Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 01.07., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Zeige, dass es keine reelle 2 × 2-Matrix A gibt mit

(a) AA = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , (b) AA^{T} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , (c) AA^{T} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) , (d) AA^{T} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Aufgabe 2. (a) Zeige: Für alle n, k ∈ ℕ gilt \binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k+1} + \binom{n}{k}, wobei \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n−k)!k!}.

(b) Seien n, m ∈ ℕ. Zeige: det(C(m, n)) = 1, wobei

C(m, n) = (\begin{matrix}1 & \binom{m}{1} & \binom{m}{2} & ⋯ & \binom{m}{n} \\ 1 & \binom{m+1}{1} & \binom{m+1}{2} & ⋯ & \binom{m+1}{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & \binom{m+n}{1} & \binom{m+n}{2} & ⋯ & \binom{m+n}{n} \end{matrix}) .

Aufgabe 3. (a) Seien n ∈ ℕ, a, b ∈ ℝ. Zeige: det(A_{n}) = (a+(n−1)b)(a−b)^{n−1}, wobei

A_{n} = (\begin{matrix}a & b & ⋯ & b \\ b & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & b \\ b & ⋯ & b & a \end{matrix}) ∈ M(n × n, ℝ).

(b) Seien n ∈ ℕ und x_{1}, …, x_{n} ∈ ℂ. Zeige: det(B_{n}) = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{i} − x_{j}), wobei

B_{n} = (\begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix}) .

Aufgabe 4. Sei n ∈ ℕ. Die Spur einer quadratischen Matrix A = (a_{ij})_{i,j} ist definiert als die Summe ihrer Diagonaleinträge: Spur(A) := ∑_{i} a_{ii}. Beispielsweise gilt

Spur (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}) = 1 + 5 + 9 = 15, Spur (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) = 0 + 0 = 0, Spur E_{n} = n.

Zeige:

(a) Spur(AB) = Spur(BA) für alle A, B ∈ M(n × n, ℂ).

(b) Die Spur ist die Ableitung der Determinante an der Einheitsmatrix, also

lim_{t→0} \frac{det(E_{n} + tA) − det(E_{n})}{t} = Spur(A) für alle A ∈ M(n × n, ℂ).

Aufgabe 5. Berechne für die Matrix (\begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & −1 \\ 2 & 2 & 3 \end{matrix}) das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume. Aufgabe 6. Wir betrachten ein Polynom p(X) = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{1}X^{1} + a_{0} mit komplexen Koeffizienten a_{n−1}, …, a_{0} und eine Matrix A ∈ M(n × n, ℂ). Sei p(A) := A^{n} + a_{n−1}A^{n−1} + ⋯ + a_{1}A + a_{0}E_{n}. Zeige:

(a) Ist λ ein Eigenwert von A, so ist p(λ) ein Eigenwert von p(A).

(b) Ist λ′ ein Eigenwert von p(A), so gibt es einen Eigenwert λ von A mit λ′ = p(λ). (Hinweis: Schreibe p(X)−λ′ = (X−λ_{1}) ⋯ (X−λ_{n}) mit geeigneten λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ).