Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 10 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker II

Abgabe: Bis Donnerstag, den 08.07., vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Bestimme für die Matrix

A = (\begin{matrix}2 & 4 \\ 3 & 1 \end{matrix})

(a) alle Eigenwerte, (b) die zugehörigen Eigenvektoren, (c) eine invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D mit D = P^{−1}AP, (d) die Matrix A^{4}.

Aufgabe 2. Seien k ∈ ℕ, c_{1}, …, c_{k} ∈ ℂ, a_{1}, …, a_{k} ∈ ℂ. Rekursiv definieren wir a_{n} ∈ C für n > k durch a_{n} = c_{1}a_{n−1} + ⋯ + c_{k}a_{n−k}.

(a) Bestimme eine Matrix A ∈ M(k × k, ℂ) so, dass für alle n > k gilt:

( a_{n} ; a_{n−1} ; ⋮ ; a_{n−k+1}) = A (a_{n−1} ; a_{n−2} ; ⋮ ; a_{n−k}) .

(b) Bestimme das charakteristische Polynom von A.

(c) Zeige: Ist λ ein Eigenwert von A, so ist (λ^{k−1}, λ^{k−2}, …, λ, 1)^{T} ein zugehöriger Eigenvektor.

Aufgabe 3. Die Folge (a_{n})_{n} Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch a_{1} = a_{2} = 1 und a_{n} = a_{n−1} + a_{n−2} für alle n > 2. Für jedes n ≥ 1 sei v^{(n)} = (a_{n}, a_{n−1})^{T}. Bestimme

(a) eine Matrix A, die v^{(n+2)} = A^{n}v^{(2)} für alle n ∈ ℕ erfüllt;

(b) die Eigenwerte und Eigenvektoren von A;

(c) Zahlen λ_{1}, λ_{2}, c_{1}, c_{2} ∈ ℂ so, dass a_{n+1} = c_{1}λ_{1}^{n} + c_{2}λ_{2}^{n} für alle n ∈ ℕ gilt;

(d) den Grenzwert lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Aufgabe 4. (a) Bestimme mit Hilfe des Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahrens eine Orthonormalbasis für den Unterraum U von ℂ^{4}, der von folgenden Vektoren aufgespannt wird:

v_{1} = (1, 1, 1, 1)^{T} ,  v_{2} = (1, 1, 2, 4)^{T} ,  v_{3} = (1, 2, −4, −3)^{T} .

(b) Bestimme den Abstand von w = (1, 2, 3, 4)^{T} zu U.

Aufgabe 5. Das Kreuzprodukt v×w zweier Vektoren v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})^{T} und w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})^{T} im ℝ^{3} ist der Vektor

v × w = (\begin{matrix}v_{2}w_{3} − v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1} − v_{1}w_{3} \\ v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1} \end{matrix}) .

Zeige, dass für alle u, v, w, x, y ∈ ℝ^{3} gilt:

(a) v × w ist orthogonal zu v und w.

(b) ∥v × w∥^{2} = ∥v∥^{2}∥w∥^{2} − ⟨v, w⟩^{2}.

(c) ∥v ×w∥ = ∥v∥∥w∥ sin α, wobei α den (kleineren) Winkel zwischen v und w bezeichne.

(d) Der Abstand zweier windschiefer Geraden u + ℝx und v + ℝy (d.h. (x, y) linear unabhängig) ist gegeben durch ∥⟨u − v, x × y⟩∥/∥x × y∥.

Aufgabe 6. Wir betrachten C([−1, 1]) als Vektorraum mit dem inneren Produkt

⟨f, g⟩ := ∫_{−1}^{1} \overline{f(x)}g(x)dx für alle f, g ∈ C([−1, 1]).

Für alle n ∈ ℕ ist das n-te Legendre-Polynom gegeben durch

P_{n}(x) := \frac{1}{2^{n}n!}\sqrt{\frac{2n + 1}{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2} − 1)^{n}.

(a) Zeige, dass das Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren für die Polynome 1, x, x^{2}, betrachtet als Elemente von C([−1, 1]), die Polynome P_{0}(x), P_{1}(x), P_{2}(x) liefert.

(b) Zeige, dass die Familie (P_{n}(x))_{n} orthogonal in C([−1, 1]) ist. (Hinweis: Verwende iterierte partielle Integration.)