Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis \underline{Mittwoch}, den 12.05., 18.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Berechne die folgenden bestimmten Integrale mit Hilfe von Substitution:

(a) ∫0^{\frac{π}{2}} dx \frac{sin x}{cos^{2} x − 4},  (b) ∫_{0}^{4} dx \frac{x}{\sqrt{1 + 2x}},  (c) ∫_{2}^{3} dx \frac{4x^{5}}{x^{4} − 2x^{2} + 1}.

(Hinweis: Probiere in (b) t = \sqrt{1 + 2x}.)

Aufgabe 2. Berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

(a) ∫ \frac{dx}{x^{2}\sqrt{4 + x^{2}}} ,  (b) ∫ \frac{dx}{cos x},  (c) ∫ dx \frac{sin x cos x}{1 − cos x}.

(Hinweis: Substituiere in (a) x = 2 tan t und in (b) t = tan \frac{x}{2}.)

Aufgabe 3. Untersuche die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert:

(a) ∫_{0}^{1} dx \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} ,  (b) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{x},  (c) ∫_{0}^{1} dx ln x,  (d) ∫_{0}^{2} \frac{dx}{(x − 1)^{4}} .

Aufgabe 4. (a) Zeige mit Hilfe der Taylorreihe für die Funktion x ↦ (1 + x)^{m} mit m = −1/2, dass

\frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = 1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n − 1) · (2n − 3) ⋯ 3 · 1}{2n · (2n − 2) ⋯ 4 · 2}x^{2n} für alle x ∈ (−1, 1).

(b) Gewinne durch gliedweise Integration eine Potenzreihenentwicklung der Funktion x ↦ arcsin x für x ∈ (−1, 1).

(c) Zeige, dass die Reihe in (b) auch für x = 1 konvergiert, und schlussfolgere

\frac{π}{2} = 1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n − 1) · (2n − 3) ⋯ 3 · 1}{2n · (2n − 2) ⋯ 4 · 2} · \frac{1}{2n + 1}.