Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 08.05.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(n × n, ℝ) heißt symmetrisch, falls a_{ij} = a_{ji} für alle 1 ≤ i ≤ j ≤ n gilt, und schiefsymmetrisch, falls a_{ij} = −a_{ji} für alle 1 ≤ i ≤ j ≤ n gilt.

Sei U^{+} := {A ∈ M(n × n, ℝ) : A symmetrisch} und U^{−}:= {A ∈ M(n × n, ℝ) : A schiefsymmetrisch} .

Zeigen Sie: a) U^{+}, U^{−} sind Untervektorräume von M(n × n, ℝ). b) Bestimmen Sie die Dimensionen von U^{+}, U^{−}.

Aufgabe 2. Man untersuche, ob die folgenden Systeme B von Vektoren Erzeugendensysteme (Basen) des 𝕂^{n} über 𝕂 sind:

(a) B = ((1, 2, 3), (2, 1, 0), (−4, 1, 6)) für n = 3 und 𝕂 = ℝ

(b) B = ((2 − i, 1), (−i, 2 + 3i)) für n = 2 und 𝕂 = ℂ

Aufgabe 3. Man bestimme die Dimensionen (über ℝ) von U, W, U + W, U ∩ W für die Untervektorräume U = span(v_{1}, v_{2}, v_{3}) und W = span(w_{1}, w_{2}) des reellen Vektorraums V = ℝ^{5}, wobei v_{1} = (1, 1, 0, 1, 0) , v_{2} = (0, 1, 1, 0, 1) , v_{3} = (0, 1, 1, 0, 0) w_{1} = (0, 0, 1, 1, 0) , w_{2} = (1, 1, −1, 0, −1)

Aufgabe 4. Man bestimme eine Basis von U_{1} ∩ U_{2}, wenn U_{1} = span(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) , U_{2} = span(w_{1}, w_{2}, w_{3}) mit v_{1} = (0, 0, 0, 0, 1) , v_{2} = (0, 0, 0, 1, 0) , v_{3} = (1, 0, 1, 0, 1) , v_{4} = (1, 0, 1, 1, 0) w_{1} = (2, 1, 1, 1, 1) , w_{2} = (1, 1, 0, 1, 1) , w_{3} = (0, 1, 0, 0, 0)