Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 12.06.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 8 Aufgabe 1. Zeige

det ( \begin{matrix}∗ & ∗ & … & ∗ & a_{n} \\ ∗ & ∗ & … & a_{n−1} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋯ & ⋮ \\ ∗ & a_{2} & … & … & 0 \\ a_{1} & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} ) = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} a_{1} ⋯ a_{n}

für beliebige Einträge ∗ oberhalb der Nebendiagonalen. Aufgabe 2. Zeige:

det (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & … & 1 \\ b_{1} & a_{1} & a_{1} & … & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & a_{2} & … & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & … & a_{n} \end{matrix}) = ∏_{i=1}^{n}(a_{i} − b_{i}) .

Aufgabe 3. Seien a_{n−1}, …, a_{0} ∈ ℝ und

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & … & 0 & −a_{0} \\ 1 & 0 & 0 & … & 0 & −a_{1} \\ 0 & 1 & 0 & … & 0 & −a_{2} \\ & & ... & ... & ⋮ & ⋮ \\ & 0 & & ... & 0 & −a_{n−2} \\ & & & & 1 & −a_{n−1} \end{matrix} ) .

Berechne det(xE_{n} − A) für x ∈ ℝ. Aufgabe 4. Bestimme det(xE_{n} − A) für x ∈ ℝ und

A = ( \begin{matrix}a & b & … & … & b \\ b & a & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & a & b \\ b & … & … & b & a \end{matrix} ) mit a, b ∈ ℝ .