λ = (λ_{ij}) mit λ_{ij} = δ_{ij}λ_{i} ∈ M(n, K) die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix ist und S ∈ GL(n, K) die Transformation in die Eigenbasis vermittelt, d.h. die i-te Spalte von S ist Eigenvektor zu λ_{i}. Dann gilt A^{k} = S · Λ^{k} · S^{−1} mit Λ^{k} = (λ′_{ij}) und λ_{ij′} = λ_{i}^{k}δ_{ij}. Insbesondere ist A^{0} = E_{n} zu setzen. In der Lösungstheorie für Differentialgleichungen besonders wichtig ist exp(A) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}A^{k}. Diese Matrix-Exponentialreihe konvergiert für beliebige A ∈ M(n, K). Für diagonalisierbare Matrizen läßt sie sich ausrechnen zu exp(A) = S · exp(Λ) · S^{−1}.

Beispiel 18.6 Es sei A = ( \begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & −2 & 1 \end{matrix} ) aus Beispiel 18.2. Dann ist

exp(A) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 8 \\ 0 & 3 & 5 \\ −1 & −2 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}e^{−1} & 0 & 0 \\ 0 & e^{2} & 0 \\ 0 & 0 & e^{4} \end{matrix} ) \frac{1}{30} ( \begin{matrix}16 & −20 & −14 \\ −5 & 10 & −5 \\ 3 & 0 & 3 \end{matrix} )

= \frac{1}{30} ( \begin{matrix}16e^{−1} − 10e^{2} + 24e^{4} & −20e^{−1} + 20e^{2} & −14e^{−1} − 10e^{2} + 24e^{4} \\ −15e^{2} + 15e^{4} & 30e^{2} & −15e^{2} + 15e^{4} \\ −16e^{−1} + 10e^{2} + 6e^{4} & 20e^{−1} − 20e^{2} & 14e^{−1} + 10e^{2} + 6e^{4} \end{matrix} ) . ◁

In Beispiel 18.5 ist Λ^{2} = E_{3} und damit auch A^{2} = (SΛS^{−1}) · (SΛS^{−1}) = E_{3} oder

(A − λ_{1}E_{3})(A − λ_{2}E_{3}) = 0 .

Ganz allgemein gilt, wenn man im charakteristischen Polynom P_{A}(t) die formale Variable t durch A ersetzt, der

Satz 18.7 (Cayley-Hamilton) Es sei F ∈ End(V) Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums und P_{F} ∈ K[t] das charakteristische Polyniom. Dann gilt P_{F} (F) = 0 ∈ End(V). Ausgedrückt durch Matrizen: Für beliebige A ∈ M(n, K) mit charakteristischem Polynom P_{A} ∈ K[t] gilt P_{A}(A) = 0.

Der Beweis findet sich z.B. in G. Fischer, Lineare Algebra, §4.5. □

In Beispiel 18.5 hatten wir P_{A}(t) = (t − 1)(t + 1)^{2} und damit (A − E_{3})(A + E_{3})^{2} = 0. Tatsächlich gilt bereits (A−E_{3})(A+E_{3}) = 0 für ein Polynom kleineren Grades. Allgemein läßt sich zu F ∈ End(V) ein eindeutiges Minimalpolynom M_{F} [t] finden mit M_{F} (F) = 0 bzw. M_{A}(A) = 0. Das Minimalpolynom ist stets Teiler des charakteristischen Polynoms und ein wichtiges Hilfsmittel in Beweisen.

Zum Abschluß der Betrachtungen zur Diagonalisierbarkeit untersuchen wir folgendes Problem: Gegeben seien zwei diagonalisierbare Endomorphismen F, G ∈ End(V). Unter welchen Bedingungen sind F, G simultan diagonalisierbar, d.h. es gibt eine Basis von V aus Eigenvektoren von F und G gleichzeitig?

Satz 18.8 Zwei diagonalisierbare Endomorphismen F, G ∈ End(V) sind genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie miteinander kommutieren, d.h. wenn F ∘ G = G ∘ F.

Beweis. (⇒) Sind F, G simultan diagonalisierbar, dann existiert eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V mit F (v_{i}) = λ_{i}v_{i} und G(v_{i}) = μ_{i}v_{i}. Dann gilt für einen beliebigen Vektor v = ∑_{i=1}^{n} κ_{i}v_{i} ∈ V

(F ∘ G)(v) = F (G(∑_{i=1}^{n} κ_{i}v_{i})) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}κ_{i}μ_{i}v_{i} = (G ∘ F)(v) .

(⇐) 1) Wir zerlegen den Vektorraum V in die Eigenräume:

V = Eig(F; λ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(F; λ_{k})
= Eig(G; μ_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ Eig(G; μ_{l}) .

Kommutieren F und G, dann gilt F (Eig(G; μ_{j})) ⊂ Eig(G; μ_{j}) für alle 1 ≤ j ≤ l, denn für w_{j} ∈ Eig(G; μ_{j}) folgt

G(F (w_{j})) = F (G(w_{j})) = F (μ_{j}w_{j}) = μ_{j}F (w_{j}) .

2) Sei nun W_{ij} := Eig(F; λ_{i}) ∩ Eig(G; μ_{j}). Dann ist W_{ij} ⊂ V ein Untervektorraum, und es gilt Eig(F; λ_{i}) = W_{i1} ⊕ ⋯ ⊕ W_{il}. Denn sei v_{i} ∈ Eig(F; λ_{i}), dann gibt es w_{1} ∈ Eig(G; μ_{1}), …, w_{l} ∈ Eig(G; μ_{l}) mit v_{i} = w_{1} + ⋯ + w_{l} (verwende Basis von V aus Eigenvektoren von G). Anwenden von F liefert

F (v_{i}) = F (w_{1}) + ⋯ + F (w_{l}) = λ_{i}v_{i} = λ_{i}w_{1} + ⋯ + λ_{i}w_{l} .

Nun ist F (w_{j}) ⊂ Eig(G; μ_{j}), und da Vektoren w_{j}, w′_{j} linear unabhängig sind für j ≠ j′, folgt F (w_{j}) = λ_{i}w_{j} für alle 1 ≤ j ≤ l. Damit ist w_{j} ⊂ Eig(F; λ_{i}), also Eig(F; λ_{i}) = W_{i1} + ⋯ + W_{il}, und aus der linearen Unabhängigkeit folgt die Behauptung.

3) Sei B_{ij} = (v_{1}^{(ij)}, … v_{s_{ij}}^{(ij)}) eine Basis von W_{ij}, dann ist

(B_{11}, …, B_{1l}, B_{21}, …, B_{2l}, …, B_{k1}, …, B_{kl})

eine Basis von V, in der F und G simultan diagonalisierbar sind, mit F (v_{r}^{(ij)}) = λ_{i}v_{r}^{(ij)} und mit G(v_{r}^{(ij)}) = μ_{j}v_{r}^{(ij)}. □

Simultane Diagonalisierbarkeit (in verallgemeinerter Form) ist wichtig in der Quantenmechanik, wo man in einem System zwei physikalische Größen nur dann gleichzeitig messen kann, wenn die entsprechenden Endomorphismen (des Hilbert-Raums) miteinander kommutieren. Im Wasserstoffatom sind das die Energie, der Gesamtdrehimpuls, eine Komponente des Drehimpulses (üblicherweise die z-Komponente) und der Spin. Entsprechend schreibt sich der Hilbert-Raum als direkte Summe von Eigenunterräumen der linearen Abbildungen, welche diesen physikalischen Größen entsprechen.

19 Trigonalisierung

Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus erfordert zwei Bedingungen: (1) Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.

(2) Die Vielfachheit der Nullstellen ist gleich der Dimension der Eigenräume. Wir werden nun sehen, daß für Endomorphismen, die nur (1) erfüllen, eine Basis exisitiert, so daß die darstellende Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist. Das genügt zur Lösung von Gleichungssystemen.

Definition 19.1 Sei F ∈ End(V). Ein Untervektorraum W ⊂ V heißt F -invariant, wenn F (W) ⊂ W.

Offenbar sind die Eigenräume Eig(F; λ) automatisch F -invariant. Für die Triagonalisierung sind invariante Unterräume interessant, die keine Eigenräume sind.

Satz 19.2 Sei W ⊂ V ein F -invarianter Unterraum und F |_{W} : W → W die Einschränkung von F auf W. Dann ist das charakteristische Polynom P_{F |_{W}} (t) ein Teiler von P_{F} (t).

Beweis. Sei dim(V) = n und dim(W) = r ≤ n. Wir ergänzen eine Basis B|_{W} von W zu einer Basis B = (B|_{W} , B′) von V. Sei A|_{W} := M_{B|_{W}}^{B|_{W}} (F |_{W}), dann gilt

A = M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}A|_{W} & ∗ \\ 0 & A′ \end{matrix} ) .

Damit ist P_{A}(t) = det(A − t · E_{n}) = P_{A|_{W}} (t) · det(A′ − t · E_{n−r}). □

Sei F ∈ End(K^{n}) in der Standardbasis durch eine obere Dreiecksmatrix A ∈ M(n, K), d.h. a_{ij} = 0 für i > j, dargestellt. Definieren wir W_{i} := span(e_{1}, …, e_{r}), dann gilt F (W_{r}) ⊂ W_{r}, d.h. alle W_{r} mit 1 ≤ r ≤ n sind F -invariant. Abstrakter formuliert:

Definition 19.3 Eine Fahne (V_{r}) in einem n-dimensionalen Vektorraum V ist eine Kette

{0} = V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ V_{2} ⋯ ⊂ V_{n} = V

von Untervektorräumen mit dim(V_{r}) = r. Ist F ∈ End(V), dann heißt die Fahne F -invariant, wenn F (V_{r}) ⊂ V_{r} für alle 0 ≤ r ≤ n.

Jede Basis von V definiert eine Fahne. Entscheidend ist, daß in einer F - invarianten Fahne gilt F (V_{1}) ⊂ V_{1} mit dim(V_{1}) = 1, so daß es einen Eigenvektor von F geben muß. Aus der Definition folgt direkt:

Satz 19.4 Für F ∈ End(V) sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) Es gibt eine F -invariante Fahne von V.

ii) Es gibt eine Basis B von V, so daß M_{B}^{B}(F) eine obere Dreiecksmatrix ist.

Ist das der Fall, dann heißt F trigonalisierbar.

Nun der entscheidende Satz:

Satz 19.5 Für F ∈ End(V) mit dim(V) = n sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) F ist trigonalisierbar.

ii) Das charakteristische Polynom von F zerfällt in Linearfaktoren, d.h.

P_{F} (t) = (−1)^{n}(t − λ_{1})(t − λ_{2}) ⋯ (t − λ_{n}) , λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K .

Insbesondere gilt: Jeder Endomorphismus eines endlich-dimensionalen komplexen Vektorraums ist trigonalisierbar.

Beweis. i)⇒ii) ist klar, denn ist die darstellende Matrix A von F bezüglich der Basis B aus Satz 19.4 eine obere Dreiecksmatrix, so gilt T_{F} (t) = P_{A}(t) = det(A− t · E_{n}) = (a_{11} − t) ⋯ (a_{nn} − t), d.h. λ_{i} = a_{ii}.

ii)⇒i) durch Induktion nach n = dim(V). Der Fall n = 1 ist klar. Sei also n ≥ 2, dann wählen wir einen Eigenvektor v_{1} zum Eigenwert (Nullstelle) λ_{1} und ergänzen v_{1} zu einer Basis B = (v_{1}, w_{1}, …, w_{n−1}) von V. Dann ist

V = V_{1} ⊕ W mit V_{1} := span(v_{1}) , W = span(w_{1}, …, w_{n−1}) .

Nun ist V_{1} ein F -invarianter Untervektorraum, W im allgemeinen aber nicht:

A = M_{B}^{B}(F) = ( \begin{matrix}λ_{1} & a_{1} & … & a_{n−1} \\ 0 \\ ⋮ & & B \\ 0 \end{matrix} ) .

76 Diese Darstellung definiert zwei lineare Abbildungen

Preliminary version – 14. Juli 2008

G : W → W ,  G(w_{j}) = ∑_{i=1}^{n−1} B_{ij} · w_{i} ,
H : W → V_{1} ,  H(w_{j}) = a_{j} · v_{1} .

Nun gilt für das charakteristische Polynom P_{A}(t) = −(t−λ_{1})P_{B}(t). Da P_{A}(t) nach Voraussetzung in Linearfaktoren zerfällt, zerfällt auch P_{B}(t) in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung ist die durch B definierte lineare Abbildung G ∈ End(W) trigonalisierbar. Es gibt also eine G-invariante Fahne {0} = W_{0} ⊂ W_{1} ⊂ ⋯ ⊂ W_{n−1} = W. Wir setzen V_{r} := V_{1}+W_{r−1} für 1 ≤ r ≤ n. Ist v = μv_{1}+w ∈ V_{r}, also w ∈ W_{r−1}, dann gilt

F (v) = μF (v_{1}) + F (w) = μλ_{1}v_{1} + G(w) + H(w) ∈ V_{1} + W_{r−1}

wegen H(w) ∈ V_{1} und G(w) ∈ W_{r−1}. Somit ist {0} = V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ ⋯ ⊂ V_{n} = V eine F -invariante Fahne, und F ist trigonalisierbar. □

Beispiel 19.6 Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Differentialgleichung

x^{..} (t) + 2μẋ(t) + ω^{2}x(t) = 0 , x(0) = x_{0} , ẋ(0) = v_{0}

beschrieben. Wir setzen y_{1}(t) = x(t), y_{2}(t) = ẋ(t), dann ergibt sich ein System von zwei gekoppelten linearen Differentialgleichungen erster Ordnung

ẏ = A · y mit y = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ) , A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −ω^{2} & −2μ \end{matrix} ) , y(0) = ( \begin{matrix}x_{0} \\ v_{0} \end{matrix} ) .

Da A unabhängig von t ist, ist die formale (und korrekte) Lösung gegeben durch

y(t) = exp(At) · y(0) mit exp(At) = E_{2} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{t^{n}}{n!} \underbrace{A ⋯ A}_{n} ,

jedoch lassen sich diese Produkte so nicht leicht berechnen. Der Ausweg besteht in der Trigonalisierung von A.

Zunächst hat P_{A}(t) = t^{2} + 2μt + ω^{2} die komplexen Nullstellen λ_{1,2} = −μ ± \sqrt{μ^{2} − ω^{2}}. Für μ = ω hat die Nullstelle λ = −μ die Vielfachheit 2, die uns näher interessieren wird. Für μ = ω bestimmen wir den Eigenraum zu λ = −ω:

(A + ω · E_{2}) · v = ( \begin{matrix}ω & 1 \\ −ω^{2} & −ω \end{matrix} ) ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} )

⇒ ( \begin{matrix}ω & 1 \\ −ω^{2} & −ω \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(ω)} ( \begin{matrix}ω & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )  ⇒ v = ( \begin{matrix}1 \\ −ω \end{matrix} ) · t .

Damit ist dim(Eig(A; −ω)) = 1, aber die Nullstelle hat Vielfachheit 2. Folglich ist A nicht diagonalisierbar.

Zur Trigonalisierung wählen wir die Basis B = (v, e_{2}), dann ist

A = \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 \\ −ω & 1 \end{matrix} )}_{S} ( \begin{matrix}−ω & 1 \\ 0 & −ω \end{matrix} ) \underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 \\ ω & 1 \end{matrix} )}_{S^{−1}} .

Somit gilt

A^{n} = S ( \begin{matrix}−ω & 1 \\ 0 & −ω \end{matrix} )^{n} S^{−1} = S ( \begin{matrix}(−ω)^{n} & nω^{n−1} \\ 0 & (−ω)^{n} \end{matrix} ) S^{−1}

⇒ exp(At) = S ( \begin{matrix}e^{−ωt} & te^{ωt} \\ 0 & e^{−ωt} \end{matrix} ) S^{−1}

und damit insbesondere

(S^{−1}y)(t) = ( \begin{matrix}e^{−ωt} & te^{ωt} \\ 0 & e^{−ωt} \end{matrix} ) S^{−1}y(0)

Unter Verwendung von S^{−1}y = ( \begin{matrix}x \\ ωx + ẋ \end{matrix} ) erhalten wir für die 2. Komponente

ωx + ẋ = e^{−ωt}(ωx_{0} + v_{0})
⇒  e^{−ωt} \frac{d}{dt}(e^{ωt}x) = e^{−ωt}(ωx_{0} + v_{0})
⇒  (e^{ωt}x) = const + t(ωx_{0} + v_{0}) , t = 0 ⇒ const = x_{0}
⇒  x(t) = e^{−ωt}(x_{0} + tωx_{0} + tv_{0}) .

Die Lösung beschreibt die Auslenkung x(t) im aperiodischen Grenzfall. ◁

Teil VI

Euklidische und unitäre Vektorräume

In reellen und komplexen Vektorräumen läßt sich als Zusatzstruktur ein Skalarprodukt einführen, welches dann insbesondere einen Abstand definiert. Damit lassen sich geometrische Größen wie Längen und Winkel berechnen, aber auch die Analysis vom ℝ^{1} auf den ℝ^{n} und sogar auf unendlich-dimensionale Vektorräume verallgemeinern. Letzteres ist Gegenstand der Funktionalanalysis. Im weiteren bezeichne 𝕂 den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.

20 Skalarprodukte

20.1 Definition und Beispiele. Cauchy-Schwarz

Definition 20.1 Es sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ und V ein Vektorraum über 𝕂. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung ⟨ . ⟩ : V × V → 𝕂 mit

(S1) ⟨ . ⟩ ist linear in der zweiten Variablen, d.h. ⟨w, λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}⟩ = λ_{1}⟨w, v_{1}⟩ + λ_{2}⟨w, v_{2}⟩ für alle v_{1}, v_{2}, w ∈ V und λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝕂.

(S2) Es gilt ⟨w, v⟩ = \overline{⟨v, w⟩} (komplexe Konjugation) für alle v, w ∈ V.

(S3) Es gilt ⟨v, v⟩ ≥ 0 für alle v ∈ V und ⟨v, v⟩ = 0 genau dann, wenn v = 0.

Ein reeller bzw. komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer bzw. unitärer Vektorraum oder (in der Funktionalanalysis) Prä-Hilbert-Raum.

Achtung: Wir verwenden hier die Konvention der Physik. In der mathematischen Literatur wird das Skalarprodukt als linear in der ersten Komponente definiert. In unserer Konvention folgt aus (S1) und (S2) für die erste Komponente

⟨λ_{1}w_{1}+λ_{2}w_{2}, v⟩ = \overline{⟨v, λ_{1}w_{1}+λ_{2}w_{2}⟩} = \overline{λ_{1}⟨v, w_{1}⟩ + λ_{2}⟨v, w_{2}⟩} = \overline{λ_{1}}⟨w_{1}, v⟩+\overline{λ_{2}}⟨w_{2}, v⟩.

In reellen Vektorräumen ist das Skalarprodukt also auch in der ersten Variablen linear. Außerdem vereinfacht sich (S2) in reellen Vektorräumen zur Symmetrie ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩. Es sei bemerkt, daß aus (S2) folgt ⟨v, v⟩ ∈ ℝ, so daß (S3) sinnvoll ist.

Beispiel 20.2 (Standardskalarprodukt in ℝ^{n}) Durch

⟨x, y⟩ := x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ⋯ + x_{n}y_{n} , für \begin{matrix}x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} , \\ y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℝ^{n} \end{matrix}

wird ein Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : ℝ^{n} ×ℝ^{n} → ℝ definiert. Dieses heißt das kanonische Skalarprodukt im ℝ^{n}. ◁ Beispiel 20.3 (Standardskalarprodukt in ℂ^{n}) Durch

⟨w, z⟩ := \overline{w_{1}}z_{1} + \overline{w_{2}}z_{2} + ⋯ + \overline{w_{n}}z_{n} , für \begin{matrix}w = (w_{1}, …, w_{n}) ∈ ℂ^{n} , \\ z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n} \end{matrix}

wird ein Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : ℂ^{n} ×ℂ^{n} → ℂ definiert. Dieses heißt das kanonische Skalarprodukt im ℂ^{n}. ◁

Beispiel 20.4 Es sei V = ℝ^{2}. Dann definiert

⟨( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} )⟩ = (2x_{1} + x_{2})y_{1} + (x_{1} + 2x_{2})y_{2} = (2y_{1} + y_{2})x_{1} + (y_{1} + 2y_{2})x_{2}

ein Skalarprodukt. (S3) folgt aus ⟨x, x⟩ = 2x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn x_{1} = x_{2} = 0. Dieses Skalarprodukt ist verschieden vom kanonischen. Tatsächlich gibt es unendlich viele verschiedene Skalarprodukte auf 𝕂^{n}. ◁

Beispiel 20.5 Es sei

ℓ^{2}(ℕ) := {f : ℕ → ℂ : ∑_{n=0}^{∞} |f(n)|^{2} < ∞} .

Dann definiert

⟨f, g⟩ := ∑_{n=0}^{∞} \overline{f(n)}g(n) , f, g ∈ ℓ^{2}(ℕ)

ein Skalarprodukt auf ℓ^{2}(ℕ). Dabei wird verwendet, daß wegen |\overline{f(n)}g(n)| = |f(n)| |g(n)| ≤ \frac{1}{2}(|f(n)|^{2} + |g(n)|^{2}) die unendliche Reihe existiert. ◁

Beispiel 20.6 Es sei V = C([a, b]) der Vektorraum der stetigen komplexwertigen Funktionen über dem Intervall [a, b] ⊂ ℝ. Dann definiert

⟨f, g⟩ := ∫_{a}^{b} dx \overline{f(x)}g(x)

ein Skalarprodukt auf V. Wegen der Stetigkeit von f folgt aus ∫_{a}^{b} dx |f(x)|^{2} = 0, daß f(x) = 0 für alle x ∈ [a, b]. ◁

Wir kommen nun zur wichtigsten Ungleichung für Skalarprodukte.

Satz 20.7 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Es sei V ein Vektorraum über 𝕂 mit Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : V × V → 𝕂. Dann gilt

|⟨w, v⟩|^{2} ≤ ⟨v, v⟩⟨w, w⟩ für alle v, w ∈ V

mit Gleichheit genau dann, wenn v und w linear abhängig sind.

Beweis. Sei w ≠ 0 (für w = 0 ist die Ungleichung offensichtlich erfüllt), somit ist ⟨w, w⟩ ≠ 0. Dann gilt für beliebiges λ ∈ ℂ

0 ≤ ⟨λw − v, λw − v⟩ = λ\overline{λ}⟨w, w⟩ − \overline{λ}⟨w, v⟩ − λ⟨v, w⟩ + ⟨v, v⟩

= ⟨w, w⟩|λ − \frac{⟨w, v⟩}{⟨w, w⟩}|^{2} + \frac{1}{⟨w, w⟩}(⟨w, w⟩⟨v, v⟩ − |⟨w, v⟩|^{2}) .

Für λ = \frac{⟨w,v⟩}{∥w∥^{2}} wird direkt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz erhalten. Gilt das Gleichheitszeichen, so ist ⟨w, v⟩ = e^{iα}\sqrt{⟨w, w⟩}\sqrt{⟨v, v⟩} für ein α ∈

[0, 2π]. Setzen wir λ = e^{iα}^{\begin{matrix}√ & \overline{⟨v,v⟩} \\ √ & \overline{⟨w,w⟩} \end{matrix}}, so folgt die Identität ⟨λw − v, λw − v⟩ = 0, also

v = λw. □

Der Beweis benutzt, daß ⟨w, w⟩ eine nichtnegative reelle Zahl ist, aus der eine eindeutige Quadratwurzel \sqrt{⟨w, w⟩} ∈ ℝ_{+} gezogen werden kann. Damit wird der Prototyp einer Norm erhalten.

20.2 Normierte Vektorräume

Definition 20.8 Es sei V ein Vektorraum über 𝕂. Eine Norm auf V ist eine Abbildung ∥ ∥ : V → ℝ_{+} mit

(N1) ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0 ,

(N2) ∥λv∥ = |λ| ∥v∥ für alle v ∈ V, λ ∈ ℂ,

(N3) ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ für alle v, w ∈ V (Dreiecksungleichung)

Ein Vektorraum mit Norm heißt normierter Vektorraum.

Satz 20.9 Jeder euklidische und unitäre Vektorraum ist auch ein normierter Vektorraum mit ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩}.

Beweis. (N1) und (N2) sind klar, (N3) folgt aus Cauchy-Schwarz:

∥v + w∥^{2} = ⟨v + w, v + w⟩ = ⟨v, v⟩ + 2Re(⟨v, w⟩) + ⟨w, w⟩
≤ ⟨v, v⟩ + 2|⟨v, w⟩| + ⟨w, w⟩
≤ ⟨v, v⟩ + 2\sqrt{⟨v, v⟩⟨w, w⟩} + ⟨w, w⟩ = (∥v∥ + ∥w∥)^{2} .  □

Damit liefern die Beispiele 20.2–20.6 auch Beispiele für normierte Vektorräume. Weitere Beispiele sind:

Beispiel 20.10 V = 𝕂^{n} ist mit ∥x∥_{1} := ∑_{i=1}^{n} |x_{i}| für x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} ein normierter Vektorraum (𝕂^{n}, ∥ ∥_{1}). (N1) und (N2) sind klar, (N3) folgt aus der Dreiecksungleichung in ℝ bzw. ℂ für jede Komponente.

Das kanonische Skalarprodukt auf 𝕂^{n} liefert die weitere Norm ∥x∥_{2} := \sqrt{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}}, die Standardnorm. Es läßt sich zeigen, daß ∥x∥_{p} := ( ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} für jedes 1 ≤ p < ∞ eine Norm auf 𝕂^{n} ist.

Schließlich ist auch ∥x∥_{∞} := max_{i=1,...,n} |x_{i}| eine Norm auf 𝕂^{n}. ◁

Beispiel 20.11 Es sei V = C([a, b]) der Vektorraum der stetigen komplexwertigen Funktionen über [a, b]. Folgende Abbildungen ∥ ∥_{p} : V → ℝ_{+} sind Normen (mit f ∈ V):

∥f∥_{1} := ∫_{a}^{b} dx |f(x)|

∥f∥_{2} := \sqrt{∫_{a}^{b} dx |f(x)|^{2}} = \sqrt{⟨f, f⟩}
∥f∥_{p} := ( ∫_{a}^{b} dx |f(x)|^{p})^{\frac{1}{p}} ,  1 ≤ p < ∞
∥f∥_{∞} := sup_{x∈[a,b]} |f(x)| .

Dabei heißt ∥f∥_{∞} die Supremumsnorm einer Funktion f. Der Beweis, daß ∥ ∥_{p} eine Norm ist, erfordert die Höldersche Ungleichung. ◁

Wir sehen also, daß es auf einem Vektorraum verschiedene Normen geben kann, und in unendlich-diemnsionalen Vektorräumen werden die unterschiedlichen Normen wirklich gebraucht! Die aus einem Skalarprodukt folgende Norm ist ausgezeichnet durch

Satz 20.12 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum über 𝕂. Die Norm ∥ ∥ geht genau dann aus einem Skalarprodukt hervor, wenn die Parallelogrammgleichung gilt,

∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2∥v∥^{2} + 2∥w∥^{2} für alle v, w ∈ V .

Beweisidee. Die Richtung (⇒) ist einfaches Nachrechnen. Für die Umkehrung (⇐) definiert man über die Polarisationsformeln

⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2} − i∥v + iw∥^{2} + i∥v − iw∥^{2}) für 𝕂 = ℂ ,
⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2})  für 𝕂 = ℝ

zunächst Abbildungen ⟨ , ⟩ : V × V → 𝕂, für die man dann die Eigenschaften (S1)–(S3) zeigen muß, wobei die Parallelogrammgleichung eingeht. Für die Linearität ist das eine sehr mühsame Rechnung! □

20.3 Abstand und metrische Räume

Aus einer Norm läßt sich ein Abstand erhalten. Dieser ist auf allgemeineren Räumen definiert, insbesondere werden Vektorräume nicht vorausgesetzt.

Definition 20.13 Ein metrischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Abbildung d : X × X → ℝ_{+}, dem Abstand oder der Metrik, wenn gilt:

(D1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ,

(D2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie),

(D3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung).

Jeder normierte Vektorraum ist auch metrischer Raum mit Abstand d(x, y) := ∥x − y∥. Für den 𝕂^{n} mit der aus dem Skalarprodukt erhaltenen Standardnorm gilt der Satz des Pythagoras d(x, y) = \sqrt{|x_{1} − y_{1}|^{2} + ⋯ + |x_{n} − y_{n}|}.

21 Orthonormalsysteme

Es sei V wieder ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir haben gesehen, daß durch d(v, w) = ∥v − w∥ = \sqrt{⟨v − w, v − w⟩} ein Abstand zwischen Vektoren v, w ∈ V erklärt ist. Außerdem läßt sich in euklidischen Vektorräumen der Winkel zwischen Vektoren erklären als

cos ∡(v, w) = \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥ ∥w∥} .

Wegen Cauchy-Schwarz ist die rechte Seite eine reelle Zahl aus [−1, 1]. Im ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt ist das die geometrische Winkelformel. Sie überträgt sich auf allgemeine euklidischen Vektorräume, ist aber nicht sinnvoll in unitären Vektorräumen. Jedoch übertägt sich der Begriff “senkrecht” auch auf den unitären Fall:

Definition 21.1 Sei V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum.

i) Zwei Vektoren v, w ∈ V heißen orthogonal (bezüglich des Skalarprodukts), geschrieben v ⊥ w, wenn ⟨v, w⟩ = 0.

ii) Zwei Untervektorräume U, W ⊂ V heißen orthogonal, geschrieben U ⊥ W, wenn u ⊥ w für alle u ∈ U und w ∈ W.

iii) Ist U ⊂ V ein Untervektorraum, dann heißt

U^{⊥} := {v ∈ V : v ⊥ u ∀u ∈ U}

das orthogonale Komplement von U in V. iv) Eine Familie (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{i} ∈ V heißt orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn v_{i} ⊥ v_{j} für alle i ≠ j. Die Familie heißt orthonormal oder Orthonormalsystem (ONS), falls zusätzlich ∥v_{i}∥ = 1 für alle 1 ≤ i ≤ n, und Orthonormalbasis (ONB), falls (v_{1}, …, v_{n}) außerdem eine Basis von V ist^{1}.

Für Orthogonalsysteme gilt:

i) Ist in einer orthogonalen Familie (v_{1}, …, v_{n}) der Nullvektor nicht enthalten, v_{i} ≠ 0, so ist (\frac{1}{∥v_{1}∥}v_{1}, …, \frac{1}{∥v_{n}∥}v_{n}) eine orthonormale Familie.

ii) Ist in einer orthogonalen Familie (v_{1}, …, v_{n}) der Nullvektor nicht enthalten, v_{i} ≠ 0, dann ist (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig: Sei 0 = λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n}, dann ergibt das Skalarprodukt mit sich selbst

0 = |λ_{1}|^{2}∥v_{1}∥^{2} + … |λ_{n}|^{2}∥v_{n}∥^{2} ⇒ λ_{1} = ⋯ = λ_{n} = 0 .
iii) In einem ONS (v_{1}, …, v_{n}) gilt ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = δ_{ij}.

Einige wichtige Eigenschaften der Orthogonalität:

Satz 21.2 (Pythagoras) Ist (v_{1}, …, v_{n}) ein Orthogonalsystem, so gilt

∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} ∥v_{i}∥^{2}.

Beweis. ∥ ∑_{i=1}^{n} v_{i}∥^{2} = ⟨ ∑_{i=1}^{n} v_{i} ∑_{j=1}^{n} v_{j}⟩ = ∑_{i,j=1}^{n}⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v_{i}⟩. □

Satz 21.3 Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer oder unitärer Vektorraum, U Untervektorraum von V und U^{⊥} das orthogonale Komplement. Dann ist U^{⊥} ebenfalls Untervektorraum von V, und es gilt U ∩ U^{⊥} = {0}.

Beweis. Seien w_{1}, w_{2} ∈ U^{⊥} und λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝕂, so gilt für beliebiges u ∈ U

⟨u, λ_{1}w_{1} + λ_{2}w_{2}⟩ = λ_{1}⟨u, λ_{1}⟩ + λ_{2}⟨u, λ_{2}⟩ = 0 ,

also λ_{1}w_{1} + λ_{2}w_{2} ∈ U^{⊥}. Ist u ∈ U ∩ U^{⊥}, so ist 0 = ⟨u, u⟩, also u = 0. □

Satz 21.4 Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer oder unitärer Vektorraum, U ⊂ V ein Untervektorraum und v ∈ V. Dann gibt es höchstens einen Vektor P_{U}(v) ∈ U mit v − P_{U}(v) ∈ U^{⊥}. Falls existent, so heißt P_{U}(v) die orthogonale Projektion von v auf U.

84 Beweis. Seien u_{1}, u_{2} ∈ U mit v − u_{1} ∈ U^{⊥} und v − u_{2} ∈ U^{⊥}. Dann ist

1Orthonormalbasen gibt es auch in unendlich-dimensionalen euklidischen/unitären Vektorräumen. Die allgemeine Definition erfordert weitere Hilfsmittel aus der Analysis. Wir werden im nächsten Abschnitt mit den Fourierreihen einen wichtigen Fall behandeln.

Preliminary version – 14. Juli 2008

\underbrace{u_{1} − u_{2}}_{∈U} = \underbrace{(v − u_{2}) − (v − u_{1})}_{∈U^{⊥}} ∈ U ∩ U^{⊥} ⇒ u_{1} − u_{2} = 0 .

□

Satz 21.5 Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer oder unitärer Vektorraum und (v_{1}, …, v_{n}) ein Orthonormalsystem. Sei U := span(v_{1}, …, v_{n}) ⊂ V. Dann gilt:

i) P_{U}(v) = ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩v_{i} für alle V ∈ V.

ii) ∥P_{U}(v)∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} |⟨v_{i}, v⟩|^{2} ≤ ∥v∥^{2} für alle V ∈ V (Besselsche Ungleichung)

iii) Ist v ∈ V, so gilt ∥v − P_{U}(v)∥ < ∥v − u∥ für alle u ∈ U mit u ≠ P_{U}(v).

iv) 0 ≤ ∥v − P_{U}(v)∥^{2} = ∥v∥^{2} − ∥P_{U}(v)∥^{2} ≤ ∥v∥^{2}.

Beweis. i) Wir zeigen: v − P_{U}(v) ∈ U^{⊥}. Nach Satz 21.4 ist P_{U}(v) dann eindeutig. Auf Grund der Linearität genügt es zu zeigen: ⟨v − P_{U}(v), v_{j}⟩ = 0 für alle j = 1, …, n:

⟨v_{j}, v − P_{U}(v)⟩ = ⟨v_{j}, v − ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩v_{i}⟩ = ⟨v_{j}, v⟩ − ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩⟨v_{j}, v_{i}⟩
= ⟨v_{j}, v⟩ − ⟨v_{j}, v⟩ = 0 .

ii) und iv) Es gilt v − P_{U}(v) ⊥ P_{U}(v) und damit nach Pythagoras

∥v∥^{2} = ∥(v − P_{U}(v)) + P_{U}(v)∥^{2} = ∥v − P_{U}(v)∥^{2} + ∥P_{U}(v)∥^{2} ≥ ∥P_{U}(v)∥^{2} .

Andererseits folgt ∥v − P_{U}(v)∥^{2} = ∥v∥^{2} − ∥P_{U}(v)∥^{2} ≤ ∥v∥^{2}.

iii) Wegen u ≠ P_{U}(v) ist ∥P_{U}(v) − u∥^{2} > 0 und deshalb nach Pythagoras

∥v − u∥^{2} = ∥ \underbrace{v − P_{U}(v)}_{∈U^{⊥}} + \underbrace{P_{U}(v) − u}_{∈U} ∥^{2} = ∥v − P_{U}(v)∥^{2} + ∥P_{U}(v) − u∥^{2}
> ∥v − P_{U}(v)∥^{2} .  □

Eigenschaft iii) aus Satz 21.5 hat folgende interessante Folgerung: Es sei ∅ ≠ W ⊂ V eine Teilmenge. Definieren wir durch d(v, W) := inf_{w∈W} ∥v − w∥ den Abstand von v zu W, so gilt mit obigen Bezeichnungen d(v, U) = ∥v − P_{U}(v)∥.

Der folgende Satz hebt die Bedeutung der Orthonormalbasen hervor:

Satz 21.6 (Fourier-Entwicklung) Sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer oder unitärer Vektorraum und (v_{1}, …, v_{n}) ein Orthonormalsystem von V. Dann sind äquivalent: i) (v_{1}, …, v_{n}) ist Orthonormalbasis.

ii) Für alle v ∈ V gilt v = ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩v_{i} (Fourier-Entwicklung)

iii) Für alle v, w ∈ V gilt ⟨v, w⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩⟨v_{i}, w⟩

(Parsevalsche Gleichung)

iv) Für alle v ∈ V gilt ∥v∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} |⟨v_{i}, v⟩|^{2}

v) Ist v ∈ V mit ⟨v_{i}, v⟩ = 0 für alle i = 1, …, n, so gilt v = 0.

Beweis. i)⇒ii) Insbesondere ist (v_{1}, …, v_{n}) Basis, also gilt v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} mit eindeutig bestimmten λ_{i} ∈ 𝕂. Dann ist ⟨v_{j}, v⟩ = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}⟨v_{j}, v_{i}⟩ = λ_{j}.

ii)⇒iii)

⟨v, w⟩ = ⟨ ∑_{i=1}^{n}⟨v_{i}, v⟩v_{i}, ∑_{j=1}^{n}⟨v_{i}, w⟩v_{i}⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} \overline{⟨v_{i}, v⟩}⟨v_{i}, w⟩⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩⟨v_{i}, w⟩.

iii)⇒iv) Setze w = v.

iv)⇒v) Sei ⟨v_{i}, v⟩ = 0 für alle i = 1, …, n, so folgt ∥v∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} |⟨v_{i}, v⟩| = 0, also v = 0.

v)⇒i) Sei U := span(v_{1}, …, v_{n}). Zu zeigen ist V = U. Angenommen, es gäbe ein w ∈ V mit w ∉ U. Also ist w − P_{U}(w) ≠ 0. Wegen w − P_{U}(w) ∈ U^{⊥} gilt ⟨w − P_{u}(w), v_{j}⟩ = 0 für alle i = 1, …, n und somit w − P_{u}(w) = 0 nach v), Widerspruch. □

Satz 21.7 (Orthonormalisierungssatz) Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei W ⊂ V ein Untervektorraum mit Orthonormalbasis (w_{1}, …, w_{m}). Dann gibt es eine Ergänzung zu einer Orthonormalbasis (w_{1}, …, w_{m}, w_{m+1}, …, w_{n}) von V.

Insbesondere besitzt jeder endlich-dimensionale euklidische oder unitäre Vektorraum eine Orthonormalbasis.

Beweis (Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren). Für W = V ist alles klar. Andernfalls gibt es einen Vektor v ∈ V mit v ∉ W. Seine Projektion auf W ist

P_{W} (v) = ⟨w_{1}, v⟩w_{1} + ⋯ + ⟨w_{m}, v⟩w_{m} .

Damit ist v−P_{W} (v) ∈ W^{⊥} und v−P_{W} (v) ≠ 0 (sonst wäre v ∈ W). Setze w_{m+1} := \frac{1}{∥v−P_{W} (v)∥}(v − P_{W} (v)), dann ist die Familie (w_{1}, …, w_{m}, w_{m+1}) orthonormal, und W′ := span(w_{1}, …, w_{m}, w_{m+1}) ist (m+1)-dimensionaler Untervektorraum von V mit Orthonormalbasis (w_{1}, …, w_{m+1}). Durch Wiederholung des Verfahrens erhält man eine Orthonormalbasis von V. □

Beispiel 21.8 Sei V = ℝ^{3} und U ⊂ V die von den Vektoren u_{1} = (2, 1, 2) und u_{2} = (1, 2, 7) aufgespannte Ebene. Gesucht ist die Projektion des Vektors v = (1, 4, 9) auf U und der Abstand von v zu U.

Zunächst wird durch das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren das System (u_{1}, u_{2}) in ein Orthonormalsystem überführt. Dazu ist w_{1} := \frac{u_{1}}{∥u_{1}∥} = \frac{1}{3}(2, 1, 2) und dann P_{ℝw_{1}}(u_{2}) = ⟨w_{1}, u_{2}⟩w_{1} = \frac{1}{9}(2 + 2 + 14) · (2, 1, 2) = (4, 2, 4). Es folgt u_{2} − P_{ℝw_{1}}(u_{2}) = (−3, 0, 3) und damit w_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(−1, 0, 1). Somit gilt

P_{U}(v) = ⟨w_{1}, v⟩w_{1} + ⟨w_{2}, v⟩w_{2}
= \frac{1}{9}(2 + 4 + 18) · (2, 1, 2) + \frac{1}{2}(−1 + 0 + 9) · (−1, 0, 1)
= (\frac{16}{3}, \frac{8}{3}, \frac{16}{3}) + (−4, 0, 4) = (\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{28}{3}) .

Schließlich ist

v − P_{U}(v) = (1, 4, 9) − (\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{28}{3}) = ( − \frac{1}{3}, \frac{4}{3}, −\frac{1}{3})

und damit d(v, U) = ∥v − P_{U}(v)∥ = \sqrt{2}. ◁

Schließlich können wir für endlich-dimensionale Untervektorräume das orthogonale Komplement genauer charakterisieren.

Satz 21.9 Es sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und U ⊂ V ein endlich-dimensionaler Untervektorraum. Dann gilt:

i) V = U ⊕U^{⊥}. In diesem Fall heißt U ⊕U^{⊥} die orthogonale direkte Summe.

ii) Ist P_{U} : V → U die orthogonale Projetion auf U, so ist P_{U^{⊥}} = id_{V} − P_{U} : V → U^{⊥} die orthogonale Projetion auf U^{⊥}.

Beweis. i) Nach Satz 21.7 besitzt U eine Orthonormalbasis (w_{1}, …, w_{n}). Nach Satz 21.5 ist dann die orthogonale Projektion eines beliebigen Vektors v ∈ V

auf U gegeben durch P_{U}(v) = ∑_{i=1}^{n}⟨w_{i}, v⟩w_{i}. Damit ist v = \underbrace{v − P_{U}(v)}_{∈U^{⊥}} + \underbrace{P_{u}(v)}_{∈U} ∈

U^{⊥} + U, also V = U + U^{⊥} und U ∩ U^{⊥} = {0} nach Satz 21.9.

ii) folgt aus (id_{V} − P_{U})(v) = v − P_{u}(V) und i). □

22 Fourier-Reihen

Definition 22.1 Eine Funktion f : [0, T] → ℂ heißt stückweise stetig auf [0, T], wenn f auf [0, T] beschränkt ist und es eine endliche Unterteilung 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = T gibt, so daß f auf jedem offenen Teilintervall ]t_{i−1}, t_{i}[ stetig ist.

Die Summe zweier auf [0, T] stückweise stetiger Funktionen f, g wird bezüglich der Vereinigung der Unterteilungen von f und von g definiert. Gleichheit von Funktionen f, g ∈ C_{sw}([0, T]) wird erklärt als f = g genau dann, wenn (f − g)(x) ≠ 0 für höchstens endlich viele Punkte x ∈ {t_{0}, …, t_{m}}. Diese Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation, und mit [f] werde die entsprechende Äquivalenzklasse zu einer stückweise stetigen Funktionen f bezeichnet. Die Äquivalenzklassenbildung überträgt sich auf Linearkombinationen, so daß

C_{sw}([0, T]) = {[f] : f ist stückweise stetig auf [0, T]}

ein Vektorraum ist. Für [f], [g] ∈ C_{sw}([0, T]) mit gemeinsamer Unterteilung 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{m} = T definieren wir

⟨[f], [g]⟩ = ⟨f, g⟩ = \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt \overline{f(t)}g(t) := lim_{ϵ↘0} ∑_{i=1}^{m} \frac{1}{T} ∫_{t_{i−1}+ϵ}^{t_{i}−ϵ} dt \overline{f(t)}g(t) . (*)

Dabei ist 2ϵ < min_{i}(t_{i} − t_{i−1}) zu wählen. Die Definition ist unabhängig von der Wahl der Repräsentanten f, g der Äquivalenzklassen [f], [g]. Wegen der Stetigkeit der Funktionen auf beliebigen [t_{i−1} +ϵ, t_{i} −ϵ] existiert das mehrfach uneigentliche Integral ∫_{[0,T]}. Linearität von ⟨ , ⟩ in der 2. Komponente und ⟨f, g⟩ = \overline{⟨g, f⟩} sowie ⟨f, f⟩ ≥ 0 sind klar. Gleichheit ⟨f, f⟩ = 0 genau für f = [0] ∈ C_{sw}([0, T]) folgt aus der Stetigkeit in jedem Teilintervall [t_{i−1} + ϵ, t_{i} − ϵ]. Dabei bedeutet f = [0], daß f(x) ≠ 0 für höchstens endlich viele Punkte x ∈ [0, T]. Somit ist C_{sw}([0, T]) mit ⟨ , ⟩ ein unendlich-dimensionaler unitärer Vektorraum. Er enthält insbesondere alle stetigen Funktionen und alle Treppenfunktionen. Für stetige Funktionen ist ∫_{[0,T]} = ∫_{0}^{T}, und für Treppenfunktionen ist ∫_{[0,T]} = ∫_{0}^{T} Im Sinne von Definition 19.2 aus dem letzten Semester.

Unser Ziel ist die Charakterisierung einer (unendlichen) Orthonormalbasis in (C_{sw}([0, T]), ⟨ , ⟩).

Satz 22.2 Für n ∈ ℤ werden durch e_{n}(t) := e^{inω_{T} t} mit ω_{T} := \frac{2π}{T} stetige Funktionen e_{n} ∈ C([0, T]) ⊂ C_{sw}([0, T]) definiert. Dann ist (e_{n})_{n∈ℤ} ein unendliches Orthonormalsystem für (C_{sw}([0, T]), ⟨ , ⟩).

Beweis. Wegen der Stetigkeit der e_{k} ist das Skalarprodukt (∗) durch das Riemannsche Integral über [0, T] gegeben:

⟨e_{k}, e_{l}⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} dt e^{i(l−k)ω_{T} t}

= \{ \begin{matrix}\frac{1}{T} ∫_{0}^{T} dt 1 = 1 für & k = l \\ \frac{1}{iT (l − k)ω_{T}} e^{i(l−k)ω_{T} t}|_{0}^{T} = \frac{(e^{i(l−k)·2π} − 1)}{iT (l − k)ω_{T}} = 0 für & k ≠ l \end{matrix}

□

Wir verallgemeinern nun die Definition von Orthonormalbasen auf unendlichdimensionale Vektorräume mit Skalarprodukt. Dazu wird Konvergenz der unendlichen Reihen benötigt.

Definition 22.3 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum. Eine Folge (v_{n})_{n∈ℕ} von Vektoren v_{n} ∈ V heißt konvergent gegen v ∈ V bezüglich der Norm ∥ ∥, wenn lim_{n→∞} ∥v_{n} − v∥ = 0.

Wir hatten in Beispiel 20.11 auf C([a, b]) verschiedene Normen eingeführt. Diese führen auf verschiedene Konvergenzbegriffe. So heißt eine Folge (f_{n}) stetiger Funktionen f_{n} ∈ C([a, b])

• gleichmäßig konvergent gegen f, wenn

lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{∞} = lim_{n→∞} sup_{x∈[a,b]} |f_{n}(x) − f(x)| = 0 ,

• und im quadratischen Mittel konvergent, wenn

lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{2} = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} dx |f_{n}(x) − f(x)|^{2} = 0 .

Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt Konvergenz im quadratischen Mittel, die Umkehrung gilt aber nicht.

Definition 22.4 Es sei f ∈ C_{sw}([0, T]). Für N ∈ ℕ und x ∈ [0, T] heißt

S_{N}f(x) := ∑_{k=−N}^{N}⟨e_{k}, f⟩e_{k}(x) = ∑_{k=−N}^{N} \frac{1}{T} ( ∫_{[0,T]} dt e^{−ikω_{T} t}f(t))e^{ikω_{T} x}

das N-te Fourier-Polynom von f. Wir sagen, die Reihe S_{N}f = ∑_{k=−N}^{N}⟨e_{k}, f⟩e_{k} konvergiert

• punktweise gegen f, falls lim_{N→∞} S_{N}f(x) = f(x) für alle x ∈ [0, T],

• gleichmäßig gegen f, falls lim_{N→∞} ∥S_{N}f − f∥_{∞} = 0,
• im quadratischen Mittel gegen f, falls f lim_{N→∞} ∥S_{N}f − f∥_{2} = 0.

Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz und Konvergenz im quadratischen Mittel, andere Implikationen gelten i.a. nicht.

Jedes Fourier-Polynom S_{N}f ist stetig. Wegen \overline{e_{k}} = e_{−k} gilt

\overline{S_{N}f} = \overline{∑_{k=−N}^{N}⟨e_{k}, f⟩e_{k}} = ∑_{k=−N}^{N}⟨f, e_{k}⟩e_{−k} = ∑_{k=−N}^{N}⟨e_{−k}, \overline{f}⟩e_{−k} = S_{N} f̄ .

Insbesondere ist für reellwertige Funktionen f auch S_{N}f eine reellwertige Funktion.

Satz 22.5 (Fourier-Entwicklung) Es seien f, g ∈ C_{sw}([a, b]). Dann gilt:

i) Die Fourier-Reihe Sf := ∑_{n=−∞}^{∞}⟨e_{n}, f⟩e_{n} von f konvergiert im quadratischen Mittel gegen f.

ii) ⟨f, g⟩ = ∑_{n=−∞}^{∞}⟨f, e_{n}⟩⟨e_{n}, g⟩ (Parsevalsche Gleichung).

iii) \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt ∥f(t)∥^{2} = ∥f∥_{2}^{2} = ∑_{n=−∞}^{∞} |⟨e_{n}, f⟩|^{2} .

iv) Ist ⟨e_{k}, f⟩ = 0 für alle k ∈ ℤ, so folgt f = [0].

Da es sich um analoge Aussagen zu Satz 21.6 handelt, sagt man, (e_{k})_{k∈ℤ} ist Orthonormalbasis von C_{sw}([a, b]).

Beweis. Der Hauptschritt ist der Beweis von i), den wir später führen.

i)⇒ii) Nach der Parsevalschen Gleichung Satz 21.6.iii) für den endlichdimensionalen Vektorraum U = span{e_{i} : −N ≤ i ≤ N} ist ⟨S_{N}f, S_{N}g⟩ = ∑_{n=−N}^{N} |⟨e_{n}, f⟩|^{2}. Andererseits erhalten wir mit Cauchy-Schwarz

|⟨f, g⟩ − ⟨S_{N}f, S_{N}g⟩| = |⟨f − S_{N}f, g⟩ + ⟨S_{N}f, g − S_{N}g⟩|
≤ |⟨f − S_{N}f, g⟩| + |⟨S_{N}f, g − S_{N}g⟩|
≤ ∥f − S_{N}f∥_{2} ∥g∥_{2} + ∥S_{N}f∥_{2} ∥g − S_{N}g∥_{2} .

Das Quadrat stückweise stetiger Funktionen ist stückweise stetig und damit uneigentlich Riemann-integrierbar, also sind ∥g∥_{2} und ∥S_{N}f∥_{2} beschränkt, und nach i) gilt lim_{N→∞} ∥f − S_{N}f∥_{2} = 0 und lim_{N→∞} ∥g − S_{N}g∥_{2} = 0. Damit konvergiert die Summe in ii) gegen ⟨f, g⟩. Setzt man g = f, so folgt iii). Ist ⟨e_{k}, f⟩ = 0, so folgt ∥f∥ = 0 und damit f = [0], also iv).

Verbleibt der Beweis von i). Es genügt, reellwertige stückweise stetige Funktionen f (die nach Definition auch beschränkt sind) zu betrachten, für die das N-te Fourier-Polynom S_{N}f ebenfalls reell ist. Da für f = 0 (als Äquivalenzklasse) die Aussage klar ist, können wir annehmen, daß f ≠ 0 auf einer offenen Teilmenge von [0, T] gilt. Dann ist auch 0 < ∥f∥_{∞}, und durch Skalieren mit \frac{1}{∥f∥_{∞}} können wir uns dann auf reellwertige stückweise stetige Funktionen mit ∥f∥_{∞} ≤ 1 beschränken. Diese sind Riemann-integrierbar. Folglich gibt es zu jedem ϵ > 0 Treppenfunktionen ϕ, ψ auf [0, T] mit −1 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1 und ∫_{[0,T]} dt(ψ − ϕ)(t) < \frac{T}{2} ϵ^{2}. Folglich gilt

∥f − S_{N}f∥_{2} = ∥(f − ϕ) − S_{N}(f − ϕ) + (ϕ − S_{N}ϕ)∥_{2}
≤ ∥(f − ϕ) − S_{N}(f − ϕ)∥_{2} + ∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2} .

Nach Satz 21.5.iv) und wegen −1 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1 gilt

∥(f − ϕ) − S_{N}(f − ϕ)∥_{2}^{2} = ∥f − ϕ∥_{2}^{2} − ∥S_{N}(f − ϕ)∥_{2}^{2} ≤ ∥f − ϕ∥_{2}^{2}

= \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt |(f − ϕ)(t)|^{2} ≤ \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt |(ψ − ϕ)(t)|^{2}

≤ \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dt 2(ψ − ϕ)(t) < ϵ^{2} ,

also ∥(f − ϕ) − S_{N}(f − ϕ)∥_{2} < ϵ. Das nächste Lemma liefert die Abschätzung ∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2} < ϵ für genügend großes N, womit die Behauptung bewiesen ist. □

Lemma 22.6 Es sei ϕ eine Treppenfunktion auf [0, T]. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N_{0} ∈ ℕ, so daß ∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2} < ϵ für alle N ≥ N_{0}.

Beweis. Wir führen zunächst den Beweis für die Treppenfunktion ϕ =

\{ \begin{matrix}1 für & 0 ≤ x ≤ a \\ 0 für & a < x ≤ T \end{matrix} mit 0 < a < T. Dann gilt

⟨e_{k}, ϕ⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{a} dt e^{−ikω_{T} t} = \{ \begin{matrix}\frac{a}{T} für & k = 0 \\ \frac{1}{−i2πk}(e^{−ikω_{T} a} − 1) für & k ≠ 0 \end{matrix}

und folglich

|⟨e_{k}, ϕ⟩|^{2} = \{ \begin{matrix}\frac{a^{2}}{T^{2}} für & k = 0 \\ \frac{1}{2π^{2}k^{2}} (1 − cos(kω_{T} a)) für & k ≠ 0 \end{matrix}

(Verwende (cos x−i sin x−1)(cos x+i sin x−1) = 2−2 cos x). Nach Satz 21.5.iv) gilt

∥ϕ − S_{N}ϕ∥_{2}^{2} = ∥ϕ∥_{2}^{2} − ∥S_{N}ϕ∥_{2}^{2} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} dt (ϕ(t))^{2} − ∑_{k=−N}^{N} |⟨e_{k}, ϕ⟩|^{2}

= \frac{a}{T} − \frac{a^{2}}{T^{2}} − \frac{1}{π^{2}} ∑_{k=1}^{N} \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{π^{2}} ∑_{k=1}^{N} \frac{cos(kω_{T} a)}{k^{2}} .

In Beispiel 22.12 aus dem letzten Semester hatten wir

∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(kx)}{k^{2}} = (\frac{π − x}{2})^{2} − \frac{π^{2}}{12} für alle x ∈ [0, 2π] , ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

bewiesen. Setzt man x = \frac{2πa}{T} ∈ [0, 2π], so ergibt sich

lim_{N→∞} (\frac{1}{π^{2}} ∑_{k=1}^{N} \frac{cos(kω_{T} a)}{k^{2}} − \frac{1}{π^{2}} ∑_{k=1}^{N} \frac{1}{k^{2}} ) = \frac{a^{2}}{T^{2}} − \frac{a}{T} .

Folglich gibt es zu jedem ϵ′ > 0 ein N_{0} ∈ ℕ mit ∥ϕ−ϕ_{N}∥_{2}^{2} < (ϵ′)^{2} für alle N ≥ N_{0} und beliebiges a ∈ [0, T].

Eine beliebige Treppenfunktion läßt sich, bis auf die beim Integral unwesentlichen Werte an den Sprungstellen 0 = x_{0} < x_{1} ⋯ < x_{m} = T, darstel-

len als Linearkombination ϕ = ∑_{i=1}^{m} c_{i}ϕ_{i}, wobei ϕ_{i}(x) = \{ \begin{matrix}1 für & 0 ≤ x ≤ x_{i} \\ 0 für & x_{i} < x ≤ T \end{matrix}

Treppenfunktion von der obigen Form ist. Dann ist nach Dreiecksungleichung ∥ϕ − ϕ_{N}∥_{2} ≤ ∑_{i=1}^{m} |c_{i}|∥ϕ_{i} − (ϕ_{i})_{N}∥_{2} < (1 + ∑_{i=1}^{m} |c_{i}|)ϵ′ für alle N ≥ N_{0}. Dann folgt die Behauptung für die Wahl ϵ′ = \frac{ϵ}{1+∑_{i=1}^{m} |c_{i}|}. □

Definition 22.7 Die Abbildung

: C_{sw}([0, T]) → ℓ^{2}(ℤ) , f ↦ f̂ = (f̂(k))_{k∈ℤ} mit f̂(k) := ⟨e_{k}, f⟩

heißt Fourier-Transformation. Dabei ist ℓ^{2}(ℤ) = {a : ℤ → ℂ : ∑_{k=−∞}^{∞} |a(k)|^{2} < ∞} der Hilbertsche Folgenraum mit dem zugehörigen Skalarprodukt ⟨a, b⟩_{ℓ^{2}(ℤ)} = ∑_{k=−∞}^{∞} \overline{a(k)}b(k),

Nach Satz 22.5.ii) ist die Fourier-Transformation eine Isometrie, d.h. ⟨f, g⟩ = ⟨f̂, ĝ⟩_{ℓ^{2}(ℤ)}.

Definition 22.8 Eine Funktion f ∈ C([0, T]) heißt stückweise stetig differenzierbar, wenn es eine Unterteilung 0=t_{0}< … <t_{m}=T gibt, so daß f auf der offenen Teilmenge [0, 2π] \ {t_{0}, …, t_{m}} = ]t_{0}, t_{1}[ ∪]t_{1}, t_{2}[ ∪ ⋯ ∪]t_{m−1}, t_{m}[ stetig differenzierbar ist.

Satz 22.9 Es sei f eine auf [0, T] stückweise stetig differenzierbare Funktion mit f(0) = f(T) (d.h f sei T -periodisch). Dann gilt

i) f̂′(k) = (ikω_{T})f̂(k) für alle k ∈ ℤ.

ii) lim_{N→∞} ∥S_{N}f − f∥_{∞} = 0, d.h. (S_{N}f)_{N∈ℕ} konvergiert gleichmäßig gegen f.

Beweis. i) Es gilt f′ ∈ C_{sw}([0, T]) und damit nach partieller Integration

f̂′(k) = \frac{1}{T} ∫_{[0,T]} dx f′(x)e^{−ikω_{T} x} = lim_{ϵ↘0} \frac{1}{T} ∑_{l=1}^{m} ∫_{t_{l−1}+ϵ}^{t_{l}−ϵ} dx f′(x)e^{−ikω_{T} x}

= lim_{ϵ↘0} (\frac{1}{T} ∑_{l=1}^{m} (f(t_{l} − ϵ)e^{−ikω_{T} (t_{l}−ϵ)} − f(t_{l−1} + ϵ)e^{−ikω_{T} (t_{l−1}+ϵ)}

− ∫_{t_{l−1}+ϵ}^{t_{l}−ϵ} dx f(x)(e^{−ikω_{T} x})′))

= ikω_{T} lim_{ϵ↘0} (\frac{1}{T} ∑_{l=1}^{m} ∫_{t_{l−1}+ϵ}^{t_{l}−ϵ} dx f(x) e^{−ikω_{T} x}) = ikω_{T} f̂(k) ,

wegen der Stetigkeit von f und der T -Periodizität f(t_{0}) = f(0) = f(T) = f(t_{m}). ii) Nach Cauchy-Schwarz im unitären Vektorraum ℓ^{2}(ℕ) gilt

∑_{k=1}^{∞} |f̂(k)| = ∑_{k=1}^{∞} |\frac{1}{ikω_{T}} f̂′(k)| ≤ \underbrace{∑_{k=1}^{∞} |\frac{1}{ikω_{T}} |^{2}}_{=_{\frac{π^{2}}{6ω^{2}_{T}}}} \underbrace{∑_{l=1}^{∞} |f̂′(l)|^{2}}_{f̂∈ℓ^{2}(ℤ)} < ∞ .

Analog für f̂(−k). Also folgt ∑_{k∈ℤ} |f̂(k)| < ∞, d.h. zu ϵ > 0 gibt es ein N(ϵ), so daß für alle N ≥ N′ ≥ N(ϵ) gilt

∥S_{N}f − S_{N′}f∥_{∞} := sup_{x∈[0,T]} | ∑_{k=−N}^{N} f̂(k)e^{ikω_{T} x} − ∑_{k=−N′}^{N′} f̂(k)e^{ikω_{T} x}|

= sup_{x∈[0,T]} | ∑_{N′≤|k|≤N} f̂(k)e^{ikω_{T} x}| ≤ ∑_{N′≤|k|≤N} |f̂(k)| < ϵ .

Damit ist in jedem Punkt x ∈ [0, T] die Folge ((S_{N}f)(x))_{N∈ℕ} komplexer Zahlen eine Cauchy-Folge, welche punktweise gegen eine Grenzfunktion (S_{∞}f)(x) = lim_{N→∞}(S_{N}f)(x)) konvergiert. Damit kann in obiger Abschätzung N′ → ∞ genommen werden, so daß

sup_{x∈[0,T]} ∥S_{N}f − S_{∞}f∥_{∞} < ϵ für alle N ≥ N(ϵ) .

Somit ist (S_{N}f)_{N∈ℕ} eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die Grenzfunktion S_{∞}f konvergiert. Nach Satz 12.12 aus dem letzten Semester ist S_{∞}f dann stetig. Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt Konvergenz im quadratischen Mittel, damit konvergiert (S_{N}f)_{N∈ℕ} auch im quadratischen Mittel gegen S_{∞}f. Andererseits konvergiert (S_{N}f)_{N∈ℕ} nach Satz 22.5 im quadratischen Mittel gegen f. Nach Dreiecksungleichung gilt dann ∥f − S_{∞}f∥_{2} = 0, und da f und S_{∞}f stetig sind, folgt f = S_{∞}f = ∑_{N→∞} S_{N}f. □

Durch Induktion folgt f̂^{(n)}(k) = (ikω_{T})^{n}f̂(k) für eine n-mal stückweise stetig differenzierbare Funktion f, die (n−1)-mal stetig differenzierbar ist mit f^{(p)}(0) = f^{(p)}(T) für alle p = 0, …, n − 1.

Die Fourier-Entwicklung stückweise stetig differenzierbarer Funktionen erlaubt oft die Bestimmung des Grenzwertes von Reihen.

Beispiel 22.10 Gesucht ist die Fourier-Entwicklung der Funktion f(x) = cos(ax), für a ∉ ℤ, im Intervall [−π, π]. Wir setzen sie (2π)-periodisch auf ℝ fort. Dann kann im Fourier-Integral über ein beliebiges Intervall der Länge T = 2π integriert werden, z.B. über [−π, π]. Also haben wir für a ∉ ℤ

f̂(k) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} dt e^{−ikt} cos(at) = \frac{1}{4π} ∫_{−π}^{π} dt (e^{−i(k−a)t} + e^{−i(k+a)t})

= \frac{1}{−4πi(k − a)}(e^{−i(k−a)π} − e^{i(k−a)π}) + \frac{1}{−4πi(k + a)}(e^{−i(k+a)π} − e^{i(k+a)π})

= \frac{1}{2π} (−1)^{k} sin(aπ)(\frac{1}{(a − k)} + \frac{1}{a + k} ) .

93 Somit gilt wegen f(k) = f(−k)

Preliminary version – 14. Juli 2008

f(x) = ∑_{k=−∞}^{∞} f̂(k)e^{ikx} = f̂(0) + 2 ∑_{k=1}^{∞} f̂(k) cos(kx)

= \frac{sin(aπ)}{aπ} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k} sin(aπ)}{π} \frac{2a}{a^{2} − k^{2}} cos(kx)

also

cos(ax) = \frac{2a sin(aπ)}{π}(\frac{1}{2a^{2}} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{a^{2} − k^{2}} cos(kx)) .

Setzt man x = π, so folgt die Partialbruchzerlegung des Cotangens

cot(aπ) = \frac{1}{aπ} + \frac{1}{π} ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{a − k} + \frac{1}{a + k} ) .

oder die Summenformel ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2} − a^{2}} = \frac{π}{2a}(\frac{1}{aπ} − cot(aπ)) für a ∉ ℤ. ◁

Bemerkungen.

i) In Satz 22.5 wird nicht behauptet, daß stets Sf ∈ C_{sw}([0, T]) gilt. Der Grund ist, daß C_{sw}([0, T]) nicht vollständig ist. Es gibt also Folgen (f_{n}) stückweise stetiger Funktionen, die zwar im quadratischen Mittel konvergent sind, für deren Grenzwert aber lim_{n→∞} f_{n} ∉ C_{sw}([0, T]) gilt. Tatsächlich stellt sich heraus, daß Satz 22.5 sogar für eine deutlich größere Klasse von Funktionen gilt, nämlich für die quadratisch Lebesgue-integrierbaren Funktion L^{2}([0, T]), die wir im 3. Semester einführen.

ii) Da C([0, T]) in gewisser Weise die “falsche” Klasse von Funktionen für die Fourier-Reihe ist, gibt es einige Überraschungen: Es gibt Beispiele stetiger Funktionen f ∈ C([0, T]), für die die Fourierreihe Sf := ∑_{k=−∞}^{∞}⟨e_{k}, f⟩e_{k} nicht in jedem Punkt x ∈ [0, T] konvergent ist, und selbst wenn sie konvergiert, muß der Grenzwert nicht mit f(x) übereinstimmen. Das folgt schon aus der Tatsache, daß wegen e_{k}(0) = e_{k}(T) im Fall der Konvergenz stets (Sf)(0) = (Sf)(T) gilt, während f(0) ≠ f(T) sein kann.

iii) Nach Satz 22.9 haben wir punktweise (sogar gleichmäßige) Konvergenz der Fourier-Reihe für stückweise stetig differenzierbare Funktionen. Man kann etwas allgemeiner folgendes zeigen: Existiert für eine Funktion f ∈ C([0, T]) in x ∈ [0, T] sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung, dann konvergiert (Sf)(x) gegen den arithmetischen Mittelwert \frac{1}{2}(f(x_{+})+f(x_{−})) := lim_{ϵ↘0} \frac{1}{2}(f(x+ϵ)+f(x−ϵ)), mit T_{+} ↦ 0_{+} und 0_{−} ↦ T_{−}. iv) Oft definiert man die Fourier-Reihe für T -periodische (stetige) Funktionen, also (stetige) Funktionen f : ℝ → ℂ mit f(x + T) = f(x) für alle x ∈ ℝ. Dann kann man statt ∫_{0}^{T} über ein beliebiges anderes Intervall der Länge T integrieren, ∫_{a}^{a+T}. Insbesondere ist f(0) = f(T).

v) Statt (e_{k})_{k∈ℤ} kann auch das reelle Orthogonalsystem ((c_{n})_{n∈ℕ}, (s_{n})_{n∈ℕ\{0}}) benutzt werden, mit c_{n}(x) = cos(nω_{T} x) und s_{n}(x) = sin(nω_{T} x). Zu beachten ist dann eine um einen Faktor 2 unterschiedliche Normierung von c_{0} zu c_{n}, s_{n} mit n > 0!

23 Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen

Definition 23.1 Sei V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und F ∈ End(V). Ein Endomorphismus F^{∗} ∈ End(V) heißt zu F adjungiert, wenn

⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ ∀v, w ∈ V .

Satz 23.2 Sei V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Falls der zu F adjungierte Endomorphismus F^{∗} ∈ End(V) existiert, so gilt:

i) F^{∗} ist eindeutig.

ii) ker(F^{∗}) = (im(F))^{⊥}

iii) im(F^{∗}) = (ker(F))^{⊥}

Beweis. i) Gäbe es zwei Lösungen F_{1}^{∗} und F_{2}^{∗} mit ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F_{1}^{∗}(v), w⟩ = ⟨F_{2}^{∗}(v), w⟩ für alle v, w ∈ V, so folgt

0 = ⟨F_{1}^{∗}(v), w⟩ − ⟨F_{2}^{∗}(v), w⟩ = ⟨F_{1}^{∗}(v) − F_{2}^{∗}(v), w⟩

für alle v, w, insbesondere für w = F_{1}^{∗}(v) − F_{2}^{∗}(v). Damit ist F_{1}^{∗} = F_{2}^{∗}.

ii) Sei v ∈ (im(F))^{⊥}, so ist 0 = ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ für alle w ∈ V, und damit ker(F^{∗}) = (im(F))^{⊥}.

iii) Sei w ∈ ker(F), dann ist 0 = ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ für alle v ∈ V. Das bedeutet im(F^{∗}) = (ker(F))^{⊥}. □

Satz 23.3 Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischen bzw. unitären Vektorraums Dann gibt es zu jedem F ∈ End(V) den adjungierten Endomorphismus F^{∗}, und bezüglich einer Orthonormalbasis B von V gilt M_{B}^{B}(F^{∗}) = (M_{B}^{B}(F))^{∗} :=

\overline{(M_{B}^{B}(F))^{t}}.

Beweis. Nach Satz 21.7 besitzt V eine Orthonormalbasis B = (v_{1}, …, v_{n}). In dieser Basis sei F (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}, d.h. M_{B}^{B}(F) = (a_{ij}). Dann gilt

⟨v_{k}, F (v_{j})⟩ = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}⟨v_{k}, v_{i}⟩ = a_{kj} = ∑_{i=1}^{n}⟨\overline{a_{ki}}v_{i}, v_{j}⟩ .

Damit hat F^{∗}(v_{k}) := ∑_{i=1}^{n} b_{ik}v_{i} mit b_{ik} = \overline{a_{ki}} die Eigenschaft eines adjungierten Endomorphismus, und M_{B}^{B}(F^{∗}) = (b_{ij}) = \overline{(a_{ij})^{t}}. □

Definition 23.4 Es sei (V, ⟨ , ⟩) ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum. Ein Endomorphismus F ∈ End(V) heißt

i) selbstadjungiert (für 𝕂 = ℝ auch symmetrisch), wenn F = F^{∗} gilt, d.h. ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F (v), w⟩ für alle v, w ∈ V,

ii) orthogonal bzw. unitär, wenn F ∘ F^{∗} = F^{∗} ∘ F = id_{V} gilt, d.h. ⟨F (v), F (w)⟩ = ⟨v, w⟩ für alle v, w ∈ V,

iii) normal, falls F ∘ F^{∗} = F^{∗} ∘ F gilt.

Orthogonale, unitäre und selbstadjungierte Endomorphismen sind folglich auch normal. Die Definition überträgt sich wegen Satz 23.3 auf Matrizen: Eine Matrix A ∈ M(n, K) heißt selbstadjungiert oder hermitesch, wenn A = A^{∗} = \overline{A^{t}} gilt, und orthogonal bzw. unitär, wenn A^{∗} = A^{−1} ist. Es folgt | det A| = 1 für orthogonale bzw. unitäre Matrizen. Die Bedingungen A^{t} · A = E_{n} bzw. A^{∗} · A = E_{n} bedeuten, daß die Spalten von A eine Orthonormalbasis von 𝕂^{n} bilden. Analog bedeutet A · A^{t} = E_{n} bzw. A · A^{∗} = E_{n}, daß die Zeilen von A eine Orthonormalbasis von 𝕂^{n} bilden.

Satz 23.5 • O(n) := {A ∈ GL(n; ℝ) : A^{−1} = A^{t}} ist Untergruppe der GL(n; ℝ) (orthogonale Gruppe).

• SO(n) := {A ∈ O(n) : det A = 1} ist Untergruppe der GL(n; ℝ) (spezielle orthogonale Gruppe).

• U(n) := {A ∈ GL(n; ℂ) : A^{−1} = A^{∗}} ist Untergruppe der GL(n; ℂ) (unitäre Gruppe).

• SU(n) := {A ∈ U(n) : det A = 1} ist Untergruppe der GL(n; ℂ) (spezielle unitäre Gruppe).

Beweis. Für A, B ∈ O(n) ist (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1} = B^{t}A^{t} = (AB)^{t} sowie (A^{−1})^{−1} = A = (A^{−1})^{t}, damit ist O(n) Untergruppe. Für A, B ∈ SO(n) ist det(AB) = (det A)(det B) = 1, damit ist SO(n) Untergruppe. Analog für U(n) und SU(n). □

Beispiel 23.6 Im ℝ^{2} mit dem kanonischen Skalarprodukt ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Die Bedingung für orthogonale Matrizen lautet

O(2) := \{A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : a, b, c, d ∈ ℝ , A^{t} · A = E_{2}

⇔ a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} = 1 und ac + bd = 0} .

Setzen wir a = cos ϕ, b = sin ϕ, c = sin θ, d = cos θ, so verbleibt sin(ϕ + θ) = 0 mit den beiden verschiedenen Lösungen ϕ = −θ und ϕ = π − θ. Somit gilt:

O(2) = \{( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) : θ ∈ [0, 2π[\} ∪ \{( \begin{matrix}cos ϕ & sin ϕ \\ sin ϕ & − cos ϕ \end{matrix} ) : ϕ ∈ [0, 2π[\}.

Die erste Menge beschreibt Drehungen im ℝ^{2} und die zweite eine Kombination aus Drehungen und einer Spiegelung. Das sind gerade die Transformationen im ℝ^{2}, welche Winkel und Abstände erhalten. Die Gruppe SO(2) besteht nur aus der ersten durch θ parametrisierten Menge. ◁

Satz 23.7 Ist F ∈ End(V) orthogonal bzw. unitär, so gilt

i) ∥F (v)∥ = ∥v∥ ∀v ∈ V.

ii) Ist umgekehrt ∥F (v)∥ = ∥v∥ für alle v ∈ V, so ist F orthogonal bzw. unitär.

iii) v ⊥ w ⇒ F (v) ⊥ F (w).

iv) F ist Isomorphismus und F^{−1} ist ebenfalls orthogonal bzw. unitär.

v) Ist λ ∈ 𝕂 Eigenwert von F, so ist |λ| = 1.

Beweis. i) und iii) sind klar. Die Umkehrung ii) von i) folgt aus der Polarisationsformel.

iv) Aus i) folgt, daß F injektiv ist. Wegen F (F^{∗}(v)) = v ist F surjektiv, also bijektiv. Die Ersetzung v ↦ F^{−1}(v) liefert Orthogonalität/Unitarität von F^{−1}.

v) Ist v Eigenvektor von F zum Eigenwert λ, so ist

∥v∥ = ∥F (v)∥ = ∥λv∥ = |λ|∥v∥  ⇒ |λ| = 1 wegen v ≠ 0 .  □

Damit erhalten orthogonale/unitäre Endomorphismen die Normen, Abstände und Winkel und haben somit eine wichtige geometrische Interpretation als Isometrien.

Satz 23.8 Ist F ∈ End(V) selbstadjungiert, dann sind alle Eigenwerte von F reell. Insbesondere hat eine hermitesche Matrix nur reelle Eigenwerte.

Beweis. Ist F (v) = λv mit v ≠ 0, so gilt

λ⟨v, v⟩ = ⟨v, F (v)⟩ = ⟨F (v), v⟩ = \overline{λ}⟨v, v⟩

und damit λ = \overline{λ}. □

Satz 23.9 Es sei (V, ⟨ . ⟩) ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und F ∈ End(V) normal. Dann gilt:

i) ker F = ker F^{∗}

ii) Ist λ Eigenwert von F, dann ist λ̄ Eigenwert von F^{∗}, und es gilt Eig(F; λ) = Eig(F^{∗}; λ̄).

iii) Sind λ_{1}, λ_{2} Eigenwerte von F mit λ_{1} ≠ λ_{2}, so gilt Eig(F; λ_{1}) ⊥ Eig(F; λ_{2}).

Beweis. i) Sei v ∈ ker F, so folgt

0 = ⟨F (v), F (v)⟩ = ⟨F^{∗} ∘ F (v), v⟩ = ⟨F ∘ F^{∗}(v), v⟩ = ⟨F^{∗}(v), F^{∗}(v)⟩ ,

also auch v ∈ ker F^{∗}. Ebenso ker F^{∗} ⊂ ker F.

ii) Es gilt (F − λid_{V})^{∗} = F^{∗} − \overline{λ}id_{V}. Mit F ist auch F − λid_{V} normal. Dann folgt aus i)

Eig(F; λ) = ker(F − λ id_{V}) = ker(F − λ id_{V})^{∗} = ker(F^{∗} − \overline{λ} id_{V}) = Eig(F^{∗}; λ̄) .

Sei v ∈ Eig(F; λ_{1}), w ∈ Eig(F; λ_{2}), so folgt

λ_{2}⟨v, w⟩ = ⟨v, λ_{2}w⟩ = ⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ = ⟨\overline{λ_{1}}v, w⟩ = λ_{1}⟨v, w⟩

also 0 = (λ_{2} − λ_{1})⟨v, w⟩. □

Theorem 23.10 Es sei (V, ⟨ . ⟩) ein endlich-dimensionaler \underline{unitärer} Vektorraum und F ∈ End(V) normal. Dann besitzt V eine Orthonormalbasis B = (v_{1}, …, v_{n}) aus Eigenvektoren von F. Insbesondere ist F diagonalisierbar.

Es seien λ_{1}, …, λ_{k} die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F und Eig(F; λ_{i}), i = 1, …, k die zugehörigen paarweise orthogonalen Eigenräume. Nach Satz 21.7 besitzt Eig(F; λ_{i}) eine Orthonormalbasis B_{i} = (v_{i1}, …, v_{in_{i}}). Nach Satz 23.9 ist B′ = B_{1} ∪ ⋯ ∪ B_{k} ein Orthonormalsystem aus Eigenvektoren von F. Wir zeigen: B′ ist Orthonormalbasis von V.

Sei W := ⨁_{i=1}^{k} Eig(F; λ_{i}). Nach Satz 21.9 ist V = W ⊕W^{⊥}. Angenommen, es gäbe ein 0 ≠ v ∈ W^{⊥}. Dann gilt für beliebiges w ∈ W die Identität ⟨F (v), w⟩ = ⟨v, F^{∗}(w)⟩ = 0, da F^{∗}(W) ⊂ W. Somit ist F |_{W^{⊥}} ∈ End(W^{⊥}) und damit nach Satz 19.5 in W^{⊥} trigonalisierbar. Insbesondere besitzt F |_{W^{⊥}} einen Eigenvektor (Definition 19.3). Dieser ist aber auch Eigenvektor von F ∈ End(V) und damit bereits in W enthalten, Widerspruch. □

Wir können nicht erwarten, daß sich dieses Theorem auf den reellen Fall überträgt, da Endomorphismen eines reellen Vektorraums nicht triagonalisierbar sein müssen. Insbesondere lassen sich die Matrizen aus O(2) nicht diagonalisieren. Es gilt aber:

Satz 23.11 Jeder \underline{selbstadjungierte} Endomorphismus eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraums V ist diagonalisierbar.

Beweis. Wie im vorigen Theorem bis zur Konstruktion von F ∈ End(W^{⊥}). Einziger Unterschied ist, daß W^{⊥} = V sein könnte. Offenbar ist F |_{W^{⊥}} auch auf W^{⊥} selbstadjungiert. Das charakteristische Polynom zerfällt zunächst über ℂ in komplexe Linearfaktoren. Nach Satz 23.8 sind alle Eigenwerte reell, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt sogar in reelle Linearfaktoren. Damit ist F |_{W^{⊥}} ∈ End(W^{⊥}) in W^{⊥} reell trigonalisierbar, und es gibt einen Eigenvektor.□

Satz 23.12 Ist A ∈ M(n, 𝕂) eine reelle symmetrische bzw. hermitesche Matrix, dann gibt es eine orthogonale bzw. unitäre Matrix T ∈ O(n) bzw. T ∈ U(n) mit

A = T ΛT^{∗} , Λ = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) ,

wobei λ_{i} ∈ ℝ die Eigenwerte von A sind.

Beweis. Die Matrix A = \overline{A^{t}} = (a_{ij}), also a_{ji} = \overline{a_{ij}}, definiert einen selbstadjungierten Endomorphismus F = F^{∗} ∈ End(𝕂^{n}) durch F (e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i}, wobei (e_{1}, …, e_{n}) die Standardbasis ist. Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine orthonormale Basis von 𝕂^{n} aus Eigenvektoren von F, d.h. F (v_{i}) = λ_{i}v_{i}. Wir zerlegen v_{i} nach der Standardbasis: v_{i} = ∑_{k=1}^{n} t_{ki}e_{k}. Aus der Orthonormalität folgt ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{k=1}^{n} \overline{t_{ki}}t_{kj} = δ_{ij}, und damit T^{∗}T = E_{n} für T = (t_{ij}). Andererseits gilt nach der Parsevalschen Gleichung

δ_{kj} = ⟨e_{k}, e_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨e_{k}, v_{i}⟩⟨v_{i}, e_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} t_{ki}\overline{t_{ji}} ,

also T T^{∗} = E_{n} und damit T ∈ O(n) bzw. T ∈ U(n). Nun gilt

F (v_{k}) = ∑_{j=1}^{n} t_{jk}F (e_{j}) = ∑_{i,j=1}^{n} t_{jk}a_{ij}e_{i} = λ_{k}v_{k} = ∑_{l=1}^{n} λ_{k}t_{lk}e_{l} .

Da die e_{i} linear unabhängig sind, folgt ∑_{j=1}^{n} a_{ij}t_{jk} = t_{ik}λ_{k} für alle k. Wir multiplizieren mit \overline{t_{lk}} und summieren über k:

∑_{k,j=1}^{n} a_{ij}t_{jk}\overline{t_{lk}} = a_{il} = ∑_{k=1}^{n} t_{ik}λ_{k}\overline{t_{lk}} = (T ΛT^{∗})_{il} .  □

Ist (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum, dann definiert jeder Endomorphismus F ∈ End(V) eine Abbildung L : V × V → 𝕂 durch L(v, w) := ⟨v, F (w)⟩, die linear in der 2. Komponente (Axiom (S1) aus Definition 20.1) und semilinar in der 1. Komponente ist. Abbildungen L : V × V → 𝕂 mit diesen beiden Eigenschaften heißen Bilinearformen bzw. Sesquilinearformen. Gilt zusätzlich (S2) aus Definition 20.1, so heißt die Bilinearform symmetrisch bzw. die Sesquilinearform hermitesch. Wegen

⟨v, F (w)⟩ = ⟨F^{∗}(v), w⟩ = \overline{⟨w, F^{∗}(v)⟩}

(falls F^{∗} existiert) gilt (S2) für L(v, w) := ⟨v, F (w)⟩ genau dann, wenn F selbstadjungiert ist. Schließlich kann man sich fragen, wann (S3) gilt:

Definition 23.13 Sei V ein Vektorraum über 𝕂. Eine symmetrische Bilinearform bzw. hermitesche Sesquilinearform L : V × V → 𝕂 heißt

• positiv semidefinit, wenn L(v, v) ≥ 0 für alle v ∈ V,

• nicht ausgeartet, wenn L(v, v) = 0 ⇔ v = 0,

• positiv definit, wenn L positiv semidefinit und nicht-ausgeartet ist.

Ein Skalarprodukt auf V ist damit eine positiv definite symmetrische Bilinearform bzw. positiv definite hermitesche Sesquilinearform.

Wir interessieren uns nun für die Frage, wie man entscheiden kann, ob eine symmetrische Bilinearform positiv definit ist (und somit ein Skalarprodukt definiert).

Satz 23.14 Es sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Die durch einen selbstadjungierten Endomorphismus F = F^{∗} ∈ End(V) über L(v, w) = ⟨v, F (w)⟩ definierte Bilinearform bzw. Sesquilinearform L ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte von F positiv sind.

Beweis. Nach Theorem 23.10 bzw. Satz 23.11 besitzt V eine Orthonormalbasis B = (v_{1}, …, v_{n}) aus Eigenvektoren von F. Es sei F (v_{i}) = λ_{i}v_{i} mit λ_{i} ∈ ℝ nach Satz 23.8. Dann gilt für einen beliebigen Vektor v = μ_{1}v_{1} + ⋯ + μ_{n}v_{n} ∈ V

L(v, v) = ⟨v, F (v)⟩ = ⟨ ∑_{j=1}^{n} μ_{j}v_{j}, ∑_{j=1}^{n} μ_{i}F (v_{i})⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} \overline{μ_{j}}μ_{i}λ_{i}⟨v_{i}, v_{j}⟩
= λ_{1}|μ_{1}|^{2} + ⋯ + λ_{n}|μ_{n}|^{2} .

Daraus folgt die Behauptung. □

Allerdings ist die Bestimmung der Eigenwerte meist nur numerisch möglich. Ein einfacheres Kriterium im reellen Fall kann wie folgt erhalten werden

Satz 23.15 Sei A ∈ M(n, ℝ) eine symmetrische Matrix und A_{k} ∈ M(k, ℝ) die linke obere Teilmatrix von A aus k Zeilen und Spalten. Dann ist A genau dann positiv definit, wenn det A_{k} > 0 für alle 1 ≤ k ≤ n.

Beweis. (⇒) Ist A = A^{t} ∈ M(n, ℝ) positiv definit, dann ist det A = det(T ΛT^{t}) = det Λ(det T)^{2} = λ_{1} · · · · · · λ_{n} > 0. Die Matrix A_{k} beschreibt die Einschränkung der durch A definierten Bilinearform auf den Untervektorraum

V_{k} := {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : x_{k+1} = ⋯ = x_{n} = 0} .

Ist A positiv definit, dann ist auch ⟨x, Ax⟩ > 0 für alle x ∈ V_{k} mit x ≠ 0. Folglich ist det A_{k} > 0.

(⇐) wird durch Induktion nach n bewiesen. Sei in Blockdarstellung

A = A^{t} = ( \begin{matrix}B & b \\ b^{t} & c \end{matrix} ) ∈ M(n, ℝ) B = B^{t} ∈ M(n − 1, ℝ) , c ∈ ℝ
b ∈ ℝ^{n−1} (Spaltenvektor) .

Nach Induktionsvoraussetzung folgt aus det A_{k} = det B_{k} > 0 für 1 ≤ k ≤ n − 1, daß B positiv definit ist. Damit gilt B = T ΛT^{t}, wobei T ∈ O(n − 1) und Λ ∈ M(n − 1, ℝ) eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n−1} von B auf der Diagonale ist. Dann ist

A = ( \begin{matrix}T & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}Λ & T^{t}b \\ b^{t}T & c \end{matrix} ) ( \begin{matrix}T & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{t}

= (\begin{matrix}T & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}E_{n−1} & 0 \\ b^{t}T Λ^{−1} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}Λ & 0 \\ 0 & c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b \end{matrix}) (\begin{matrix}E_{n−1} & Λ^{−1}T^{t}b \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}T & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{t} .

Nun ist det A = (det T)^{2}(det Λ)(c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b) genau dann positiv, wenn c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b > 0. Andererseits ist x^{t}Ax > 0 für alle x ∈ ℝ^{n} genau dann, wenn

y^{t} ( \begin{matrix}Λ & 0 \\ 0 & c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b \end{matrix} ) y > 0 für alle y ∈ ℝ^{n}. □

Achtung: In obiger Darstellung für A ist (\begin{matrix}E_{n−1} & Λ^{−1}T^{t}b \\ 0 & 1 \end{matrix}) keine orthogonale

Matrix für b ≠ 0, so daß λ_{1}, …, λ_{n+1}, c − b^{t}T Λ^{−1}T^{t}b nicht die Eigenwerte von A sind!

Teil VII

Vollständigkeit

24 Topologie metrischer Räume

Es sei erinnert an die Definition 20.13 eines metrischen Raums. Über die Metrik führen wir den zentralen Begriff der offenen Teilmengen ein:

Definition 24.1 Es sei (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X und r > 0. Dann heißt die Teilmenge

K_{r}(a) := {x ∈ X : d(a, x) < r} ⊂ X

die offene Kugel in (X, d) mit Mittelpunkt a und Radius r.

Diese Kugeln können je nach Metrik verschiedene Formen haben:

Beispiel 24.2 Betrachtet werde X = ℝ^{2} mit den Metriken d_{p}(x, y) = ∥x − y∥_{p}, die aus den Normen ∥ ∥_{p}, 1 ≤ p ≤ ∞, aus Beispiel 20.10 induziert werden. Dann haben die Einheitskugeln mit r = 1 um a = 0 folgende Gestalt:

[figure: −1; 1; −1; 1; p = 1; p = ∞]

Definition 24.3 Es sei (X, d) ein metrischer Raum.

i) Eine Teilmenge U ⊂ X heißt Umgebung eines Punktes a ∈ X, wenn es eine offene Kugel K_{ϵ}(a) ⊂ U gibt. Speziell heißt K_{ϵ}(a) die ϵ-Umgebung von a.

ii) Eine Teilmenge U ⊂ X heißt offen, wenn jeder Punkt x ∈ U eine in U enthaltene ϵ-Umgebung besitzt, d.h. ∀x ∈ U ∃ϵ > 0 : K_{ϵ}(x) ⊂ U. Außerdem wird die leere Menge ∅ ⊂ X als offen erklärt.

iii) Die Gesamtheit aller offenen Teilmengen von (X, d) heißt die von d erzeugte Topologie auf X.

iv) Eine Teilmenge A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist. v) Sei Y ⊂ X eine Teilmenge. Ein Punkt y ∈ X heißt Randpunkt von Y, wenn es in jeder Umgebung von y sowohl Punkte aus Y als auch aus X \ Y gibt. Die Menge aller Randpunkte von Y heißt der Rand von Y und wird mit ∂Y bezeichnet.

Damit sind X und ∅ sowohl offen als auch abgeschlossen in X.

Satz 24.4 In einem metrischen Raum (X, d) gilt:

i) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

ii) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

iii) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

iv) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Außerdem gilt (Hausdorffsches Trennungsaxiom):

v) Zu je zwei Punkten x, y ∈ X mit x ≠ y gibt es disjunkte offene Umgebungen U von x und V von y, d.h. U ∩ V = ∅.

Satz 24.5 Sei (X, d) ein metrischer Raum und Y ⊂ X. Dann gilt:

i) Y \ ∂Y ist offen in X.

ii) Y ∪ ∂Y ist abgeschlossen in X.

iii) ∂Y ist abgeschlossen in X.

Definition 24.6 Für eine Teilmenge Y ⊂ X eines metrischen Raumes (X, d) wird der Durchmesser definiert als diam(Y) := sup_{x,y∈Y} d(x, y). Eine Teilmenge Y ⊂ X heißt beschränkt, wenn diam(Y) < ∞.

Beispiel 24.7 Die n-dimensionale Einheitsvollkugel B^{n} := {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{2} ≤ 1} ist abgeschlossen im ℝ^{n}. Ihr Rand ist die Einheitssphäre S^{n−1} := ∂B^{n} = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{2} = 1}, sie ist ebenfalls abgeschlossen im ℝ^{n}. Es ist dann sinnvoll, offene Teilmengen von S^{n−1} zu betrachten. Jeder Durchschnitt der S^{n−1} mit einer offenen Teilmenge des ℝ^{n} definiert eine offene Teilmenge von S^{n−1}. Im Sinne dieser Teilmengen ist S^{n−1} dann offen und abgeschlossen zugleich. Es gilt diam(B^{n}) = 2. ◁

Verschiedene Metriken (und Normen) könnten verschiedene Topologien erzeugen. In unendlich-dimensionalen Vektorräumen ist das in der Tat der Fall, im endlich-dimensionalen Fall aber nicht. Wir betrachten hier nur Topologien, die von einer Norm erzeugt werden:

Definition 24.8 Zwei Normen ∥ ∥_{a} und ∥ ∥_{b} auf einem Vektorraum V heißen äquivalent, wenn es positive Zahlen c, C > 0 gibt, so daß für beliebige x ∈ V gilt c∥x∥_{a} ≤ ∥x∥_{b} ≤ C∥x∥_{a}.

Im Äquivalenzfall enthält jede offene Kugel bezüglich ∥ ∥_{a} eine offene Kugel bezüglich ∥ ∥_{b}, und umgekehrt.

Satz 24.9 Je zwei Normen auf einem n-dimensionalen Vektorraum V über 𝕂 sind äquivalent.

Beweis. Zunächst zeigen wir für V = ℝ^{n}, daß eine beliebige Norm ∥ ∥ äquivalent ist zur Standardnorm ∥ ∥_{2} = \sqrt{⟨ , ⟩}. Es sei (e_{1}, …, e_{n}) die Standardbasis. Dann gilt für x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} nach Dreiecksungleichung und Cauchy-Schwarz

∥x∥ ≤ ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|∥e_{i}∥ ≤ \sqrt{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}} \underbrace{\sqrt{∑_{i=1}^{n} ∥e_{i}∥^{2}}}_{C} = C∥x∥_{2} .

Zur Umkehrung betrachten wir die Einheitssphäre S^{n−1} := {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ = 1\} ⊂ ℝ^{n}. Sei c := inf_{x∈S^{n−1}} ∥x∥. Wir zeigen: c > 0, dann ist x = \frac{1}{∥y∥_{2}} y ∈ S^{n−1}

für beliebige y ≠ 0, und damit c ≤ ∥x∥ = \frac{∥y∥}{∥y∥_{2}} . (Für y = 0 ist die Äquivalenz klar.) Angenommen, es wäre c = 0. Dann gibt es eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten x_{k} ∈ S^{n−1}, so daß die Folge (∥x_{k}∥)_{k∈ℕ} reeller Zahlen gegen 0 konvergiert. Wir betrachten die Komponenten x_{ki} von x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}). Die Folge (x_{k1})_{k∈ℕ} ist beschränkt und enthält nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine gegen a_{1} konvergente Teilfolge (x_{k_{m}1})_{m∈ℕ}. Analog konstruiert man eine gegen a_{2} konvergente Teilfolge von (x_{k_{m}2})_{m∈ℕ}, usw., bis schließlich eine Teilfolge von (x_{k}) erhalten ist, die komponentenweise gegen a = (a_{1}, …, a_{n}) konvergiert. Diese konvergente Teilfolge sei wieder mit (x_{k})_{k∈ℕ} bezeichnet. Dann gilt a_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} = lim_{k→∞}(x_{k1}^{2} + ⋯ + x_{kn}^{2}) = 1, d.h. a ∈ S^{n−1}. Andererseits gilt nach Dreiecksungleichung

∥a∥ ≤ ∥a − x_{k}∥ + ∥x_{k}∥ ≤ C∥a − x_{k}∥_{2} + ∥x_{k}∥ für alle k ∈ ℕ .

Nun ist lim_{k→∞} ∥a − x_{k}∥_{2} = lim_{k→∞} \sqrt{|a_{1} − x_{k1}|^{2} + … |a_{n} − x_{kn}|^{2}} = 0 und lim_{k→∞} ∥x_{k}∥ = 0, also ∥a∥ = 0 und damit a = 0, im Widerspruch zu a ∈ S^{n−1}.

Sei nun V ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum. Dann gibt es eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V. Es sei Φ_{B} : ℝ^{n} → V der kanonische Isomorphismus. Damit induzieren die Normen ∥ ∥_{a}, ∥ ∥_{b} auf V entsprechende Normen auf ℝ^{n} durch ∥x∥_{a,B} := ∥Φ_{B}(x)∥_{a} und ∥x∥_{b,B} := ∥Φ_{B}(x)∥_{b}. Die Äquivalenz zwischen ∥ ∥_{a,B} und ∥ ∥_{b,B} überträgt sich damit auf ∥ ∥_{a}, ∥ ∥_{b}. □

25 Konvergenz in metrischen Räumen. Banach-Räume

Definition 25.1 Sei (X, d) ein metrischer Raum und (x_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von Punkten aus X. Die Folge (x_{k}) heißt konvergent, wenn es ein a ∈ X gibt mit folgenden äquivalenten Eigenschaften: i) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein n ∈ ℕ mit d(a, x_{k}) < ϵ für alle k ≥ n.

ii) Zu jeder Umgebung U von a gibt es ein n ∈ ℕ mit x_{k} ∈ U für alle k ≥ n.

iii) Es gilt lim_{k→∞} d(x_{k}, a) = 0.

Im Konvergenzfall heißt a ∈ X der Grenzwert der Folge (x_{k})_{k∈ℕ}, und man schreibt lim_{k→∞} x_{k} = a.

Existiert der Grenzwert, dann ist er nach Dreiecksungleichung eindeutig bestimmt: Wären d(x_{k}, a_{1}) < ϵ und d(x_{k}, a_{2}) < ϵ für alle k ≥ n, so ist auch d(a_{1}, a_{2}) ≤ d(a_{1}, x_{k}) + d(x_{k}, a_{2}) < 2ϵ für beliebige ϵ > 0, und damit d(a_{1}, a_{2}) = 0 und a_{1} = a_{2}.

Die Definition überträgt sich auf Konvergenz und Grenzwert von Folgen in normierten Vektorräumen (V, ∥ ∥) mit der durch die Norm induzierten Metrik. Nach Satz 24.9 ist im endlich-dimensionalen Fall der Konvergenzbegriff unabhängig von der Wahl der Norm. Insbesondere konvergiert im ℝ^{n} eine Punktfolge (x_{k})_{k∈ℕ} mit x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}) genau dann gegen a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n}, wenn für jede Koordinate 1 ≤ i ≤ n die Folge x_{ki} gegen a_{i} konvergiert.

Satz 25.2 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge Y ⊂ X ist genau dann abgeschlossen in X, wenn für jede in X konvergente Folge (y_{k})_{k∈ℕ} mit y_{k} ∈ Y gilt lim_{k→∞} y_{k} = x ∈ Y.

Beweis. (⇒) Sei Y ⊂ X abgeschlossen und x = lim_{k→∞} y_{k} mit y_{k} ∈ Y. Angenommen, x ∉ Y, also x ∈ X \ Y. Da X \ Y offen ist, gibt es in X \ Y eine ϵ-Umgebung U_{ϵ} um x. Da x der Grenzwert der Folge (y_{k}) ist, gibt es ein n ∈ ℕ, so daß y_{k} ∈ U_{ϵ} ⊂ X \ Y für alle k ≥ n, Widerspruch.

(⇐) Die Grenzwerte aller konvergenten Folgen von Punkten aus Y liegen in Y. Wir zeigen: X \ Y ist offen. Angenommen, es gibt einen Punkt x̃ ∈ X \ Y, der keine ϵ-Umgebung in X \ Y besitzt. Dann gibt es zu jedem k ∈ ℕ ein y_{k} ∈ Y mit d(x̃, y_{k}) < ϵ_{k} := \frac{1}{k+1}. Auf diese Weise wird eine Folge (y_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus Y konstruiert, die gegen x̃ konvergiert. Nach Voraussetzung ist x̃ ∈ Y, Widerspruch. □

Definition 25.3 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus X heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ϵ > 0 ein k ∈ ℕ existiert, so daß d(x_{n}, x_{m}) < ϵ für alle m, n ≥ k.

Die Definition überträgt sich auf Cauchy-Folgen in normierten Vektorräumen (V, ∥ ∥) mit der durch die Norm induzierten Metrik.

Satz 25.4 Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist eine Cauchy-Folge.

Beweis. Sei (x_{k})_{k∈ℕ} konvergent in (X, d) mit lim_{k→∞} x_{k} = x. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein k ∈ ℕ, so daß d(x_{n}, x) < \frac{ϵ}{2} und d(x_{m}, x) < \frac{ϵ}{2} für alle m, n ≥ k. Dann folgt aus der Dreiecksungleichung d(x_{n}, x_{m}) ≤ d(x_{n}, x) + d(x, x_{m}) < ϵ. □

Wie in der eindimensionalen Analysis besteht der Sinn der Cauchy-Folge ist, daß man den Grenzwert nicht kennen muß. Das wirft die Frage auf, wann eine Cauchy-Folge auch konvergent ist.

Definition 25.5 Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert.

Ein vollständiger normierter Vektorraum (V, ∥ ∥) heißt Banach-Raum.

Ein euklidischer oder unitärer Vektorraum (V, ⟨ , ⟩), der bezüglich ∥v∥ = \sqrt{⟨v, v⟩} vollständig ist, heißt Hilbert-Raum.

Satz 25.6 Jeder endlich-dimensionale normierte Vektorraum ist vollständig.

Beweis. Nach Satz 24.9 genügt es in endlich-dimensionalen Vektorräumen, die Vollständigkeit bezüglich einer Norm nachzuweisen. Über den kanonischen Isomorphismus zu einer Basis können wir uns dann auf 𝕂^{n} beschränken. Sei also (x_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge bezüglich der ∥ ∥_{1}-Norm von Punkten x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}) ∈ 𝕂^{n}. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß für alle k, l ≥ N gilt

∥x_{k} − x_{l}∥_{1} = |x_{k1} − x_{l1}| + ⋯ + |x_{kn} − x_{ln}| < ϵ .

Also ist (x_{ki})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in 𝕂 für jedes i = 1, …, n. Wegen der Vollständigkeit von 𝕂 konvergiert (x_{ki})_{k∈ℕ} gegen ein a_{i} ∈ 𝕂. Damit konvergiert (x_{k}) gegen a = (a_{1}, …, a_{n}). □

Satz 25.7 Der normierte Vektorraum (C([a, b]), ∥ ∥_{∞}) der stetigen komplexwertigen Funktionen über dem Intervall [a, b] ⊂ ℝ zusammen mit der Supremums-Norm ∥f∥_{∞} := sup_{x∈[a,b]} ∥f(x)∥ ist ein Banach-Raum.

Beweis. Sei (f_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge stetiger Funktionen f_{k} ∈ C([a, b]). Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß für alle k, l ≥ N gilt ∥f_{k} − f_{l}∥_{∞} < ϵ. Insbesondere ist |f_{k}(x) − f_{l}(x)| < ϵ für alle x ∈ [a, b]. Damit ist die Folge komplexer Zahlen (f_{k}(x))_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge, die gegen ein f(x) = lim_{k→∞} f_{k}(x) ∈ ℂ konvergiert. Dadurch wird punktweise eine Grenzfunktion f : [a, b] → ℂ erhalten. Damit gilt ∥f_{k} − f∥_{∞} < ϵ für alle k ≥ N, d.h. (f_{k})_{k∈ℕ} konvergiert gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Satz 12.12 aus dem letzten Semester ist f stetig. □

Dagegen ist (C([a, b]), ∥ ∥_{p}) für 1 ≤ p < ∞ kein Banachraum. Ähnlich wie bei der Vervollständigung von ℚ zu ℝ lassen sich nicht vollständige normierte Vektorräume vervollständigen. Die Vervollständigung von (C([a, b]), ∥ ∥_{p}) ist der Vektorraum L^{p}([a, b]) der über [a, b] in p-ter Potenz Lebesgue-integrierbaren Funktionen, die wir im nächsten Semester einführen werden.

Definition 25.8 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum über 𝕂. Eine lineare Abbildung f : V → 𝕂 heißt beschränkt, wenn es ein 0 ≤ C < ∞ gibt, so daß für alle v ∈ V gilt |f(v)| ≤ C∥v∥.

Satz 25.9 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum über 𝕂. Die Menge

V′ = B(V, 𝕂) := {f : V → 𝕂 : f linear und beschränkt }

aller linearen beschränkten Abbildungen von V nach 𝕂 ist ein Banach-Raum bezüglich der Operator-Norm

∥f∥_{op} := sup_{v∈V , ∥v∥≤1} |f(v)| .

Dieser Banach-Raum V′ heißt der Dualraum von V.

Beweis. Betrachtet man nur die Linearität, dann ist V′ = Hom(V, 𝕂) als Homomorphismus von Vektorräumen selbst wieder ein Vektorraum. Zu zeigen ist jedoch, daß aus f, g ∈ V′ auch f + g ∈ V′ folgt. Das ergibt sich jedoch aus dem Beweis, daß ∥ ∥_{op} eine Norm ist. ∥λf∥_{op} = |λ|∥f∥_{op} ist klar. Die Dreiecksungleichung folgt aus

∥f + g∥_{op} = sup_{v∈V , ∥v∥≤1} |f(v) + g(v)| ≤ sup_{v∈V , ∥v∥≤1}(|f(v)| + |g(v)|)

≤ sup_{v∈V , ∥v∥≤1} |f(v)| + sup_{w∈V , ∥w∥≤1} |g(v)| = ∥f∥_{op} + ∥g∥_{op} .

Schließlich bedeutet ∥f∥_{op} = 0, daß f(v) = 0 für alle v ∈ V, also ist f die Nullabbildung.

Verbleibt der Beweis der Vollständigkeit. Es sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in V′. Dann folgt für alle v ∈ V \ {0} (für v = 0 ist nichts zu zeigen)

|f_{n}(v) − f_{m}(v)| = |(f_{n} − f_{m})(v)| = |∥v∥(f_{n} − f_{m})(\frac{1}{∥v∥}v)|

= ∥v∥|(f_{n} − f_{m})(\frac{v}{∥v∥})| ≤ ∥f_{n} − f_{m}∥_{op}∥v∥ →^{n,m→∞} 0 .

Also ist auch (f_{n}(v))_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in 𝕂, die wegen der Vollständigkeit konvergiert gegen ein f(v) := lim_{n→∞} f_{n}(v) ∈ 𝕂. Weiter gilt wegen der Linearität der f_{n}

f(λv + μw) = lim_{n→∞} f_{n}(λv + μw) = λ lim_{n→∞} f_{n}(v) + μ lim_{n→∞} f_{n}(w) = λf(v) + μf(w) ,

d.h. f ist linear.

Zu jedem ϵ > 0 existiert ein N ∈ ℕ, so daß ∥f_{n} − f_{m}∥_{op} < ϵ für alle m, n ≥ N. Dann ist für alle v ∈ V mit ∥v∥ ≤ 1 und n ≥ N

|f(v)−f_{n}(v)| = lim_{m→∞} |f_{m}(v)−f_{n}(v)| ≤ sup_{v∈V , ∥v∥≤1}{|f_{m}(v)−f_{n}(v)| : m ≥ N} < ϵ .

Das ergibt ∥f − f_{n}∥_{op} := sup_{v∈V , ∥v∥≤1} |f(v) − f_{n}(v)| < ϵ, d.h. f_{n} konvergiert in der Operatornorm gegen f. Insbesondere ist f − f_{n} beschränkt und somit auch f = (f − f_{n}) + f_{n}. □

Satz 25.10 Sei (H, ⟨ , ⟩) ein Hilbert-Raum und U ⊂ H ein abgeschlossener Untervektorraum. Dann gilt:

i) Zu jedem v ∈ H existiert genau ein w ∈ U mit ∥v − w∥ = min_{u∈U} ∥v − u∥ =: d(v, U).

ii) Es gilt v − w ∈ U^{⊥}, so daß P_{U}(v) := w die orthogonale Projektion von v auf U definiert.

iii) H = U ⊕ U^{⊥}.

Beweis. i) Sei γ := inf_{u∈U} ∥v − u∥. Dann gibt es eine Folge (u_{n})_{n∈ℕ} von Vektoren u_{n} ∈ U, so daß die Folge (γ_{n})_{n∈ℕ} mit γ_{n} := ∥v − u_{n}∥ gegen γ konvergiert. Wir zeigen mit der Parallelogrammgleichung, daß (u_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit konvergiert diese gegen ein w ∈ H, und wegen der Abgeschlossenheit von U gilt sogar w ∈ U.

∥u_{m} − u_{n}∥^{2} = ∥(v − u_{n}) − (v − u_{m})∥^{2}
= 2∥v − u_{n}∥^{2} + 2∥v − u_{m}∥^{2} − 4∥v − \frac{1}{2}(u_{n} + u_{m})∥^{2} .

Wegen \frac{1}{2}(u_{n} + u_{m}) ∈ U ist γ ≤ ∥v − \frac{1}{2}(u_{n} + u_{m})∥ ≤ \frac{1}{2}(∥v − u_{n}∥ + ∥v − u_{m}∥). Da ∥v − u_{n}∥ und ∥v − u_{m}∥ gegen γ konvergieren, konvergiert auch ∥v − \frac{1}{2}(u_{n} + u_{m})∥^{2} gegen γ und ∥u_{m} − u_{n}∥^{2} gegen 0 für m, n → ∞.

Wir zeigen anschließend v − w ∈ U^{⊥}, dann folgt die Eindeutigkeit von w wie in Satz 21.4.

ii) Sei also 0 ≠ u ∈ U beliebig und λ := \frac{⟨v−w,u⟩}{∥u∥^{2}} ∈ 𝕂. Dann bedeutet die Minimalität ∥v − w∥^{2} ≤ ∥v − w − λu∥^{2}. Andererseits ist

∥v − w − λu∥^{2} = ∥v − w∥^{2} + |λ|^{2}∥u∥^{2} − λ⟨v − w, u⟩ − \overline{λ}⟨u, v − w⟩
= ∥v − w∥^{2} − |λ|^{2}∥u∥^{2} ,

also λ = 0 und damit v − w ∈ U^{⊥}.

iii) Somit ist v = (v − P_{U}(v)) + P_{U}(v) ∈ U^{⊥} + U, also H = U + U^{⊥} und U ∩ U^{⊥} = {0} nach Satz 21.9. □

Satz 25.11 (Riesz) Sei H ein Hilbert-Raum, (H′, ∥ ∥_{op}) sein Dualraum und j : H → H′ definiert durch j(v)(w) := ⟨v, w⟩. Dann gilt: i) j ist antilinear, d.h. j(λv + μw) = \overline{λ}j(v) + \overline{μ}j(w).

ii) j ist isometrisch, also injektiv.

iii) j ist surjektiv, also ein Anti-Isomorphismus. (gilt nicht für Prä-Hilbert-Räume!)

Beweis. i) folgt aus der Definition.

ii) Zu zeigen ist ∥j(v)∥_{op} = ∥v∥ für alle v ∈ H. Das ist klar für v = 0. Ansonsten (v ≠ 0) betrachten wir

∥j(v)∥_{op} = sup_{w∈H , ∥w∥≤1} |j(v)(w)| = sup_{w∈H , ∥w∥≤1} |⟨v, w⟩| ≤ ∥v∥ ,

also ∥j(v)∥_{op} ≤ ∥v∥. Andererseits ist für die spezielle Wahl j(v)(\frac{v}{∥v∥}) = ∥v∥ und damit ∥j(v)∥_{op} ≥ ∥v∥.

iii) Sei 0 ≠ f ∈ H′ und sei U := ker f ⊂ H. Wir zeigen, daß der Untervektorraum U ⊂ H abgeschlossen bezüglich der durch ∥ ∥ induzierten Topologie ist. Sei (v_{n})_{n∈ℕ} eine in H konvergente Folge von Vektoren v_{n} ∈ U mit v := lim_{n→∞} v_{n} ∈ H, dann ist f(v_{n}) = 0 für alle n ∈ ℕ. Da f beschränkt ist, folgt mit

|f(v)| ≤ |f(v) − f(v_{n})| + |f(v_{n})| = |f(v − v_{n})| ≤ ∥f∥_{op}∥v − v_{n}∥ → 0 für n → ∞

daß f(v) = 0 gilt. Damit ist v ∈ ker f, und U ist abgeschlossen.

Da f ≠ 0, gibt es Vektoren 0 ≠ v ∈ H mit f(v) ≠ 0, insbesondere ist U ≠ H. Wegen H = U ⊕ U^{⊥} gibt es 0 ≠ v ∈ U^{⊥} mit ∥v∥ = 1. Sei λ := f(v). Dann gilt für alle w ∈ H

f(f(w)v − f(v)w) = f(w)f(v) − f(v)f(w) = 0 ,

also f(w)v − f(v)w ∈ U und weiter

0 = ⟨\underbrace{v}_{∈U^{⊥}}, \underbrace{f(w)v − f(v)w}_{∈U}⟩ = f(w)∥v∥^{2} − f(v)⟨v, w⟩ ,

also f(w) = λ⟨v, w⟩ = ⟨\overline{λ}v, w⟩ und damit f = j(\overline{λ}v). □

Insbesondere gilt in H′ die Parallelogrammgleichung, so daß H′ mit dem Skalarprodukt aus der Polarisationsformel selbst ein Hilbert-Raum ist.

Wir nutzen den Rieszschen Darstellungssatz, um die Existenz des adjungierten Operators zu beweisen.

Definition 25.12 Es sei H ein Hilbert-Raum. Ein linearer beschränkter Operator A auf H ist eine lineare Abbildung A : H → H mit ∥A∥_{op} := sup_{v∈H , ∥v∥≤1} ∥Av∥ < ∞. Mit B(H) wird die Menge aller linearen beschränkten Operatoren auf H bezeichnet.

Analog zu Satz 25.9 beweist man, daß B(H) ein Banach-Raum ist.

Satz 25.13 Es sei H ein Hilbert-Raum und A ∈ B(H) ein linearer beschränkter Operator. Dann existiert genau ein linearer beschränkter Operator A^{∗} ∈ B(H), der zu A adjungierte Operator, mit ⟨A^{∗}v, w⟩ = ⟨v, Aw⟩ für alle v, w ∈ H. Es gilt ∥A^{∗}∥_{op} = ∥A∥_{op}.

Beweis. Für jedes v ∈ H ist das lineare Funktional f_{v} : H → 𝕂 mit f_{v}(w) := ⟨v, Aw⟩ beschränkt wegen

|f_{v}(w)| = |⟨v, Aw⟩| ≤ ∥v∥∥Aw∥ ≤ ∥A∥_{op}∥v∥∥w∥ .

Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert genau ein Vektor A^{∗}v ∈ H mit f_{v} = j(A^{∗}v), d.h. f_{v}(w) = ⟨v, Aw⟩ = ⟨A^{∗}v, w⟩. Die so konstruierte Abbildung A^{∗} : H → H ist linear:

⟨A^{∗}(λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}), w⟩ = ⟨(λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}), Aw⟩ = \overline{λ_{1}}⟨v_{1}, Aw⟩ + \overline{λ_{2}}⟨v_{2}, Aw⟩

= \overline{λ_{1}}⟨A^{∗}(v_{1}), w⟩ + \overline{λ_{2}}⟨A^{∗}(v_{2}), w⟩ = ⟨λ_{1}A^{∗}(v_{1}) + λ_{2}A^{∗}(v_{2}), w⟩,

also ⟨A^{∗}(λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}) − (λ_{1}A^{∗}(v_{1}) + λ_{2}A^{∗}(v_{2})), w⟩ = 0 für alle w ∈ H, und daraus A^{∗}(λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}) = λ_{1}A^{∗}(v_{1}) + λ_{2}A^{∗}(v_{2}). Für die Operatornormen sei v ∈ H mit ∥v∥ ≤ 1 gegeben, dann gilt mit Cauchy-Schwarz

∥A^{∗}v∥^{2} = ⟨A^{∗}v, A^{∗}v⟩ = ⟨v, AA^{∗}v⟩ ≤ ∥v∥∥AA^{∗}v∥ ≤ ∥A∥_{op}∥A^{∗}v∥ ,

also ∥A^{∗}∥_{op} ≤ ∥A∥_{op}. Durch analoge Abschätzung von ∥Aw∥ beweist man die Umkehrung ∥A^{∗}∥_{op} ≤ ∥A∥_{op}. Daraus folgt A^{∗} ∈ B(H). □

Somit lassen sich in Hilbert-Räumen selbstadjungierte, unitäre und normale Operatoren definieren und untersuchen. Insbesondere gibt es Analogien zu den Eigenwertproblemen im endlich-dimensionalen Fall.