Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 20.05., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. (a) Gewinne durch gliedweise Integration aus der geometrischen Reihe und der Formel

ln(1 + x) = ∫_{0}^{x} \frac{dt}{1 + t}

eine Potenzreihenentwicklung der Funktion x ↦ ln(1 + x) für x ∈ (−1, 1).

(b) Sei folgende Formel gegeben: ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} . Beweise mit Hilfe der obigen Potenzreihe und gliedweiser Integration die Formel

lim_{t→0} ∫_{|t|}^{1} dx \frac{ln(1 + x)}{x} = \frac{π^{2}}{12}.

Aufgabe 2. Die Betafunktion ist für alle Zahlen a > 0 und b > 0 definiert durch

B(a, b) = ∫_{0}^{1} dx x^{a−1}(1 − x)^{b−1}.

Seien a, b > 0. Zeige:

(a) Das obige Integral konvergiert auch im Fall 0 < a, b < 1 und es gilt B(a, b) = B(b, a).

(b) B(a, b) = \frac{b−1}{a+b−1}B(a, b − 1) im Fall b > 1.

(c) B(a, n) = \frac{1·2·3···(n−1)}{a(a+1)···(a+n−1)} falls b = n > 1 eine natürlichen Zahl.

(d) B(a, b) = ∫_{0}^{∞} dy \frac{y^{a−1}}{(1+y)^{a+b}}. (Hinweis: Substituiere x = \frac{y}{1+y}.)

Aufgabe 3. Sei b > 0 und sei γ(a) für a > 0 definiert durch

γ(a) = \frac{Γ(a + b)}{Γ(b)}B(a, b).

Zeige, dass die so definierte Funktion γ die Voraussetzungen des Satzes von Bohr-Mollerup erfüllt, und schlussfolgere die Formel Γ(a)Γ(b) = Γ(a + b)B(a, b). (Hinweis: Benutze die Hölder-Ungleichung.)

Aufgabe 4. (a) Seien a_{0}, a_{1}, a_{2}, … und b_{1}, b_{2}, … reelle Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Folge der Funktionen F_{1}, F_{2}, …: ℝ → ℝ, gegeben durch

F_{n}(x) := \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} cos kx + b_{k} sin kx),

gleichmäßig gegen eine Funktion f: ℝ → ℝ konvergiert. Zeige:

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dx f(x) cos(kx) und b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dx f(x) sin(kx) für alle k ∈ ℕ.

(b) Berechne für die Funktion

f: ℝ → ℝ, x ↦ \begin{cases}1, & x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ ℤ, \\ 0, & x = kπ, k ∈ ℤ, \\ −1, & x ∈ ((2k + 1)π, 2kπ), k ∈ ℤ, \end{cases}

die Koeffizienten a_{0}, a_{1}, … und b_{1}, b_{2}, … nach den in (a) gegebenen Formeln. (Bemerkung: Später in der Vorlesung werden wir bei der Behandlung von Fourierreihen sehen, in welchem Sinn die mit diesen Koeffizienten gebildete Folge von trigonometrischen Polynomen F_{1}, F_{2}, … gegen f konvergiert.)