Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 17.06., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Seien der reelle Vektorraum ℍ und die lineare Abbildung C: ℍ → ℍ definiert durch

ℍ := \{(\begin{matrix}a & −b̄ \\ b & ā \end{matrix}) ∈ M(2, ℂ) : a, b ∈ ℂ\} ,  C: (\begin{matrix}a & −b̄ \\ b & ā \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}ā & b̄ \\ −b & a \end{matrix}) .

(a) Zeige, dass die folgenden Elemente eine Basis von ℍ bilden:

e_{0} = 1_{ℍ} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , e_{1} = (\begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix}) , e_{2} = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , e_{3} = (\begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}) .

(b) Zeige, dass q_{1} · q_{2} ∈ ℍ für alle q_{1}, q_{2} ∈ ℍ.

(c) Sei q = (\begin{matrix}a & −b̄ \\ b & ā \end{matrix}) ∈ ℍ und q̄:= C(q). Berechne die Produkte q̄ · q und q · q̄.

(d) Zeige, dass ℍ^{×} := ℍ \ {0} eine multiplikative Gruppe mit neutralem Element 1_{ℍ} ist. Dazu genügt es, das zu q ∈ ℍ^{×} inverse Element q^{−1} ∈ ℍ^{×} explizit anzugeben.

Aufgabe 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

x_{1} − x_{2} + 2x_{3} + ax_{4} = 3,
2x_{1} + x_{2} + ax_{3} + x_{4} = 2,
−x_{1} − 2x_{2} + x_{3} + ax_{4} = 2,
3x_{1} + (4 − a)x_{3} + x_{4} = b.

Gib Beispiele für Werte von a und b an, für die das Gleichungssystem (a) unendlich viele,

(b) keine, (c) eine eindeutige Lösung hat.

(d) Gib die allgemeine Lösung für den Fall a = 0, b = 1 an.

Aufgabe 3. Sei V ein komplexer Vektorraum, Nil(V) = {f ∈ End(V) | f^{n} = 0 für ein n ∈ ℕ\} mit f^{n} := \underbrace{f ∘ ⋯ ∘ f}_{n mal}. Zeige für f ∈ Nil(V):

(a) Ist g ∈ Nil(V) und f ∘ g = g ∘ f, so ist f ∘ g, f + g ∈ Nil(V).

(b) Die Abbildung Id_{V} − f ist invertierbar. (Hinweis: Geometrische Reihe.)

(c) Die Folge der Untervektorräume V_{k} := ker f^{k} ⊆ V erfüllt V_{k} ⊆ V_{k+1} und f(V_{k+1}) ⊆ V_{k} für alle k ∈ ℕ sowie V_{1} ≠ 0 und V_{k} = V für hinreichend große k ∈ ℕ.

(d) Es gibt eine Basis B von V, bezüglich derer die Darstellungsmatrix (a_{ij})_{ij} := M_{B}(f) eine obere Dreiecksmatrix ist und auf der Diagonale nur Nullen stehen hat, das heißt, a_{ij} = 0 falls i ≥ j. (Hinweis: Betrachte die Unterräume V_{k}. )

Aufgabe 4. Bezeichne V den komplexen Vektorraum aller Polynome

P (x) = a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}

vom Grad kleiner gleich 3 und Koeffizienten a_{0}, …, a_{3} ∈ ℂ. Wir definieren Abbildungen D, T_{a}: V → V durch

(DP)(x) := P′(x) = \frac{∂}{∂x}P und (T_{a}P)(x) := P (x − a) für ein festes a ∈ ℂ.

Bestimme für diese Abbildungen jeweils (a) den Kern, (b) das Bild, (c) die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3} und (d) ob sie in Nil(V) enthalten ist.