Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 03.07.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Es sei (V, ⟨ , ⟩) Vektorraum mit Skalarprodukt B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann heißt die Matrix G_{B} := (⟨v_{i}, v_{j}⟩) Fundamentalmatrix des Skalarprodukts bzgl. der Basis B. Zeige: Ist A = (w_{1}, …, w_{n}) eine weitere Basis von V, so gilt

G_{B} = \overline{(M_{A}^{B}(id_{V}))^{t}} · G_{A} · M_{A}^{B}(id_{V}) ,

also det G_{B} = | det M_{A}^{B}(id_{V})|^{2} det G_{A}.

Aufgabe 2. Zeige: Ist (V, ⟨ , ⟩) Vektorraum mit Skalarprodukt und sind v_{1}, …, v_{r} ∈ V beliebig, so gilt:

det(⟨v_{i}, v_{j}⟩) ≠ 0 ⟺ v_{1}, …, v_{r} linear unabhängig .

Aufgabe 3. Sei (V, ⟨ , ⟩ ein komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige:

⟨x, y⟩ = \frac{1}{4}\{⟨x+y, x+y⟩−⟨x−y, x−y⟩\}− \frac{i}{4}\{⟨x+iy, x+iy⟩−⟨x−iy, x−iy⟩\} ∀ x, y ∈ V .

Aufgabe 4. Man überprüfe, ob

⟨(y_{1}, y_{2}, y_{3}), (x_{1}, x_{2}, x_{3})⟩ := (y_{1}, y_{2}, y_{3}) (\begin{matrix}2 & −2 & 0 \\ −2 & 1 & −2 \\ 0 & −2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

ein Skalarprodukt auf dem ℝ^{3} liefert. Hinweis: Man verwende Aufgabe 1.