Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 06.05., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. (a) Seien a, b ∈ ℝ mit 0 < a < b. Berechne die Riemannschen Ober- und Untersummen für die Funktion f(x) = 1/x bezüglich einer Zerlegung des Intervalles [a, b] in n Teilintervalle der Länge αβ^{k} mit k = 1, …, n und geeigneten α, β ∈ ℝ.

(b) Berechne die Grenzwerte der Ober- und Untersummen in (a) für n → ∞. (Hinweis: Verwende wieder die Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion in 0.)

Aufgabe 2. (a) Beweise mit partieller Integration die folgenden Formeln:

∫_{1}^{e} dx (ln x)^{n} = e − n ∫_{1}^{e} dx (ln x)^{n−1}  für alle n ≥ 1,
∫_{0}^{1} dx x^{n}e^{x} = e − n ∫_{0}^{1} dx x^{n−1}e^{x}  für alle n ≥ 1.

(b) Leite die zweite Formel aus der ersten Formel mittels Substitution ab.

(c) Berechne die Integrale in (a) für die Fälle n = 1, 2.

Aufgabe 3. Seien m, n ∈ ℕ. Beweise mit Hilfe der Additionstheoreme:

\frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dx sin mx sin nx = \begin{cases}1, & m = n ≠ 0, \\ 0, & sonst, \end{cases}

\frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dx cos mx cos nx = \begin{cases}0, & m ≠ n, \\ 1, & m = n ≠ 0, \\ 2, & m = n = 0, \end{cases}

∫_{−π}^{π} dx sin mx cos nx = 0.

Aufgabe 4. Seien a, b ∈ ℝ. Berechne die folgenden Integrale:

(a) ∫_{0}^{1} dx e^{ax} cos bx,  (b) ∫_{0}^{2} dx \frac{x^{3} − 2x}{17x^{4} − 68x^{2} − π} ,  (c) ∫0^{\frac{1}{2}} dx \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

(Hinweis: Prüfe, ob (b) mit der logarithmischen Integration gelöst werden kann.)