Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 26.06.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Bestimme charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Eigenräume von

(\begin{matrix}−2 & 5 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

Aufgabe 2. Es sei A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 9 \end{matrix} ).

a) Zeige: A ist diagonalisierbar.

b) Bestimme Eigenwerte und Eigenräume von A und ein S ∈ GL(2, ℝ) mit S^{−1}AS = Diagonalmatrix.

c) Berechne A^{2008} = \underbrace{A ⋯ A}_{2008 mal}

Aufgabe 3. Sei A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ). Berechne A^{1000} · ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ).

Aufgabe 4. Seien A, B ∈ M(n, K). Zeige: Die Eigenwerte ≠ 0 von AB und BA stimmen überein.