Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 24.06., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Untersuche, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind, und bestimme gegebenenfalls die Inverse:

A = (\begin{matrix}1 & −2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & −1 & 0 & 5 \\ −1 & 4 & 2 & 3 \end{matrix}) ,  B = (\begin{matrix}1 & t & 1 \\ 0 & 1 & t \\ t & 1 & 0 \end{matrix}) mit t ∈ ℝ.

Aufgabe 2. Sei A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}), wobei a, b, c, d ∈ ℂ.

(a) Berechne die Produkte AB und BA für B = (\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}).

(b) Zeige, dass A genau dann invertierbar ist, falls ad−bc ≠ 0, und bestimme in diesem Fall A^{−1}.

(c) Bestimme alle Matrizen C ∈ M(2 × 2, ℝ), die gleichzeitig C = C^{T} und C^{2} = 1 erfüllen.

Aufgabe 3. Sei V ein Vektorraum und f: V → V eine lineare Abbildung. Eine Abbildung g: V → V heißt rechts-invers zu f, falls f ∘ g = Id_{V}. Zeige:

(a) Falls es genau eine zu f rechts-inverse Abbildung g gibt, so ist f invertierbar und f^{−1} = g. (Hinweis: Betrachte die Abbildung g ∘ f + g − Id_{V}.)

(b) Falls es verschiedene zu f rechts-inverse Abbildungen gibt, so ist dim V = ∞.

Aufgabe 4. Bestimme für die Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 4 & 3 & 0 \\ 2 & 8 & 7 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & −5 \end{matrix})

ein r ∈ ℕ und quadratische Matrizen L, R so, dass

A = L (\begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) R^{−1}.