Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 10.06., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Bestimme die Dimension und eine Basis von Kern und Bild der folgenden Matrizen:

(a) (\begin{matrix}1 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & 13 \\ −2 & −1 & −4 \end{matrix}) ,  (b) (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 5 & −2 \\ 3 & 8 & 13 & −3 \end{matrix}) .

Aufgabe 2. Prüfe, ob es eine lineare Abbildung F : ℝ^{3} → ℝ^{4} gibt mit F (v_{i}) = w_{i} für i = 1, …, 4 und

(a) v_{1} = (0, 0, 1),  v_{2} = (2, 1, 1),  v_{3} = (0, 1, 1),  v_{4} = (2, 0, 1),
w_{1} = (1, 1, 1, 1), w_{2} = (1, 0, 1, 0), w_{3} = (0, 0, 0, 1), w_{4} = (2, 1, 2, 1),
(b) v_{i} wie in (a),
w_{1} = (1, 1, 1, 1), w_{2} = (1, 1, 1, 0), w_{3} = (0, 1, 1, 1), w_{4} = (2, 1, 1, 0).

Aufgabe 3. Sei F: ℝ^{4} → ℝ^{4} gegeben durch

F: (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix}x_{1} − x_{2} \\ x_{2} + x_{4} \\ x_{3} − x_{4} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} \end{matrix})

und seien

B_{1} = ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})) ,  B_{2} = ((\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})) .

Bestimme die darstellende Matrix M_{B_{2}}^{B_{1}}(F) von F. (Hinweis: Löse das entstehende lineare Gleichungssystem für alle zu betrachtenden rechten Seiten simultan.)

Aufgabe 4. Sei A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix}) und definiere f, g, h: M(2, ℝ) → M(2, ℝ) durch

f(X) = AX, g(X) = XA, h(X) = AX − XA für alle X ∈ M(2, ℝ).

Bestimme für jede dieser Abbildungen die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis

E_{1} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ,  E_{2} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ,  E_{3} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ,  E_{4} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

sowie die Dimension und eines Basis des Kerns.