Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 29.05.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Man untersuche, ob in den folgenden Beispielen der ℝ^{3} die direkte Summe der Untervektorräume U, W ist:

a) \begin{aligned}U & := & \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{2} = x_{3}\} \\ W & := & \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1} + 2x_{2} = 0, x_{1} = x_{3}\} \end{aligned}

b) \begin{aligned}U & := & \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + 2x_{2} = 0\} \\ W & := & \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1} + 2x_{2} = 0\} \end{aligned}

Aufgabe 2. Für n ≥ 2 sei v_{i} := ∑_{j=1}^{n} e_{j} + (i − 1)e_{i}, wobei (e_{i}) die Standardbasis im ℝ^{n} ist. Man untersuche, ob (v_{1}, …, v_{n}) Basis des ℝ^{n} ist.

Aufgabe 3. Es sei P_{n} der Vektorraum aller Polynome in der reellen Variablen x vom Grad ≤ n. Es sei D_{n} : P_{n} → P_{n−1} die Differentiation und I_{n} : P_{n} → P_{n+1} die Abbildung I_{n} : ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} ↦ ∑_{i=0}^{n} \frac{a_{i}}{i+1}x^{i+1}.

a) Zeigen Sie: (x^{0}, …, x^{n}) ist Basis von P_{n}.

b) Stellen Sie für I_{n}, D_{n} und I_{n−1} ∘ D_{n}, D_{n+1} ∘ I_{n} die darstellenden Matrizen bezüglich der Basen aus a) auf.

Aufgabe 4. Es sei V Vektorraum und U ⊂ V Untervektorraum mit dim U = k < dim V = n < ∞. Es sei F : V → V ein Endomorphismus mit F (U) ⊂ U. Zeigen Sie: Es gibt eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V, so daß für die darstellende Matrix A = M_{B}^{B}(F) = (a_{ij}) von F bezüglich B gilt: a_{ij} = 0 für i > k (mit i, j ∈ {1, …, n}).