Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Donnerstag, 10.07.08, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. Es sei P_{n} ⊂ ℝ[x] der Vektorraum der Polynome in der reellen Variablen x

vom Grad ≤ n und ⟨f, g⟩ = ∫_{−1}^{1} dx f(x)g(x).

a) Man überführe durch das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren die Familie (1, x, x^{2}, x^{3}) in eine Orthonormalbasis von P_{3}.

b) Man berechne den Abstand von x^{4} ∈ P_{4} zum Untervektorraum P_{3} ⊂ P_{4}.

Aufgabe 2. Es sei P_{n} ⊂ ℝ[x] der Vektorraum der Polynome in der reellen Variablen x

vom Grad ≤ n und ⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{∞} dx f(x)g(x) e^{−x}.

a) Man überführe durch das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren die Familie (1, x, x^{2}, x^{3}) in eine Orthonormalbasis von P_{3}.

b) Man berechne den Abstand von x^{4} ∈ P_{4} zum Untervektorraum P_{3} ⊂ P_{4}.

Aufgabe 3. Zeige:

|x| = \frac{π}{2} − \frac{4}{π} ∑_{k=0}^{∞} \frac{cos((2k + 1)x)}{(2k + 1)^{2}} für alle x ∈ [−π, π]

sowie ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(2k + 1)^{2}} = \frac{π^{2}}{8} und ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(2k + 1)^{4}} = \frac{π^{4}}{96}.

Hinweis: Man denke sich |x| als (2π)-periodisch fortgesetzt zu einer auf ℝ stückweise stetig differenzierbaren Funktion und arbeite mit dem Skalarprodukt in C_{sw}([0, 2π]) aus der Vorlesung.

Aufgabe 4. Zeige:

| sin x| = \frac{2}{π} − \frac{4}{π} ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(2kx)}{4k^{2} − 1} für alle x ∈ [0, 2π]

sowie ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(4k^{2} − 1)^{2}} = \frac{π^{2}}{16} − \frac{1}{2}.