Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 29.04., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. (a) Sei γ: ℝ → ℝ^{3} stetig partiell differenzierbar. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen:

i) γ verläuft auf der Oberfläche einer Kugel mit Mittelpunkt im Ursprung. ii) Für jedes t ∈ ℝ sind die Vektoren γ(t) und γ′(t) orthogonal in dem Sinne, dass

⟨γ(t), γ′(t)⟩ = 0.

Aufgabe 2. (a) Zeige: Für je zwei Vektoren v, w ∈ ℝ^{2} mit v ≠ 0 und w ≠ 0 ist

⟨v, w⟩ = ∥v∥∥w∥ cos ∡(v, w)

wobei ∡(v, w) den Winkel zwischen v und w bezeichne. (Hinweis: Schreibe v = ∥v∥(cos α, sin α) und w = ∥w∥(cos β, sin β) mit gewissen Winkeln α, β und benutze ein Additionstheorem für Winkelfunktionen.)

(b) Sei γ: ℝ → ℝ^{2} gegeben durch

γ(t) = (t^{2} − 1, t^{3} − t) für alle t ∈ ℝ.

Bestimme alle Punkte im ℝ^{2}, in denen sich die Kurve selbst schneidet, und bestimme jeweils den Cosinus des Winkels zwischen den Tangenten an die Kurve in diesen Schnittpunkten.

Aufgabe 3. Sei f: ℝ^{2} → ℝ gegeben durch

f(x_{1}, x_{2}) = sin(x_{1} + x_{2}).

(a) Benutze die bekannten Reihenentwicklung für die Sinusfunktion, um f als Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt (0, 0) zu schreiben.

(b) Berechne explizit die partiellen Ableitungen (\frac{∂}{∂x})^{α}f(x_{1}, x_{2}) für alle Multi-Indizes α ∈ ℕ^{2} an allen Punkten (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2}.

(c) Stelle die Taylorreihe für f zum Entwicklungspunkt (0, 0) auf und vergleiche diese mit der in (a) gefundenen Reihe.

Aufgabe 4. (a) Berechne für die Exponentialfunktion die Riemannschen Unter- und Obersummen bezüglich einer äquidistanten Zerlegung eines Intervalls [a, b] in n Teilintervalle. (Hinweis: Verwende die geometrische Reihe.)

(b) Zeige, dass die Unter- und Obersummen in (a) für n → ∞ jeweils gegen e^{b} − e^{a} konvergieren. (Hinweis: Verwende die Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion in 0.)