Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Probeklausur zur Mathematik für Physiker II

Die Klausur wird aus zwei Teilen bestehen:

• Im Teil A, den es in der Probeklausur nicht gibt, wird das theoretische Verständnis der behandelten Themen abgefragt.

• Teil B besteht aus Aufgaben, die mit denen der Probeklausur vergleichbar sind. Alle Lösungsschritte sind nachvollziehbar zu begründen.

Einziges zugelassenes Hilfsmittel ist ein selbst zusammengestelltes A4-Blatt (ein- oder zweiseitig, handgeschrieben oder per Computer) mit Notizen.

\underline{Teil B}

Aufgabe 1. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ definiert durch f(x, y) := x^{3} − y^{2} − 6xy − 9x + 4y. Bestimmen Sie alle Kandidaten für lokale Extrema von f auf ℝ^{2} und entscheiden Sie, ob es sich um lokale Maxima oder Minima handelt.

Aufgabe 2. Berechnen Sie folgende Integrale:

a)  ∫_{0}^{1} dx \frac{x + 1}{x^{2} + 2x − 8}
b)  ∫_{1}^{∞} dx (x^{2} + x + 1)e^{−x}
c)  ∫0^{\frac{π}{2}} dx \frac{1}{2 + sin x}

Aufgabe 3. Für t ∈ ℝ sei A(t) = (\begin{matrix}1 & 2t & −1 \\ t & 2 & −1 \\ 1 & 3 − t & −t \end{matrix}).

a) Bestimmen Sie rang(A(t)) als Funktion von t.

b) Es sei r = rang(A(1)). Bestimmen Sie Matrizen L, R ∈ GL(3, ℝ), so daß gilt

A(1) = L · ( \begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) · R^{−1} .

Aufgabe 4. Durch F (x, y, z) = (x + 2y − z, −y + z, x − 2y + z) werde ein Endomorphismus F ∈ End(ℝ^{3}) definiert. Bestimmen Sie alle Eigenwerte λ ∈ ℝ von F sowie einen Eigenvektor zum größten Eigenwert.

Aufgabe 5. Berechnen Sie die Matrix ln(E_{2}+A) := ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} A^{k} für A = ( \begin{matrix}0 & \frac{2}{3} \\ −\frac{1}{3} & 1 \end{matrix} ).

Aufgabe 6. Im euklidischen ℝ^{4} (mit dem Standard-Skalarprodukt) sei U := span(v_{1}, v_{2}, v_{3})

mit v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ −6 \\ 1 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 12 \\ −1 \end{matrix} ).

a) Bestimmen Sie durch das Verfahren von Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis von U.

b) Bestimmen Sie das orthogonale Komplement U^{⊥} von U in ℝ^{4}.

c) Berechnen Sie den Abstand des Vektors e_{4} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) zu U.