Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 03.06., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 6

In den folgenden Aufgaben sind oft die Ergebnisse von Blatt 5 anzuwenden.

Aufgabe 1. (a) Sei 0 < a. Zeige mit Hilfe der Substitution x = \frac{1}{2}(1 − \sqrt{z}) in der Formel für die Betafunktion

B(a, a) = \frac{1}{2^{2a−1}} B (\frac{1}{2}, a) .

(b) Schlußfolgere den Legendreschen Verdoppelungssatz

Γ(a)Γ (a + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2^{2a−1}} Γ(2a).

Aufgabe 2. Zeige:

(a)  ∫_{0}^{1} dx x^{p−1}(1 − x^{m})^{q−1} = \frac{1}{m}B (\frac{p}{m}, q) für alle p, q, m > 0,
(b)  ∫_{0}^{1} dx \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2n}}} · ∫_{0}^{1} dx \frac{x^{n}}{\sqrt{1 − x^{2n}}} = \frac{π}{2n} für alle n ∈ ℕ^{×},
(c)  ∫0^{\frac{π}{2}} dx sin^{a−1} x cos^{b−1} x = \frac{Γ(\frac{a}{2})Γ(\frac{b}{2})}{2Γ(\frac{a+b}{2})} für alle a, b > 0.

Hinweis zu (c): Substituiere y = sin^{2} x.

Aufgabe 3. Sei 0 < a < 1 und

I_{a}(c, d) := ∫_{c}^{d} dx \frac{x^{a−1}}{1 + x} für 0 ≤ c < d ≤ ∞.

(a) Berechne das Integral I_{a}(0, 1) durch Entwicklung des Integranden auf dem Intervall (0, 1) in eine Potenzreihe. Prüfe dabei genau die Integrierbarkeit der Partialsummen der Potenzreihe und die Anwendbarkeit der gliedweisen Integration.

(b) Berechne das Integral I_{a}(1, ∞) durch Substitution x = z^{−1} und Anwendung von (a) und zeige:

I_{a}(0, ∞) = \frac{1}{a} + ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} (\frac{1}{a + n} + \frac{1}{a − n}) .

(c) Bemerkung: Es gilt auch I_{a}(0, ∞) = \frac{π}{sin(πa)}. (Siehe Ergänzung)

Zeige unter Verwendung von Blatt 5, Aufgabe 2(d), den Eulerschen Ergänzungssatz

Γ(a)Γ(1 − a) = \frac{π}{sin aπ} .

(d) Zeige unter Verwendung von 2(c)

∫0^{\frac{π}{2}} dx tan^{c} x = \frac{π}{2 cos \frac{cπ}{2}} für alle c ∈ ]−1, 1[.

Aufgabe 4. Bestimme, welche der folgenden Abbildungen linear ist:

(a) f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (ax + by, cx + dy), mit Konstanten a, b, c, d ∈ ℝ;

(b) g: ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ ((x + y)^{2} − (x − y)^{2}, x + y);

(c) h: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ 2x + 3y − 1;

(d) k: ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ |x − y| + |x + y|.

Ergänzung zu Aufgabe 3(c) Sei 0 < a < 1. Für f : [0, 2π] → ℝ definiert durch f(x) = cos(a(x − π)) findet man nach Blatt 5, Aufgabe 4(a), die Koeffizienten [cos(nπ) = (−1)^{n}]

a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dx f(x) cos(nx) = \frac{(−1)^{n}}{π} ∫_{0}^{2π} dx f(x) cos(n(x − π))

= \frac{(−1)^{n}}{2π} ∫_{0}^{2π} dx ( cos ((a + n)(x − π)) + cos ((a − n)(x − π)))

= \frac{(−1)^{n}}{2π} (\frac{sin(a + n)(x − π)}{a + n} + \frac{sin(a − n)(x − π)}{a − n})|_{0}^{2π}

= \frac{1}{π} sin(πa)(\frac{1}{a + n} + \frac{1}{a − n}) ,

analog b_{n} = 0. Nach Dirichlet-Kriterium ist ∑_{n=1}^{∞} a_{n} cos(nx) wegen |a_{n}| ≤ \frac{a}{π(n^{2}−a^{2})} gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f̃ : [0, 2π] → ℝ. Nach der später bereitgestellten Theorie der Fourierreihen ist f̃ = f, so daß gilt:

cos(a(x − π)) = \frac{sin(πa)}{π}(\frac{1}{a} + ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{a + n} + \frac{1}{a − n}) cos(nx)) .

Für x = π folgt

\frac{π}{sin(πa)} = \frac{1}{a} + ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}(\frac{1}{a + n} + \frac{1}{a − n}) .