Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 22.04., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Sei n eine natürliche Zahl, A eine reelle n × n-Matrix und f: ℝ^{n} → ℝ gegeben durch

f(x) = ⟨x, Ax⟩ = ∑_{i,j} x_{i}a_{ij}x_{j} für alle x ∈ ℝ^{n}.

Zeige: (grad f)(x) = Ax + A^{T} x für alle x ∈ ℝ^{n}, wobei A^{T} die zu A transponierte Matrix bezeichnet, gegeben durch A^{T} = (b_{ij})_{i,j} mit b_{ij} = a_{ji} für alle i, j.

Aufgabe 2. Die Funktionen f, g: ℝ^{2} → ℝ seien gegeben durch

f(x, y) = \frac{2xy}{x^{2} + y^{2}}  und  g(x, y) = xy \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}}  für alle (x, y) ≠ (0, 0)

sowie f(0, 0) = g(0, 0) = 0. Zeige:

(a) Die Funktion f ist überall partiell differenzierbar, aber in (0, 0) nicht stetig.

(b) Die Funktion g ist überall stetig und zweimal partiell differenzierbar, aber (∂_{x}∂_{y}g)(0, 0) ≠ (∂_{y}∂_{x}g)(0, 0).

Wie sind diese Beispiele mit dem Satz von Schwarz vereinbar?

Aufgabe 3. Bestimme für die folgenden Funktionen f, g: ℝ^{2} → ℝ alle Punkte, in denen der Gradient verschwindet, die Hesse-Matrix in diesen Punkten, und prüfe, ob die Funktion an diesen Punkten ein lokales Extremum annimmt:

f(x, y) = x^{2} − y^{2} + xy − 7,  g(x, y) = 2x^{2} − 2xy + y^{2} − 2x + 1.

Aufgabe 4. Seien β ∈ ℕ^{n} ein Multi-Index, n, d ∈ ℕ und f, g: ℝ^{n} → ℝ gegeben durch

f(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1} + ⋯ + x_{n})^{d},  g(x_{1}, …, x_{n}) = x^{β}

für alle x ∈ ℝ^{n}. Ferner sei für jeden Multi-Index α ∈ ℕ^{n}

β − α := (β_{1} − α_{1}, …, β_{n} − α_{n}),  α ≤ β :⇔ α_{1} ≤ β_{1}, …, α_{n} ≤ β_{n}.

(a) Berechne für jeden Multi-Index α ∈ ℕ^{n} die partiellen Ableitungen (\frac{∂}{∂x})^{α}f und (\frac{∂}{∂x})^{α}g. Unterscheide dabei die Fälle |α| ≤ d und |α| > d sowie α ≤ β und α > β.

(b) Beweise durch Entwicklung von f und g in Taylorreihen die Gleichungen (y ∈ ℝ^{n})

(x_{1} + ⋯ + x_{n})^{d} = ∑_{α∈ℕ^{n}, |α|=d} \frac{|α|!}{α!}x^{α}, (x + y)^{β} = ∑_{α∈ℕ^{n}, α≤β} \frac{β!}{α!(β − α)!}x^{α}y^{β−α}.