Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 22.05.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 4. Gibt es eine lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{4} mit F (v_{i}) = w_{i} (1 ≤ i ≤ 4), wobei

(a) {v_{1} = (1, 0, 1), v_{2}(1, 1, 1), v_{3} = (0, 1, 1), v_{4} = (2, 0, 1) \atop w_{1} = (1, 1, 1, 1), w_{2} = (1, 0, 1, 0), w_{3} = (0, 0, 0, 1), w_{4} = (1, 0, 1, 1)}
(b) {v_{i} wie in (a) \atop w_{1} = (1, 1, 1, 1), w_{2} = (1, 1, 1, 0), w_{3} = (0, 1, 1, 1), w_{4} = (2, 1, 1, 2)}

Aufgabe 2. Gegeben sei die lineare Abbildung

F : ℝ^{5} ⟶ ℝ^{4} , F : (x_{1} ; ⋮ ; x_{5}) ⟼ (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (x_{1} ; ⋮ ; x_{5})

Bestimmen Sie eine Basis von ker(F), einen Komplementärraum von ker(F) und eine Basis von im(F).

Aufgabe 3. Sei F : ℝ^{3} → ℝ^{5} gegeben durch

f((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = (x_{1} − x_{2} + x_{3}, x_{2} − x_{3}, x_{1} + x_{3}, x_{1} + x_{2} + x_{3}, x_{1} − x_{2} + 2x_{3}) .

Stellen Sie die darstellende Matrix von F bezüglich der Basen

(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) bzw. (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

auf.

Aufgabe 4. Zeigen Sie für F wie in Aufgabe 3:

dim ker (F) = 0 , dim im (F) = 3 .

Bestimmen Sie ein Komplement von im (F), indem Sie eine Basis, bestehend aus passend gewählten Einheitsvektoren, angeben.