Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Mittwoch, 30.04.08, bis 16h00 in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Zeigen Sie: Für paarweise verschiedene ganze Zahlen k_{1}, …, k_{r} sind

e^{ik_{1}x}, …, e^{ik_{r}x} ,

aufgefaßt als Vektoren aus dem Vektorraum C(ℝ) der stetigen komplexwertigen Funktionen, linear unabhängig über ℂ.

Aufgabe 2. Man bestimme λ, μ ∈ ℂ mit λv_{1}+μv_{2} = w für v_{1} = (1+i, i), v_{2} = (1, 1+i) ∈ ℂ^{2} und

(a) w = (i, 0)

(b) w = (1 + i, −2 + 3i)

(c) w = (0, 1).

Aufgabe 3. Es seien v_{1}, …, v_{n} linear unabhängige Vektoren eines Vektorraums V, und

x = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i}. Zeigen Sie:

v_{1} − x, …, v_{n} − x linear unabhängig ⟺ ∑_{i=1}^{n} λ_{i} ≠ 1 .

Aufgabe 4. Es sei U = span_{ℝ}((1, 3, −2, 4), (1, 1, 5, 9), (2, 0, −13, 23), (1, 5, 1, −2)). Zeigen Sie oder widerlegen Sie: U = ℝ^{4}.

Aufgabe 5. Es seien p_{1}, …, p_{r} paarweise verschiedene Primzahlen. Zeigen Sie:

(ln p_{1}, …, ln p_{r}) sind linear unabhängig über ℚ .