Einführung in die Funktionalanalysis

(Sommersemester 2011)

Raimar Wulkenhaar

In der Funktionalanalysis werden unendlich-dimensionale topologischen Vektorräume sowie lineare Abbildungen zwischen diesen studiert. Dazu werden Methoden aus Analysis, Topologie und linearer Algebra verknüpft. Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis sind die Fourier-Transformation und die Theorie der Integralgleichungen; wichtige Motivation kam später aus der Quantenphysik. Die grundlegenden Sätze der Funktionalanalysis sind in vielen Bereichen der theoretischen und angewandten Mathematik unverzichtbar.

Inhalt

0 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I Normierte Vektorräume  3
1 Topologische Vektorräume und normierte Räume . . . . . . . . 3
2 Beispiele für normierte Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Hahn-Banach-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Schwache Topologien und reflexive Räume . . . . . . . . . . . . 24
5 Gleichmäßig konvexe Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Der Satz von Baire und seine Konsequenzen . . . . . . . . . . . 37
II Lokalkonvexe Vektorräume  45
7 Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8 Systeme von Halbnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9 Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10 Der Satz von Stone-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11 Metrisierbarkeit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 63
III Hilbert-Räume  67
12 Grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13 Summierbarkeit und Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . 70
14 Operatoren auf Hilbert-Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
15 Das Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
16 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

i

Preliminary version – 8. Juli 2011

Literatur F. Hirzebruch & W. Scharlau, “Einführung in die Funktionalanalysis,” Spektrum Akademischer Verlag (1996) M. Reed & B. Simon, “Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis,” Academic Press (1980) D. Werner, “Funktionalanalysis,” Springer-Verlag (2007) W. Rudin, “Functional Analysis,” McGraw-Hill (2006) H. Heuser, “Funktionalanalysis,” Teubner (2006)

ii

Preliminary version – 8. Juli 2011

0 Einleitung

0.1 Übersicht über die Räume in der Funktionalanalysis

Topologischer Raum

– offene Mengen, abgeschlossen – Abbildungen: Stetigkeit

– Konvergenz (von Folgen, Netzen)

– Trennungsaxiome

– Abzählbarkeit

– Kompaktheit

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Metrischer Raum

– Metrik (Abstand) d

– offene Kugeln

– Topologie “gutartig”

– Vollständigkeit (Cauchy-Folgen konvergent)

– Bsp: Sphäre, Torus

– Differentialgeometrie

[figure]

Topologischer Vektorraum – Vektor-Operationen stetig – Abbildungen: linear+stetig – Unterräume, Quotientenräume

Lokalkonvexer Raum

– System von Halbnormen (metrisierbar)

– Vollständigkeit: Fréchet-Raum

– Bsp: C^{∞}(X)

– Abbildungen: z.B. Differenzierbarkeit – schwache Topologien

Normierter Vektorraum

– Norm ∥ ∥

– Vollständigkeit: Banach-Raum

– Bsp: C(X), L^{p}(X), L(X, Y)

– Abbildungen: linear+beschränkt (sehr reichhaltige Strukturen, Topologie kann “wild” sein)

– Dualräume

– Fortsetzungssatz von Hahn-Banach (lineare Funktionale mit Zusatzeigenschaften, erfordert Lemma von Zorn)

– Bairescher Kategoriensatz (gleichmäßige Beschränktheit, Satz von der offenen Abbildung)

– Spektraltheorie

[figure]

Unitärer Vektorraum

– Skalarprodukt ⟨ , ⟩, Cauchy-Schwarz – Vollständigkeit: Hilbert-Raum

– Bsp: ℓ^{2}, L^{2}(X)

– Orthonormalbasen

– Abbildungen: linear+beschränkt (+normal, unitär, selbstadjungiert, kompakt, Fredholm)

– Spektralsatz

– Funktionalkalkül

– Unbeschränkte Operatoren

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Operatoralgebren

– C^{∗}-Algebra

– Von–Neumann-Algebra

1 0.2 Meilensteine Historische Notizen findet man in

Preliminary version – 8. Juli 2011

– Heuser, Kapitel XIX, und

– Werner, am Ende jedes Kapitels • 1900: Fredholm – Theorie der Integralgleichungen

• 1904… 1910: Hilbert-Schmidt: Spektraltheorie von Operatoren • 1910: Riesz – L^{p}-Räume

• 1920: Banach – normierter Raum

• 1927: Hahn – Fortsetzungssatz

• 1929: von Neumann – Hilbert-Raum, unbeschränkte Operatoren • 1938: Sobolev – verallgemeinerte Ableitungen

• 1943: Gelfand-Naimark – Operatoralgeben

• 1948: Schwartz – Distributionen

Teil I

Normierte Vektorräume

1 Topologische Vektorräume und normierte Räume

In dieser Vorlesung ist 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Definition und grundlegende Eigenschaften topologischer Räume werden vorausgesetzt. Wir erinnern dennoch an den Begriff der Stetigkeit:

Definition 1.1 Seien X, Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt

i) stetig, wenn das Urbild f^{−1}(O) jeder offenen Teilmenge O ⊂ Y offen in X ist, und

ii) stetig im Punkt x ∈ X, wenn es zu jeder Umgebung V ⊂ Y von f(x) eine Umgebung U ⊂ X von x gibt mit f(U) ⊂ V.

Eine Umgebung eines Punktes x ∈ X ist eine Teilmenge U ⊂ X, für die es eine offene Teilmenge O gibt mit x ∈ O ⊂ U. Eine Umgebung muß selbst nicht offen sein. Eine offene Teilmenge ist Umgebung für jeden ihrer Punkte.

Lemma 1.2 Seien X, Y topologische Räume. Für eine Abbildung f : X → Y sind äquivalent:

i) f ist stetig.

ii) f ist in jedem Punkt x ∈ X stetig.

Beweis. i)⇒ii) ist klar, wenn man die offenen Teilmengen der Umgebungen nach i) wählt.

ii)⇒i) V ⊂ Y offen ist Umgebung jedes Punktes y ∈ V. Sei U := f^{−1}(V). Für jedes x ∈ U gibt es eine Umgebung U_{x} und damit eine offene Teilmenge O_{x} ∋ x mit f(O_{x}) ⊂ V. Dann ist U = ⋃_{x∈U} O_{x} = f^{−1}(V) offen. □

Definition 1.3 Es sei X ein Vektorraum über 𝕂 und T eine Topologie auf X. Dann heißt (X, T ) topologischer Vektorraum, wenn gilt

i) die Addition X × X ∋ (x, y) ↦ x + y ∈ X ist stetig,

ii) die Multiplikation mit Skalaren 𝕂 × X ∋ (λ, x) ↦ λx ∈ X ist stetig.

Bemerkung 1.4 Hier sind X × X und 𝕂 × X wieder topologische Räume, versehen mit der Produkttopologie. Die Topologie auf 𝕂 wird durch die Metrik d(λ, μ) = |λ − μ| induziert.

Stetigkeit der Addition in (x_{0}, y_{0}) heißt, daß es zu jeder Umgebung U von x_{0} + y_{0} Umgebungen U_{1} von x_{0} und U_{2} von y_{0} gibt mit U_{1} + U_{2} := {x + y | x ∈ U_{1} , y ∈ U_{2}} ⊂ U. Analog für λx.

Rudin fordert noch iii) jeder Punkt von X ist abgeschlossen. Damit wird jeder topologische Vektorraum ein Hausdorff-Raum (T_{2}).

Lemma 1.5 Sei X ein topologischer Vektorraum, a ∈ X und 0 ≠ λ ∈ 𝕂 fest vorgegeben. Dann sind die Abbildungen T_{a} : X ∋ x ↦ a + x ∈ X und M_{λ} : X ∋ x ↦ λx ∈ X Homöomorphismen.

Beweis. Die Abbildungen sind invertierbar, (T_{a})^{−1} = T_{−a} und (M_{λ})^{−1} = M_{\frac{1}{λ}}. Stetigkeit der usprünglichen und damit der invertierten Abbildungen folgt aus der Definition. □

Ist V ⊂ X eine Umgebung von 0, dann ist T_{x}(V) = x + V eine Umgebung von x ∈ X, und umgekehrt ist für eine Umgebung U von x die Teilmenge T_{−x}(U) eine Umgebung von 0. Ist A ⊂ X eine beliebige Teilmenge, so ist der topologische Abschluß Ā = A ∪ A′ erklärt. Dabei ist A′ die Menge der Häufungspunkte von A, d.h. jener Punkte y ∈ X, y ∉ A, so daß für eine beliebige Umgebung y + V von y gilt (y + V) ∩ A ≠ ∅. Folglich gilt x ∈ Ā ⇔ x ∈ A + V für jede Umgebung V von 0, somit Ā = ⋂_{V} (A + V).

Lemma 1.6 Sei X ein topologischer Vektorraum und W ⊂ X Untervektorraum. Dann ist auch W̄ (die abgeschlossene Hülle von W) ein Untervektorraum.

Beweis. Seien x_{0}, y_{0} ∈ W̄. Zu zeigen ist: Zu jeder Umgebung V von x_{0} + y_{0} gibt es ein w ∈ W ∩ V. Nach Stetigkeit der Addition gibt es Umgebungen U_{1} von x_{0} und U_{2} von y_{0} mit U_{1} + U_{2} ⊂ V. Somit gibt es x ∈ U_{1} ∩ W und y ∈ U_{2} ∩ W. Es folgt x + y =: w ∈ W ∩ V. □

Satz 1.7 Seien X, Y topologische Vektorräume. Dann sind für eine lineare Abbildung f : X → Y äquivalent:

i) f ist stetig.

ii) f ist stetig in 0.

iii) f ist stetig in einem beliebigen Punkt x ∈ X.

Beweis. iii)⇒i)⇒ii) ist klar. Für festes x ∈ X gilt

f(x) = f(x + 0) = f(x) + f(0) = T_{f(x)}^{Y}(f(0)) = (T_{f(x)}^{Y} ∘ f ∘ T_{−x}^{X})(x)

Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig, somit ii)⇒iii). □

Bezeichnung 1.8 Seien X, Y topologische 𝕂-Vektorräume. Wir bezeichen mit L(X, Y) die Menge der linearen stetigen Abbildungen von X nach Y. Mit den “punktweise” erklärten Operationen (f_{1} + f_{2})(x) := f_{1}(x) + f_{2}(x) = T_{f_{1}(x)}(f_{2}(x)) und, für λ ≠ 0, (λf)(x) := λ(f(x)) = M_{λ}(f(x)) wird L(X, Y) zu einem 𝕂-Vektorraum. Speziell heißt

X′ := L(X, 𝕂)

der Dualraum von X. Mit der Komposition als Multiplikation wird L(X, X) zu einer 𝕂-Algebra. Elemente aus L(X, X) heißen lineare stetige Operatoren auf X.

Definition 1.9 Sei X ein Vektorraum über 𝕂. Eine Abbildung ∥ ∥ : X ∋ x ↦ ∥x∥ ∈ ℝ heißt Norm, falls für beliebige x, y ∈ X und λ ∈ 𝕂 gilt

i) ∥x∥ ≥ 0 und ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0,

ii) ∥λx∥ = |λ|∥x∥,

iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (Dreiecksungleichung).

Das Paar (X, ∥ ∥) heißt normierter Vektorraum. Gilt statt i) nur i’) ∥x∥ ≥ 0, so heißt ∥ ∥ eine Halbnorm.

Ein normierter Vektorraum (X, ∥ ∥) wird durch d(x, y) := ∥x − y∥ zu einem metrischen Raum (X, d).

Satz 1.10 Die durch die Metrik definierte Topologie T macht (X, T ) zu einem topologischen Vektorraum.

Beweis. Nach Dreiecksungleichung gilt ∥(x+y)−(x_{0}+y_{0})∥ ≤ ∥(x−x_{0})∥+∥y−y_{0}∥, d.h. die Bilder der \frac{ϵ}{3}-Umgebungen von x_{0}, y_{0} unter der Addition sind enthalten in der ϵ-Umgebung von x_{0} + y_{0}. Die Addition ist sogar gleichmäßig stetig.

Für die Multiplikation findet man ∥λx − λ_{0}x_{0} ∥ = ∥λ(x − x_{0}) + (λ − λ_{0})x_{0} ∥ ≤ |λ|∥x − x_{0}∥ + |λ_{0} − λ|∥x_{0}∥, also (nicht gleichmäßige) Stetigkeit. □

Definition 1.11 Ein normierter Vektorraum (X, ∥ ∥), der bezüglich der kanonischen Metrik vollständig ist, heißt Banach-Raum.

Folgendes Vollständigkeitskriterium wird oft nützlich sein:

Lemma 1.12 In einem normierten Vektorraum (X, ∥ ∥) sind äquivalent:

i) X ist vollständig.

ii) Für jede Folge (x_{k}) in X mit ∑_{k=0}^{∞} ∥x_{k}∥ < ∞ gibt es ein x ∈ X mit lim_{N→∞} ∥ ∑_{k=0}^{N} x_{k} − x∥ = 0, d.h. jede absolut konvergente Reihe ist konvergent.

Beweis. i)⇒ii) Sei ∑_{k=0}^{∞} ∥x_{k}∥ < ∞. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß ∑_{k=n}^{∞} ∥x_{k}∥ < ϵ für alle n ≥ N. Dann gilt für n ≥ m ≥ N die Abschätzung

∥( ∑_{k=0}^{n} x_{k}) − ( ∑_{k=0}^{m} x_{k})∥ = ∥ ∑_{k=m+1}^{n} x_{k}∥ ≤ ∑_{k=m+1}^{n} ∥x_{k}∥ ≤ ∑_{k=m+1}^{∞} ∥x_{k}∥ < ϵ ,

d.h. ( ∑_{k=0}^{n} x_{k})_{n∈ℕ} ist Cauchy-Folge. Ist X vollständig, so konvergiert diese gegen ein x ∈ X.

ii)⇒i) Sei (x_{n}) eine Cauchy-Folge in X. Zu ϵ = \frac{1}{2^{k}} gibt es ein N_{k} ∈ ℕ, so daß ∥x_{m_{k}}−x_{n_{k}}∥ < \frac{1}{2^{k}} für alle n_{k}, m_{k} ≥ N_{k}. Insbesondere gibt es eine Teilfolge (x_{n_{k}})_{k∈ℕ} mit ∥x_{n_{k+1}} − x_{n_{k}}∥ ≤ \frac{1}{2^{k}}. Für y_{k} := x_{n_{k+1}} − x_{n_{k}} folgt dann ∑_{k=0}^{∞} ∥y_{k}∥ ≤ 2 < ∞. Nach Voraussetzung gibt es ein y ∈ X mit

lim_{N→∞} ∥ ∑_{k=0}^{N} y_{k} − y∥ = lim_{N→∞} ∥x_{n_{N+1}} − x_{n_{0}} − y∥ = 0 .

d.h. x_{n_{k}} ist konvergent gegen x_{n_{0}} + y. Ist ∥x_{n} − x_{m}∥ < ϵ für n, m ≥ N, so gibt es auch ein n_{k} ≥ N mit ∥x_{n_{k}} − (x_{n_{0}} + y)∥ < ϵ, so daß ∥x_{n} − (x_{n_{0}} + y)∥ < 2ϵ. Damit ist auch x_{n} konvergent gegen x_{n_{0}} + y. □

Satz 1.13 Seien X, Y normierte Vektorräume. Dann sind für eine lineare Abbildung f : X → Y äquivalent:

i) f ist stetig.

ii) f ist beschränkt, d.h. es gibt ein C > 0, so daß für alle x ∈ X gilt ∥f(x)∥ ≤ C∥x∥.

Beweis. Da nach Satz 1.7 der Nachweis der Stetigkeit in 0 genügt, ist ii)⇒i) klar. Zu ϵ = 1 existiert ein δ > 0 mit ∥f(x)∥ < 1 für alle ∥x∥ < δ. Ist y ≠ 0, dann

∥f(y)∥ = ∥f(\frac{2∥y∥}{δ} \underbrace{\frac{δ}{2} \frac{y}{∥y∥}}_{=:x , ∥x∥<δ} )∥ ≤ \frac{2∥y∥}{δ}∥f(x)∥ ≤ \underbrace{\frac{2}{δ}}_{=:C} ∥y∥ .

Für y = 0 ist nichts zu zeigen. Somit i)⇒ii). □

Satz/Definition 1.14 Es seinen X, Y normierte Vektorräume. Dann ist L(X, Y) bezüglich der Operatornorm

∥f∥ := inf{C : ∥f(x)∥ ≤ C∥x∥} , f ∈ L(X, Y)

ein normierter Vektorraum. Ist Y vollständig, so auch (L(X, Y), ∥ ∥).

Offenbar gilt für die Operatornorm

∥f∥ = sup_{x≠0} \frac{∥f(x)∥}{∥x∥} = sup_{∥x∥=1} ∥f(x)∥ = sup_{∥x∥≤1} ∥f(x)∥ sowie ∥f(x)∥ ≤ ∥f∥∥x∥ .

Beweis von Satz 1.14. Die Normaxiome i) und ii) in Definition 1.9 folgen aus der Norm in Y, außerdem

∥f + g∥ = sup_{∥x∥=1} ∥(f + g)(x)∥ ≤ sup_{∥x∥=1}(∥f(x)∥ + ∥g(x)∥)

≤ sup_{∥x_{1}∥=1} ∥f(x_{1})∥ + sup_{∥x_{2}∥=1} ∥g(x_{2})∥ = ∥f∥ + ∥g∥ .

Sei (Y, ∥ ∥) vollständig und {f_{n}} eine Cauchy-Folge in L(X, Y). Für beliebiges x ∈ X ist die Bildfolge (f_{n}(x)) wegen ∥f_{n}(x) − f_{m}(x)∥ ≤ ∥f_{n} − f_{m}∥∥x∥ eine Cauchy-Folge in Y, die wegen der Vollständigkeit einen Grenzwert hat, den wir f(x) nennen: lim_{n→∞} f_{n}(x) =: f(x). Zu zeigen ist: Die so definierte Abbildung f : X → Y ist i) linear und ii) beschränkt:

i) f(λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2}) = lim_{n→∞} (f_{n}(λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2})) = lim_{n→∞} (λ_{1}f_{n}(x_{1}) + λ_{2}f_{n}(x_{2}))

= λ_{1} lim_{n→∞} f_{n}(x_{1}) + λ_{2} lim_{n→∞} f_{n}(x_{2}) = λ_{1}f(x_{1}) + λ_{2}f(x_{2}) .

ii) Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit ∥f_{m} − f_{n}∥ < \frac{ϵ}{2} für für alle m, n ≥ N. Zu beliebigem x ∈ X mit ∥x∥ ≤ 1 gibt es dann ein m_{x} ≥ N mit ∥f(x)−f_{m_{x}}(x)∥ < \frac{ϵ}{2}. Nach Dreiecksungleichung folgt dann ∥f(x) − f_{n}(x)| < ϵ für alle n ≥ N, so daß

∥f∥ = sup_{∥x∥≤1} ∥f(x)∥ ≤ sup_{∥x∥≤1} (∥f(x) − f_{N}(x)∥ + ∥f_{N}(x)∥) ≤ ϵ + ∥f_{N}∥

sowie

∥f − f_{n}∥ = sup_{∥x∥≤1} ∥f(x) − f_{n}(x)∥ ≤ ϵ .

Also ist f beschränkt, und (f_{n}) konvergiert in der Operatornorm gegen f. □

Definition 1.15 Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum und A ⊂ X eine Teilmenge. Dann heißt

d(x, A) := inf_{y∈A} ∥x − y∥

der Abstand eines Punktes x ∈ X zu A.

Die Topologie metrischer Räumen liefert dann d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ Ā.

Satz 1.16 Sei (X, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum und M ⊂ X ein Untervektorraum. Zu x ∈ X sei [x] = x + M ∈ X/M die Äquivalenzklasse. Dann gilt

i) ∥[x]∥ := d(x, M) definiert eine Halbnorm auf X/M.

ii) Ist M abgeschlossen, so ist x ↦ ∥[x]∥ eine Norm.

iii) Die kanonische Abbildung ι : X ∋ x ↦ [x] ∈ X/M ist linear und beschränkt mit ∥ι∥ ≤ 1, also stetig. Sie bildet offene Mengen auf offene Mengen ab, d.h. ι ist offen.

iv) Ist X vollständig und M abgeschlossen, so ist X/M ein Banach-Raum.

v) Ist X vollständig und M abgeschlossen, dann ist M vollständig.

vi) Ist M vollständig, so ist M auch abgeschlossen.

Beweis. i) M/X ist ein Vektoraum mit [x] + [y] = [x + y] und λ[x] = [λx]. Für [x] = [y] ist y = x + m für ein m ∈ M, also d(x, M) = d(y, M). Somit ist ∥[x]∥ wohldefiniert (d.h. unabhängig von der Wahl des Repräsentanten). Ist λ ≠ 0, so gilt

∥λ[x]∥ = d(λx, M) = inf_{m∈M} ∥λx − λm∥ = |λ|( inf_{m∈M} ∥x − m∥) = |λ| ∥[x]∥ .

Sei ϵ > 0 beliebig. Zu x, y ∈ X gibt es m_{1}, m_{2} ∈ M mit ∥x − m_{1}∥ < ∥[x]∥ + ϵ und ∥y − m_{2}∥ < ∥[y]∥ + ϵ. Dann gilt

∥[x]+[y]∥ = ∥[x+y]∥ ≤ ∥x+y−m_{1}−m_{2}∥ ≤ ∥x−m_{1}∥+∥y−m_{2}∥ ≤ ∥[x]∥+∥[y]∥+2ϵ .

Da ϵ > 0 beliebig, folgt die Dreiecksungleichung.

ii) ∥[x]∥ = 0 ⇒ x ∈ M̄ = M ⇒ [x] = 0

iii) ∥[x]∥ ≤ ∥x∥ ist klar. Sei V ⊂ X offen und x ∈ V. Dann enthält V auch eine ϵ-Umgebung U_{ϵ}(x) = {y ∈ X : ∥x − y∥ < ϵ} ⊂ V von x. Wir zeigen U_{ϵ}([x]) ⊂ V + M, d.h. V + M = {[x] : x ∈ V } = ι(V) ist offen. Sei [z] ∈ U_{ϵ}([x]) beliebig. Dann gibt es ein m ∈ M mit ∥x − z + m∥ < ϵ, denn das Gegenteil ∥x − z + m∥ ≥ ϵ für alle m ∈ M wäre im Widerspruch zu ∥[x] − [z]∥ < ϵ. Also ist z − m ∈ U_{ϵ}(x) und U_{ϵ}([x]) ⊂ ι(V).

iv) Wir nutzen Lemma 1.12. Sei ∑_{k=0}^{∞} ∥[x_{k}]∥ < ∞. Zu [x_{k}] gibt es einen Repräsentanten y_{k} = x_{k} +m_{k} mit ∥y_{k}∥ < ∥[x_{k}]∥+ \frac{1}{2^{k}}. Dann ist auch ∑_{k=0}^{∞} ∥y_{k}∥ <

∞. Da X vollständig ist, konvergiert ( ∑_{k=0}^{n} y_{k})_{n∈ℕ} gegen ein x ∈ X. Für die zugehörige Klasse [x] ∈ X/M gilt

∥[x] − ∑_{k=0}^{n}[x_{k}]∥ = ∥[x − ∑_{k=0}^{n} y_{k}]∥ ≤^{iii)} ∥x − ∑_{k=0}^{n} y_{k}∥ → 0

Folglich ist ( ∑_{k=0}^{n}[x_{k}])_{n∈ℕ} konvergent im (nach ii) normierten) Vektorraum X/M gegen [x] ∈ X/M. Nach Lemma 1.12 ist X/M vollständig.

v) und vi) folgen aus der Topologie metrischer Räume. □

2 Beispiele für normierte Vektorräume

Beispiel 2.1 (endlich-dimensionale Vektorräume) 𝕂^{n} ∋ x = (x_{1}, …, x_{n}) ist normierter Vektorraum bezüglich

i) der p-Norm ∥x∥_{p} := \sqrt[p]{|x_{1}|^{p} + ⋯ + |x_{n}|^{p}}, für 1 ≤ p < ∞,

ii) der Maximum-Norm ∥x∥_{∞} := max_{i∈{1,...,n}} |x_{i}|.

Die Dreiecksungleichung in (𝕂^{n}, ∥ ∥_{p}) heißt Minkowskische Ungleichung. Man beweist sie über die Höldersche Ungleichung

| ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}| ≤ ∥x∥_{p}∥y∥_{q} falls \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 .

Sie überträgt sich sinngemäß für p = 1, q = ∞. ◁

Diese endlich-dimensionalen Beispiele sind eher uninteressant. In der Analysis wird bewiesen, daß je zwei beliebige Normen ∥ ∥_{a} und ∥ ∥_{b} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum X äquivalent sind, c∥x∥_{a} ≤ ∥x∥_{b} ≤ C∥x∥_{b} für alle x ∈ X und universelle Konstanten 0 < c ≤ C. Außerdem ist jeder endlichdimensionale normierte Vektorraum vollständig.

Beispiel 2.2 (beschränkte Funktionen) Sei M eine beliebige Menge und ℓ^{∞}(M) die Menge der beschränkten Funktionen f : M → 𝕂. Mit der punktweisen Addition (f_{1} + f_{2})(m) := f_{1}(m) + f_{2}(m) und (λf)(m) := λf(m) wird ℓ^{∞}(M) zu einem Vektorraum, auf dem wir die Supremums-Norm

∥f∥_{∞} := sup_{m∈M} |f(m)|

einführen. ◁

Satz 2.3 (ℓ^{∞}(M), ∥ ∥_{∞}) ist ein Banach-Raum.

Beweis. Die Normeigenschaften ergeben sich wie in Satz 1.14 für L(X, Y), wo die Vektorraum-Struktur von X gar nicht eingeht.

Zum Beweis der Vollständigkeit betrachte eine Cauchy-Folge (f_{n}) in ℓ^{∞}(M). Dann gilt |f_{n}(m) − f_{k}(m)| ≤ sup_{m∈M} |f_{n}(m) − f_{k}(m)| = ∥f_{n} − f_{k}∥_{∞} für beliebiges m ∈ M, so daß (f_{n}(m)) eine Cauchy-Folge in 𝕂 ist, die punktweise einen Grenzwert f(m) := lim_{n→∞} f_{n}(m) besitzt. Analog zu Beweis in Satz 1.14 zeigt man die Beschränktheit von f. □

Konvergenz einer Folge bezüglich der Supremums-Norm bedeutet gleichmäßige Konvergenz der Folge.

Satz 2.4 (stetige beschränkte Funktionen) Sei X ein topologischer Raum und C_{b}(X) ⊂ ℓ^{∞}(X) der Untervektorraum der stetigen beschränkten Funktionen auf X. Dann ist (C_{b}(X), ∥ ∥_{∞}) ein Banach-Raum bezüglich der aus ℓ^{∞}(X) geerbten Supremums-Norm.

Beweis. Nach Satz 1.16.v) ist nur zu zeigen, daß C_{b}(X) abgeschlossen ist, d.h. daß für jede Folge stetiger beschränkter Funktionen, die in der Norm ∥ ∥_{∞} gegen eine Funktion f ∈ ℓ^{∞}(X) konvergiert, gilt f ∈ C_{b}(X). Das ist ein Satz der Analysis: die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist stetig (\frac{ϵ}{3}-Argument). □

Für gutartige topologische Räume X kann man sich auf Untervektorräume von C_{b}(X) einschränken. Ist Y ein kompakter Hausdorff-Raum, dann ist jede stetige Funktion beschränkt, so daß (C(Y), ∥ ∥) ein Banach-Raum wird. Ist Y ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum (d.h. jeder Punkt y ∈ Y besitzt eine kompakte Umgebung), dann ist

C_{0}(Y) := {f ∈ C(Y) : für jedes ϵ > 0 ist {y : |f(y)| ≥ ϵ} kompakt}

ein Banach-Raum bezüglich ∥ ∥.

Beispiel 2.5 Auch auf dem Vektorraum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen C^{k}(T), mit T ⊂ ℝ^{n} offen, ist ∥ ∥_{∞} eine Norm, jedoch ist (C^{k}(T), ∥ ∥) nicht mehr vollständig. Die Grenzfunktionen einer Folge differenzierbarer Funktionen ist i.a. nur stetig, nicht mehr differenzierbar. Eine andere Norm, bezüglich der C^{k}(T) ein Banach-Raum wird, wird als Übungsaufgabe untersucht. ◁

Beispiel 2.6 (Folgenräume) Der Vektorraum der beschränkten Zahlenfolgen (ℓ^{∞} := ℓ^{∞}(ℕ), ∥ ∥_{∞}) ist nach Satz 2.2 ein Banach-Raum. Die Untervektorräume ℓ_{c} der konvergenten Folgen und ℓ_{0} der Nullfolgen sind abgeschlossen und damit ebenfalls Banach-Räume bezüglich ∥ ∥_{∞}. ◁

Satz 2.7 (ℓ^{p}-Räume) Für 1 ≤ p < ∞ sei

ℓ^{p} := {x = (x_{n})_{n∈ℕ} : ∑_{n=0}^{∞} |x_{n}|^{p} < ∞}

der Vektorraum der p-summierbaren Zahlenfolgen. Dann ist ℓ^{p} ein Banach-Raum bezüglich der p-Norm

∥x∥_{p} := ( ∑_{n=0}^{∞} |x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} .

Beweis. Zu zeigen ist zunächst, daß ℓ^{p} ein Vektorraum ist:

∑_{n=0}^{∞} |x_{n} + y_{n}|^{p} ≤ ∑_{n=0}^{∞}(|x_{n}| + |y_{n}|^{p}) ≤ ∑_{n=0}^{∞}(2 max(|x_{n}|, |y_{n}|))^{p}

≤ 2^{p} ∑_{n=0}^{∞}(|x_{n}|^{p} + |y_{n}|^{p}) < ∞ .

Die Dreiecksungleichung (Minkowskische Ungleichung) folgt wieder auf der Hölderschen Ungleichung (für Reihen statt Summen): Ist x ∈ ℓ^{p} und y ∈ ℓ^{q} mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, dann gilt für xy = (x_{n}y_{n})_{n∈ℕ}

∥xy∥_{1} ≤ ∥x∥_{p}∥y∥_{q} .

Sie überträgt sich sinngemäß auf p = 1, q = ∞.

Verbleibt die Vollständigkeit (verbunden mit einem Bezeichnungsproblem). Sei (x_{(k)})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge von Zahlenfolgen x_{(k)} = (x_{(k)n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{p}. Für das n-te Folgenglied gilt |x_{(k)n}| ≤ ∥x_{(k)}∥_{p}, d.h. für jedes n ist (x_{(k)n})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in 𝕂, die somit gegen eine Grenzfolge x = (x_{n})_{n∈ℕ} konvergiert, x_{n} := lim_{k→∞} x_{(k)n}. Es verbleibt, wie üblich, zu zeigen, daß x = (x_{n}) ∈ ℓ^{p} mit ∥x − x_{(k)}∥_{p} → 0. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß ∥x_{(k)} − x_{(l)}∥_{p} < ϵ für alle k, l ≥ N (Voraussetzung der Cauchy-Folge). Insbesondere

( ∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{(l)n}|^{p})^{\frac{1}{p}} < ϵ für alle K ∈ ℕ , k, l ≥ N .

Da für festes n ∈ ℕ die Folge (x_{(l)n})_{l∈ℕ} konvergent ist, ergibt sich im Limes l → ∞

s_{K} := lim_{l→∞} ( ∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{(l)n}|^{p})^{\frac{1}{p}} = ( ∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} ≤ ϵ .

Für festes k ≥ N ist die Folge der Partialsummen (s_{K}) monoton und beschränkt, so daß im Limes K → ∞ folgt ∥x_{(k)} − x∥_{p} ≤ ϵ. □

Die Verallgemeinerung der p-Normen auf Integrale (z.B. über Riemannsche Summen) ist mit Schwierigkeiten verbunden. Zwar ist C([a, b]) ein normierter Vektorraum bezüglich des Riemann-Integrals

∥f∥_{1} := ∫_{a}^{b} dx |f(x)| ,

aber nicht vollständig. Für denkbare Erweiterungen der Funktionsklasse ist dann ∥ ∥_{1} keine Norm mehr. Der Ausweg besteht im Übergang zum Lebesgue-Integral. Wir wiederholen die wichtigsten Schritte der Konstruktion:

• Sei (X, T ) ein topologischer Raum, dann erzeugt T die Borel-Algebra B(X) von X, d.h. das kleinste System von Teilmengen von X, welches T enthält und abgeschlossen unter Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitten ist. Elemente A ∈ B(X) heißen Borel-Mengen.

• Ein Maß auf X ist eine Abbildung μ : B(X) → [0, ∞] mit μ(∅) = 0 und μ(⋃_{n=0}^{∞} E_{n}) = ∑_{n=0}^{∞} μ(E_{n}) für paarweise disjunkte E_{n} ∈ B(X). (X, B(X), μ) bzw. kurz (X, μ) heißt Maßraum. Auf ℝ^{n} gibt es genau ein normiertes translationsinvariantes Maß, das Lebesgue-Maß λ.

• Eine Funktion f : X → 𝕂 heißt meßbar, falls das Urbild f^{−1}(U) einer beliebigen offenen Teilmenge U ⊂ 𝕂 Borel-Menge in X ist.

• Ist A ∈ B(X), dann heißt 1_{A}(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x ∈ A \\ 0 & für x ∉ A \end{matrix} die charakteristische

Funktion von A; diese ist meßbar. Funktionen ϕ = ∑_{i=1}^{m} ϕ_{i}1_{A_{i}} mit A_{i} ∈ B(X) und ϕ_{i} ∈ 𝕂 heißen Treppenfunktionen. Ist μ ein Maß auf X und μ(A_{i}) < ∞, so heißt die Treppenfunktion ϕ = ∑_{i=1}^{m} ϕ_{i}1_{A_{i}} endlich. Das Integral einer endlichen Treppenfunktion (bezüglich μ) ist erklärt als

∫_{X} dμϕ := ∑_{i=1}^{m} ϕ_{i}μ(A_{i}) .

• Ist f : X → 𝕂 meßbar, dann heißt

∥f∥_{1} := sup { ∫_{X} dμ ϕ : ϕ ist endliche Treppenfunktion mit 0 ≤ ϕ ≤ |f|}

die L^{1}-Halbnorm von f. Eine meßbare Funktion f : X → 𝕂 heißt μintegrierbar, falls es eine Folge (ϕ_{n})_{n∈ℕ} endlicher Treppenfunktionen gibt mit lim_{n→∞} ∥f −ϕ_{n}∥_{1} = 0. Dann ist ( ∫_{X} dμ ϕ_{n}) eine Cauchy-Folge, und

∫_{X} dμ f := lim_{n→∞} ∫_{X} dμ ϕ_{n}

definiert das (Lebesgue-) Integral (bezüglich μ) von f.

• Eine Teilmenge N ⊂ X heißt μ-Nullmenge, falls es zu jedem ϵ > 0 eine Menge A ⊂ B(X) gibt mit N ⊂ A und μ(A) < ϵ. Sei N := {N ⊂ X : N ist Nullmenge}. Aus technischen Gründen wird B(X) vervollständigt durch Hinzunahme aller Mengen B ⊂ X, für die es A ∈ B(X) und Nullmengen N_{1}, N_{2} gibt mit A \ N_{1} ⊂ B ⊂ A ∪ N_{2}. Man definiert dann μ(B) := μ(A). Eine Eigenschaft E gilt μ-fast-überall auf X, wenn die Menge der Punkte, für die E nicht gilt, eine μ-Nullmenge ist.

Man zeigt folgende Eigenschaften:

i) Für f, g meßbar sind auch f + g, fg, |f|, |f|^{p}, λf sowie (falls definiert) f/g, max(f, g) und min(f, g) meßbar. Ist f_{n} meßbar für alle n ∈ ℕ und existiert lim_{n→∞} f_{n}(x) für alle x ∈ X, so ist f meßbar.

ii) Für eine meßbare Funktion f : X → 𝕂 gilt:

f integrierbar ⇔ |f| integrierbar ⇔ ∥f∥_{1} < ∞ ,

und dann gilt | ∫_{X} dμ f| ≤ ∫_{X} dμ |f| = ∥f∥_{1}.

iii) Das Integral ist linear und monoton: f ≤ g ⇒ ∫_{X} dμ f ≤ ∫_{X} dμ g.

iv) (Majorantenkriterium) Ist f : X → 𝕂 meßbar, g : X → ℝ_{+} integrierbar

mit |f| ≤ g, dann ist auch f integrierbar, mit | ∫_{X} dμ f| ≤ ∫_{X} dμ g. v) (monotone Konvergenz – Beppo Levi) Ist (f_{n}) monoton wachsende Folge integrierbarer Funktionen f_{n} : X → ℝ mit beschränkter Folge der Integrale, dann ist die punktweise gebildete Grenzfunktion f(x) :=

lim_{n→∞} f_{n}(x) meßbar und integrierbar, mit ∫_{X} dμ f = lim_{n→∞} ∫_{X} dμ f_{n}.

vi) (dominierte Konvergenz – Lebesgue) Sei (f_{n}) Folge integrierbarer Funktionen mit f_{n}(x) → f(x) μ-fast-überall. Es gebe eine integrierbare Funktion g mit |f_{n}(x)| ≤ g(x) μ-fast-überall. Dann ist f integrierbar, und es

gilt ∫_{X} dμ f = lim_{n→∞} ∫_{X} dμ f_{n}.

vii) ∥f∥_{1} = 0 ⇔ f(x) = 0 μ-fast-überall,

f(x) = g(x) μ-fast-überall ⇒ ∫_{X} dμ f = ∫_{X} dμ g.

viii) Ist f : X → 𝕂 integrierbar, dann ist |f(x)| < ∞ μ-fast-überall.

Definition 2.8 Sei (X, μ) ein Maßraum. Für 1 ≤ p < ∞ werde der folgende Funktionenraum definiert:

L^{p}(X, μ) := {f : X → 𝕂 : f ist meßbar und ∫_{X} dμ |f|^{p} < ∞} .

Für p = 1 fällt diese Definition mit jener der μ-integrierbaren Funktionen zusammen.

Satz 2.9 L^{p}(X, μ) ist ein Vektorraum, auf dem durch ∥f∥_{p} := ( ∫_{X} dμ |f|^{p})^{\frac{1}{p}} für f ∈ L^{p}(X, μ) eine Halbnorm definiert wird.

Mit f, g sind auch |f|^{p}, f + g meßbar. Dann folgt die Vektorraum-Struktur von L^{p}(X, μ) in Analogie zu Satz 2.7. Der weitere Beweis wird in Teilschritten aus eigenen Sätzen geführt.

Satz 2.10 (Höldersche Ungleichung) Sei 1 < p, q < ∞ mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Sind f ∈ L^{p}(X, μ) und g ∈ L^{q}(X, μ), dann ist fg ∈ L^{1}(X, μ), und es gilt

∥fg∥_{1} ≤ ∥f∥_{p}∥g∥_{q} .

Beweis. Konvexität der Funktion − ln x liefert die Ungleichung a^{\frac{1}{p}} · b^{\frac{1}{q}} ≤ \frac{a}{p} + \frac{b}{q} für alle a, b ≥ 0. Wir können ∥f∥_{p} ≠ 0 und ∥g∥_{p} ≠ 0 annehmen; ansonsten ist |f|^{p} = 0 oder |g|^{q} = 0 μ-fast-überall, damit f = 0 oder g = 0 μ-fast-überall, somit fg = 0 μ-fast-überall. Außerhalb einer μ-Nullmenge N ist |f|, |g| < ∞. Für x ∈ X \ N setze a = \frac{|f|^{p}(x)}{∥f∥_{p}^{p}} und b = \frac{|g|^{q}(x)}{∥g∥_{q}^{q}}, dann folgt

\frac{|fg|(x)}{∥f∥_{p}∥g∥_{q}} ≤ \frac{1}{p} \frac{|f|^{p}(x)}{∥f∥_{p}^{p}} + \frac{1}{q} \frac{|g|^{q}(x)}{∥g∥_{q}^{q}} .

Alle auftretenden Funktionen sind meßbar, und das μ-Integral liefert

\frac{1}{∥f∥_{p}∥g∥_{q}} ∫_{X} dμ |fg| ≤ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 .

Die Behauptung folgt dann aus dem Majorantenkriterium. □

Satz 2.11 (Minkowskische Ungleichung) Es gilt ∥f + g∥_{p} ≤ ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p} für alle f, g ∈ L^{p}(X, μ).

Beweis. Für p = 1 folgt die Dreiecksungleichung aus der Monotonie des Integrals. Sei also 1 < p < ∞ und q definiert durch \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, d.h. pq = p + q. Setze h := |f + g|^{p−1}, dann ist |h|^{q} = |f + g|^{p} und deshalb h ∈ L^{q}(X, μ) sowie ∥h∥_{q}^{q} = ∥f + g∥_{p}^{p}. Damit gilt

∥f + g∥_{p}^{p} = ∫_{X} dμ |f + g|^{p} = ∫_{X} dμ |h||f + g| ≤ ∫_{X} dμ |h||f| + ∫_{X} dμ |h||g|

≤ ∥h∥_{q}∥f∥_{p} + ∥h∥_{q}∥g∥_{p} = ∥f + g∥p^{\frac{p}{q}} (∥f∥_{p} + ∥g∥_{p}) .

Für ∥f +g∥_{p} = 0 ist nichts zu zeigen, ansonsten folgt die Behauptung aus p− \frac{p}{q} = 1. □

Bemerkung 2.12 Ist f ∈ L^{p}(X, μ) mit ∥f∥_{p} = 0, dann ist |f|^{p} = 0 μ-fast-überall, somit f = 0 μ-fast-überall:

∥f∥_{p} = 0 ⇔ f ∈ N (X, μ) := {g : X → 𝕂 meßbar, g = 0 μ-fast-überall}

Insbesondere ist N (X, μ) ⊂ L^{p}(X, μ) Untervektorraum für alle 1 ≤ p < ∞.

Folgerung 2.13 Für 1 ≤ p < ∞ ist L^{p}(X, μ) := L^{p}(X, μ)/N (X, μ) ein normierter Vektorraum bezüglich ∥[f]∥_{p} := ∥f∥_{p}.

Beweis. Sind f ∈ L^{p}(X, μ) und h ∈ N (X, μ), dann ist ∥f∥_{p} = ∥f + h∥_{p} nach Modifikationssatz, die Norm auf L^{p}(X, μ) somit wohldefiniert. □

Satz 2.14 (Riesz-Fischer) (L^{p}(X, μ), ∥ ∥_{p}) ist ein Banach-Raum.

Beweis. Zu einer Cauchy-Folge ([f_{n}]) in L^{p}(X, μ) seien beliebige Repräsentanten f_{n} ∈ L^{p}(X, μ) gewählt. Dann ist auch (f_{n}) Cauchy-Folge in L^{p}(X, μ) im Sinne von ∥f_{n} − f_{m}∥_{p} < ϵ für n, m ≥ N_{0}. Wegen |∥f_{n}∥_{p} − ∥f_{m}∥_{p}| ≤ ∥f_{n} − f_{m}∥_{p} ist dann auch (∥f_{n}∥_{p})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in ℝ. Insbesondere ist ∥f_{n}∥_{p} ≤ M beschränkt für alle n, und damit ist |f_{n}(x)| < ∞ μ−fast-überall. Die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen ist Nullmenge, somit gibt es eine gemeinsame μ-Nullmenge N mit |f_{n}(x)| < ∞ für alle x ∈ X \ N und alle n ∈ ℕ.

Wir zeigen: Es gibt es eine Funktion f ∈ L^{p}(X, μ) mit i) lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{p} = 0

ii) Eine Teilfolge (f_{n_{k}})_{k∈ℕ} konvergiert μ-fast-überall gegen f. Nach Übergang zu Äquivalenzklassen konvergiert ([f_{n}]) dann in der ∥ ∥_{p}-Norm gegen [f] ∈ L^{p}(X, μ).

Es gibt eine monoton wachsende Folge (n_{k})_{k∈ℕ} natürlicher Zahlen mit ∥f_{m_{k}} − f_{n_{k}}∥_{p} < \frac{1}{2^{k}} für alle m_{k} ≥ n_{k}. Insbesondere ist ∥f_{n_{k+1}} − f_{n_{k}}∥_{p} < \frac{1}{2^{k}} für alle k ∈ ℕ. Sei g_{k} := f_{n_{k+1}} − f_{n_{k}} außerhalb von N und g_{k}(x) := 0 für x ∈ N, ferner G_{n}(x) := ∑_{k=1}^{n} |g_{k}(x)|. Da G_{n} ∈ L^{p}(X, μ), gilt

∫_{X} dμ (G_{n}(x))^{p} = ∥G_{n}∥_{p}^{p} ≤ ( ∑_{k=1}^{n} ∥g_{k}∥_{p})^{p} ≤ 1 für alle n ∈ ℕ .

Nach dem Satz von Beppo Levi ist die punktweise gebildete Grenzfunktion H(x) := lim_{n→∞}(G_{n}(x))^{p} meßbar und integrierbar. Somit ist G(x) := lim_{n→∞} G_{n}(x) μ-fast-überall endlich. Nach Majorantenkriterium in 𝕂 existiert außerhalb einer μ-Nullmenge (wieder bezeichnet mit) N der Limes g(x) := ∑_{k=1}^{∞} g_{k}(x) mit absoluter Konvergenz der Reihe. Durch g(x) := 0 für x ∈ N wird g auf ganz X fortgesetzt. Die Borel-Algebra wird als vollständig vorausgesetzt, so daß mit g_{k} und ihrer Folge der Partialsummen auch g meßbar ist.

Die Folge der Partialsummen s_{n} := | ∑_{k=1}^{n} g_{k}|^{p} konvergiert μ-fast-überall (außerhalb N) gegen die meßbare Funktion |g|^{p}. Außerdem ist

sn^{\frac{1}{p}} = | ∑_{k=1}^{n} g_{k}| ≤ ∑_{k=1}^{n} |g_{k}| = G_{n}  ⇒  s_{n} ≤ G_{n}^{p} ≤ H

betragsmäßig beschränkt durch eine integrierbare Funktion H. Nach dem Satz von Lebesgue ist dann |g|^{p} integrierbar, also g ∈ L^{p}(X, μ). Definieren wir f := g + f_{n_{1}} ∈ L^{p}(X, μ), dann gilt außerhalb der μ-Nullmenge N die Beziehung ii) f = lim_{k→∞}(g_{k} + f_{n_{1}}) = lim_{k→∞} f_{n_{k+1}}.

Schließlich konvergiert die Folge (|f − f_{n_{k}}|^{p})_{k∈ℕ} für k → ∞ μ-fast-überall gegen Null. Außerhalb von N gilt für alle l ≥ k

|f_{n_{l+1}} − f_{n_{k}}| = | ∑_{i=k}^{l} g_{i}| ≤ ∑_{i=1}^{l} |g_{i}| = G_{l}  ⇒  |f − f_{n_{k}}|^{p} ≤ lim_{l→∞} G_{l}^{p} = H .

Somit ist (|f − f_{n_{k}}|^{p})_{k∈ℕ} eine Folge integrierbarer Funktionen, die μ-fast-überall gegen die Funktion 0 konvergiert und μ-fast-überall durch eine integrierbare Funktion H beschränkt ist. Nach dem Satz von Lebesgue ist dann

lim_{k→∞} ∫_{X} dμ|f(x) − f_{n_{k}}(x)|^{p} = ∫_{X} dμ( lim_{k→∞} |f(x) − f_{n_{k}}(x)|^{p}) = 0 .

Somit lim_{k→∞} ∥f − f_{n_{k}}∥_{p} = 0 und dann auch lim_{n→∞} ∥f − f_{n}∥_{p} = 0 nach Dreiecksungleichung. □

Bemerkung 2.15 Die Betrachtung von Teilfolgen im Beweis ist wichtig. Da ∥ ∥_{p} keine Norm auf L^{p}(X, μ) ist, folgt aus der Konvergenz einer Teilfolge einer Cauchy-Folge nicht die Konvergenz der Cauchy-Folge.

In Analogie zu den Folgenräumen ℓ^{p}, ℓ^{∞} gibt es auch den Funktionenraum L^{∞}(X, μ):

Definition 2.16 Eine meßbare Funktion f : X → 𝕂 heißt μ-fast-überall beschränkt, falls es ein C > 0 gibt mit |f| ≤ C μ-fast-überall. Dann sei

L^{∞}(X, μ) := {f : X → 𝕂 meßbar und μ-fast-überall beschränkt} .

Satz 2.17 Sei (X, μ) ein Maßraum. Dann gilt:

i) L^{∞}(X, μ) ist ein Vektorraum, auf dem durch ∥f∥_{∞} := inf{C : |f| ≤ C μ-fast-überall} eine Halbnorm definiert wird.

ii) L^{∞}(X, μ) := L^{∞}(X, μ)/N (X, μ), mit N (X, μ) aus Bemerkung 2.12, ist bezüglich ∥ ∥_{∞} ein Banach-Raum.

iii) Für f ∈ L^{∞}(X, μ) und g ∈ L^{1}(X, μ) ist fg ∈ L^{1}(X, μ), und es gilt ∥fg∥_{1} ≤ ∥f∥_{∞}∥g∥_{1}.

Beweis. Übungsaufgabe. □

Die Funktionenräume L^{p}(X, μ) liefern wichtige und vor allem interessante Beispiele für unendlich-dimensionale normierte Vektorräume. Wir werden die Strukturen der Funktionalanalysis oft an den L^{p}-Räumen demonstrieren. Eine wichtige Tatsache folgt bereits aus der Hölderschen Ungleichung:

Folgerung 2.18 Sei (X, μ) ein Maßraum, 1 ≤ p ≤ ∞ und \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Dann definiert jedes g ∈ L^{q}(X, μ) ein lineares beschränktes Funktional S_{g} ∈ (L^{p}(X, μ))′ auf L^{p}(X, μ) durch

S_{g}(f) := ∫_{X} dμ fg , f ∈ L^{p}(X, μ) .

Für die Norm im Dualraum gilt ∥S_{g}∥ ≤ ∥g∥_{q}.

Bis auf exotische Beispiele ist L^{q}(X, μ) ≠ {0}, so daß zumindest für die L^{p}-Räume der Dualraum interessant ist. Ein exotisches Beispiel ist das folgende:

Beispiel 2.19 Betrachte (X, T ) mit T = {∅, X} und μ(∅) = 0, μ(X) = ∞. Dann ist B(X) = {∅, X}, und eine Funktion f : X → 𝕂 ist meßbar genau dann, wenn sie konstant ist (da f^{−1}({λ}) ∈ {∅, X} für λ ∈ 𝕂). Es folgt L^{p}(X, μ) = {0} für 1 ≤ p < ∞ und L^{∞}(X, μ) = 𝕂. ◁

Für 1 < p ≤ ∞ läßt sich sogar mehr zeigen:

Satz 2.20 Sei 1 < p ≤ ∞. Dann ist die in Folgerung 2.18 eingeführte Abbildung S : L^{q}(X, μ) ∋ g ↦ S_{g} ∈ (L^{p}(X, μ))′ isometrisch, d.h. ∥S_{g}∥ = ∥g∥_{q}.

Beweis. Wir können ∥g∥_{q} = 1 annehmen. Sei g ∈ L^{q}(X, μ) ein beliebiger Repräsentant. Dann ist |g(x)| < ∞ außerhalb einer μ-Nullmenge N. Betrachte

f(x) := \{ \begin{matrix}\frac{|g(x)|^{q}}{g(x)} & für |g(x)| ∉ \{0, ∞\} \\ 0 & für |g(x)| ∈ \{0, ∞\} \end{matrix}

Dann ist f ∈ L^{p}(X, μ), was klar ist für (p = ∞, q = 0) und für 1 < p < ∞ wie folgt zu sehen ist: Für |g(x)| ∉ {0, ∞} gilt |f(x)|^{p} = |g(x)|^{qp−p} = |g(x)|^{q}, was sich auch in Punkte mit g(x) = 0 fortsetzt. Insbesondere gilt ∥f∥_{p} = 1, und es folgt

S_{g}(f) = ∫_{X} dμ fg = ∫_{X} dμ |g(x)|^{q} = 1 .

Somit ∥S_{g}∥ = sup_{∥f∥_{p}=1} |S_{g}(f)| ≥ 1. □

Bemerkung 2.21 Wir werden im Laufe der Vorlesung zeigen, daß für 1 < p < ∞ sogar gilt (L^{p}(X, μ))′ = L^{q}(X, μ) (Rieszscher Darstellungssatz). Dazu ist die Surjektivität von S zu beweisen (Injektivität folgt bereits aus ∥S_{g}∥ = ∥g∥), was sich aus einem Konvexitätsargument ergeben wird. Insbesondere gilt (L^{p}(X, μ))′′ = L^{p}(X, μ) für 1 < p < ∞, d.h. L^{p}(X, μ) ist reflexiv. Für p = 1 gilt Satz 2.20 i.a. nicht; kann aber gezeigt werden für σ-endliche Maßräume (es gibt eine Folge (A_{n}) von Teilmengen A_{n} ⊂ X mit μ(A_{n}) < ∞ und ⋃_{n=0}^{∞} A_{n} = X). In diesem Fall läßt sich auch (L^{1}(X, μ))′ = L^{∞}(X, μ) zeigen. Dagegen ist üblicherweise (L^{∞}(X, μ))′ viel größer als L^{1}(X, μ).

3 Hahn-Banach-Sätze

Die Hahn-Banach-Sätze liefern wichtige Informationen über den Dualraum X′ eines Banach-Raums. Sie zeigen, daß X und X′ eng verknüpft sind. Das wird unter anderem genutzt, um schwache Topologien auf X′ einzführen. Der Einheitsball in X′ ist kompakt in der schwachen Topologie, falls X = X′′ reflexiv ist.

Der Beweis des ersten Hahn-Banach-Satzes basiert auf einem Induktionsargument, für das das Lemma von Zorn benötigt wird.

Definition 3.1 Eine Menge M ≠ ∅ heißt geordnet, falls eine Relation ≤ auf M existiert mit

i) x ≤ x für alle x ∈ M
ii) x ≤ y und y ≤ x ⇒ x = y
iii) x ≤ y und y ≤ z ⇒ x ≤ z .

Ist M geordnet, so heißt eine Teilmenge K ⊂ M eine Kette, falls für alle x, y ∈ K gilt: x ≤ y oder y ≤ x. Ist K ⊂ M eine Kette, so heißt z ∈ M eine obere Schranke von K, falls x ≤ z für alle x ∈ K. Ein Element z ∈ M heißt maximales Element von M, falls für alle x ∈ M gilt: (x ≥ z ⇒ x = z).

Lemma 3.2 (Zorn) Sei M ≠ ∅ eine geordnete Menge, so daß jede Kette K ⊂ M eine obere Schranke besitzt. Dann besitzt M ein maximales Element.

Zu beachten ist, daß ein maximales Element kein größtes Element sein muß.

Definition 3.3 Sei X ein 𝕂-Vektorraum. Eine Abbildung p : X → ℝ heißt sublinear, falls

i) p(λx) = λp(x) für alle λ ≥ 0 und x ∈ X,

ii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) für alle x, y ∈ X.

Im Gegensatz zur (Halb-)Norm wird keine Positivität gefordert.

Beispiel 3.4 Folgende Abbildungen sind sublinear i) Jede Halbnorm auf X.

ii) X = ℝ mit p(x) = \{ \begin{matrix}a_{1}x & für x ≥ 0 \\ a_{2}x & für x ≤ 0 \end{matrix} mit a_{1} ≥ a_{2}.

iii) X = ℓ^{∞} mit p((x_{n})) = limsup_{n}Re(x_{n}).

Satz 3.5 (Hahn-Banach: I. reelle Vektorräume) Sei X ein reeller Vektorraum, U ⊂ X ein Untervektorraum und p : X → ℝ sublinear. Dann gilt: Zu jeder linearen Abbildung f : U → ℝ mit f(x) ≤ p(x) für alle x ∈ U existiert eine lineare Fortsetzung

F : X → ℝ mit F |_{U} = f und F (x) ≤ p(x) ∀x ∈ X .

Beweis. Durch Induktion nach n = dim(X/U) unter Verwendung des Lemmas von Zorn.

i) Sei n = 1 und x_{0} ∈ X/U. Jedes x ∈ X hat eine eindeutige Darstellung x = u + λx_{0} mit u ∈ U und λ ∈ ℝ. Für jedes r ∈ ℝ wird durch F (x) = f(u) + λr eine lineare Abbildung F : X → ℝ definiert. Wir zeigen: Es gibt eine Wahl von r, so daß F (x) ≤ p(x), d.h.

f(u) + λr ≤ p(u + λx_{0}) .  (*)

Die Gleichung (*) ist für λ = 0 automatisch erfüllt. Je nach Vorzeichen von λ ≠ 0 erhalten wir aus der Sublinearität

λ > 0 :  r ≤^{!}p(\frac{u}{λ} + x_{0}) − f(\frac{u}{λ})
λ < 0 :  −r ≤^{!}p(\frac{u}{−λ} − x_{0}) − f(\frac{u}{−λ})

und damit

sup_{v∈U} (f(v) − p(v − x_{0})) ≤^{!} r ≤^{!} inf_{w∈U} (p(w + x_{0}) − f(w)) .

Diese Ungleichung besitzt Lösungen r ∈ ℝ wegen

f(v) + f(w) = f(v + w) ≤ p(v + w) = p(v − x_{0} + w + x_{0}) ≤ p(v − x_{0}) + p(w + x_{0}) .

Somit gibt es für dim(X/U) = 1 eine Fortsetzung F mit den geforderten Eigenschaften.

ii) Induktiv läßt sich f fortsetzen auf Untervektorräume U ⊂ V_{n} ⊂ X mit dim(V_{n}/U) = n. Unter Verwendung des Lemmas von Zorn wird nun gezeigt, daß X erreicht wird. Dazu sei

M := {(V, F_{V}) : V ⊂ X Untervektorraum mit U ⊂ V ,
F_{V} : V → ℝ linear mit F_{V} ≤ p|_{V} , F_{V} |_{U} = f} .

Wegen (U, f) ∈ M ist M ≠ ∅. Wir definieren auf M eine Relation ≤ durch

(V_{1}, F_{V_{1}}) ≤ (V_{2}, F_{V_{2}})  ⇔  V_{1} ⊂ V_{2} und F_{V_{2}} |_{V_{1}} = F_{V_{1}} .

Jede Kette K = (V_{i}, L_{V_{i}})_{i∈I} besitzt eine obere Schranke (V_{K}, L_{V_{K}}) mit

V_{K} := ⋃_{i∈I} V_{i} , F_{V_{K}}(x) = F_{V_{i}}(x) für x ∈ V_{i} .

Somit gibt es ein maximales Element m = (X_{0}, F_{X_{0}}). Wäre X_{0} ≠ X, so gibt es ein x_{0} ∈ X/X_{0}, und nach i) ließe sich m fortsetzen, im Widerspruch zur Maximalität von m. Also ist X = X_{0} und F = F_{X_{0}}. □

Zu beachen ist, daß die Ungleichung für r im allgemeinen viele Lösungen hat, so daß auch die Fortsetzung F nicht eindeutig ist.

Satz 3.6 (Hahn-Banach: II. komplexe Vektorräume) Sei X ein komplexer Vektorraum, U ⊂ X ein Untervektorraum und p : X → ℝ sublinear. Dann gilt: Zu jeder linearen Abbildung f : U → ℂ mit Re(f(x)) ≤ p(x) für alle x ∈ U existiert eine lineare Fortsetzung

F : X → ℂ mit F |_{U} = f und Re(F (x)) ≤ p(x) ∀x ∈ X .

Beweis. Fassen wir X als reellen Vektorraum auf, dann gibt es nach Satz 3.5 ein ℝ-lineares Funktional F̃ : X → ℝ, welches Re(f) fortsetzt. Setze F (x) = F̃(x) − iF̃(ix), dann ist Re F = F̃, und F ist ℂ-linear:

F ((λ + iμ)x) = F̃((λ + iμ)x) − iF̃(i(λ + iμ)x)
= λF̃(x) + μF̃(ix) − iλF̃(ix) + iμF̃(x) = (λ + iμ)F (x) .

Ebenso ist f = Re(f) − i Re(if) eindeutig durch Re(f) definiert, so daß F die behaupteten Eigenschaften bezüglich f hat. □

Theorem 3.7 (Hahn-Banach: III. Fortsetzungssatz) Sei (X, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum und U ⊂ X ein Untervektorraum. Dann gilt: Zu jedem linearen beschränkten Funktional u′ : U → 𝕂 gibt es ein lineares beschränktes Funktional x′ : X → 𝕂 mit x′|_{U} = u′ und ∥x′∥ = ∥u′∥.

Beweis. i) Sei X reeller Vektorraum. Die Abbildung p(x) := ∥u′∥∥x∥ ist sublinear, so daß es nach Satz 3.5 eine lineare Abbildung x′ : X → ℝ gibt mit x′(x) ≤ p(x) und x′|_{U} = u′. Andererseits gilt x′(−x) = −x′(x) ≤ p(−x) = p(x) und somit |x′(x)| ≤ ∥u′∥∥x∥ für alle x ∈ X. Insbesondere ist ∥x′∥ ≤ ∥u′∥. Die Gleichheit folgt aus

∥u′∥ = sup_{u∈U , ∥u∥≤1} |u′(u)∥ = sup_{u∈U , ∥u∥≤1} |x′(u)∥ ≤ sup_{x∈X , ∥x∥≤1} |x′(x)∥ = ∥x′∥ .

ii) Ist X komplexer Vektorraum, dann gibt es nach Satz 3.6 und i) ein ℂlineares Funktional x′ : X → ℂ mit x′|_{U} = u′ und ∥Re(x′)∥ = ∥u′∥. Setzt man

x′(x) = e^{iα(x)}|x′(x)|, dann ist

|x′(x)| = |x′(e^{−iα(x)}x)| = |(Re x′)(e^{−iα(x)}x)| ≤ ∥u′∥∥x∥ .

Insgesamt folgt ∥x′∥ = ∥u′∥. □

Da endlich-dimensionale Untervektorräume U ⊂ X lineare Funktionale u′ ≠ 0 besitzen, ist auch X′ ≠ {0}. Wir werden sehen, daß X′ groß genug ist, um wichtige Eigenschaften aus X zu erfassen.

Folgerung 3.8 Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum. Zu jedem 0 ≠ x ∈ X gibt es ein x′ ∈ X′ mit ∥x′∥ = 1 und x′(x) = ∥x∥. Insbesondere trennt X′ die Punkte aus X, d.h. zu x_{1}, x_{2} ∈ X mit x_{1} ≠ x_{2} gibt es ein x′ ∈ X′ mit x′(x_{1}) ≠ x′(x_{2}).

Beweis. Betrachte U = 𝕂x und u′(λx) := λ∥x∥. Dann ist ∥u′∥ = 1, und nach Theorem 3.7 gibt es eine norm-gleiche Fortsetzung x′ ∈ X′. Die Trennung der Punkte ergibt sich durch Anwendung auf x = x_{1} − x_{2} ≠ 0. □

Bezeichnung 3.9 Ist (Y, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum, dann bezeichnet B_{Y} := {y ∈ Y , ∥y∥ ≤ 1} den Einheitsball in Y und S_{Y} := {y ∈ Y , ∥y∥ = 1} die Einheitssphäre.

Folgerung 3.10 In einem normierten Vektorraum (X, ∥ ∥) gilt ∥x∥ = sup_{x′∈B_{X′}} |x′(x)|. Das Supremum wird angenommen.

Beweis. Einerseits ist |x′(x)| ≤ ∥x′∥∥x∥ ≤ ∥x∥ für x′ ∈ B_{X′}, andererseits gibt es nach Folgerung 3.8 ein x′ ∈ B_{X′} mit |x′(x)| = ∥x∥. □

Folgerung 3.11 Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum und U ⊂ X ein abgeschlossener Untervektorraum. Dann gibt es zu x ∈ X, x ∉ U, ein x′ ∈ X′ mit x′|_{U} = 0 und x′(x) ≠ 0.

Beweis. Betrachte die Quotientenabblidung ι : X → X/U, die nach Satz 1.16 linear und stetig ist. Es gilt ι(u) = 0 ∈ X/U für alle u ∈ U und ι(x) ≠ 0 ∈ X/U. Nach Satz 1.16 ist X/U ein normierter Vektorraum (da U abgeschlossen), und nach Folgerung 3.8 gibt es dann ein f ∈ (X/U)′ mit f(ι(x)) = f([x]) = ∥[x]∥ ≠ 0. Setze x′ := f ∘ ι. □

Folgerung 3.12 Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum, U ⊂ X Untervektorraum. Dann sind äquivalent:

i) U ist dicht in X, d.h. Ū = X.

ii) Falls x′ ∈ X′ mit x′|_{U} = 0, so gilt x′ = 0.

Beweis. i)⇒ii) Zu jedem x ∈ X gibt es eine gegen x konvergente Folge (u_{n}) in U. Aus der Stetigkeit von x′ folgt x′(x) = 0.

ii)⇒i) Zunächst ist auch x′|Ū = 0. Wäre Ū ≠ X, so gibt es nach Folgerung 3.11 für x ∈ X/Ū ein x′ ∈ X mit x′(x) ≠ 0, Widerspruch. □

Als Anwendung erarbeiten wir eine Eigenschaft der Normtopologie, die grundlegend verschieden von den im nächsten Abschnitt zu betrachtenden schwachen Topologien ist:

Satz 3.13 Sei (X, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum. Dann sind äquivalent: i) B_{X} ist kompakt.

ii) X ist endlich-dimensional.

Beweis. ii)⇒i) ist klar. Sei B := B_{X} kompakt. Da B ⊂ ⋃_{x∈B} U_{\frac{1}{2}} (x) eine offene Überdeckung ist, gibt es \{x_{1}, …, x_{l}\} ∈ B mit B ⊂ ⋃_{i=1}^{l} U_{\frac{1}{2}} (x_{i}). Betrachte den von den x_{i} aufgespannten Untervektorraum Y := span(x_{1}, …, x_{l}) ⊂ X. Wir zeigen: Y = X. Es gilt U_{\frac{1}{2}} (x_{i}) = x_{i} +U_{\frac{1}{2}} (0) ⊂ x_{i} + \frac{1}{2}B; dabei ist rB der Ball in X vom Radius r. Somit gibt es zu jedem b ∈ B ein i ∈ \{1, …, l\} mit b ∈ x_{i} + \frac{1}{2}B ⊂ Y + \frac{1}{2}B, und induktiv erhalten wir

B ⊂ Y + \frac{1}{2}B ⊂ Y + \frac{1}{2}(Y + \frac{1}{2}B) = Y + \frac{1}{4}B ⊂ ⋯ ⊂ Y + \frac{1}{2^{k}} B ⊂ ⋂_{k∈ℕ}(Y + \frac{1}{2^{k}} B) .

Da Punkte x_{0} ∈ ( ⋂_{k∈ℕ}(Y + \frac{1}{2^{k}} B)) \ Y gerade die Häufungspunkte von Y sind, ist Ȳ = ⋂_{k∈ℕ}(Y + \frac{1}{2^{k}} B) der Abschluß und B ⊂ Ȳ.

Angenommen, es gibt ein x_{0} ∈ Ȳ \Y. Betrachte dann den (l+1)-dimensionalen Vektorraum Y_{1} := Y + 𝕂x_{0} sowie auf Y_{1} das lineare stetige Funktional f(y + λx_{0}) := λ, mit y ∈ Y. Dieses setzt sich nach Hahn-Banach zu einem Funktional f̄ ∈ Ȳ′ fort (nach Lemma 1.6 ist Ȳ ein Vektorraum, und Y_{1} ⊂ Ȳ ist Untervektorraum) und erfüllt f̄(x_{0}) = 1 sowie f̄|_{Y} = 0. Nach Folgerung 3.12 ist dann x_{0} ∉ Ȳ, Widerspruch. Also gilt sogar Y = Ȳ und damit B ⊂ Y. Dann ist auch X = ⋃_{λ>0}(λB) ⊂ Y, d.h. X ist endlich-dimensional. □

Die Trennung von Punkten nach Folgerung 3.8 läßt sich auf geeignete Teilmengen erweitern.

Definition 3.14 Eine Teilmenge A ⊂ X eines Vektorraums X heißt konvex, falls mit a, b ∈ A auch λa + (1 − λ)b ∈ A für alle λ ∈ [0, 1].

Definition 3.15 Es sei X ein topologischer Vektorraum und U ⊂ X eine Umgebung von 0. Dann wird durch p_{U}(x) := inf\{λ > 0 : \frac{x}{λ} ∈ U\} das Minkowski-Funktional p_{U} : X → ℝ_{+} erklärt.

Lemma 3.16 Sei U ⊂ X eine konvexe Umgebung von 0. Dann gilt:

i) Das Minkowski-Funktional p_{U} ist sublinear.

ii) Ist U offen, so gilt U = p_{U}^{−1}([0, 1[).

Beweis. i) Die Definition liefert p_{U}(λx) = λp_{U}(x) für λ > 0. Zu x, y ∈ X und ϵ > 0 gibt es λ, μ > 0 mit p_{U}(x) ≤ λ ≤ p_{U}(x) + ϵ und p_{U}(y) ≤ μ ≤ p_{U}(y) + ϵ. Da U konvex ist, ist mit \frac{x}{λ}, \frac{y}{μ} ∈ U auch

\frac{λ}{λ + μ} \frac{x}{λ} + \frac{μ}{λ + μ} \frac{y}{μ} = \frac{x + y}{λ + μ} ∈ U .

Somit ist p(x + y) ≤ λ + μ ≤ p(x) + p(y) + 2ϵ. Da ϵ > 0 beliebig, ist p_{U} sublinear.

ii) Ist p_{U}(x) < 1, so gibt es ein 0 < λ < 1 mit \frac{x}{λ} ∈ U, dann ist auch x = λ\frac{x}{λ} + (1 − λ)0 ∈ U. Ist umgekehrt p_{U}(x) ≥ 1, dann ist \frac{x}{λ} ∉ U für alle 0 < λ < 1. Sei (λ_{n}) eine gegen 1 konvergierende Folge mit 0 < λ_{n} < 1, dann konvergiert \frac{x}{λ_{n}} ∈ X \ U gegen x. Da X \ U abgeschlossen, ist x ∈ X \ U. □

Theorem 3.17 (Hahn-Banach IV: Trennungssatz) Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum, V_{1}, V_{2} ∈ X konvexe disjunkte Teilmengen, mit V_{1} offen. Dann gibt es ein x′ ∈ X′ mit Re x′(v_{1}) < Re x′(v_{2}) für alle v_{1} ∈ V_{1} und v_{2} ∈ V_{2}.

Beweis. Wie üblich betrachten wir zunächst den Fall reeller Vektorräume. Sei V := V_{1} − V_{2} = {v_{1} − v_{2} : v_{1} ∈ V_{1} , v_{2} ∈ V_{2}}. Dann ist V ebenfalls konvex, außerdem offen wegen V = ⋃_{v_{2}∈V_{2}}(V_{1} − v_{2}), mit 0 ∉ V. Wähle ein x_{0} ∈ V, dann ist U := V − x_{0} offen mit 0 ∈ U. Damit gilt nach Lemma 3.16 für das Minkowski-Funktional p_{U}(−x_{0}) ≥ 1.

Betrachte Y := ℝx_{0} und y′(−λx_{0}) := λp_{U}(−x_{0}). Für λ ≤ 0 ist y′(−λx_{0}) ≤ 0 ≤ p_{U}(−λx_{0}). Für λ > 0 gilt nach Sublinearität y′(−λx_{0}) = p_{U}(−λx_{0}), insgesamt also y′(y) ≤ p_{U}(y) für alle y ∈ ℝx_{0}. Nach Satz 3.5 gibt es eine lineare Fortsetzung x′ : X → ℝ (deren Beschränktheit noch zu zeigen ist) mit x′(x) ≤ p_{U}(x) für alle x ∈ X.

Da U offen ist und 0 ∈ U, gibt es ein ϵ > 0 mit U_{ϵ}(0) ⊂ U. Damit gilt p_{U}(x) ≤ \frac{1}{ϵ}∥x∥ für alle x ∈ X. Somit folgt x′(x) ≤ \frac{1}{ϵ}∥x∥ und auch x′(−x) = −x′(x) ≤ \frac{1}{ϵ}∥x∥, d.h. x′ ist beschränkt.

Schließlich gilt x′(−x_{0}) = y′(−x_{0}) = p_{U}(−x_{0}) ≥ 1. Nach Konstruktion läßt sich jedes v ∈ V = V_{1} − V_{2} = x_{0} + U schreiben als v = u + x_{0}, so daß nach Lemma 3.16 gilt

x′(v) = x′(u) − x′(−x_{0}) ≤ x′(u) − 1 < 0 .

Somit ist x′(v_{1}) < x′(v_{2}). Für komplexe Vektorräume liefert diese Konstruktion ein reelles Funktional Re x′ : X → ℝ, welches über x′(x) = (Re x′)(x) − i(Re x′)(ix) ein ℂ-linearen Funktional x′ mit den geforderten Eigenschaften definiert. □

Bemerkung 3.18 Der Trennungssatz hat eine interessante geometrische Interpretation. Nach Theorem 3.17 gibt es (wieder im reellen Fall) unter diesen Voraussetzungen ein α ∈ ℝ mit x′(v_{1}) < α < x′(v_{2}). Wir betrachten zu f ∈ X′ und α ∈ ℝ die Hyperebene H(f, α) = {x ∈ X : f(x) = α}. Ist x_{0} ∈ H(f, α) gegeben, dann ist H(f, α) = x_{0} + ker f, und ker f ist abgeschlossener Untervektorraum der Kodimension 1. (Sei f(x_{0}) ≠ 0, dann ist x = (x − \frac{f(x)}{f(x_{0})}x_{0}) + \frac{f(x)}{f(x_{0})}x_{0}, d.h. X/ ker f = ℝx_{0}.) Der Trennungssatz besagt also, daß disjunkte konvexe Mengen in X, eine davon offen, durch eine Hyperebene in X getrennt werden können.

Ebenso lassen sich Punkte und abgeschlossene Mengen strikt trennen:

Folgerung 3.19 (Hahn-Banach: V. Trennungssatz (2)) Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum, V ⊂ X eine abgeschlossene konvexe Teilmenge und x ∈ X \ V. Dann gibt es ein x′ ∈ X′ und ein δ > 0 mit Re x′(x) + δ ≤ x′(v) für alle v ∈ V.

Beweis. X \ V ist offen, also gibt es eine ϵ-Umgebung U_{ϵ}(x) mit U_{ϵ}(x) ∩ V = ∅. Nach Theorem 3.17 gibt es ein x′ ∈ X′ mit

(Re x′)(x + u) = (Re x′)(x) + (Re x′)(u) < (Re x′)(v)

für alle v ∈ V und u ∈ U_{ϵ}(0). Nach Supremumsbildung über u ≠ 0 folgt (Re x′)(x) + ∥Re x′∥ϵ ≤ (Re x′)(v), und analog zu Theorem 3.7.ii) darf ∥Re x′∥ durch ∥x′∥ ersetzt werden. Somit liefert δ := ϵ∥x′∥ > 0 die Behauptung. □

4 Schwache Topologien und reflexive Räume

Ist X normierter Vektorraum, so auch sein Dualraum X′ und damit auch der Bidualraum X′′ := (X′)′. Jedes x ∈ X definiert in kanonischer Weise ein i_{X}(x) ∈ X′′ durch (i_{X}(x))(x′) := x′(x).

Satz 4.1 Die kanonische Abbildung i_{X} : X → X′′ ist eine (im allgemeinen nicht surjektive) lineare Isometrie, ∥i_{X}(x)∥ = ∥x∥.

Beweis. Linearität ist klar, und die Isometrie ist die Folgerung 3.10 ∥x∥ = sup_{x′∈B_{X′}} |x′(x)| = sup_{x′∈B_{X′}} |(i_{X}(x))(x′)| = ∥i_{X}(x)∥ aus Hahn-Banach. □

Folgerung 4.2 Jeder normierte Vektorraum ist isometrisch isomorph zu einem dichten Untervektorraum eines Banach-Raums.

Beweis. X′′ ist immer vollständig. Nach Satz 1.16.v) ist \overline{i_{X}(X)} vollständig. □

Definition 4.3 Ein normierter Vektorraum X heißt reflexiv, falls die kanonische Abbildung i_{X} : X → X′′ surjektiv ist.

Satz 4.4 Die Folgenräume ℓ^{p} sind für 1 < p < ∞ reflexiv, genauer gilt (ℓ^{p})′ = ℓ^{q} für \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Beweis. Wir betrachten die Abbildung S : ℓ^{q} → (ℓ^{p})′ aus Folgerung 2.18 für das Zählmaß. Nach Satz 2.20 ist nur die Surjektivität zu beweisen.

Sei y′ ∈ (ℓ^{p})′ beliebig. Es sei e_{n} = (δ_{nk})_{k∈ℕ} die Folge, deren n-tes Glied gleich 1 ist und ansonsten identisch 0. Offenbar ist e_{n} ∈ ℓ^{p} für alle p. Für c_{n} ∈ 𝕂 gilt für endliche Linearkombination c_{(N)} := ∑_{n=0}^{N} c_{n}e_{n} ∈ ℓ^{p}. Sei x_{n} := y′(e_{n}) und x := (x_{n})_{n∈ℕ}. Wir zeigen: x ∈ ℓ^{q}. Dazu sei

t_{n} := \{ \begin{matrix}\frac{|x_{n}|^{q}}{x_{n}} & für x_{n} ≠ 0 \\ 0 & für x_{n} = 0 \end{matrix}

Dann ist |t_{n}|^{p} = |x_{n}|^{q}, und für alle N ∈ ℕ gilt

∑_{n=0}^{N} |x_{n}|^{q} = ∑_{n=0}^{N} x_{n}t_{n} = ∑_{n=0}^{N} y(e_{n})t_{n} = y( \underbrace{∑_{n=0}^{N} t_{n}e_{n}}_{t_{(N)}} )

≤ ∥y′∥ ∥t_{(N)}∥_{p} = ∥y′∥( ∑_{n=0}^{N} |t_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} = ∥y′∥( ∑_{n=0}^{N} |x_{n}|^{q})^{\frac{1}{p}} .

Unter Verwendung von 1 − \frac{1}{p} = \frac{1}{q} folgt ( ∑_{n=0}^{N} |x_{n}|^{q})^{\frac{1}{q}} ≤ ∥y′∥, so daß x ∈ ℓ^{q} mit ∥x∥_{q} ≤ ∥y′∥. Somit ist S_{x} ∈ (ℓ^{p})′ nach Folgerung 2.18, und es gilt

S_{x}(e_{n}) := ∑_{k=0}^{∞} x_{k}δ_{nk} = x_{n} = y′(e_{n}) .

Folglich ist S_{x} − y′ = 0 auf U := span(e_{n} : n ∈ ℕ) ⊂ ℓ^{p}. Da U ⊂ ℓ^{p} dicht ist, gilt S_{x} − y′ = 0 nach Folgerung 3.12. □

Wir werden später zeigen, daß auch L^{p}(X, μ) mit 1 < p < ∞ reflexiv ist für beliebige Maßräume.

Lemma 4.5 Sei X reflexiver Banach-Raum und U ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum. Dann ist U reflexiv.

Zu zeigen ist die Surjektivität von i_{U}. Jedes u′′ ∈ U′′ definiert eine lineare Abbildung x̃ : X′ ∋ x′ ↦ u′′(x′|_{U}) ∈ 𝕂, für die gilt

|u′′(x′|_{U})| ≤ ∥u′′∥∥x′|_{U} ∥ ≤ ∥u′′∥∥x′∥ .

Somit ist x̃ ∈ X′′, und wegen der Reflexivität gibt es ein x ∈ X mit x′(x) = x̃(x′) = u′′(x′|_{U}) für alle x′ ∈ X′. Wäre x ∉ U, so gibt es nach Folgerung 3.11 (U ist abgeschlossen) ein x′ ∈ X′ mit x′(x) ≠ 0 und x′|_{U} = 0, Widerspruch. Verbleibt zu zeigen: i_{U}(x) = u′′. Sei u′ ∈ U′ beliebig, dann gilt für eine beliebige Hahn-Banach-Fortsetzung x′ von u′

u′′(u′) = u′′(x′|_{U}) = x′(x) = u′(x)

wegen x ∈ U. □

Satz 4.6 Ein Banach-Raum X ist genau dann reflexiv, wenn X′ reflexiv ist.

i) Sei X reflexiv, zu zeigen ist i_{X′} : X′ → X′′′ surjektiv. Sei x′′′ ∈ X′′′ beliebig. Definiere x′(x) := x′′′(i_{X}(x)); dann ist x′ linear und stetig. Zu gegebenem x′′ ∈ X′′ gibt es (eindeutig) ein x ∈ X mit x′′ = i_{X}(x). Somit gilt

x′′′(x′′) = x′′′(i_{X}(x)) = x′(x) = (i_{X}(x))(x′) = x′′(x′) ,

d.h. i_{X′}(x′) = x′′′.

ii) Sei X′ reflexiv, dann ist X′′ reflexiv nach i). Mit X ist auch i_{X}(X) ⊂ X′′ vollständig, insbesondere abgeschlossen, und nach Lemma 4.5 ist dann i_{X}(X) reflexiv. Da i_{X} : X → i_{X}(X) ein isometrischer Isomorphismus ist, ist X selbst reflexiv. □

Die linearen Funktionale f ∈ X′ sollen nun genutzt werden, um auf dem normierten Vektorraum (X, ∥ ∥) eine (wie sich zeigen wird von der Norm-Topologie verschiedene) Topologie einzuführen, die schwache Topologie. Die schwache Topologie wird gerade so konstruiert, daß jedes f ∈ X′ stetig ist, d.h. f^{−1}(U) ⊂ X ist offen für beliebige offene Teilmengen U ⊂ 𝕂. Diese Konstruktion ist wichtiges Beispiel für eine Initialtopologie:

Definition 4.7 Sei X eine Menge, (Y_{i}, T_{i}) eine Familie von topologischen Räumen und f_{i} : X → Y_{i} eine Familie von Abbildungen von X nach Y_{i}. Die Initialtopologie bezüglich (Y_{i}, T_{i}, f_{i}) ist die gröbste Topologie auf X, bezüglich derer alle Abbildungen f_{i} stetig sind.

Ist (X, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum, so heißt die Initialtopologie auf X bezüglich (𝕂, f_{i})_{f_{i}∈X′} die schwache Topologie.

Das bedeutet (und ist äquivalent zur Definition), daß die Urbilder f_{i}^{−1}(O_{ij}) aller offenen Mengen O_{ij} ∈ T_{i} unter allen Abbildungen f_{i} eine Subbasis S der Topologie T bilden, d.h. jede (offene) Menge in T ist darstellbar als Vereinigung von endlichen Durchschnitten von Elementen aus S.

Da jedes f ∈ X′ auch stetig in der Norm-Topologie ist, ist die schwache Topologie gröber als die Norm-Topologie. Dabei heißt eine eine Topologie T_{1} gröber als eine Topologie T_{2} (und T_{2} feiner als T_{1}), wenn T_{1} ⊂ T_{2} ist, d.h. wenn jede in T_{1} offene Menge auch in T_{2} offen ist. Die schwache Topologie enthält also weniger offene Mengen als die Norm-Topologie, was umgekehrt dazu führt, daß sich die schwache Topologie hinsichtlich Kompaktheit besser verhält als die Norm-Topologie.

Satz 4.8 Ein normierter Vektorraum X ist bezüglich der schwachen Topologie ein Hausdorff-Raum.

Beweis. Seien x_{1} ≠ x_{2} verschiedene Punkte aus X. Nach Hahn-Banach (Folgerung 3.8) gibt es ein f ∈ X′ mit ϵ := \frac{1}{2}|f(x_{1}) − f(x_{2})| > 0. Wegen der Stetigkeit von f sind f^{−1}(U_{ϵ}(f(x_{1}))) und f^{−1}(U_{ϵ}(f(x_{2}))) offen in der schwachen Topologie und per Konstruktion disjunkt. □

Somit ist die schwache Konvergenz von Folgen (d.h. Konvergenz in der schwachen Topologie) erklärt, und der Grenzwert ist eindeutig.

Satz 4.9 Sei X normierter Vektorraum. Eine Folge (x_{n}) in X ist genau dann schwach-konvergent gegen x ∈ X, geschrieben lim_{n→∞}^{w} x_{n} = x, wenn für alle f ∈ X′ gilt lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x).

Beweis. (⇒) Sei ϵ > 0 gegeben, dann liegen für beliebiges f ∈ X′ fast alle x_{n} in f^{−1}(U_{ϵ}(f(x))), somit |f(x) − f(x_{n})| < ϵ.

(⇐) Nach Konstruktion der schwachen Topologie aus der Subbasis enthält jede schwach-offene Umgebung von x eine Teilmenge der Form

U := f_{1}^{−1}(O_{1}) ∩ f_{2}^{−1}(O_{2}) ∩ … f_{m}^{−1}(O_{m}) ,

wobei O_{i} offene Umgebungen von f(x) ∈ 𝕂 sind und f_{i} ∈ X′. Da nach Voraussetzung fast alle f_{i}(x_{n}) in jedem O_{i} liegen, liegen auch fast alle x_{n} ∈ f_{i}^{−1}(O_{i}) und damit in U. □

Aus Norm-Konvergenz folgt schwache Konvergenz, die Umkehrung gilt in unendlich-dimensionalen normierten Vektorräumen aber nicht:

Beispiel 4.10 Sei X = ℓ^{p} mit 1 < p < ∞. Wir betrachten die Folge e_{n} = (δ_{nk})_{k∈ℕ} ∈ ℓ^{p} aus Satz 4.4. Ist n ≠ m, so folgt ∥e_{n} − e_{m}∥_{p} = 2^{\frac{1}{p}}. Damit ist die Folge der (e_{n})_{n∈ℕ} keine Cauchy-Folge, so daß (e_{n})_{n∈ℕ} in der ∥ ∥_{p}-Norm nicht konvergent ist. Andererseits ist nach Satz 4.4 (ℓ^{p})′ = ℓ^{q}, d.h. zu f ∈ (ℓ^{p})′ gibt es (y_{n}) ∈ ℓ^{q} mit f(x) = ∑_{k=0}^{∞} x_{k}y_{k} für alle x = (x_{k}) ∈ ℓ^{p}. Insbesondere gilt f(e_{n}) = y_{n}, und y_{n} ist eine Nullfolge für alle f ∈ (ℓ^{p})′. Somit ist (e_{n})_{n∈ℕ} schwachkonvergent gegen 0 ∈ ℓ^{p}. ◁

Das Beispiel verdeutlicht insbesondere, daß Norm-abgeschlossene Mengen nicht schwach-abgeschlossen sein müssen. Für die in ℓ^{p} schwach-konvergente Folge (e_{n})_{n∈ℕ} von Punkten aus S_{ℓ^{p}} liegt der Grenzwert 0 ∉ S_{ℓ^{p}}, d.h. S_{ℓ^{p}} ist nicht schwach-abgeschlossen! Es läßt sich zeigen, daß in unendlich-dimensionalen Banach-Räumen X allgemein gilt: Der schwache Abschluß von S_{X} ist B_{X}.

Jedoch gilt für konvexe Mengen:

Satz 4.11 Sei X normierter Vektorraum und V ⊂ X eine (Norm- oder schwach) abgeschlossene konvexe Teilmenge. Ist (v_{n}) eine Folge aus V, die schwach gegen ein x ∈ X konvergent ist, so gilt x ∈ V.

Beweis. In jedem Fall ist V Norm-abgeschlossen. Angenommen, x ≠ V. Nach dem 2. Trennungssatz von Hahn-Banach (Folgerung 3.19) gibt es ein f ∈ X′ und ein 0 < ϵ < δ mit Re f(x) + ϵ ≤ inf_{v∈V} Re f(v). Damit ist (Re f)(x − v_{n}) > ϵ für alle n ∈ ℕ, im Widerspruch zur schwachen Konvergenz gegen x nach Satz 4.9.□

Auch in der schwachen Topologie gilt, daß schwach-konvergente Folgen beschränkt sind. Der Beweis beruht auf dem Baireschen Kategoriensatz und kann erst später gegeben werden. Dagegen sind schwach-konvergente Netze (auch das ist später einzuführen) nicht notwendig beschränkt.

Ebenso ist auf X′ die schwache Topologie erklärt als die gröbste Topologie, so daß alle y ∈ X′′ stetig sind. Fordert man nur Stetigkeit des Unterraums i_{X}(X) ⊂ X′′, so erhält man:

Definition 4.12 Die schwach-*-Topologie ist die gröbste Topologie auf X′, für die alle Abbildungen X′ ∋ f ↦ f(x) ∈ 𝕂 stetig sind für x ∈ X.

Ist X nicht reflexiv, so ist die schwach-*-Topologie noch gröber als die schwache Topologie auf X′. Es gilt dennoch, daß X′ Hausdorff-Raum bezüglich der schwach-*-Topologie ist (Beweis wie Satz 4.8), und eine Folge (f_{n}) in X′ ist schwach-*-konvergent gegen f ∈ X′ genau dann, wenn sie punktweise konvergent ist, lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x) für alle x ∈ X (Beweis wie Satz 4.9). Deshalb heißt die schwach-*-Topologie auch Topologie der punktweisen Konvergenz. Zentrales Resultat ist:

Theorem 4.13 (Banach-Alaoglu) Sei X normierter Vektorraum. Dann ist B_{X′} kompakt in der schwach-*-Topologie.

Beweis. Für x ∈ X definiere kompakte Teilmengen Y_{x} := {λ_{x} ∈ 𝕂 : |λ_{x}| ≤ ∥x∥}. Nach dem Satz von Tychonoff ist dann auch Y := ∏_{x∈X} Y_{x} kompakt.

Durch η : B_{X′} ∋ f ↦ (f(x))_{x∈X} wird eine Abbildung η : B_{X′} → Y definiert (beachte |f(x)| ≤ ∥x∥). Diese ist injektiv, so daß B_{X′} ⊂ Y identifiziert werden kann. Dabei stimmt die Relativtopologie von B_{X′} ⊂ Y, induziert aus der Produkttopologie von Y, mit der schwach-∗-Topologie auf B_{X′} überein: Die Produkt-Topologie auf Y = ∏_{x∈X} Y_{x} ist nichts anderes als die Initialtopologie bezüglich der Projektionen p_{x} : Y → Y_{x} ⊂ 𝕂.

Es verbleibt zu zeigen, daß B_{X′} ⊂ Y abgeschlossen ist. Dazu sei g ∈ \overline{B_{X′}} ⊂ Y gegeben; wegen |g(x)| ≤ ∥x∥ ist nur die Linearität von g zu zeigen. Seien x_{1}, x_{2} ∈ X beliebige, aber feste Punkte. Wir betrachten die Menge

G := {y ∈ Y : |y(x_{1} + x_{2}) − g(x_{1} + x_{2})| < ϵ , |y(x_{i}) − g(x_{i})| < ϵ , i = 1, 2} .

Jede der drei Mengen (i_{X}(x))^{−1}(U_{ϵ}(g(x))) ist offen (x ∈ {x_{1}, x_{2}, x_{1} + x_{2}}), somit ist G offene Umgebung von g. Wegen g ∈ \overline{B_{X′}} existiert ein f ∈ G ∩ B_{X′}. Aus der Linearität von f folgt |g(x_{1} +x_{2})−g(x_{1})−g(x_{2})| < 3ϵ. Die analoge Konstruktion für die skalare Multiplikation beweist die Linearität von g. □

Folgerung 4.14 Zu jedem normierten Vektorraum (X, ∥ ∥) gibt es einen kompakten topologischen Raum K und eine lineare Isometrie ϕ : (X, ∥ ∥) → (C(K), ∥ ∥_{∞}).

Beweis. K := B_{X′} ist kompakt in der schwach-*-Topologie. Einem x ∈ X ordnen wir die Abbildung ϕ_{x} : B_{X′} ∋ f ↦ f(x) ∈ 𝕂 zu. Zu zeigen ist: ϕ ist linear und beschränkt mit ∥ϕ_{x}∥_{∞} := sup_{f∈B_{X′}} |ϕ_{x}(f)| = ∥x∥. Linearität folgt aus ϕ_{x+y}(f) = f(x + y) = f(x) + f(y) = ϕ_{x}(f) + ϕ_{y}(f) = (ϕ_{x} + ϕ_{y})(f), da die Addition von Funktionen auf K = B_{X′} punktweise erklärt ist. Die Isometrie ist durch die Folgerung 3.10 aus Hahn-Banach bewiesen. □

Als Dualraum von X′ ist auf X′′ ebenfalls die schwach-*-Topologie erklärt, in dieser ist B_{X′′} kompakt. Es geht nun darum, diese Kompaktheitseigenschaften auf X zu übertragen. Unser Ziel ist der Beweis des folgenden:

Theorem 4.15 Ein Banach-Raum X ist genau dann reflexiv, wenn B_{X} schwachkompakt ist.

Folgerung 4.16 Ein Banach-Raum X ist genau dann reflexiv, wenn auf X′ die schwache Topologie und die schwach-*-Topologie übereinstimmen.

Beweis. Stimmen beide Topologien auf X′ überein, so ist B_{X′} schwach-kompakt nach Theorem 4.13, somit ist X′ reflexiv nach Theorem 4.15. Nach Satz 4.6 ist dann auch X reflexiv. Die Umkehrung ist klar. □

Der Beweis von Theorem 4.15 beruht auf:

Satz 4.17 Sei X normierter Vektorraum. Dann ist i_{X}(B_{X}) ⊂ B_{X′′} schwach-*- dicht.

Es gibt einen relativ kurzen Beweis über den Trennungssatz von Hahn-Banach, falls dieser für lokal-konvexe Topologien gezeigt ist (was wir nicht getan haben). Ein Beweis innerhalb des bisher vorgestellten Rahmens ist leider etwas umfangreich. Dazu zunächst folgendes:

Lemma 4.18 Seien y ∈ B_{X′′} und f_{1}, …, f_{n} ∈ X′ gegeben. Für h(x) := ∑_{i=1}^{n} |y(f_{i}) − f_{i}(x)|^{2} gilt: inf_{x∈B_{X}} h(x) = 0.

Beweis. Sei I := inf_{x∈B_{X}} h(x). Dann gibt es eine Folge (a_{k}) in B_{X} mit lim_{k→∞} h(a_{k}) = I. Da (f_{i}(a_{k})) beschränkt ist, gibt es nach Bolzano-Weierstraß eine Teilfolge (a_{k_{l}}), so daß (f_{i}(a_{k_{l}})) konvergent ist gegen α_{i} := lim_{l→∞} f_{i}(a_{k_{l}}), für alle i = 1 … n. Der Einfachheit halber sei die Teilfolge wieder mit (a_{k}) bezeichnet, außerdem sei δ_{i} := y(f_{i}) − α_{i}.

Für 0 ≤ λ ≤ 1 und x ∈ B_{X} ist λx + (1 − λ)a_{k} ∈ B_{X}; somit

I ≤ h(λx + (1 − λ)a_{k}) = ∑_{i=1}^{n} |y(f_{i}) − λf_{i}(x) − (1 − λ)f_{i}(a_{k})|^{2}

= ∑_{i=1}^{n} |y(f_{i}) − f_{i}(a_{k})|^{2} − 2λRe( ∑_{i=1}^{n} \overline{(y(f_{i}) − f_{i}(a_{k}))}(f_{i}(x) − f_{i}(a_{k})))

+ λ^{2} ∑_{i=1}^{n} |f_{i}(x) − f_{i}(a_{k})|^{2}

⟶^{k→∞} I − 2λRe ∑_{i=1}^{n} \overline{δ_{i}}(f_{i}(x) − α_{i}) + λ^{2} ∑_{i=1}^{n} |f_{i}(x) − α_{i}|^{2} .

Für λ → 0 erhalten wir Re ∑_{i=1}^{n} \overline{δ_{i}}(f_{i}(x) − α_{i}) ≤ 0. Somit erfüllt f := ∑_{i=1}^{n} f_{i}\overline{δ_{i}} für alle x ∈ B_{X} die Abschätzung Re f(x) ≤ Re ∑_{i=1}^{n} \overline{δ_{i}}α_{i}, aus der sich nach Variation über e^{iβ}x ∈ B_{X} ergibt: ∥f∥ ≤ Re ∑_{i=1}^{n} \overline{δ_{i}}α_{i}. Andererseits ist

f(a_{k}) = ∑_{i=1}^{n} f_{i}(a_{k})\overline{δ_{i}} ⟶^{k→∞} ∑_{i=1}^{n} \overline{δ_{i}}α_{i} ,  ⇒  ∥f∥ ≥ | ∑_{i=1}^{n} \overline{δ_{i}}α_{i}|

und insgesamt ∥f∥ = ∑_{i=1}^{n} \overline{δ_{i}}α_{i} ≥ 0. Das ergibt

I = lim_{k→∞} ∑_{i=1}^{n} |y(f_{i}) − f_{i}(a_{k})|^{2} = ∑_{i=1}^{n} \overline{δ_{i}}(y(f_{i}) − α_{i}) = y(f) − ∥f∥ < 0

wegen |y(f)| ≤ ∥y∥∥f∥ ≤ ∥f∥. Somit I = 0. □

Beweis von Satz 4.17. Sei y ∈ B_{X′′}. Nach Definition der schwach-*-Topologie enthält jede schwach-*-Umgebung von y eine offene Teilmenge der Form

{b ∈ B_{X′′} : |y(f_{i}) − b(f_{i})| < ϵ , ϵ > 0 , f_{i} ∈ X′ , i = 1, … n}

Nach Lemma 4.18 enthält diese Menge ein b = i_{X}(x) für x ∈ B_{X}. □

Beweis von Theorem 4.15. Die schwach-*-Topologie auf X′′ ist definiert als jene Topologie, für die alle Abbildungen X′′ ∋ y ↦ y(f) ∈ 𝕂 für beliebige f ∈ X′ stetig sind. Für y = i_{X}(x) ist y(f) = f(x). Die Stetigkeit der Abbildung X′ ∋ x ↦ f(x) ∈ 𝕂 definiert gerade die schwache Topologie auf X, d.h. die schwache Topologie auf X ist die Relativtoplogie der schwach-*-Topologie von i_{X}(X) ⊂ X′′.

Sei X reflexiv, dann werden mittels i_{X} beide Topologien mitenander identifiziert. Da B_{X′′} = i_{X}(B_{X}) schwach-*-kompakt nach Theorem 4.13 ist, ist B_{X} schwach-kompakt.

Sei umgekehrt B_{X} schwach-kompakt, so ist i_{X}(B_{X}) schwach-*-kompakt, insbesondere schwach-*-abgeschlossen. Da nach Satz 4.17 i_{X}(B_{X}) schwach-*-dicht in B_{X′′} ist, gilt bereits i_{X}(B_{X}) = B_{X′′} und dann i_{X}(X) = X′′. □

Wir widmen uns nun Fragen der Folgenkompaktheit bezüglich der schwachen Topologien. Dazu sind zunächst wichtige topologische Begriffe einzuführen.

Definition 4.19 Sei (X, T ) ein topologischer Raum.

i) X heißt separabel, wenn es eine abzählbare dichte Teilmenge A ⊂ X gibt.

ii) X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, falls es zu jedem x ∈ X eine abzählbare Umgebungsbasis gibt, d.h. es gibt abzählbar viele Umgebungen (U_{i})_{i∈ℕ} von x, so daß es zu jeder Umgebung V von x ein U_{i} ⊂ V gibt.

iii) X erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, falls T eine abzählbare (Sub-)Basis hat, d.h. es gibt abzählbar viele offene Teilmengen (W_{i})_{i∈ℕ} in X, so daß für jede offene Teilmenge U ⊂ X gilt: U = ⋃_{W_{j}⊂U} W_{j}.

Jeder metrische Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, jeder kompakte metrische Raum das zweite Abzählbarkeitsaxiom.

Lemma 4.20 Für einen normierten Raum X sind äquivalent:

i) X ist separabel.

ii) Es gibt eine abzählbare Teilmenge A ⊂ X mit X = \overline{span(A)}.

Beweis. i)⇒ii) ist klar; für die Umkehrung betrachte die abzählbare Menge B := span_{ℚ}(A) bzw. B := span_{ℚ+iℚ}(A). Sei x ∈ X. Zu jedem ϵ > 0 gibt es nach Voraussetzung endlich viele x_{1}, …, x_{m} ∈ A und λ_{1}, …, λ_{m} ∈ 𝕂, so daß ∥x−a∥ < ϵ für a := ∑_{k=1}^{m} λ_{k}x_{k}. Weiter gibt es ρ_{i} ∈ ℚ bzw. ρ_{i} ∈ ℚ + iℚ mit |λ_{i} − ρ_{i}| ≤ ( ∑_{k=1}^{m} ∥x_{k}∥)^{−1}ϵ. Für b := ∑_{k=1}^{m} ρ_{k}x_{k} gilt dann

∥x − b∥ ≤ ∥x − a∥ + ∥a − b∥ < ϵ + ∑_{k=1}^{m} |λ_{k} − ρ_{k}|∥x_{k}∥ < 2ϵ .  □

Satz 4.21 (C([a, b]), ∥ ∥_{∞}) ist separabel.

Beweisidee: (Grundlagen werden später bereitgestellt) Betrachte die Polynomfunktionen mit rationalen Koeffizienten. Diese sind dicht in (C([a, b]), ∥ ∥_{∞}) nach dem Weierstraßschen Approximationssatz. □

Man kann zeigen, daß (C(K), ∥ ∥_{∞}) separabel ist für beliebige kompakte metrische Räume K. Unter gleichen Voraussetzungen ist auch L^{p}(K, μ) mit 1 ≤ p < ∞ separabel für reguläre Borelmaße μ.

Satz 4.22 Sei (X, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum, und X′ sei separabel. Dann ist auch X separabel.

Beweis. Mit X′ ist auch S_{X′} separabel, d.h. es gibt eine abzählbare dichte Teilmenge A = (x′_{n})_{n∈ℕ} ⊂ S_{X′}. Nach Definition der Norm gibt es x_{n} ∈ S_{X} mit \frac{1}{2} ≤ |x′_{n}(x_{n})| ≤ 1. Setze U := span(x_{n} : n ∈ ℕ) und betrachte x′ ∈ X′ mit x′|_{U} = 0. Angenommen, x′ ≠ 0. Durch Skalieren kann x′ ∈ S_{X′} angenommen werden, so daß es ein x′_{k} ∈ A gibt mit ∥x′ − x′_{k}∥ < \frac{1}{4}. Somit gilt

\frac{1}{2} ≤ |x′_{k}(x_{k})| = |x′_{k}(x_{k}) − x′(x_{k})| ≤ ∥x′_{k} − x_{k}∥∥x_{k}∥ ≤ \frac{1}{4} ,

Widerspruch. Somit ist x′ = 0 identisch auf X, und nach Folgerung 3.12 aus Hahn-Banach ist U dicht in X. Nach Lemma 4.20 ist X separabel. □

Folgerung 4.23 Ein reflexiver Raum X ist genau dann separabel, wenn X′ separabel ist. □

Satz 4.24 Ein normierter Vektorraum (X, ∥ ∥) sei separabel in der Normtopologie. Dann erfüllt B_{X′} (und damit jede beschränkte Teilmenge von X′) das erste Abzählbarkeitsaxiom bezüglich der schwach-*-Topologie.

Beweis. Zu f ∈ X′ betrachten wir folgende Umgebungen in der schwach-*- Topologie, parametrisiert durch ϵ > 0 und x_{1}, …, x_{r} ∈ X:

U(f; x_{1}, …, x_{r}, ϵ) := {g ∈ X′ : |g(x_{i}) − f(x_{i})| < ϵ ∀i = 1, …, r} .

Nach Konstruktion der schwach-*-Topologie aus der Subbasis enthält jede schwach-*-Umgebung von f eine Umgebung der Form U(f; x_{1}, …, x_{r}, ϵ). Ist X separabel in der Norm-Topologie mit Norm-dichter Teilmenge A = {a_{n} : n ∈ ℕ}, dann betrachten wir die abzählbare Familie U(f; a_{n_{1}}, …, a_{n_{r}}, \frac{1}{m}) und zeigen: Für beliebige ϵ > 0 und x_{1}, …, x_{r} ∈ X gibt es m ∈ ℕ und a_{n_{1}}, …, a_{n_{r}} ∈ A mit U(f; a_{n_{1}}, …, a_{n_{r}}, \frac{1}{m}) ⊂ U(f; x_{1}, …, x_{r}, ϵ). Wähle m > \frac{3}{ϵ} und a_{n_{i}} ∈ A mit ∥a_{n_{i}} − x_{i}∥ < \frac{1}{m}. Dann gilt für f, g ∈ B_{X′} mit g ∈ U(f; a_{n_{1}}, …, a_{n_{r}}, \frac{1}{m}) die Abschätzung

|g(x_{k}) − f(x_{k})| ≤ |g(a_{k}) − f(a_{k})| + |(g − f)(x_{k} − a_{k})|
< \frac{1}{m} + ∥g − f∥∥x_{k} − a_{k}∥ < \frac{1}{m} + 2 · \frac{1}{m} < ϵ .  □

Bemerkung 4.25 In topologischen Räumen, in denen das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllt ist, kann die Topologie nicht allein durch die Betrachtung von Folgen erfaßt werden. Man muß dann zu Netzen übergehen. Der vorige Satz zeigt, daß in separablen normierten Räumen die Betrachtung von Folgen genügt.

Satz 4.26 Es sei X ein kompakter topologischer Raum, der das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Dann ist X folgenkompakt, d.h. jede Folge in X besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis. Für die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} betrachte die Mengen A_{n} := \overline{\{x_{k} : k ≥ n\}} ⊂ X, mit Abschluß in der Topologie von X. Diese haben die endliche Durchschnittseigenschaft, A_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{i_{k}} ≠ ∅. Da X kompakt ist, gibt es ein a ∈ ⋂_{n∈ℕ} A_{n} ≠ ∅. Insbesondere ist a ∈ A_{0}, d.h. jede Umgebung von a enthält einen Punkt x_{k} der Folge. Nach dem ersten Abzählbarkeitsaxiom gibt es eine Folge (U_{i})_{i∈ℕ} von Umgebungen von a, so daß es zu jeder Umgebung V von a ein U_{i} ⊂ V gibt. Betrachte die Folge (V_{j})_{j∈ℕ} der Umgebungen V_{j} = ⋂_{i=0}^{j} U_{i}. Dann gibt es zu jedem V_{j} ein x_{n_{j}} ∈ V_{j}. Somit konvergiert die Teilfolge (x_{n_{j}})_{j∈ℕ} gegen a. □

Folgerung 4.27 Sei X ein normierter Vektorraum, der separabel in der Norm-Topologie ist. Dann ist B_{X′} schwach-*-folgenkompakt. □

In metrischen Räumen sind Kompaktheit und Folgenkompaktheit äquivalent, in allgemeinen topologischen Räumen aber nicht. Ein einfaches Beispiel für (kompakt ⇏ folgenkompakt) ist:

Beispiel 4.28 Wir betrachten X = ℓ^{∞}. Nach Banach-Alaoglu ist B_{X′} kompakt in der schwach-*-Topologie. Aber B_{X′} ist nicht schwach-*-folgenkompakt. Dazu sei δ_{n} ∈ X′ definiert durch δ_{n}(x) := x_{n} für x = (x_{n}) ∈ ℓ^{∞}, dann gilt ∥δ_{n}∥ ≤ 1, so daß (δ_{n})_{n∈ℕ} eine (beschränkte) Folge in B_{X′} ist. Angenommen, eine Teilfolge (δ_{n_{k}})_{k∈ℕ} wäre schwach-*-konvergent gegen δ ∈ B_{X′}, dann gilt nach der Charakterisierung der schwach-*-Topologie als Topologie der punktweisen Konvergenz lim_{k→∞} δ_{n_{k}}(x) = δ(x) für alle x ∈ ℓ^{∞}, d.h. die gleiche Auswahl von Folgegliedern (x_{n_{k}})_{k∈ℕ} wäre für jede Folge x = (x_{n}) ∈ ℓ^{∞} konvergent, Widerspruch. Insbesondere gilt: ℓ^{∞} ist nicht separabel in der Norm-Topologie.

Ebenso lassen sich Beispiele für (folgenkompakt ⇏ kompakt) finden, selbst in topologischen Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen.

Satz 4.29 Ist X reflexiv, so ist B_{X} schwach-folgenkompakt.

In Kombination von Theorem 4.15 mit Satz 4.26 ist zu zeigen, daß X das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Sei zunächst X separabel, dann auch X′ und X′′ nach Folgerung 4.23. Nach Satz 4.24 erfüllt B_{X′′} das erste Abzählbarkeitsaxiom bezüglich der schwach-*-Topologie. Entsprechend der Diskussion im Beweis von Theorem 4.15 erfüllt dann B_{X} das erste Abzählbarkeitsaxiom bezüglich der schwachen Topologie.

Im allgemeinen Fall betrachte zu gegebener Folge (x_{n}) in B_{X} den Normabgeschlossenen Untervektorraum U = \overline{span(x_{n} : n ∈ ℕ)} ⊂ X. Nach Konstruktion ist U separabel, außerdem reflexiv nach Lemma 4.5. Nach dem 1. Teil besitzt (x_{n}) eine konvergente Teilfolge. □

In Kombination mit Satz 4.6, Folgerung 4.16 und Beispiel 4.28 folgt, daß ℓ^{∞} nicht reflexiv sein kann.

Bemerkung 4.30 Es gilt auch die Umkehrung: Ist B_{X} schwach-folgenkompakt, so ist X reflexiv (beruht auf Satz von Eberlein-Šmulian). Dieser ist aber schwieriger zu beweisen.

5 Gleichmäßig konvexe Räume

In diesem Abschnitt werden wir beweisen, daß gleichmäßig konvexe Räume immer reflexiv sind, und daß die Räume L^{p}(X, μ) gleichmäßig konvex, damit reflexiv, sind. Gleichmäßge Konvexität ist sehr nützlich für Approximationen.

Definition 5.1 Ein normierter Vektorraum (X, ∥ ∥) heißt gleichmäßig konvex, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

i) Für alle ϵ > 0 gibt es ein δ > 0, so daß für x, y ∈ B_{X} (insbesondere x, y ∈ S_{X}) gilt:

∥x − y∥ ≥ ϵ ⇒ ∥\frac{1}{2}(x + y)∥ ≤ 1 − δ
bzw. ∥\frac{1}{2}(x + y)∥ > 1 − δ ⇒ ∥x − y∥ < ϵ .

ii) Für beliebige Folgen (x_{n}), (y_{n}) in S_{X} (bzw. B_{X}) gilt

lim_{n→∞} ∥\frac{1}{2}(x_{n} + y_{n})∥ = 1 ⇒ lim_{n→∞}(x_{n} − y_{n}) = 0 .

Beweis der Äquivalenzen. i)⇒ii) ist klar für Folgen aus S_{X}. Sind die Folgen aus B_{X}, so ist lim sup_{n} ∥x_{n}∥ ≤ 1 und tatsächlich lim_{n} ∥x_{n}∥ = lim_{n} ∥y_{n}∥ = 1 wegen lim_{n} ∥\frac{1}{2}(x_{n} + y_{n})∥ = 1. Damit ist x_{n}, y_{n} ≠ 0 für alle n ≥ N, und man zeigt für die normierten Folgen x̃_{n} := \frac{x_{N+n}}{∥x_{N+n}∥} und ỹ_{n} := \frac{y_{N+n}}{∥y_{N+n}∥}, daß lim_{n→∞}(x̃_{n} − ỹ_{n}) = 0. Daraus ergibt sich lim_{n→∞}(x_{n} − y_{n}) = 0.

ii)⇒i) Angenommen, es gibt ein ϵ > 0, so daß für alle δ_{n} = \frac{1}{n} gilt: Es gibt x_{n}, y_{n} ∈ B_{X} mit ∥x_{n} − y_{n}∥ > ϵ aber ∥\frac{1}{2}(x_{n} + y_{n})∥ > 1 − δ. Nach ii) ist das ausgeschlossen. □

Satz 5.2 Jeder unitäre Vektorraum (X, ⟨ , ⟩) ist gleichmäßig konvex.

Beweis. In X gilt die Parallelogrammgleichung ∥x+y∥^{2}+∥x−y∥^{2} = 2(∥x∥+∥y∥). Sei 0 < δ < 1. Sind x, y ∈ B_{X} mit \frac{1}{2}∥x + y∥ > 1 − δ, so folgt

∥x − y∥^{2} = 2(∥x∥ + ∥y∥) − ∥x + y∥^{2} ≤ 4 − 4(1 − δ)^{2} = 8δ − 4δ^{2} < 8δ .

Wähle 0 < δ < \frac{1}{8}ϵ^{2}, dann ∥x − y∥ < ϵ für alle x, y ∈ B_{X} mit \frac{1}{2}∥x + y∥ > 1 − δ. □

Beispiel 5.3 ℓ^{1} ist nicht gleichmäßig konvex: Wähle x = e_{1} = (1, 0, 0, …) und y = e_{2} = (0, 1, 0, …), dann ist ∥\frac{1}{2}(x + y)∥ = 1 aber ∥x − y∥_{1} = 2. ◁

Wir werden dagegen sehen, daß ℓ^{p} gleichmäßig konvex ist für alle 1 < p < ∞.

Theorem 5.4 (Milman) Jeder gleichmäßig konvexe Banach-Raum (X, ∥ ∥) ist reflexiv.

Beweis. Zu zeigen ist, daß es zu y ∈ X′′ ein x ∈ X gibt mit y(f) = f(x) für alle f ∈ X′. Wir können y ≠ 0 annehmen (sonst x = 0) und wegen der Linearität von f außerdem ∥y∥ = 1. Somit gibt es eine Folge (f_{n})_{n≥1} in B_{X′} mit 1 − \frac{1}{n} < |y(f_{n})| ≤ 1. Durch Multiplikation mit geeigneten e^{iα_{n}} kann 1 − \frac{1}{n} < y(f_{n}) ≤ 1 erreicht werden. Nach Lemma 4.18 gibt es zu jedem n ≥ 1 ein x_{n} ∈ B_{X} mit

|y(f_{i}) − f_{i}(x_{n})| < \frac{1}{2n} für alle i = 1, …, n ,  (*)
⇒ 1 − \frac{3}{2n} < Re f_{i}(x_{n}) für alle i = 1, …, n .

Somit gilt für m ≥ n unter Verwendung von f_{i} ∈ B_{X′} die Abschätzung

(1 − \frac{3}{2n}) + (1 − \frac{3}{2m}) < Re(f_{n}(x_{n}) + f_{n}(x_{m})) ≤ |f_{n}(x_{n} + x_{m})| ≤ ∥x_{n} + x_{m}∥ . (**)

Da X gleichmäßig konvex ist, gibt es zu ϵ > 0 ein \frac{3}{2δ} ≤ N ∈ ℕ, so daß für alle m ≥ n ≥ N gilt ∥x_{n} − x_{m}∥ < ϵ. Somit ist (x_{n}) eine Cauchy-Folge, die wegen der Vollständigkeit von X einen Norm-Grenzwert x ∈ X hat. Aus (**) folgt für m = n → ∞ sogar ∥x∥ = 1, und die Norm-Stetigkeit von f_{i} in (*) liefert

y(f_{i}) = f_{i}(x) für alle i ∈ ℕ \ {0} .  (***)

Der Grenzwert x ist durch die Folge (f_{i}) sowie (***) und ∥x∥ = 1 eindeutig bestimmt. Denn gäbe es einen weitere Lösung x̃ ∈ S_{X} von (***), so erfüllt auch die Folge x̃_{n} mit x̃_{2k} = x und x̃_{2k+1} = x̃ alle früheren Bedingungen, ist somit Cauchy-Folge mit x = x̃.

Wir behaupten, daß sogar y(f_{0}) = f_{0}(x) gilt für beliebiges f_{0} ∈ X′. Wir können f_{0} ≠ 0 annehmen. Dann finden wir nach Lemma 4.18 eine u.U. andere Folge (x̃_{n})_{n≥1}, für die statt (*) gilt |y(f_{i}) − f_{i}(x̃_{n})| < \frac{1}{2n} für alle i = 0, 1, …, n. Da diese Folge (x̃_{n}) auch alle früheren Bedingungen erfüllt, konvergiert sie wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes ebenfalls gegen x. Dann folgt für i = 0, n → ∞ die Behauptung. □

Folgerung 5.5 Jeder Hilbert-Raum (H, ⟨ , ⟩) ist reflexiv. □

Satz 5.6 (Clarkson) Sei 1 < p < ∞. Dann ist L^{p}(X, μ) gleichmäßig konvex, damit reflexiv, für beliebige Maßräume (X, μ).

Wir geben nur den Beweis für 2 ≤ p < ∞p ≥ 2. Der Fall 1 < p < 2 ist wesentlich komplizierter und z.B. in [Hirzebruch-Scharlau] zu finden. Wir benötigen folgende Abwandlung der Parallelogrammgleichung für p = 2:

Lemma 5.7 Für alle f, g ∈ L^{p}(X, μ), 2 ≤ p < ∞, gilt ∥f + g∥_{p}^{p} + ∥f − g∥_{p}^{p} ≤ 2^{p−1}(∥f∥_{p}^{p} + ∥g∥_{p}^{p}).

Beweis. i) Wir zeigen: Für alle a, b ∈ 𝕂 und p ≥ 2 gilt (|a|^{p}+|b|^{p})^{\frac{1}{p}} ≤ (|a|^{2}+|b|^{2})^{\frac{1}{2}} . Wir können a, b ≠ 0 annehmen, und dann |a|^{2} + |b|^{2} = 1. Dann ist |a|, |b| ≤ 1, somit |a|^{p} ≤ |a|^{2} und |b|^{p} ≤ |b|^{2}, und schließlich (|a|^{p} + |b|^{p})^{\frac{1}{p}} ≤ (|a|^{2} + |b|^{2})^{\frac{1}{p}} = 1 = (|a|^{2} + |b|^{2})^{\frac{1}{2}} .

ii) Wir zeigen: |a + b|^{p} + |a − b|^{p} ≤ 2^{p−1}(|a|^{p} + |b|^{p}) für alle a, b ∈ 𝕂 und 2 < p < ∞ (klar für p = 2). Sei p′ := \frac{p}{2} > 1 und q′ := \frac{p}{p−2} > 1. Es gilt \frac{1}{p′} + \frac{1}{q′} = 1. Wir nutzen Hölder für (𝕂^{2}, ∥ ∥_{p′}) und (𝕂^{2}, ∥ ∥_{q′}):

|a|^{2} + |b|^{2} = |a|^{2} · 1 + |b|^{2} · 1 ≤ ∥(|a|^{2}, |b|^{2})∥_{p′}∥(1, 1)∥_{q′}  (*)
= (|a|^{2p′} + |b|^{2p′})^{\frac{1}{p′}} (1 + 1)^{\frac{1}{q′}} = (|a|^{p} + |b|^{p})^{\frac{2}{p}} (2)^{\frac{p−2}{p}} .

Es folgt:

(|a+b|^{p}+|a−b|^{p})^{\frac{1}{p}} ≤^{i)} (|a+b|^{2}+|a−b|^{2})^{\frac{1}{2}} = (2|a|^{2}+2|b|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤^{(∗)} 2^{\frac{1}{2}} (|a|^{p}+|b|^{p})^{\frac{1}{p}} 2^{\frac{p−2}{2p}} ,

die p-te Potenz liefert die Behauptung.

iii) Zu f, g ∈ L^{p}(X, μ) wählen wir beliebige Repräsentanten in f̃, g̃ ∈ L^{p}(X, μ). Dann ist f̃(x), g̃(x) ∈ 𝕂 für x ∈ X \ N, wobei N eine μ-Nullmenge ist. Somit folgt |f̃(x) + g̃(x)|^{p} + |f̃(x) − g̃(x)|^{p} ≤ 2^{p−1}(|f̃(x)|^{p} + |g̃(x)|^{p}) für x ∈ X \ N nach ii). Das Integral erhält die Monotonie und ist unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sowie der Nullmenge N. □

Beweis von Satz 5.6 für p ≥ 2. Zu 0 < ϵ < 2 wähle δ := 1−(1−(\frac{ϵ}{2})^{p})^{\frac{1}{p}} > 0. Seien f, g ∈ L^{p}(X, μ) mit ∥f∥_{p}, ∥g∥_{p} ≤ 1 sowie ∥f −g∥_{p} ≥ ϵ. Dann gilt nach Lemma 5.7

\frac{1}{2^{p}} ∥f + g∥_{p}^{p} ≤ \frac{1}{2}(∥f∥_{p}^{p} + ∥g∥_{p}^{p}) − \frac{1}{2^{p}} ∥f − g∥_{p}^{p} ≤ 1 − \frac{ϵ^{p}}{2^{p}} = (1 − δ)^{p} .

Die p-te Wurzel liefert die Behauptung nach Definition 5.1.i). □

Bemerkung 5.8 Für 1 < p < 2 gilt statt Lemma 5.7 die Ungleichung ∥f +g∥_{p}^{q} + ∥f − g∥_{p}^{q} ≤ 2(∥f∥_{p}^{p} + ∥g∥_{p}^{p})^{q−1} mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, deren Beweis wesentlich schwieriger ist. Der Beweis des Satzes von Clarkson ist dann analog.

Wir können nun die Bemerkung 2.21 vollenden:

Satz 5.9 Für 1 < p < ∞ ist die lineare Isometrie S : L^{q}(X, μ) → (L^{p}(X, μ))′ aus Satz 2.20 surjektiv.

Beweis. Sei P := L^{p}(X, μ) und Q := S(L^{q}(X, μ)), dann ist Q vollständig, insbesondere abgeschlossener Untervektorraum von P′. Angenommen, es gibt ein f ∈ P′ \ Q. Nach Hahn-Banach (Folgerung 3.11) gibt es ein y ∈ P′′ mit y|_{Q} = 0 und y(f) ≠ 0. Da P reflexiv ist, gibt es ein x ∈ P mit y(f) = f(x) ≠ 0, andererseits gilt 0 = y(S_{g}) = S_{g}(x) für alle g ∈ L^{q}(X, μ). Nun ist S_{g} isometrisch, d.h. es gilt x = 0 and damit auch y(f) = 0, Widerspruch. □

Abschließend widmen wir uns Approximationsfragen.

Definition 5.10 Ein reeller normierter Vektorraum (X, ∥ ∥) heißt strikt normiert, falls für alle x, y ∈ X \ {0} gilt:

∥x + y∥ = ∥x∥ + ∥y∥ ⇒ x = λy für ein λ > 0 .

Lemma 5.11 Jeder gleichmäßig konvexe reelle normierte Vektorraum ist strikt normiert.

Beweis. In der Situation von Definition 5.10 können wir ∥x∥ = 1 annehmen. Sei x̃ := \frac{x+y}{∥x+y∥} = \frac{x+y}{1+∥y∥}, dann gilt ∥x + y − x̃∥ = ∥y∥ und dann μ := ∥\frac{x−x̃′}{2} + y∥ ≤ ∥y∥. Es folgt 1 + ∥y∥ = ∥x + y∥ ≤ μ + ∥\frac{1}{2}(x + x̃)| ≤ ∥y∥ + 1, somit μ = ∥y∥ und ∥\frac{1}{2}(x + x̃)∥ = 1. Aus der gleichmäßigen Konvexität folgt x = x̃, also y = ∥y∥x .□

Satz 5.12 (Approximationssatz) Sei X ein strikt normierter reeller Vektorraum, x ∈ X und V ⊂ X eine abgeschlossene konvexe Teilmenge. Dann gilt:

i) Es gibt höchstens ein w ∈ V mit ∥x − w∥ = d(x, V) = inf_{v∈V} ∥x − v∥. ii) Ist X gleichmäßig konvexer Banach-Raum, so gibt es genau ein w ∈ V

mit ∥x − w∥ = d(x, V).

Beweis. Für x ∈ V ist nichts zu zeigen. Für x ∉ V ist d := inf_{v∈V} ∥x − v∥ > 0 wegen der Abgeschlossenheit von V.

i) Seien w_{1}, w_{2} ∈ V zwei Minima, dann ist wegen der Konvexität \frac{1}{2}(w_{1} +w_{2}) ∈ V. Es folgt d ≤ ∥x − \frac{1}{2}(w_{1} + w_{2})∥ ≤ \frac{1}{2}∥x − w_{1}∥ + \frac{1}{2}∥x − w_{2}∥ = d, somit Gleichheit. Aus der strikten Normiertheit folgt x − w_{1} = λ(x − w_{2}) mit λ > 0, aus der Gleichheit der Normen dann w_{1} = w_{2}.

ii) Es gibt eine Folge (v_{n}) in V mit lim_{n→∞} ∥x − v_{n}∥ = d. Aus der Konvexität folgt d ≤ ∥x − \frac{1}{2}(v_{n} + v_{m})∥. Wir zeigen: (v_{n}) ist Cauchy-Folge, wegen der Vollständigkeit von X und Abgeschlossenheit von V konvergent gegen ein w ∈ V; dieses ist nach i) das einzige Minimum.

Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein 0 < δ < 1 nach Definition 5.1. Wegen der Konvergenz von (∥x − v_{n}∥) gegen d gibt es ein N ∈ ℕ, so daß für alle n ≥ N gilt x_{n} := (1 − \frac{δ}{2})\frac{1}{d}(x − v_{n}) ∈ B_{X}. Wäre ∥x_{n} − x_{m}∥ ≥ ϵ für alle n, m ≥ N, so gilt nach gleichmäßiger Konvexität ∥\frac{1}{2}(x_{n} + x_{m})∥ ≤ 1 − δ, also

d ≤ ∥x − \frac{1}{2}(v_{n} + v_{m})∥ ≤ d\frac{1 − δ}{1 − \frac{δ}{2}} < d ,

Widerspruch. Also ist (x_{n}) Cauchy-Folge und damit auch (v_{n}). □

Der Satz wird vor allem genutzt in der Situation, daß V abgeschlossener Untervektorraum eines gleichmäßig konvexen Banach-Raums X ist. Dann gibt es zu x ∈ X ein eindeutiges w ∈ V mit d(x, V) = d(x, w). Als Beispiel wähle X = L^{2}([a, b], λ) und V = P_{n} als Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ n. Dann gibt es zu jeder Äquivalenzklasse von Funktionen [f] ∈ L^{2}([a, b], λ) ein eindeutiges Polynom p_{n}(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}, für das der quadratische Fehler ∫_{[a,b]} dλ |f(x) − p_{n}(x)|^{2} minimal wird.

6 Der Satz von Baire und seine Konsequenzen

In vollständigen metrischen Räumen X bleibt der Durchschnitt abzählbar vieler offener und dichter Teilmengen immer noch dicht in X. Daraus ergeben sich eine Reihe der wichtigsten Theoreme der Funktionalanalysis, die auf den ersten Blick unerwartet sind.

Satz 6.1 (Baire) Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und (O_{n}) eine Folge offener und dichter Teilmengen. Dann ist Y := ⋂_{n∈ℕ} O_{n} dicht in X.

Beweis. Wir zeigen induktiv, daß jede ϵ-Umgebung U_{ϵ}(x) ein y ∈ Y enthält. Da O_{1} dicht ist, gibt es ein x_{1} ∈ O_{1} ∩ U_{ϵ}(x), und da O_{1} ∩ U_{ϵ}(x) offen, gibt es ein ϵ_{1} > 0 mit U_{ϵ_{1}}(x_{1}) ⊂ O_{1} ∩ U_{ϵ}(x). Durch Verkleinerung von ϵ_{1} läßt sich \overline{U_{ϵ_{1}}(x_{1})} ⊂ O_{1} ∩ U_{ϵ}(x) erreichen, und es kann ϵ_{1} < \frac{1}{2}ϵ gewählt werden. Induktiv konstruiert man eine Folge (x_{n}) in X und eine Folge (ϵ_{n}) positiver Zahlen mit

i) \overline{U_{ϵ_{n}}(x_{n})} ⊂ O_{n} ∩ U_{ϵ_{n−1}}(x) ⊂ O_{1} ∩ ⋯ ∩ O_{n} ∩ U_{ϵ}(x) ,

ii) ϵ_{n} < \frac{1}{2}ϵ_{n−1} < \frac{1}{2^{n}} ϵ.

Nach Konstruktion ist (x_{n}) eine Cauchy-Folge, die wegen der Vollständigkeit von X gegen ein y ∈ X konvergiert. Dabei gilt y ∈ \overline{U_{ϵ_{n}}(x_{n})} ⊂ O_{n} ∩ U_{ϵ}(x) für alle n ∈ ℕ und deshalb y ∈ ( ⋂_{n∈ℕ} O_{n}) ∩ U_{ϵ}(x), insbesondere y ∈ Y. □

Es wird nicht behauptet, daß ⋂_{n∈ℕ} O_{n} offen ist, was i.a. auch nicht gilt. Der Satz läßt sich ebenfalls zeigen in lokal-kompakten Hausdorff-Räumen. Der ursprüngliche Satz von Baire formuliert die komplementäre Aussage und benötigt:

Definition 6.2 Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt nirgends dicht, falls Ā keinen inneren Punkt besitzt.

Dabei heißt int(A) := ⋃{U ⊂ A offen} das Innere von A, und Punkte y ∈ int(A) heißen innere Punkte.

Lemma 6.3 In einem metrischen Raum X gilt: Int(A) = ∅ ⇔ X \A dicht.

Beweis. (⇒) Keine ϵ-Umgebung U_{ϵ}(x) kann vollständig in A liegen. Somit existiert ein y ∈ (X \ A) ∩ U_{ϵ}(x), d.h. X \ A ist dicht.

(⇐) Ist X \A dicht in X, dann existiert für alle U_{ϵ}(x) ein y ∈ (X \A)∩U_{ϵ}(x). Folglich ist A nirgends dicht. □

Beispiel 6.4 i) Jeder Punkt x ∈ X ist nirgends dicht.

ii) S^{1} ⊂ ℝ^{2} ist nirgends dicht.

iii) ℚ ⊂ ℝ ist abzählbare Vereinigung nirgends dichter Teilmengen, und dicht in ℝ.

Satz 6.5 (Baire, 2. Version) Sei (X, d) vollständiger metrischer Raum und (A_{n}) eine Folge nirgends dichter abgeschlossener Teilmengen A_{n} ⊂ X. Dann enthält auch ⋃_{n∈ℕ} A_{n} keine inneren Punkte.

Achtung: Es wird nicht behauptet, daß ⋃_{n∈ℕ} A_{n} nirgends dicht ist, siehe ℚ ⊂ ℝ!

Beweis. Sei O_{n} := X \ A_{n}. Dann ist ⋂_{n∈ℕ} O_{n} dicht, also enthält die folgende Menge keine inneren Punkte:

X \ ( ⋂_{n∈ℕ}(X \ A_{n})) = X \ (X \ ( ⋃_{n∈ℕ}A_{n})) = ⋃_{n∈ℕ}A_{n} .  □

Der Satz von Baire hat viele wichtige Anwendungen in der Funktionalanalysis. Eine davon ist:

Theorem 6.6 (Banach-Steinhaus: Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit) Seien X ein Banach-Raum, Y ein normierter Vektorraum und I eine Indexmenge. Zu jedem i ∈ I sei ein T_{i} ∈ L(X, Y) gegeben. Falls sup_{i∈I} ∥T_{i}(x)∥ < ∞ für alle x ∈ X, so gilt sogar sup_{i∈I} ∥T_{i}∥ < ∞.

In Worten: Jede punktweise beschränkte Familie linearer stetiger Abbildungen ist auch gleichmäßig beschränkt (unter den gegebenen Voraussetzungen). Zur Bedeutung des Theorems erinnere man sich daran, daß für eine Folge stetiger Funktionen (f_{n}), die punktweise gegen eine Grenzfunktion f konvergiert, diese nicht notwendig stetig ist.

Beweis. Für n ∈ ℕ setze A_{n} := {x ∈ X : ∥T_{i}(x)∥ ≤ n für alle i ∈ I}. Nach Voraussetzung ist X = ⋃ A_{n}. Die Abbildung X ∋ x ↦ p_{i}(x) := ∥T_{i}(x)∥ ∈ ℝ_{+} ist stetig, so daß A_{n} = ⋂_{i∈I} p_{i}^{−1}([0, n]) abgeschlossen ist. Da X innere Punkte hat, können nach dem Satz 6.5 von Baire nicht alle A_{n} nirgends dicht sein, d.h. es gibt N ∈ ℕ und U_{ϵ}(x) ⊂ X mit U_{ϵ}(x) ⊂ A_{N}. Mit y ∈ A_{N} ist auch −y ∈ A_{N}, somit x + u, x − u, u − x ∈ A_{N} für alle u ∈ X mit ∥u∥ < ϵ. Weiter ist A_{N} konvex: Sind x, y ∈ A_{N} und 0 ≤ λ ≤ 1, so gilt ∥T_{i}(λx+(1−λ)y)∥ ≤ λ∥T_{i}(x)∥+(1−λ)∥T_{i}(y)∥ ≤ N. Somit folgt

∥u∥ < ϵ  ⇒  u = \frac{1}{2}(x + u) + \frac{1}{2}(u − x) ∈ A_{N}

⇒ ∥T_{i}∥ = sup_{\frac{u}{ϵ} ∈B_{X}} ∥T_{i}(\frac{u}{ϵ})∥ ≤ \frac{N}{ϵ} < ∞ für alle i ∈ I .

Somit auch sup_{i∈I} ∥T_{i}∥ < ∞. □

Der Satz von Banach-Steinhaus ist eine reine Existenzaussage. Es kann keine Aussage über den Wert von sup_{i∈I} ∥T_{i}∥ < ∞ erhalten werden. Die Vollständigkeit von X ist unverzichtbar.

Folgerung 6.7 Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum. Für M ⊂ X sind äquivalent:

i) M ist beschränkt.

ii) f(M) ist beschränkt für alle f ∈ X′.

Beweis. i)⇒ii) ist klar. Umgekehrt genügt es wegen der Isometrie von i_{X} zu zeigen, daß i_{X}(M) ⊂ X′′ beschränkt ist. Nach Voraussetzung gibt es für alle f ∈ X′ ein c_{f} ≥ 0 mit |f(m)| = |(i_{X}(m))(f)| ≤ c_{f} für alle m ∈ M. Da X′ Banach-Raum ist, folgt mit Banach-Steinhaus ∥i_{X}(m)∥ = ∥m∥ < ∞. □

Die analoge Aussage für X′ erfordert die Vollständigkeit: Nur dann gilt: M ⊂ X′ ist genau dann beschränkt, wenn i_{X}(M) beschränkt ist.

Folgerung 6.8 Jede schwach-konvergente Folge in einem normierten Vektorraum (X, ∥ ∥) ist beschränkt.

Beweis. (x_{n}) ist genau dann schwach-konvergent, wenn f(x_{n}) konvergent in 𝕂 für alle f ∈ X′. Insbesondere ist (f(x_{n}))_{n∈ℕ} beschränkt. Die Behauptung folgt aus Folgerung 6.7 für M = {x_{n} : n ∈ ℕ}. □

Die Aussage gilt nicht für Netze (später einzuführen), da im Gegensatz zu Folgen ein in 𝕂 konvergentes Netz nicht beschränkt sein muß.

Folgerung 6.9 Sei X Banach-Raum, Y normierter Vektorraum und (T_{n}) eine Folge in L(X, Y), so daß (T_{n}(x))_{n∈ℕ} in Y Norm-konvergent ist für alle x ∈ X. Sei T : X → Y definiert durch T x := lim_{n→∞} T_{n}x. Dann gilt T ∈ L(X, Y).

Beweis. Linearität ergibt sich wie in Satz/Definition 1.14. Nach Voraussetzung ist (T_{n}(x))_{n∈ℕ} konvergent und damit beschränkt, sup_{n} ∥T_{n}(x)∥ < ∞ für alle x ∈ X. Nach dem Satz von Banach-Steinhaus gilt dann ∥T_{n}∥ ≤ C < ∞ für alle n ∈ ℕ, somit

∥T ∥ = sup_{x∈B_{X}} ∥T (x)∥ = sup_{x∈B_{X}} ( lim_{n→∞} ∥T_{n}(x)∥) ≤ C .  □

Unter diesen Bedingungen heißt (T_{n})_{n→∞} stark konvergent gegen T.

Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit hat eine Reihe überraschender Konsequenzen, die in den Übungen behandelt werden:

• Die Menge der stetigen, aber nirgends differenzierbaren Funktionen auf [a, b] ist dicht in C([a, b]).

• Die Fourier-Reihe einer stetigen periodischen Funktion konvergiert nicht in jedem Punkt.

Eine weitere sehr wichtige Anwendung des Satzes von Baire ist:

Theorem 6.10 (Satz von der offenen Abbildung) Seien X, Y Banach-Räume. Für T ∈ L(X, Y) sind äquivalent:

i) T ist surjektiv.

ii) T ist offen, d.h. T (U) ist offen in Y für alle offenen U ⊂ X.

Zum Beweis benötigen wir:

Lemma 6.11 Seien X, Y normierte Vektorräume und T ∈ L(X, Y). Dann gilt

T offen ⇔ ∃ δ > 0 mit U_{δ}(0) ⊂ T (U_{1}(0)) .

Beweis. (⇒) ist die Definition der Offenheit.

(⇐) Sei O ⊂ X offen, x ∈ O. Dann gibt es ein ϵ > 0 mit U_{ϵ}(x) ⊂ O. Aus der Voraussetzung und der Linearität von T folgt:

U_{δϵ}(T (x)) = T (x) + ϵU_{δ}(0) ⊂ T (x) + ϵT (U_{1}(0)) = T (x + ϵU_{1}(0)) = T (U_{ϵ}(x)) .

Damit ist T offen. □

Beweis von Theorem 6.10. Wir bezeichnen mit V_{ϵ}(y) die ϵ-Umgebung von y ∈ Y in Y, mit U_{ϵ}(x) die ϵ-Umgebung von x ∈ X in X.

ii)⇒i) Sei 0 ≠ y ∈ Y beliebig und δ > 0 wie in Lemma 6.11. Dann ist \frac{δ}{2∥y∥}y ∈ V_{δ}(0), somit gibt es ein x̃ ∈ U_{1}(0) mit T (x̃) = \frac{δ}{2∥y∥}y, folglich T (\frac{2∥y∥}{δ} x̃) = y.

i)⇒ii) Es gilt X = ⋃_{n=1}^{∞} U_{n}(0). Da T surjektiv ist, folgt Y = ⋃_{n=1}^{∞} T (U_{n}(0)) ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} \overline{T (U_{n}(0))}. Sei A_{n} := \overline{T (U_{n}(0))}. Nach dem Satz 6.5 von Baire (hier wird die Vollständigkeit von Y gebraucht!) können nicht alle A_{n} nirgends dicht sein, d.h. es gibt ein N ∈ ℕ und V_{δ_{0}}(y) mit V_{δ_{0}}(y) ⊂ A_{N}. Mit y ∈ A_{N} ist auch −y ∈ A_{N} (klar für Punkte aus T (U_{n}(0)), überträgt sich auf Abschluß). Sei v ∈ V_{δ_{0}}(0), dann sind y+v, y−v ∈ V_{δ_{0}}(y), somit v+y, v−y ∈ A_{N}. Nun ist A_{N} konvex als Abschluß der konvexen Menge T (U_{N}(0)), also v = \frac{1}{2}(v+y)+ \frac{1}{2}(v−y) ∈ A_{N}, d.h. V_{δ_{0}}(0) ⊂ A_{N}. Aus der Linearität von T folgt: Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein 0 < δ < \frac{ϵδ_{0}}{N} mit V_{δ}(0) ⊂ \overline{T (U_{ϵ}(0))}.

Wir zeigen, daß für X vollständig sogar V_{δ}(0) ⊂ T (U_{1}(0)) gilt für ein δ > 0. Als Ergebnis des 1. Teils gibt es eine Nullfolge (δ_{n}) positiver Zahlen mit V_{δ_{n}}(0) ⊂ \overline{T (U_{\frac{1}{2^{n}}} (0))}. Sei y_{1} ∈ V_{δ_{1}}(0) beliebig, aber fest gewählt. Wir konstruieren per Induktion Folgen (y_{n})_{n≥1} in Y und (x_{n})_{n≥1} in X mit y_{n} ∈ V_{δ_{n}}(0), x_{n} ∈ U_{\frac{1}{2^{n}}} (0) und T (x_{n}) = y_{n} − y_{n+1}.

• n = 1: Nach Definition des Abschlusses enthält jede Umgebung von y_{1} einen Punkt aus T (U_{\frac{1}{2^{1}}} (0)). Somit gibt es ein x_{1} ∈ U_{\frac{1}{2^{1}}} (0) mit T (x_{1}) ∈ V_{δ_{1}}(0) ∩ V_{δ_{2}}(y_{1}). Setze y_{2} := y_{1} − T (x_{1}), dann ist ∥y_{2}∥ < δ_{2}, also y_{2} ∈ V_{δ_{2}}(0).

• n → n + 1: Es sind {y_{1}, …, y_{n}} sowie {x_{1}, …, x_{n−1}} konstruiert, mit y_{n} ∈ V_{δ_{n}}(0). Nach Definition des Abschlusses enthält jede Umgebung von y_{n} einen Punkt aus T (U_{\frac{1}{2^{n}}} (0)). Somit gibt es ein x_{n} ∈ U_{\frac{1}{2^{n}}} (0) mit T (x_{n}) ∈ V_{δ_{n}}(0) ∩ V_{δ_{n+1}}(y_{n}). Setze y_{n+1} := y_{n} − T (x_{n}), dann ist ∥y_{n+1}∥ < δ_{n+1}, also y_{n+1} ∈ V_{δ_{n+1}}(0).

Nach Konstruktion gilt y_{n+1} = y_{1} − T (x_{1} + ⋯ + x_{n}) für n ≥ 1. Wegen ∥x_{n}∥ < \frac{1}{2^{n}} gilt ∑_{n=1}^{∞} ∥x_{n}∥ < 1 < ∞. Da X vollständig ist, ist nach Lemma 1.12 die folgende Reihe in X konvergent: x := ∑_{n=1}^{∞} x_{n}. Aus der Stetigkeit von T folgt:

T (x) = T ( lim_{N→∞} ∑_{n=1}^{N} x_{n}) = lim_{N→∞} T ( ∑_{n=1}^{N} x_{n}) = lim_{N→∞} (y_{1} − y_{N+1}) = y_{1}

wegen ∥y_{N+1}∥ < δ_{N+1} → 0. Somit gilt y_{1} ∈ T (U_{1}(0)), und da y_{1} ∈ V_{δ_{1}}(0) beliebig war, folgt V_{δ_{1}}(0) ⊂ T (U_{1}(0)). Nach Lemma 6.11 ist T offen. □

Folgerung 6.12 (Satz vom inversen Operator) Seien X, Y Banach-Räume. Ist T ∈ L(X, Y) bijektiv, so ist T^{−1} ∈ L(Y, X) stetig. □

Auch diese Aussage ist bemerkenswert. Für allgemeine Homöomorphismen T : X → Y zwischen topologischen Räumen sind Stetigkeit von T, Bijektivität von T und Stetigkeit von T^{−1} zu fordern. Für lineare stetige Abbildungen zwischen Banach-Räumen reicht die Bijektivität!

Folgerung 6.13 (Homomorphiesatz) Seien X, Y Banach-Räume und T ∈ L(X, Y) sei surjektiv. Definieren wir T̃ : X/ ker T → Y durch T̃([x]) := T (x), mit [x] = x + ker T, so ist T̃ ein Homöomorphismus. Es gilt ∥T̃∥ = ∥T ∥.

Beweis. Da T stetig, ist ker T ⊂ X abgeschlossener Untervektorraum. Nach Satz 1.16.iv) ist X/ ker T ein Banach-Raum, nach Konstruktion ist T̃ linear und bijektiv. Unter Verwendung von Folgerung 6.12 bleibt zu zeigen, daß T̃ beschränkt ist. Sei ϵ > 0 gegeben und ∥[x]∥ = 1. Dann gibt es nach Definition 1.15 ein y ∈ ker T mit ∥x − y∥ ≤ 1 + ϵ. Es folgt

∥T̃([x])∥ = ∥T (x)∥ = ∥T (x − y)∥ ≤ ∥T ∥(1 + ϵ) .

Da ϵ > 0 beliebig war, gilt ∥T̃∥ ≤ ∥T ∥.

Umgekehrt gilt wegen T = T̃ ∘ ι mit ι(x) = [x] und ∥ι∥ ≤ 1 nach Satz 1.16.iii) die Ungleichung ∥T ∥ ≤ ∥T̃∥, d.h. ∥T ∥ = ∥T̃∥. □

Folgerung 6.14 Sei X ein Vektorraum, versehen mit zwei Normen ∥ ∥_{1} und ∥ ∥_{2}, so daß X in beiden Normen vollständig ist. Sei T_{i}, i = 1, 2 die durch ∥ ∥_{i} definierte Topologie auf X. Gilt T_{1} ⊃ T_{2}, so gilt sogar T_{1} = T_{2}.

Beweis. Betrachte die bijektive stetige Abbildung T = id : (X, T_{1}) → (X, T_{2}). Aus T^{−1} stetig nach Folgerung 6.12 folgt T_{2} ⊃ T_{1}. □

Wir kommen nun zu einer weiteren wichtigen Anwendung des Satzes von Baire.

Definition 6.15 Seien X, Y Mengen und T : X → Y eine Abbildung, dann heißt G(T) := {(x, T (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y der Graph von T.

Sind X, Y Vektorräume und T linear, so ist G(T) Untervektorraum von X × Y. Sind X, Y normierte Vektorräume, dann wird durch ∥(x, y)∥ := ∥x∥ + ∥y∥ auf dem kartesischen Produkt X × Y eine Norm erklärt. Sind X, Y vollständig, so auch X × Y in dieser Norm.

Theorem 6.16 (Satz vom abgeschlossenen Graphen) Seien X, Y Banach-Räume und T : X → Y linear. Dann gilt:

T stetig ⇔ G(T) ist abgeschlossen in X × Y .

Beweis. (⇒) Sei (x_{n}, T (x_{n}))_{n∈ℕ} eine beliebige Folge aus G(T), die in X × Y konvergent ist. Insbesondere konvergiert (x_{n}) gegen ein x ∈ X. Da T stetig ist, konvergiert (T (x_{n})) in Y gegen T (x). Somit konvergiert (x_{n}, T (x_{n}))_{n∈ℕ} gegen (x, T (x)) ∈ G(T), d.h. G(T) ist abgeschlossen.

(⇐) Sei G(T) abgeschlossener Untervektorraum von X × Y. Nach Satz 1.16.vi) ist G(T) Banach-Raum. Die Projektion auf die erste Komponente π : G(T) ∋ (x, T (x)) ↦ x ∈ X ist linear, bijektiv und stetig. Nach dem Satz vom inversen Operator ist auch π^{−1} : X ∋ x ↦ (x, T (x)) ∈ G(T) stetig. Ebenso ist die Projektion P_{Y} : X × Y ∋ (x, y) ↦ y ∈ Y stetig, folglich ist auch die Komposition P_{Y} ∘ π^{−1} : X ∋ x ↦ T (x) ∈ Y stetig. □

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ist die Grundlage für die Funktionalanalysis unbeschränkter Operatoren. Seien X, Y wieder Banach-Räume, dann betrachten wir lineare Abbildungen T : dom(T) → Y, wobei der Definitionsbereich dom(T) ⊂ X ein Untervektorraum ist. Für solche Operatoren heißt

G(T) := {(x, T (x)) : x ∈ dom(T)}

der Graph von T. Dieser ist ein Untervektorraum von X × Y, und T heißt abgeschlossen, falls G(T) ⊂ X × Y abgeschlossen ist. Eine lineare Abbildung S : dom(S) → Y heißt Erweiterung von T, falls G(T) ⊂ G(S). In diesem Fall gilt S|_{dom(T)} = T. Oft ist T nicht selbst abgeschlossen, es gibt aber eine abgeschlossene Erweiterung. Viele Resultate über lineare stetige Operatoren lassen sich auf abgeschlossene Operatoren T : dom(T) → Y übertragen, deren Definitionsbereich dom(T) dicht in X ist. Zu beachten ist, daß für einen abgeschlossenen Operator T der Definitionsbereich dom(T) selbst nicht abgeschlossen sein muß. Ist dom(T) ⊂ X aber abgeschlossen, damit Banach-Raum, so liefert der Satz vom abgeschlossenen Graphen: T : dom(T) → Y ist genau dann stetig, wenn G(T) abgeschlossen ist.

Beispiel 6.17 Wir betrachten X = Y = C([−1, 1]) versehen mit der Supremumsnorm ∥x∥_{∞} = sup_{t∈[−1,1]} |x(t)|. Die Ableitung T : x ↦ ẋ ist aufzufassen als Operator T : dom(T) → Y mit dom(T) = C^{1}(] − 1, 1[) ∩ C([−1, 1]). Konvergenz von (x_{n}, ẋ_{n}) gegen (x, y) ∈ X × Y heißt gleichmäßige Konvergenz. Einer der Vertauschungssätze der Analysis liefert unter diesen Voraussetzungen die Differenzierbarkeit von x = lim_{n→∞} x_{n} sowie die Identität y = lim_{n→∞} ẋ_{n} = ẋ. Damit sind G(T) und T selbst abgeschlossen. ◁

Beispiel 6.18 Sei jetzt X, Y = L^{2}([−1, 1], λ) und T : dom(T) → Y wie oben mit dom(T) = C^{1}(] − 1, 1[)∩C([−1, 1]). Dann ist T nicht abgeschlossen: Betrachte die Folge x_{n}(t) = \sqrt{t^{2} + \frac{1}{n+1}} in dom(T), die gegen |t| ∈ X konvergiert. Dabei konvergiert ẋ_{n}(t) = _{\frac{t}{\sqrt{t^{2}+ \frac{1}{n+1}}}} gegen sign(t) ∈ L^{2}([−1, 1], λ), aber (|t|, sign(t)) ∉

G(T). Diese Folge ist nicht zulässig in Beispiel 6.17, da (ẋ_{n}) nicht gleichmäßig konvergent ist.

Das Problem läßt sich beheben durch Übergang zu schwachen Ableitungen. Mit C_{0}^{∞}([−1, 1]) werde der Raum der Testfunktionen bezeichnet, also der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ϕ, die am Rand verschwinden: ϕ(−1) = ϕ(1) = 0. Eine Funktion ẋ heißt verallgemeinerte Ableitung von x, falls

∫_{[−1,1]} dλ ϕ(t)ẋ(t) = − ∫_{[−1,1]} dλ ϕ̇(t)x(t)

für alle ϕ ∈ C_{0}^{∞}([−1, 1]). Betrachten wir dom(T) := {x ∈ X : ẋ ∈ Y }, wobei ẋ die verallgemeinerte Ableitung ist, dann ist die verallgemeinerte Ableitung T : x ↦ ẋ ein abgeschlossener Operator (ohne Beweis). ◁

Teil II

Lokalkonvexe Vektorräume

7 Netze

Da es in dieser Allgemeinheit notwendig ist, führen wir zunächst die Netze ein:

Definition 7.1 Eine nichtleere Menge Λ heißt gerichtet, falls es eine Relation ≤ auf Λ gibt mit

i) λ_{1} ≤ λ_{2} und λ_{2} ≤ λ_{3} ⇒ λ_{1} ≤ λ_{3}.

ii) Für alle λ_{1}, λ_{2} ∈ Λ gibt es ein λ_{3} ∈ Λ mit λ_{1} ≤ λ_{3} und λ_{2} ≤ λ_{3}.

Sei (X, T ) ein topologischer Raum und Λ eine gerichtete Menge. Ist x_{λ} ∈ X für alle λ ∈ Λ, so heißt (x_{λ})_{λ∈Λ} ein Netz in X. Ein Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} heißt konvergent gegen ein x ∈ X, falls es zu jeder Umgebung V von x ein μ ∈ Λ gibt mit x_{λ} ∈ V für alle λ ≥ μ. Wir schreiben dann x_{λ} → x.

Beispiel 7.2 i) Jede Folge (x_{n})_{n∈ℕ} ist ein Netz bezüglich der gerichteten Menge ℕ mit der üblichen ≤-Relation, und die Konvergenzbegriffe stimmen überein.

ii) ℝ ist gerichtete Menge mit der üblichen ≤-Relation. Ist x_{t} ∈ X für alle t ∈ ℝ, so ist (x_{t})_{t∈ℝ} ein Netz in X. ◁

In topologischen Räumen, in denen das erste Abzählbarkeitsaxiom (siehe Def. 4.19) gilt, kann man sich wegen der Abzählbarkeit der Umgebungsbasis bei Konvergenzbetrachtungen immer auf Folgen einschränken, ansonsten aber nicht!

Satz 7.3 Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Dann sind äquivalent:

i) X ist Hausdorffsch.

ii) Jedes in X konvergente Netz besitzt genau einen Grenzwert.

Beweis. i)⇒ii) ist klar. Sei X nicht Hausdorffsch. Dann gibt es x, y ∈ X, x ≠ y, so daß für alle Umgebungen U von x und V von y gilt U ∩ V ≠ ∅. Seien U_{x} bzw. V_{y} Umgebungsbasen von x bzw. y. Wir setzen

Λ := U_{x} × V_{y} , (U_{1}, V_{1}) ≤ (U_{2}, V_{2}) ⇔ U_{1} ⊃ U_{2} und V_{1} ⊃ V_{2} .

Dann ist Λ gerichtet (Def. 7.1.i) ist klar, für Def. 7.1.ii) wähle eine Basismene aus dem Durchschnitt), und für jedes λ = (U, V) ∈ Λ gibt es ein x_{λ} ∈ U ∩ V. Wir zeigen: Das zugehörige Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} konvergiert sowohl gegen x als auch gegen y, was den Widerspruch liefert. Seien U, V beliebige Umgebungen von x, y, dann gibt es U_{μ} ⊂ U_{x} und V_{μ} ∈ V_{x} mit U_{μ} ⊂ U und V_{μ} ⊂ V. Setze μ := (U_{μ}, V_{μ}), dann gilt U_{λ} ⊂ U_{μ} und V_{λ} ⊂ V_{μ} für alle λ ≥ μ, somit x_{λ} ∈ U_{μ} ⊂ U und x_{λ} ∈ V_{μ} ⊂ V für alle λ ≥ μ. □

Wir können den Beweis genau dann auf Folgen reduzieren, falls die Umgebungsbasen abzählbar sind.

Satz 7.4 Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Für A ⊂ X sind äquivalent:

i) A ist abgeschlossen.

ii) Sei (x_{λ})_{λ∈Λ} ein Netz in A, das gegen ein x ∈ X konvergiert, so gilt x ∈ A.

Ist B ⊂ X eine beliebige Teilmenge, so gilt

iii) x ∈ B̄ genau dann, wenn es ein Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} in B gibt, das gegen x konvergiert.

Beweis. i)⇒ii) Angenommen, x ∉ A. Da X \ A offen ist, ist X \ A Umgebung von x. Diese entält aber kein x_{λ}, Widerspruch.

ii)⇒i) Angenommen, X \ A ist nicht offen. Dann gibt es ein x ∈ X \ A, so daß für alle Umgebungen U von x, insbesondere jene aus der Umgebungsbasis gilt: U ∩ A ≠ ∅. Also: zu jedem U_{λ} ∈ U_{x} gibt es ein x_{λ} ∈ U_{λ} mit x_{λ} ∈ A. Wie in Satz 7.3 ist (x_{λ})_{λ∈Λ} mit Λ = U_{x} ein Netz in A, das gegen x konvergiert. Nach Voraussetzung ist x ∈ A, Widerspruch.

iii) klar für x ∈ B.

(⇒) Sei x ∉ B Häufungspunkt. Dann enthält jede Umgebung U von x, insbesondere jene aus der Umgebungsbasis U_{x}, einen Punkt aus B. Wie zuvor wird dadurch ein gegen x konvergentes Netz erklärt.

(⇐) nach Definition des Grenzwertes enthält jede Umgebung ein x_{λ} ∈ B. Damit ist x Häufungspunkt von B. □

Satz 7.5 Seien (X, T ) und (Y, S) topologische Räume und x ∈ X. Für eine Abbildung f : X → Y sind äquivalent:

i) f ist stetig in x.

ii) Für jedes Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} mit x_{λ} → x gilt f(x_{λ}) → f(x).

Beweis. i)⇒ii) Sei V Umgebung von f(x). Da f stetig ist, gibt es eine Umgebung U ⊂ X von x mit f(U) ⊂ V. Ist x_{λ} → x, so gibt es ein μ ∈ Λ mit x_{λ} ∈ U für alle λ ≥ μ. Damit ist f(x_{λ}) ∈ V für alle λ ≥ μ.

ii)⇒i) Angenommen, f ist nicht stetig. Dann gibt es eine Umgebung V von f(x), so daß für alle Umgebungen U von x, insbesondere jene aus der Umgebungsbasis U_{x} gilt f(U) ⊄ V. Also: zu jedem U_{λ} ∈ U_{x} gibt es ein x_{λ} ∈ U_{λ} mit f(x_{λ}) ∉ V. Wie in Satz 7.3 ist (x_{λ})_{λ∈Λ} mit Λ = U_{x} ein Netz, das gegen x konvergiert. Aber f(x_{λ}) ∉ V für alle λ, Widerspruch. □

Somit kann man in allgemeinen topologischen Räumen wie in metrischen arbeiten, wenn man Folgen durch Netze ersetzt. Es gibt aber ein paar Fallen. Im Gegensatz zu Folgen muß ein konvergentes Netz nicht beschränkt sein: Betrachte Λ = ℝ \ \{0\} und das Netz (x_{t})_{t∈Λ} in ℝ mit x_{t} = \frac{1}{t}. Dann konvergiert (x_{t})_{t∈Λ} gegen 0, ist aber unbeschränkt.

8 Systeme von Halbnormen

In normierten Vektorräumen wurde die Topologie über die Norm induziert. Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, daß auch eine Halbnorm oder ein System von Halbnormen auf einem Vektorraum diesen stets zu einem topologischen Vektorraum machen. Die entscheidende Frage ist dann, ob diese Topologie fein genug ist, um die Punkte zu trennen, d.h. ob der so konstruierte topologische Vektorraum Hausdorffsch ist. Nur so wird ein brauchbarer Konvergenzbegriff erhalten.

Beispiel 8.1 Sei X ein topologischer Raum. Auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen C(X) betrachten wir die Familie P := {p_{x} : x ∈ X} der Halbnormen p_{x}(f) = |f(x)|. Es gilt f = 0 ⇔ p_{x}(f) = 0 ∀x ∈ X, so daß das System P zu einem sinnvollen Konvergenzbegriff führt: Eine Folge (f_{n}) in C(X) heißt bezüglich P konvergent gegen f ∈ C(X), falls p_{x}(f_{n} − f) → 0 für alle x ∈ X. Offenbar ist das die punktweise Konvergenz der Folge (f_{n}). ◁

Beispiel 8.2 Stetige Funktionen auf ganz ℝ müssen nicht beschränkt sein. Durch {p_{n}}_{n=1}^{∞} mit p_{n}(f) := sup_{x∈[−n,n]} |f(x)| wird ein System von Halbnormen auf C(ℝ) erklärt. Wieder gilt f = 0 ⇔ p_{n}(f) = 0 ∀n ∈ ℕ \ {0}, so daß ein sinnvoller Konvergenzbegriff erhalten wird (gleichmäßige Konvergenz auf Kompakta). ◁

Definition 8.3 Sei X ein Vektorraum über 𝕂 und P = {p_{i} : i ∈ I} ein System von Halbnormen p_{i} : X → ℝ auf X. Für x ∈ X, p_{1}, …, p_{n} ∈ P und ϵ > 0 setze

U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) := {y ∈ X : p_{k}(x − y) < ϵ ∀k = 1, …, n} .

Eine (nichtleere) Teilmenge O ⊂ X heißt offen bezüglich P (oder P-offen), falls es zu jedem x ∈ O ein ϵ > 0 und p_{1}, …, p_{n} ∈ P gibt mit U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ O.

Ist P = {∥ ∥} für eine Norm ∥ ∥ auf X, so ist U(x; ∥ ∥, ϵ) = U_{ϵ}(x) genau die ϵ-Umgebung von X.

Satz 8.4 Sei P ein System von Halbnormen auf einem 𝕂-Vektorraum X und T := {O ⊂ X offen bzgl. P}. Dann ist (X, T ) ein topologischer Vektorraum. Ferner gilt:

i) U_{x} := {U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) : ϵ > 0 , n ∈ ℕ , p_{1}, …, p_{n} ∈ P} ist Umgebungsbasis von x ∈ X.

ii) T ist die gröbste Topologie, in der alle p ∈ P stetig sind. iii) Ein Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} in X konvergiert genau dann in T gegen x ∈ X, wenn

p(x_{λ} − x) → 0 für alle p ∈ P.

Beweis. Zu zeigen sind zunächst die Topologie-Axiome. Seien O_{1}, O_{2} ∈ T und x ∈ O_{1} ∩ O_{2} ≠ ∅. Dann gibt es ϵ_{1}, ϵ_{2} ≥ 0, n, m ∈ ℕ und p_{1}, …, p_{n}, p̃_{1}, …, p̃_{m} mit U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ_{1}) ⊂ O_{1} und U(x; p̃_{1}, …, p̃_{m}, ϵ_{2}) ⊂ O_{2}. Sei ϵ := min(ϵ_{1}, ϵ_{2}), so folgt U(x; p_{1}, …, p_{n}, p̃_{1}, …, p̃_{m}, ϵ) ⊂ O_{1} ∩ O_{2}. Die restlichen Axiome sind klar.

i) Die U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) sind selbst offen: Für y ∈ U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) wähle ein 0 < δ < ϵ − max_{i=1...,n}(p_{i}(x − y)), dann ist nach Dreiecksungleichung U(y; p_{1}, …, p_{n}, δ) ⊂ U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ). Für O ∈ T gilt O = ⋃_{x∈O} U(x; p_{1}^{x}, …, p_{n_{x}}^{x}, ϵ_{x}) mit geeigneten ϵ_{x} > 0, n_{x} ∈ ℕ und p_{1}^{x}, …, p_{n_{x}}^{x} ∈ P. Somit ist {U_{x} : x ∈ X} Basis von T , insbesondere U_{x} Umgebungsbasis von x.

ii) folgt sofort aus der Definition der Initialtopologie, soll der Vollständigkeit halber aber direkt bewiesen werden. Zunächst überprüfen wir die Stetigkeit der p_{i}: Sei (x_{λ})_{λ∈Λ} ein beliebiges gegen x ∈ X konvergentes Netz in X und ϵ > 0 beliebig. Dann ist U(x; p, ϵ) offene Umgebung von x. Somit gibt es ein μ ∈ Λ, so daß für alle λ ≥ μ gilt x_{λ} ∈ U(x; p, ϵ). Damit ist p(x_{λ} − x) < ϵ, und wegen |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) konvergiert p(x_{λ}) gegen p(x), d.h. p ist stetig.

Sei T̃ eine beliebige Topologie auf X, so daß alle p ∈ P stetig sind. Dann gilt U(x, p_{1}, …, p_{n}, ϵ) = ⋂_{i=1}^{n} p_{i}^{−1}(] − ∞, ϵ[), und wegen der Stetigkeit der p_{i} ist U(x, p_{1}, …, p_{n}, ϵ) offen in T̃, d.h. T ⊂ T̃, d.h. T ist gröber als T̃.

iii) Die Richtung x_{λ} → x ⇒ p(x_{λ} − x) → 0 ist bereits in ii) gezeigt. Sei umgekehrt O ⊂ X eine beliebige Umgebung von x. Dann gibt es ein U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ O. Wegen p(x_{λ} − x) → 0 für alle p ∈ P gibt es μ_{1}, …, μ_{n} ∈ Λ mit p_{i}(x_{λ_{i}} − x) < ϵ für alle λ_{i} ≥ μ_{i} und alle i = 1 …, n. Wähle μ = max(μ_{1}, …, μ_{n}), dann ist x_{λ} ∈ U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ O für alle λ ≥ μ, somit x_{λ} → x.

iv) Stetigkeit der Addition: Jede Umgebung U von x + y enthält ein U(x + y; p_{1}, …, p_{n}, ϵ). Dann ist U_{1} := U(x; p_{1}, …, p_{n}, \frac{ϵ}{2}) Umgebung von x und U_{2} := U(y; p_{1}, …, p_{n}, \frac{ϵ}{2}) Umgebung von y, und nach Dreiecksungleichung gilt U_{1} +U_{2} ⊂ U(x + y; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ U.

v) Stetigkeit der skalaren Multiplikation: Jede Umgebung U von λx, λ ∈ 𝕂, enthält ein U(λx; p_{1}, …, p_{n}, ϵ). Sei a := max(p_{1}(x), …, p_{n}(x), 1) und b := |λ| + \frac{ϵ}{2a} > 0, dann gilt für μ ∈ U\frac{ϵ}{2a} (λ) ⊂ 𝕂 und y ∈ U(x; p_{1}, …, p_{n}, \frac{ϵ}{2b}):

p_{i}(λx − μy) ≤ p_{i}((λ − μ)x) + p_{i}(μ(x − y) = |λ − μ|p_{i}(x) + |μ|p_{i}(x − y)

≤ |λ − μ|p_{i}(x) + (|μ − λ| + |λ|)p_{i}(x − y)

< \frac{ϵ}{2a} · a + (\frac{ϵ}{2a} + |λ|) · \frac{ϵ}{2b} ≤ ϵ ,

somit U\frac{ϵ}{2a} (λ) · U(x; p_{1}, …, p_{n}, \frac{ϵ}{2b}) ⊂ U(λx; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ U. □

Aus ii) folgt, daß zwei Halbnormensysteme P, Q genau dann die gleiche Topologie erzeugen, wenn alle p ∈ P bezüglich Q stetig sind und alle q ∈ Q bezüglich P stetig sind.

Definition 8.5 Sei X ein Vektorraum, P ein Halbnormensystem auf X und T die durch P erzeugte Topologie. Ist T eine Hausdorff-Topologie auf X, so heißt (X, T ) lokalkonvexer (topologischer) Vektorraum und T lokalkonvexe Topologie auf X.

Beispiel 8.6 i) Sei X normierter Vektorraum, dann ist die schwache Topologie auf X die lokalkonvexe Topologie erzeugt durch das Halbnormensystem P = {p_{x′} : x′ ∈ X′}, mit p_{x′}(x) = |x′(x)|. Die Hausdorff-Eigenschaft ist in Satz 4.8 gezeigt.

ii) Sei X normierter Vektorraum, dann ist die schwach-*-Topologie auf dem Dualraum X′ die lokalkonvexe Topologie erzeugt durch das Halbnormensystem P = {p_{x} : x ∈ X}, mit p_{x}(x′) = |x′(x)|. Die Hausdorff-Eigenschaft folgt in Analogie zu Satz 4.8. ◁

Zur Vorbereitung eines Satzes über Kriterien zur Hausdorff-Eigenschaft zeigen wir:

Lemma 8.7 Sei X Vektorraum, P ein Halbnormensystem auf X und T die durch P induzierte Topologie. Dann gilt \overline{\{0\}} = ⋂_{p∈P} p^{−1}(\{0\}), und N_{P} := \overline{\{0\}} ist abgeschlossener Untervektorraum von X.

Beweis. Nach der Bemerkung vor Lemma 1.6 gilt Ā = ⋂_{V ∈U_{0}}(A+V) für beliebige Teilmengen A ⊂ X, insbesondere

\overline{\{0\}} = ⋂\{U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) : ϵ > 0, n ∈ ℕ, p_{1}, …, p_{n} ∈ P\}

= ⋂{U(0; p, ϵ) : ϵ > 0, p ∈ P}

= ⋂_{p∈P} ( ⋂_{ϵ>0}{x ∈ X : p(x) < ϵ})

= ⋂_{p∈P} p^{−1}({0}) .

Sind x, y ∈ N_{P} und λ, μ ∈ 𝕂, so ist 0 ≤ p(λx + μy) ≤ |λ|p(x) + |μ|p(y) = 0 für alle p ∈ P. □

Satz 8.8 Sei X ein Vektorraum, P ein Halbnormensystem auf X. Für die durch P auf X erzeugte Topologie T sind äquivalent:

i) (X, T ) ist Hausdorff-Raum.

ii) p(x) = 0 für alle p ∈ P ⇔ x = 0.

iii) {0} ist abgeschlossen.

Beweis. i⇒ii) Angenommen, es gibt ein 0 ≠ x ∈ X mit p(x) = 0 für alle p ∈ P. Dann ist x ∈ U(0, p_{1}, …, p_{n}, ϵ) für alle ϵ > 0, n ∈ ℕ und p_{1}, …, p_{n} ∈ P, also liegt x in jeder Umgebung von 0 und kann von 0 nicht durch offene Mengen getrennt werden, Widerspruch.

ii)⇒i) Angenommen, X ist nicht Hausdorffsch. Nach Satz 7.3 gibt es x, y ∈ X, x ≠ y sowie ein Netz (x_{λ})_{λ∈Λ} in X mit x_{λ} → x und x_{λ} → y. Dann folgt p(x_{λ} − x) → 0 und p(x_{λ} − y) → 0, somit p(x − y) < ϵ für alle ϵ > 0. Nach Voraussetzung ist dann x = y, Widerspruch.

ii)⇔iii) Zunächst gilt ii) ⇔ {0} = ⋂_{p∈P} p^{−1}({0}). Aus Lemma 8.7 folgt ii)⇔ (\{0\} = \overline{\{0\}}). □

Beispiel 8.9 i) Sind X, Y normierte Vektorräume, dann heißt die auf L(X, Y) durch das Halbnormensystem P = {p_{x} : x ∈ X} mit p_{x}(T) := ∥T (x)∥ erzeugte lokalkonvexe Topologie die starke Operatortopologie. Ist ∥T (x)∥ = 0, so T (x) = 0 für alle x ∈ X, somit T = 0, und T trennt die Punkte. Ein Netz (T_{λ})_{λ∈Λ} in L(X, Y) konvergiert somit genau dann gegen T ∈ L(X, Y), wenn T_{λ}(x) → T (x) für alle x ∈ X. Die starke Operatortopologie ist gröber als die (Operator-)Norm-Topologie.

ii) Sind X, Y normierte Vektorräume, dann heißt die auf L(X, Y) durch das Halbnormensystem P = {p_{x,y′} : x ∈ X , y′ ∈ Y′} mit p_{x,y′}(T) := |y′(T (x))| erzeugte lokalkonvexe Topologie die schwache Operatortopologie. Da Y′ die Punkte aus Y trennt, ist p_{x,y′}(T) = 0 für alle p_{x,y′} ∈ P genau dann, wenn T = 0, somit ist die schwache Operatortopologie Hausdorffsch. Ein Netz (T_{λ})_{λ∈Λ} in L(X, Y) konvergiert somit genau dann gegen T ∈ L(X, Y), wenn y′(T_{λ}(x)) → y′(T (x)) für alle x ∈ X und alle y′ ∈ Y′. Die schwache Operatortopologie ist gröber als starke Operatortopologie und noch gröber als die (Operator-)Norm-Topologie.

iii) Die Topologie der punktweisen Konvergenz auf C(X) nach Beispiel 8.1 ist eine lokalkonvexe Topologie.

iv) Die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf Kompakta auf C(ℝ) nach Beispiel 8.2 ist eine lokalkonvexe Topologie.

v) Auf C^{∞}(ℝ^{n}) definiert p_{K,α}(x) := sup_{t∈K} |(∂^{α}x)(t)| für K ⊂ ℝ^{n} und α ∈ ℕ^{n} (Multi-Index) eine Halbnorm. Dann definiert P = {p_{K,α} : K ⊂ ℝ^{n} kompakt , α ∈ ℕ^{n}} ein Halbnormensystem, welches C^{∞}(ℝ^{n}) zu einem lokalkonvexen Vektorraum macht.

vi) Der Schwartz-Raum S(ℝ^{n}) ist der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen, welche im Unendlichen schneller als jede Potenz verschwinden. Durch das Halbnormensystem P = {p_{m,α} : m ∈ ℕ , α ∈ ℕ^{n}} mit p_{m,α}(x) := sup_{t∈ℝ^{n}} |(1 + ∥t∥^{m})(∂^{α}x)(t)| wird S(ℝ^{n}) zu einem lokalkonvexen Vektorraum. ◁ Bemerkung 8.10 Ähnlich wie beim Schritt von L^{p}(X, μ) zu L^{p}(X, μ) läßt sich eine durch ein Halbnormsystem induzierte Topologie “Hausdorffisieren” durch Übergang zu X̃ := X/N_{P} topologisiert durch das Halbnormensystem P̃ = {p̃ : p ∈ P} mit p̃([x]) := p(x). Denn sei n ∈ N_{P} beliebig, so gilt p(x+n) ≤ p(x) + p(n) = p(x) und p(x) = p(x + n − n) ≤ p(x + n) + p(−n) = p(x + n), so daß p̃ wohldefiniert ist. Nach Konstruktion gilt ⋂_{p̃∈P̃} p̃^{−1}({0}) = N_{P} = {[0]}, damit ist X̃ mit der aus P̃ induzierten Topologie ein Hausdorff-Raum.

9 Konvexität

Definition 9.1 Sei X Vektorraum über 𝕂. Eine (nichtleere) Teilmenge A ⊂ X heißt

i) absolutkonvex, falls für alle x_{1}, …, x_{n} ∈ A und λ_{1}, …, λ_{n} ∈ 𝕂 mit ∑_{i=1}^{n} |λ_{i}| ≤ 1 gilt: ∑_{i=1}^{n} λ_{i}x_{i} ∈ A.

ii) kreisförmig, falls für x ∈ A und λ ∈ 𝕂 mit |λ| ≤ 1 gilt λx ∈ A.

Jede absolutkonvexe Menge ist konvex, nicht aber umgekehrt. Jede absolutkonvexe Menge enthält 0 ∈ X.

Lemma 9.2 Eine Teilmenge A ⊂ X ist genau dann absolutkonvex, wenn sie konvex und kreisförmig ist.

Beweis. (⇒) ist klar, für die Umkehrung schreibe (es kann λ_{i} ≠ 0 angenommen werden) ∑_{i=1}^{n} λ_{i}x_{i} = ∑_{i=1}^{n} |λ_{i}|\frac{λ_{i}}{|λ_{i}|}x_{i}. □

In ℂ sind die offenen oder abgeschlossenen Kreischeiben mit Mittelpunkt 0 die einzigen absolutkonvexen Mengen.

Lemma 9.3 Ist P ein Halbnormensystem auf X, so ist jede Nullumgebung U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) absolutkonvex.

Beweis. Sind x_{1}, …, x_{k} ∈ U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) und λ_{1}, …, λ_{k} ∈ 𝕂 mit ∑_{j=1}^{k} |λ_{j}| ≤ 1, so folgt nach Dreiecksungleichung p_{i}(∑_{j=1}^{k} λ_{j}x_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{k} |λ_{j}|p_{i}(x_{j}) < ϵ für alle i = 1, …, n. □

Ist A absolutkonvex, so ist x + A konvex. Somit besitzt jeder Punkt x ∈ X des von einem Halbnormensystem P auf X erzeugten topologischen Vektorraums eine Umgebungsbasis aus konvexen Mengen (daher der Name “lokalkonvexer Vektorraum”). Es gilt sogar die Umkehrung:

Satz 9.4 Sei (X, T ) ein topologischer Vektorraum. Dann sind äquivalent:

i) Jedes x ∈ X besitzt eine Umgebungsbasis aus konvexen Mengen.

ii) 0 ∈ X besitzt Umgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen.

iii) Es gibt ein Halbnormensystem P auf X, welches T erzeugt.

Beweis. iii)⇒i) ist Lemma 9.3.

i)⇒ii) Sei V konvexe Umgebung von 0. Wegen der Stetigkeit der skalaren Multiplikation gibt es ϵ > 0 und eine Umgebung U_{1} von 0 mit U_{2} := \overline{U_{ϵ}(0)} · U_{1} = {λu : |λ| ≤ ϵ , u ∈ U_{1}} ⊂ V. Da V konvex ist, liegt auch die konvexe Hülle conv(U_{2}) von U_{2} in V, wobei

conv(B) := { ∑_{i=1}^{l} λ_{i}x_{i} : l ∈ ℕ , x_{1}, …, x_{l} ∈ B , λ_{1}, …, λ_{l} ∈ [0, 1] , ∑_{i=1}^{l} λ_{i} = 1}

für eine Teilmenge B ⊂ X. Da U_{2} kreisförmig ist, ist auch conv(U_{2}) kreisförmig, damit nach Lemma 9.2 absolutkonvexe Umgebung von 0.

ii)⇒iii) Sei U absolutkonvexe Umgebung von 0. Durch Übergang zu int(U) kann U als offen angenommen werden (man zeigt, daß mit U absolutkonvex auch int(U) absolutkonvex ist) nehmen. Nach Lemma 3.16 ist das zugehörige Minkowski-Funktional p_{U} : X → ℝ_{+} mit p_{U}(x) = inf\{λ > 0 : \frac{x}{λ} ∈ U\} sublinear, für absolutkonvexes U sogar Halbnorm: Denn für μ ∈ 𝕂 \ 0 gilt

p_{U}(μx) = inf\{λ > 0 : \frac{μx}{λ} ∈ U\} = inf\{λ > 0 : \frac{|μ|x}{λ} ∈ \frac{|μ|}{μ}U\} = |μ|p_{U}(x) .

Ist U_{0} eine Umgebungsbasis von 0 aus absolutkonvexen offenen Mengen, so setzen wir P = {p_{U} : U ∈ U_{0}}.

Sei T̃ die von P erzeugte Topologie auf X. Wir zeigen T̃ = T , genauer, daß id : (X, T ) → (X, T̃) und das Inverse stetig in 0 sind (was nach Satz 1.7 genügt). Sei V Umgebung von 0 bezüglich T̃. Dann gibt es ϵ > 0, n ∈ ℕ und U_{1}, …, U_{n} ∈ U_{0} mit U(0, p_{U_{1}}, …, p_{U_{n}}, ϵ) ⊂ V. Nach Lemma 3.16.ii) gilt U_{i} = p_{U_{i}}^{−1}([0, 1[), damit ϵU_{i} = p_{U_{i}}^{−1}([0, ϵ[) und U(0, p_{U_{1}}, …, p_{U_{n}}, ϵ) = ⋂_{i=1}^{n}(ϵU_{i}). Wegen der T -Stetigkeit der skalaren Multiplikation ist auch ϵU offen, somit ist U(0, p_{U_{1}}, …, p_{U_{n}}, ϵ) ∈ T . Damit ist die Stetigkeit von id : (X, T ) → (X, T̃) in 0 gezeigt. Umgekehrt sei U ∈ U_{0}, dann ist U = U(0, p_{U}, 1) offen in T̃, somit id : (X, T̃) → (X, T ) stetig in 0. □

Zur Vorbereitung der Stetigkeit von Abbildungen zwischen lokalkonvexen Vektorräumen benötigen wir:

Lemma 9.5 Sei P ein Halbnormensystem auf X und q eine weitere Halbnorm auf X. Dann sind äquivalent:

i) q ist stetig bzgl. P.

ii) Es gibt c ≥ 0 und p_{1}, …, p_{n} ∈ P mit q(x) ≤ c max(p_{1}(x), …, p_{n}(x)) für alle x ∈ X.

iii) Es gibt λ_{1}, …, λ_{n} ≥ 0 und p_{1}, …, p_{n} ∈ P mit q(x) ≤ ∑_{i=1}^{n} λ_{i}p_{i}(x) für alle x ∈ X. iv) Es gibt eine bezüglich P stetige Halbnorm p̃ mit q(x) ≤ p̃(x) für alle

x ∈ X.

Beweis. i)⇒ii) q^{−1}(] − ∞, 1[) ist P-offen und enthält 0 ∈ X, somit gibt es U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ q^{−1}(] − ∞, 1[). Ist max(p_{i}(x), …, p_{n}(x)) = 0, so ist λx ∈ q^{−1}(] − ∞, 1[) für alle λ ∈ 𝕂, was nur für q(x) = 0 möglich ist, und ii) gibt keine Einschränkung an c. Sei also m_{x} := max(p_{i}(x), …, p_{n}(x)) > 0. Dann ist p_{i}(\frac{ϵ}{2m_{x}} x) < ϵ für alle i = 1, …, m, somit q(\frac{ϵ}{2m_{x}} x) < 1, und dann 0 ≤ q(x) < \frac{2}{ϵ}m_{x}. Damit ist c := \frac{2}{ϵ} unabhängig von x.

ii)⇒iii) max(p_{i}(x), …, p_{n}(x)) ≤ ∑_{i=1}^{n} p_{i}(x)

iii)⇒iv) p̃:= ∑_{i=1}^{n} λ_{i}p_{i}(x) ist P-stetige Halbnorm.

iv)⇒i) Sei (x_{λ})_{λ∈Λ} ein gegen x ∈ X konvergentes Netz in x. Dann konvergiert x_{λ} − x gegen 0, somit p̃(x_{λ} − x) → 0. Schließlich gilt |q(x_{λ}) − q(x)| ≤ q(x_{λ} − x) ≤ p̃(x_{λ} − x) → 0. Damit ist q stetig. □

Satz 9.6 Seien X bzw. Y lokalkonvexe Vektorräume, deren Topologien durch Halbnormensysteme P bzw. Q induziert seien. Für eine lineare Abbildung T : X → Y sind äquivalent:

i) T ist stetig.

ii) Für alle q ∈ Q ist q ∘ T : X → ℝ_{+} stetig.

iii) Für jedes q ∈ Q gibt es ein c ≥ 0 und p_{1}, …, p_{n} ∈ P mit q(T (x)) ≤ c max(p_{1}(x), …, p_{n}(x) für alle x ∈ X.

Beweis. i)⇒ii) T und q sind stetig, somit auch q ∘ T.

ii)⇔iii) Offenbar ist q ∘ T Halbnorm auf X. Dann folgt die Äquivalenz aus Lemma 9.5.

ii)⇒i) Sei (x_{λ})_{λ∈Λ} ein gegen x konvergentes Netz in X. Dann konvergiert q(T (x_{λ} − x)) gegen 0 für alle q ∈ Q. Nach Satz 8.4.iii) konvergiert T (x_{λ} − x) gegen 0, d.h. T (x_{λ}) konvergiert gegen T (x). Damit ist T stetig. □

Folgerung/Definition 9.7 Sei X lokalkonvexer Vektorraum bezüglich P. Eine lineare Abbildung f : X → 𝕂 ist genau dann stetig, wenn es c ≥ 0 und p_{1}, …, p_{n} ∈ P gibt mit |f(x)| ≤ c max(p_{1}(x), …, p_{n}(x) für alle x ∈ X.

Der Dualraum X′ von X ist der Vektorraum aller bezüglich P stetigen linearen Abbildungen f : X → 𝕂.

Mit L(X, Y) werde der Vektorraum aller linearen stetigen Abbildungen zwischen lokalkonvexen Vektorräumen X, Y bezeichnet.

Beispiel 9.8 Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum, (X, ∥ ∥)′ sein Dualraum bezüglich der Norm-Topologie. Dieser definiert einen lokalkonvexen Vektorraum (X, P = {p_{x′}}), von dem wieder der Dualraum (X, P)′ bezüglich der schwachen Topologie erklärt ist. Wir zeigen: (X, ∥ ∥)′ = (X, P)′. Jedes f ∈ (X, P) ist erst recht norm-stetig, also (X, P)′ ⊂ (X, ∥ ∥)′. Sei umgekehrt x′ ∈ (X, ∥ ∥)′, dann ist |x′(x)| = p_{x′}(x) durch eine Halbnorm beschränkt und damit x′ : (X, P) → 𝕂 stetig nach Satz 9.6. Also (X, ∥ ∥)′ ⊂ (X, P)′. ◁

Beispiel 9.9 Der Dualraum (S(ℝ^{n}))′ des Schwartz-Raumes, siehe Beispiel 8.9.vi), heißt Vektorraum der temperierten Distributionen. Diese spielen eine große Rolle in der Theorie partieller Differentialgleichungen. Es sind sozusagen die langsam wachsenden Distributionen. Ein wichtiges Beispiel ist die Diracsche δ-Distribution δ_{t}(f) := f(t) für f ∈ S(ℝ^{n}). Diese ist linear, und |δ_{t}(f)| ≤ p_{0,0}(f) = sup_{t∈ℝ^{n}} |f(t)|, d.h. δ_{t} ist stetig. ◁

Satz 9.10 (Hahn-Banach VI: Fortsetzungssatz für lokalkonvexe VR) Sei X lokalkonvexer Vektorraum und U ⊂ X ein Untervektorraum. Dann gilt: Zu jedem linearen stetigen Funktional f : U → 𝕂 gibt es eine Fortsetzung zu einem linearen stetigen Funktional F : X → 𝕂 mit F |_{U} = f.

Beweis. Der Untervektorraum U trägt die Relativtopologie gegeben durch Einschränkung der Halbnormen p ∈ P auf U. Sei zunächst 𝕂 = ℝ. Da f stetig ist, gibt es nach Satz 9.6 ein c ≥ 0 und Halbnormen p_{1}, …, p_{n} ∈ P mit f(u) ≤ |f(u)| ≤ c max(p_{1}(u), …, p_{n}(u)) für alle u ∈ U. Dann definiert p(x) := c max(p_{1}(x), …, p_{n}(x)) eine sublineare Abbildung p : X → ℝ, so daß es nach dem Satz 3.5 von Hahn-Banach für reelle Vektorräume eine lineare Fortsetzung F : X → ℝ gibt mit F |_{U} = f und F (x) ≤ p(x) für alle x ∈ X. Wegen p(x) = p(−x) gilt −F (x) = F (−x) ≤ p(x), also |F (x)| ≤ c max(p_{1}(x), …, p_{n}(x)) für alle x ∈ X. Damit ist F stetig. Die übliche Diskussion beweist dann den Fall 𝕂 = ℂ. □

Der Trennungssatz (Theorem 3.17) von Hahn-Banach überträgt sich wörtlich auf lokalkonvexe Vektorräume, da nur die Eigenschaften des Minkowski-Funktionals p_{U} eingehen. Die Stetigkeit der so konstruierten p_{U} ergibt sich wie folgt: Da U offene Umgebung von 0 ist, gibt es U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ U. Sei x ∈ X beliebig. Ist max(p_{1}(x), …, p_{n}(x)) > 0, so ist \frac{x}{\frac{2}{ϵ} max(p_{1}(x),...,p_{n}(x))} ∈ U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ U und

damit p_{U}(x) ≤ \frac{2}{ϵ} max(p_{1}(x), …, p_{n}(x)) stetig. Für max(p_{1}(x), …, p_{n}(x)) = 0 ist λx ∈ U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ U für alle λ > 0 und dann 0 ≤ p_{U}(λx) = λp_{U}(x) < 1, somit auch p_{U}(x) = 0. Damit ist P_{U} stetig. Wir können dann zeigen:

Theorem 9.11 (Hahn-Banach VII: Trennungssatz für lokalkonvexe VR) Sei (X, P) lokalkonvexer Vektorraum, V ⊂ X konvexe abgeschlossene Teilmenge und x ∈ X \ V. Dann gibt es ein x′ ∈ (X, P)′ und ein δ > 0 mit Re x′(x) + δ ≤ Re x′(v) für alle v ∈ V.

Beweis. Da X \ V offene Umgebung von x, gibt es ϵ > 0 und p_{1}, …, p_{n} ∈ P mit U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ∩ V = ∅. In den Bezeichnungen von Theorem 3.17 ist V_{1} := U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) und V_{2} := V. Sei v_{0} ∈ V beliebig, dann ist U := V_{1} −V_{2} − (x − v_{0}) = U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) − (V − v_{0}) eine offene konvexe Umgebung von 0 mit U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) ⊂ U. Das (nach der lokalkonvexen Version von Theorem 3.17 existierende) lineare stetige Funktional Re x′ mit

Re x′(x) + Re x′(u) < Re x′(v) für alle u ∈ U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) und v ∈ V

ist nach Konstruktion eine Fortsetzung des Funktionals y′ auf ℝ(x − v_{0}) gegeben durch y′(λ(v_{0} − x)) = λp_{U}(v_{0} − x). Wegen p_{U}(v_{0} − x) ≥ 1 ist x′(λ(v_{0} − x)) ≠ 0 für alle λ ≠ 0. Dann ist auch p_{i}(v_{0} − x) ≠ 0 für mindestens ein i ∈ {1, …, n}, denn ansonsten wäre v_{0} − x ∈ U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) im Widerspruch zu V ∩ U(x; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) = ∅. Somit ist u := \frac{(v_{0}−x)}{\frac{2}{ϵ} max(p_{1}(v_{0}−x),...,p_{n}(v_{0}−x))} ∈ U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ)

mit x′(u) = \frac{ϵ}{2} \frac{p_{U} (v_{0}−x)}{max(p_{1}(v_{0}−x),...,p_{n}(v_{0}−x))} ≠ 0. Da U(0; p_{1}, …, p_{n}, ϵ) kreisförmig ist, ist δ := sup_{u∈U(0;p_{1},...,p_{n},ϵ)} Re x′(u) > 0, woraus die Behauptung folgt. □

Folgerung 9.12 Der Dualraum (X, P)′ eines lokalkonvexen Vektorraums (X, P) trennt die Punkte, d.h. zu x, y ∈ X mit x ≠ y gibt es ein x′ ∈ (X, P)′ mit x′(x) ≠ x′(y).

Beweis. Ein lokalkonvexer Vektorraum ist nach Definition Hausdorffsch, somit ist V := {y} nach Satz 8.8 abgeschlossen und trivialerweise konvex. Die Behauptung folgt dann aus Theorem 9.11. □

10 Der Satz von Stone-Weierstraß

Der Approximationssatz von Stone-Weierstraß ist unverzichtbares Hilfsmittel bei vielen Betrachtungen über stetige Funktionen. Für den Beweis benötigen wir ein Theorem von eigenem Interesse: den Satz von Krein-Milman über Extrempunkte in kompakten konvexen Mengen. Wir geben dann einen operatoralgebraischen Beweis des Satzes von Stone-Weierstraß. Es gibt einen alternativen maßtheoretischen Beweis über den Rieszschen Darstellungssatz, siehe [Werner]. Dieser besagt, daß der Dualraum von C(K), K konpakter Hausdorff-Raum, gegeben ist durch den Raum der signierten bzw. komplexen regulären Borel-Maße.

Definition 10.1 Sei X ein Vektorrraum und K ⊂ X konvex. Eine Teilmenge F ⊂ K heißt Seite, falls F konvex ist und aus \frac{x_{1}+x_{2}}{2} ∈ F für x_{1}, x_{2} ∈ K folgt x_{1}, x_{2} ∈ F. Eine Seite von K, die nur aus einem Punkt besteht, heißt Extrempunkt von K. Mit ex(K) werde die Menge der Extrempunkte von K bezeichnet.

Beispiel 10.2 i) In normierten Vektorräumen gilt ex(B_{X}) ⊂ S_{X}, denn für x ∉ \{S_{X}, 0\} ist x = \frac{1}{2} \frac{x}{∥x∥} + \frac{1}{2}(2x − \frac{x}{∥x∥}) Konvexkombination von Punkten B_{X} ∋ \frac{x}{∥x∥}, (2x − \frac{x}{∥x∥}) ≠ x, ebenso 0 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}(−x) für beliebige

0 ≠ x ∈ B_{X}.

ii) Ist (X, ∥ ∥) gleichmäßig konvex, so gilt ex(B_{X}) = S_{X}, denn aus x, y ∈ B_{X}

mit ∥\frac{1}{2}(x + y)∥ = 1 folgt x = y ∈ S_{X}.

iii) Für X = (c_{0}, ∥ ∥_{∞}) (Vektorraum der Nullfolgen) besitzt B_{X} keine Extrempunkte. Denn für einen solchen Extrempunkt x = (x_{n}) ∈ c_{0} gäbe es ein k ∈ ℕ mit |x_{k}| < \frac{1}{2}, so daß x ± \frac{1}{2}e_{k} ∈ B_{c_{0}} für (e_{k})_{n} := δ_{nk}. Dann folgt x = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}e_{k}) + \frac{1}{2}(x − \frac{1}{2}e_{k}).

Die Beispiele zeigen, daß Extrempunkte selten sein können. Kompakte konvexe Teilmengen K besitzen jedoch immer Extrempunkte, und ihre Konvexkombinationen spannen sogar K auf. Erinnert sei an die Bezeichnung conv(A) := { ∑_{i=1}^{l} λ_{i}x_{i} : l ∈ ℕ , x_{1}, …, x_{l} ∈ A , λ_{1}, …, λ_{l} ∈ [0, 1] , ∑_{i=1}^{l} λ_{i} = 1}.

Theorem 10.3 (Krein-Milman) Sei (X, P) lokalkonvexer Vektorraum, K ⊂ X nichtleer, konvex und kompakt (in der lokalkonvexen Topologie). Dann gilt:

i) ex(K) ≠ ∅.

ii) \overline{conv(ex(K))} = K (Abschluß in der lokalkonvexen Topologie).

Beweis. i) Sei F die Menge aller abgeschlossenen Seiten F ⊂ K. Insbesondere ist K selbst eine abgeschlossene Seite (kompakte Teilmengen in Hausdorff-Räumen sind immer abgeschlossen), somit F ≠ ∅. Eine Seite F_{1} ⊂ F einer Seite F ⊂ K ist auch Seite von K. Somit definiert ⊂ eine Ordnung (siehe Definition 3.1) auf F: Wir sagen F_{1} ≤ F_{2} falls F_{2} ⊂ F_{1}. Sei {F_{i} : i ∈ I} eine beliebige Kette in F. Dann ist der Durchschnitt endlich vieler F_{i} nichtleer. Nach der endlichen Durchschnittseigenschaft von K ist dann auch ⋂_{i∈I} F_{i} ≠ ∅, somit gibt es eine obere Schranke f ∈ ⋂_{i∈I} F_{i} mit f_{i} ≤ f für alle i ∈ I. Nach dem Lemma 3.2 von Zorn gibt es ein maximales Element F_{m} in F.

Wir zeigen, daß F_{m} Extrempunkt ist. Angenommen, es gibt x, y ∈ F_{m} mit x ≠ y. Nach Folgerung 9.12 aus dem Trennungssatz von Hahn-Banach gibt es ein x′ ∈ (X, P)′ mit Re x′(x) < Re x′(y). Sei s := sup_{y∈F_{m}}(Re x′(y)). Da F_{m} kompakt ist als abgeschlossene Teilmenge von K, nimmt die stetige reellwertige Funktion Re x′ das Supremum an, d.h. F_{s} := {y ∈ F_{m} : Re x′(y) = s} ≠ ∅. Als Urbild von \{s\} unter Re x′ ist F_{s} abgeschlossen, und aus Re x′(\frac{y_{1}+y_{2}}{2} ) = s für y_{1}, y_{2} ∈ F_{m} folgt y_{1}, y_{2} ∈ F_{s}. Damit ist F_{s} ⊂ F_{m} abgeschlossene Seite, d.h. F_{m} ≤ F_{s}. Aber es gibt x ∈ F_{m} \ F_{s}, d.h. F_{s} ≠ F_{m} im Widerspruch zur Maximalität von F_{m}. Somit ist F_{m} = {y_{m}} ∈ ex(K) Extrempunkt.

ii) Sei K_{1} := \overline{conv(ex(K))}, also abgeschlossene konvexe Teilmenge von K, somit kompakt und nach i) nichtleer. Angenommen, K_{1} ≠ K. Dann gibt es ein x ∈ K \ K_{1} und nach dem Trennungssatz (Theorem 9.11) von Hahn-Banach ein (−x′) ∈ (X, P)′ und δ > 0 mit Re (−x′(x)) + δ ≤ Re (−x′(y)) für alle y ∈ K_{1}, also Re x′(y) ≤ Re x′(x) − δ. Sei s := sup_{y∈K} Re x′(y), dann ist F_{s} := {y ∈ K : Re x′(y) = s} wieder abgeschlossene, nichtleere Seite von K, insbesondere konvex und kompakt, so daß F nach i) einen Extrempunkt y_{s} besitzt. Dann ist y_{s} auch Extrempunkt von K, somit y_{s} ∈ K_{1}. Einerseits war Re x′(y_{s}) = s wegen y_{s} ∈ F_{s}, andererseits

s = Re x′(y_{s}) ≤ Re x′(x) − δ ≤ s − δ ,

Widerspruch. Somit K_{1} = K. □

Sei nun K ein kompakter Hausdoff-Raum. Wir erarbeiten uns grundlegende Eigenschaften des Banach-Raums (C(K), ∥ ∥) unter Verwendung von “besonderen” Elementen seines Dualraums (C(K), ∥ ∥)′.

Eine Algebra A über 𝕂 ist gleichzeitig ein Ring und ein 𝕂-Vektorraum, so daß beide Strukturen verträglich sind. Insbesondere ist C(K) eine Algebra.

Definition 10.4 Sei A eine Algebra. Eine Untervektorraum J ⊂ A heißt Linksideal bzw. Rechtsideal, falls ab ⊂ J bzw. ba ⊂ J für alle a ∈ A und b ∈ J. Ist A kommutativ (wie z.B. C(K)), so fallen Links- und Rechtsideale zusammen, wir sprechen dann kurz von Idealen.

Ein Ideal J heißt echtes Ideal, falls J ≠ A und J ≠ {0}. Ein Ideal M von A heißt maximales Ideal, falls für jedes echte Ideal J von A mit M ⊂ J gilt M = J.

Definition 10.5 Eine Funktion f ∈ C(K) heißt positiv, geschrieben f ≥ 0, falls f(t) ≥ 0 für alle t ∈ K. Mit C_{+}(K) werde die Menge der positiven stetigen Funktionen bezeichnet. Dann wird auf C(K) eine Ordnung ≤ erklärt durch f ≤ g falls g − f ∈ C_{+}(K).

Ein lineares stetiges Funktional ρ ∈ (C(K))′ heißt

i) hermitesch, falls ρ(f̄) = \overline{ρ(f)} für alle f ∈ C(K).

ii) positiv, falls ρ(f) ≥ 0 für alle f ≥ 0; wir schreiben dann ρ ≥ 0.

iii) Zustand, falls ρ ≥ 0 und ρ(1) = 1. Dabei ist 1 die konstante Funktion 1(t) = 1.

iv) multiplikativ, falls ρ(fg) = ρ(f)ρ(g) für alle f, g ∈ C(K).

Ist ρ hermitesch, f reell, so ist auch ρ(f) reell.

Lemma 10.6 i) Jedes positive lineare stetige Funktional ist hermitesch.

ii) Jedes positive lineare stetige Funktional ρ auf C(K) erfüllt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz

|ρ(f̄g)|^{2} ≤ ρ(|f|^{2})ρ(|g|^{2}) für alle f, g ∈ C(X) .

iii) Für jeden Zustand ω gilt ∥ω∥ = 1.

iv) Für jedes positive lineare stetige Funktional ρ gilt ∥ρ∥ = ρ(1).

Beweis. i) Sei ρ positiv, dann ρ(|f + λ1|^{2}) = ρ(|f|^{2}) + |λ|^{2}ρ(1) + λρ(f̄) + λ̄ρ(f) reell für alle λ ∈ 𝕂. Somit λρ(f̄) + λ̄ρ(f) = λ(ρ(f̄) − \overline{ρ(f)}) + 2Re(λ̄ρ(f)) reell für alle λ und deshalb ρ(f̄) − \overline{ρ(f)}.

ii) Für beliebige λ ∈ 𝕂 gilt unter Verwendung von i)

0 ≤ ρ(|f + λg|^{2}) = ρ(|f|^{2}) + |λ|^{2}ρ(|g|^{2}) + 2Re(λρ(f̄g)) .

Ist ρ(|g|^{2}) = 0, so muß auch ρ(f̄g) = 0 gelten, da ansonsten λ := −\frac{ρ(|f|^{2})}{ρ(f̄g)} zum

Widerspruch führt. Ist ρ(|g|^{2}) ≠ 0, so setze λ := −\frac{\overline{ρ(f̄g)}}{ρ(|g|^{2})}, dann folgt

0 ≤ ρ(|f|^{2}) + \frac{|ρ(f̄g)|^{2}}{ρ(|g|^{2})} − 2\frac{|ρ(f̄g)|^{2}}{ρ(|g|^{2})} .

iii) Sei f ∈ C(K) reellwertig, dann gilt −∥f∥_{∞}1 ≤ f ≤ ∥f∥_{∞}1. Anwendung von ω erhält die Ordnung, also −∥f∥_{∞}ω(1) ≤ ω(f) ≤ ∥f∥_{∞}ω(1), also |ω(f)| ≤ ∥f∥_{∞}, und dann ∥ω∥ ≤ 1. Umgekehrt ist ω(1) = 1, deshalb ∥ω∥ = 1. Im komplexen Fall gilt |ω(f1)|^{2} ≤ ω(|1|^{2})ω(|f|^{2}) ≤ ∥|f|^{2}∥_{∞} ≤ ∥f∥_{∞}^{2} nach ii).

iv) Ist ρ positiv mit ρ(1) = 0, dann ist ρ = 0 auf allen positiven Funktionen f wegen 0 ≤ f ≤ ∥f∥_{∞}1. Jede stetige Funktion ist Linearkombination von 4 positiven stetigen Funktionen, somit ρ = 0. Ansonsten ist ω := \frac{ρ}{ρ(1)} Zustand und damit ∥ρ∥ = ρ(1). □

Lemma 10.7 Jedes hermitesche lineare stetige Funktional ρ besitzt eine eindeutige Zerlegung ρ = ρ_{+} − ρ_{−} in positive lineare stetige Funktionale ρ_{+}, ρ_{−} ≥ 0 mit ∥ρ∥ = ∥ρ_{+}∥ + ∥ρ_{−}∥.

Beweis. i) Wir nehmen die Existenz solcher Funktionale an und beweisen die Eindeutigkeit.

Nach Definition des Supremums gibt es zu jedem n ∈ ℕ\{0} eine reellwertige Funktion g ∈ B_{C(K)} mit

∥ρ∥ − \frac{1}{n} ≤ ρ(g_{n}) = ρ_{+}(g_{n}) − ρ_{−}(g_{n}) ≤ ∥ρ∥ ,

Wegen ∥ρ∥ = ρ_{+}(1) + ρ_{−}(1) = ∥ρ_{+}∥ + ∥ρ_{−}∥ folgt ρ_{+}(1 − g_{n}) ≤ \frac{1}{n} − ρ_{−}(1 + g_{n}). Wegen 1 ± g ≥ 0 folgt lim_{n→∞} ρ_{+}(g_{n}) = ρ_{+}(1) = ∥ρ_{+}∥ und lim_{n→∞} ρ_{−}(g_{n}) = −ρ_{−}(1) = −∥ρ_{−}∥.

Wir zerlegen g_{n} = g_{n+} − g_{n−} mit g_{n+} = max(0, g_{+}) ≥ 0 und g_{n−} = max(−g_{n}, 0) ≥ 0. Insbesondere sind g_{n+}, g_{n−} stetig. Dann ist

ρ_{+}(1 − g_{n+} + g_{n−}) = ρ_{+}(1 − g_{n+}) + ρ_{+}(g_{n−}) ⟶^{n→∞} 0 ,

woraus wegen der Positivität ρ_{+}(g_{n+}) ⟶^{n→∞} ∥ρ_{+}∥ und ρ_{+}(g_{−}) ⟶^{n→∞} 0 folgt. Analog ergibt sich ρ_{−}(g_{n+}) ⟶^{n→∞} 0. Ist f ∈ C_{+}(X), so folgt mit 1 − g_{n+} ≥ 0 und Cauchy-Schwarz

0 ≤ |ρ_{+}((1 − g_{n+})f)|^{2} = |ρ_{+}(\sqrt{1 − g_{n+}} · (\sqrt{1 − g_{n+}}f))|^{2}

≤ ρ_{+}(|\sqrt{1 − g_{n+}}|^{2}) · ρ_{+}(|\sqrt{1 − g_{n+}}f|^{2}) ⟶^{n→∞} 0 ,

also ρ_{+}(g_{+}f) ⟶^{n→∞} ρ_{+}(f). Analog folgt ρ_{−}(g_{n+}f) ⟶^{n→∞} 0 und deshalb

ρ_{+}(f) = lim_{n→∞} ρ(g_{n+}f) ≤ sup{ρ(f_{1}) : 0 ≤ f_{1} ≤ f , f_{1} ∈ C(K)} .  (*)

Ist umgekehrt f_{1} ∈ C_{+}(X) mit 0 ≤ f_{1} ≤ f, so gilt ρ(f_{1}) ≤ ρ_{+}(f_{1}) ≤ ρ_{+}(f) und damit sup{ρ(f_{1}) : 0 ≤ f_{1} ≤ f} ≤ ρ_{+}(f), so daß mit (∗) folgt:

ρ_{+}(f) = sup{ρ(f_{1}) : 0 ≤ f_{1} ≤ f , f_{1} ∈ C(K)} ,  (**)
ρ_{−}(f) = sup{−ρ(f_{2}) : 0 ≤ f_{2} ≤ f , f_{2} ∈ C(K)} .

Damit sind ρ_{+}, ρ_{−} auf C_{+}(K) eindeutig bestimmt. Sie werden für die (eindeutige) Zerlegung einer Funktion f = (Re f)_{+} − (Re f)_{−} + i(Im f)_{+} − i(Im f)_{−} ∈ C(K) eindeutig fortgesetzt zu ρ_{+}(f) := ρ_{+}((Re f)_{+}) − ρ_{+}((Re f)_{−}) + iρ_{+}((Im f)_{+}) − iρ_{+}((Im f)_{−}), analog für ρ_{−}.

ii) Existenz: Zu zeigen ist, daß die nach (**) definierten ρ_{+}, ρ_{−} wirklich positive lineare stetige Funktionale sind. Zunächst zur Linearität. Hier genügt es, die Additivität auf positiven Funktionen 0 ≤ f, g zu zeigen. Seien 0 ≤ f_{1} ≤ f und 0 ≤ g_{1} ≤ g Approximationen mit |ρ_{+}(f)−ρ(f_{1})| < ϵ und |ρ_{+}(g)−ρ(g_{1})| < ϵ, dann ist

ρ(f_{1}) + ρ(g_{1}) = ρ(f_{1} + g_{1}) ≤ ( sup_{0≤h_{1}≤f+g} ρ(h_{1})) = ρ_{+}(f + g) ,

und für ϵ → 0 entsteht

ρ_{+}(f) + ρ(g) ≤ ρ_{+}(f + g) .  (†)

Sei nun eine stetige positive Funktion 0 ≤ h ≤ f + g gegeben mit |ρ(h) − ρ_{+}(f + g)| < ϵ. Dann läßt sich h zerlegen^{1} in h = h_{1} + h_{2} mit 0 ≤ h_{1} ≤ f und 0 ≤ h_{2} ≤ g. Dann ist

ρ(h) = ρ(h_{1}) + ρ(h_{2}) ≤ ( sup_{0≤f_{1}≤f} ρ(f_{1}) + sup_{0≤g_{1}≤g} ρ(g_{1})) = ρ_{+}(f) + ρ_{+}(g) .

Für ϵ → 0 folgt

ρ_{+}(f + g) ≤ ρ_{+}(f) + ρ_{+}(g) .  (‡)

Damit ist ρ_{+}, und analog ρ_{−}, linear.

Die Relation ρ = ρ_{+} − ρ_{−} ergibt sich aus der Definition (**):

−ρ_{−}(f) = inf{ρ(f_{2}) : 0 ≤ f_{2} ≤ f , f_{2} ∈ C(K)}
= inf{ρ(f − f_{1}) : 0 ≤ f_{1} ≤ f , f_{1} ∈ C(K)} = ρ(f) − ρ_{+}(f) .

Die Relation ∥ρ∥ ≤ ∥ρ_{+}∥ + ∥ρ_{−}∥ ist klar. Umgekehrt ist

∥ρ_{+}∥ + ∥ρ_{−}∥ = ρ_{+}(1) + ρ_{−}(1)

= sup_{0≤f_{1}≤1} ρ(f_{1}) − inf_{0≤f_{2}≤1} ρ(f_{2}) ,

59 d.h. für beliebige ϵ > 0 gibt es 0 ≤ f_{1}, f_{2} ≤ 1 mit ρ_{+}(1) + ρ_{−}(1) ≤ ρ(f_{1} − f_{2}) + ϵ. Aber ρ(f_{1} − f_{2}) ≤ ∥ρ∥∥f_{1} − f_{2}∥_{∞} ≤ ∥ρ∥ und damit ρ_{+}(1) + ρ_{−}(1) ≤ ∥ρ∥. Insbesondere sind ρ_{+}, ρ_{−} beschränkt. □

1 Setze h_{1} = min(h, f) ≥ 0 und h_{2} = h − h_{1} ≥ 0. Dann sind h_{1}, h_{2} stetig. Angenommen, es gilt nicht: h_{2} ≤ g. Dann gibt es ein t ∈ K mit 0 ≤ g(p) < h_{2}(p) = h(p) − min(h(p), f(p)), also min(h(p), f(p)) < h(p) und damit min(h(p), f(p)) = f(p). Es folgt f(p) + g(p) < h(p), Widerspruch. Also h_{2} ≤ g.

Preliminary version – 8. Juli 2011

Satz 10.8 Sei K kompakter Hausdorff-Raum (der nicht nur aus einem Punkt besteht) und ρ ∈ (C(K))′ multiplikativ und nicht identisch 0. Dann gibt es einen Punkt t ∈ K mit ρ(f) = f(t) für alle f ∈ C(K).

Beweis. Es sei M := {f ∈ C(K) : ρ(f) = 0}. Als Urbild von {0} unter ρ ist M abgeschlossen. Für f ∈ M ist ρ(|f|^{2}) = ρ(f)ρ(f̄) = 0 und dann ρ(fg) = 0 für alle g ∈ C(K) nach Cauchy-Schwarz. Somit ist M ein Ideal von C(K). Wegen ρ ≠ 0 ist es von C(X) verschieden. Damit ist 1 ∉ M, so daß 0 ≠ ρ(1) = ρ(1^{2}) = ρ(1)ρ(1) und damit ρ(1) = 1. Außerdem ist M ≠ {0}, denn ansonsten gäbe es eine nichtkonstante stetige Funktion f ∈ C(K) mit ρ(f) ≠ 0, und damit folgt 0 ≠ 1 − \frac{f}{ρ(f)} ∈ M. Somit ist M echtes Ideal von C(K).

Wir zeigen, daß M maximales Ideal ist. Angenommen, M ⊂ J für ein echtes Ideal J, und es gibt ein g ∈ J \ M. Dann ist ρ(g) ≠ 0, und für h := \frac{1}{ρ(g)} ∈ C(K) gilt ρ(g)ρ(h) = 1 = ρ(\frac{g}{ρ(g)}). Aber \frac{g}{ρ(g)} ∈ J und 1 − \frac{g}{ρ(g)} ∈ M ⊂ J, also auch 1 = 1 − \frac{g}{ρ(g)} + \frac{g}{ρ(g)} ∈ J und dann J = C(K), d.h. J wäre kein echtes Ideal.

Die Menge aller Funktionen, die in einem Punkt t ∈ K verschwinden, bilden ein maximales Ideal M_{t}: Denn setze ρ_{t}(g) := g(t), dann ist ρ_{t} multiplikativ, nicht identisch 0 wegen ρ_{t}(1) ≠ 0 und M_{t} := {f ∈ C(K) : ρ_{t}(f) = 0} nach obiger Diskussion maximales Ideal.

Wir zeigen, daß jedes maximale Ideal M ein solches M_{t} ist. Angenommen, M ist verschieden von allen M_{t}, insbesondere in keinem M_{t} enthalten. Dann gibt es zu jedem t ∈ K eine stetige Funktion f_{t} ∈ M mit f_{t}(t) ≠ 0. Wegen der Stetigkeit von f_{t} gibt zu jedem t sogar eine offene Umgebung U_{t} ⊂ K mit t ∈ U_{t} und f_{t}(y_{t}) ≠ 0 für alle y_{t} ∈ U_{t}. Da K kompakt ist (die Kompaktheit geht genau hier entscheidend ein!), wird K durch endlich viele dieser U_{t} überdeckt, d.h. es gibt Punkte t_{1}, …, t_{m} mit

f := ∑_{i=1}^{m} f_{t_{i}} · \overline{f_{t_{i}}} ∈ M .

Nach Konstruktion ist f(t) ≠ 0 für alle t ∈ K. Somit ist die Funktion \frac{1}{f} stetig, und es folgt 1 = f · \frac{1}{f} ∈ M, Widerspruch. □

Theorem 10.9 (Stone-Weierstraß) Es sei K ein kompakter Hausdorff-Raum und A eine Unteralgebra von C(K) mit

i) 1 ∈ A.

ii) A trennt die Punkte von K, d.h. für t, s ∈ K mit t ≠ s gibt es ein g ∈ A mit g(t) ≠ g(s).

iii) Mit g ∈ A ist auch ḡ ∈ A.

Dann ist A dicht in C(K) bezüglich der Supremums-Norm ∥ ∥.

Bemerkung: In ii) geht ein, daß K Hausdorff-Raum sein muß.

Beweis. Angenommen, Ā ≠ C(K) (Abschluß in ∥ ∥_{∞}). Nach der Folgerung 3.11 aus Hahn-Banach gibt es ein 0 ≠ ρ ∈ (C(K))′ mit ρ(g) = 0 für alle g ∈ Ā. Sei ρ^{∗}(f) := \overline{ρ(f̄)}, mit f ∈ C(K), dann sind ρ_{+} := \frac{1}{2}(ρ + ρ^{∗}) und ρ_{−} := \frac{1}{2i}(ρ − ρ^{∗}) hermitesch und verschwinden nicht beide, so daß wir ρ(f̄) = \overline{ρ(f)} annehmen können (hier geht iii) ein!). Sei

B := \{ρ ∈ (C(K))′ : ∥ρ∥ ≤ 2 , ρ|Ā = 0 , ρ(f̄) = \overline{ρ(f)}\} .

Dann ist B konvex (klar) und abgeschlossen in der schwach-*-Topologie auf (C(K))′ als B = ⋂_{p_{f}} p_{f}^{−1}({0}), mit p_{g}(ρ) = |ρ(g)| für g ∈ Ā. Außerdem ist B enthalten im Ball in (C(K))′ vom Radius 2, welcher nach dem Satz von Banach-Alaoglu (Theorem 4.13) schwach-*-kompakt ist. Somit ist auch B schwach-*- kompakt, und nach dem Satz von Krein-Milman (Theorem 10.3) gibt es einen Extrempunkt η ∈ B. Insbesondere ist ∥η∥ = 2.

Nach Lemma 10.7 gibt es eine eindeutige Zerlegung η = η_{+}−η_{−} mit η_{+}, η_{−} ≥ 0 und 2 = ∥η∥ = ∥η_{+}∥ + ∥η_{−}∥. Wegen 1 ∈ A nach i) ist

0 = η(1) = η_{+}(1) − η_{−}(1) = ∥η_{+}∥ − ∥η_{−}∥ ,

(siehe Lemma 10.6), also η_{+}(1) = 1 = η_{−}(1), d.h. η_{+}, η_{−} sind Zustände von C(K). Wir werden zeigen, daß es η_{+}, η_{−} multiplikativ sind. Dann gibt es nach Satz 10.8 Punkte t_{+}, t_{−} ∈ K mit η_{±}(f) = f(t_{±}) für alle f ∈ C(K). Es folgt t_{+} ≠ t_{−}, denn ansonsten wäre (η_{+} − η_{−})(f) = η(f) = 0 für alle f ∈ C(K) im Widerspruch zu ∥η∥ = 2. Dann ist aber η(g) = (η_{+} − η_{−})(g) = g(t_{+}) − g(t_{−}) = 0 für alle g ∈ A, im Widerspruch zu ii). Somit folgt Ā = C(K).

Wir haben also zu zeigen: η_{+}(fh) = η_{+}(f)η_{+}(h) für alle f, h ∈ C(K), und analog für η_{−}. Wir zeigen zunächst, daß die Einschränkung η_{+}|Ā multiplikativ ist. Wegen der Linearität von g_{1} ↦ η_{+}(gg_{1}) genügt der Nachweis für reelle Elemente von Ā. Durch Verschiebung und Skalierung h := \frac{(1+∥g_{1}∥_{∞})1+g_{1}}{1+2∥g_{1}∥_{∞}} ∈ Ā genügt es zu zeigen: η_{+}(gh) = η_{+}(g)η_{+}(h) für alle g, h ∈ Ā mit 0 ≤ h ≤ 1. Wir diskutieren drei Fälle:

• Sei 0 = η_{+}(h) = η_{+}(|\sqrt{h}|^{2}). Dann folgt η_{+}(gh) = η_{+}(g\sqrt{h} · \sqrt{h}) = 0 für

alle g ∈ Ā nach Cauchy-Schwarz, d.h. η_{+}(gh) = η_{+}(g)η_{+}(h).

• Sei 1 = η_{+}(h), dann ist η_{+}(|\sqrt{1 − h}|^{2}) = 0, somit η_{+}(g(1 − h)) = η_{+}(g\sqrt{1 − h} · \sqrt{1 − h}) = 0 für alle g ∈ Ā nach Cauchy-Schwarz, d.h.

η_{+}(gh) = η_{+}(g)η_{+}(h).

• Verbleibt 0 < η_{+}(h) := λ < 1. Dann ist auch η_{−}(h) = λ. Für g ∈ Ā setze

η_{1+}(g) := \frac{η_{+}(gh)}{λ} ,  η_{1−}(g) := \frac{η_{−}(gh)}{λ} ,  η_{1} := η_{1+} − η_{1−} ,
η_{2+}(g) := \frac{η_{+}((1 − h)g)}{1 − λ} , η_{2−}(g) := \frac{η_{−}((1 − h)g)}{1 − λ} , η_{2} := η_{2+} − η_{2−} .

Nach Konstruktion sind η_{1+}, η_{1−}, η_{2+}, η_{2−} positive lineare Funktionale, sogar Zustände. Da Ā Unteralgebra ist, verschwinden η_{1}, η_{2} identisch auf Ā. Weiter gilt ∥η_{1}∥, ∥η_{2}∥ ≤ 2, insgesamt also η_{1}, η_{2} ∈ B. Andererseits gilt η = λη_{1} + (1 − λ)η_{2}, da aber η Extrempunkt war, folgt η = η_{1} = η_{2}. Dann ist aber η = η_{1+} − η_{1−} und 2 = ∥η∥ = ∥η_{1+}∥ + ∥η_{1−}∥, und aus der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt η_{+} = η_{1+}, also η_{+}(h) = \frac{η_{+}(fh)}{η_{+}(f)}, d.h. η_{+}, und analog η_{−}, ist multiplikativ auf Ā.

Sei J := {h ∈ C(K) : η_{+}(|h|^{2}) = 0} ⊂ C(K). Für h ∈ J und f ∈ C(K) ist η_{+}(|fh|^{2}) = η_{+}(h · h̄|f|^{2}) = 0 nach Cauchy-Schwarz, somit J ein Ideal, wie in Satz 10.8 echtes Ideal von C(K). Analog ist J ∩ Ā ein echtes Ideal von Ā. Da η_{+} auf Ā multiplikativ ist, folgt wie in Satz 10.8, daß daß J ∩ Ā maximales Ideal von Ā ist. Nach dem Lemma von Zorn ist J in einem maximalen Ideal von C(K) enthalten, und nach Satz 10.8 ist es ein M_{t} ⊃ J für t ∈ K. Dann ist M_{t} ∩ Ā ein Ideal von Ā, welches J ∩Ā enthält. Da letzteres maximal ist, gilt M∩Ā = J ∩Ā und somit η_{+}(g) = g(t) für alle g ∈ A. Da A die Punkte trennt, kann es nur ein t = t_{+} ∈ K mit dieser Eigenschaft geben.

Bezeichnet ρ_{t} das Auswertungsfunktional ρ_{t}(f) = f(t_{+}), so haben wir gezeigt, daß (η_{+}−ρ_{t})|Ā = 0 ist. Damit folgt aber noch nicht η_{+} = ρ_{t} auf ganz C(K). Dieses Ziel erreichen wir erst im nächsten Schritt.

Bezeichne S die Menge aller Zustände auf C(K) und

W := {ω ∈ S : (ω − η_{+})|Ā = 0}

die Teilmenge jeder Zustände, die auf Ā mit η_{+} übereinstimmen. Wie zuvor B ist W konvex und schwach-*-abgeschlossen in B_{C(K)′}, damit schwach-*-kompakt. Nach dem Satz von Krein-Milman hat W einen Extrempunkt τ ∈ W ⊂ S. Wir zeigen nun, daß τ sogar Extrempunkt von S ist. Angenommen, es gibt Zustände ω_{1}, ω_{2} ∈ S mit τ = \frac{1}{2}(ω_{1} + ω_{2}). Dann ist \frac{1}{2}(ω_{1} + ω_{2})(g) = η_{+}(g) für alle g ∈ Ā. Aus der Positivität folgt 0 ≤ \frac{1}{2}ω_{1}|Ā, \frac{1}{2}ω_{2}|Ā ≤ η_{+}|Ā, damit ω_{1}(|h|^{2}) = 0 und ω_{2}(|h|^{2}) = 0 für alle h ∈ J ∩ Ā, und dann ω_{1}(h) = ω_{2}(h) = 0 nach Cauchy-Schwarz. Das bedeutet aber ω_{1}, ω_{2} ∈ W, denn g − η_{+}(g)1 ∈ J ∩ Ā (da η_{+} multiplikativ) für alle g ∈ Ā und folglich ω_{1}(g) = η_{+}(g) = ω_{2}(g). Da aber τ Extrempunkt von W war, folgt τ = ω_{1} = ω_{2} ∈ S. d.h. τ ist sogar Extrempunkt von S. Nach dem folgenden Satz 10.11 ist dann τ multiplikativ, somit gegeben als Auswertung im selben Punkt t_{+} ∈ K, so daß τ = ρ_{t} der einzige Extrempunkt von W ist. Nach dem Satz von Krein-Milman (Theorem 10.3.ii)) ist W die konvexe Hülle der Extrempunkte, somit W = \overline{\{ρ_{t}\}} = \{ρ_{t}\}, und wegen η_{+} ∈ W folgt η_{+} = ρ_{t}. □

Definition 10.10 Ein Extrempunkt der Menge S der Zustände auf C(K) heißt reiner Zustand.

Satz 10.11 Sei K kompakter Hausdorff-Raum. Ein positives lineares stetiges Funktional ω auf C(K) ist genau dann reiner Zustand, wenn es multiplikativ ist.

Beweis. Sei ω reiner Zustand und f, h ∈ C(K) mit 0 ≤ f ≤ 1. Definiere ein positives lineares stetiges Funktional ρ durch ρ(h) := ω(fh). Somit 0 ≤ ρ(1) ≤ 1. Wir zeigen ρ = λω für ein λ ∈ [0, 1]:

i) Wäre ρ(1) = 0, dann ρ = 0 nach Lemma 10.6.iv).

ii) Wäre ρ(1) = 1 = ω(1), dann folgt ρ = ω nach Lemma 10.6.iv).

iii) Sei 0 < λ := ρ(1) < 1, dann definiere ρ_{1} := \frac{ρ}{λ} und ρ_{2} := \frac{ω−ρ}{1−λ}. Dann sind ρ_{1}, ρ_{2} Zustände mit ρ = λρ_{1} + (1 − λ)ρ_{2}. Da ω reiner Zustand ist, folgt ω = ρ_{1} und ρ = λω.

Sei nun ω(h) = 0, dann gilt für beliebige f ∈ C(K) mit 0 ≤ f ≤ 1 die Relation ω(fh) = ρ(h) = λω(h) = 0. Da jede stetige Funktion Linearkoombination von 4 stetigen Funktionen 0 ≤ f_{i} ≤ 1 ist, ist M = ker ω = {h ∈ C(K) : ω(h) = 0} ein Ideal von C(K). Wie in Satz 10.8 ergibt sich, daß es maximal ist, somit ist ω = ρ_{t} das Auswertungsfunktional (wieder nach Satz 10.8), und dieses ist multiplikativ.

Ist umgekehrt ω ≠ 0 multiplikativ, dann Auswertungsfunktional nach Satz 10.8 und damit automatisch Zustand. Angenommen, ω = \frac{1}{2}ρ_{1} + \frac{1}{2}ρ_{2}, für Zustände ρ_{1}, ρ_{2}. Dann ist 0 ≤ \frac{1}{2}ρ_{1}, \frac{1}{2}ρ_{2} ≤ ω. ist h ∈ ker ω, dann (wie zuvor) auch ρ_{1}(h) = 0 = ρ_{2}(h), somit 0 = ρ_{1}(f − ω(f)1) = ρ_{1}(f) − ω(f) = ρ_{2}(f) − ω(f). Damit ist ω reiner Zustand. □

Folgerung 10.12 Ist K kompakter metrischer Raum, dann ist C(K) Normseparabel.

Beweis. Unter diesen Voraussetzungen gibt es eine abzählbare dichte Menge von Punkten {t_{n}} in K. Setze f_{n}(t) := d(t, t_{k}). Dann ist f_{n} stetig und trennt die Punkte. Sei A die Algebra erzeugt von {f_{n}}, d.h. die Menge der Polynome in f_{n}. dann erfüllt A die Voraussetzungen des Satzes von Stone-Weierstraß, ist also dicht in C(K). □

11 Metrisierbarkeit und Vollständigkeit

Wir klären nun die Frage, wann eine lokalkonvexe Topologie durch eine Metrik induziert wird. Ist das der Fall, so ist naheliegend zu fragen, ob der lokalkonvexe Vektorraum vollständig ist.

Satz 11.1 Sei (X, T ) lokalkonvexer Vektorraum. Dann sind äquivalent:

i) (X, T ) ist metrisierbar, d.h. es gibt eine Metrik d auf X, welche T erzeugt.

ii) 0 ∈ X besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis.

iii) Es gibt ein abzählbares Halbnormensystem P = {p_{n} : n ∈ ℕ}, welches T erzeugt.

Beweis. i)⇒ii) ist klar: Wähle die (ϵ = \frac{1}{n})-Umgebungen.

ii)⇒iii) Sei {V_{n}}_{n∈ℕ} abzählbare Umgebungsbasis von 0. Jedes V_{n} enthält eine absolutkonvexe Umgebung U_{n} ⊂ V_{n} von 0. Wähle für P die zugehörige Menge der Minkowski-Funktionale.

iii)⇒i) Setze d(x, y) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2^{n}} \frac{p_{n}(x − y)}{1 + p_{n}(x − y)}. Die Reihe konvergiert, und d ist

eine Metrik: Ist d(x, y) = 0, dann p_{n}(x − y) = 0 für alle n, und dann x = y aus der Hausdorff-Eigenschaft. Sind a, b, c ≥ 0 mit c ≤ a+b, so folgt \frac{c}{1+c} ≤ \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b}. Dann liefert a := p_{n}(x − y), b = p_{n}(y − z), c = p_{n}(x − z) die Dreiecksungleichung für d.

Wir zeigen, daß die Topologien von (X, d) und (X, P) identisch sind. Sei (x_{λ})_{λ∈Λ} konvergent gegen x bezüglich d, d.h. d(x_{λ}, x) → 0. Dann folgt \frac{p_{n}(x_{λ}−x)}{1+p_{n}(x_{λ}−x)} → 0 für alle n, and damit p_{n}(x_{λ}) → p_{n}(x), d.h. (x_{λ})_{λ∈Λ} konvergiert gegen x bezüglich P. Ist umgekehrt (x_{λ})_{λ∈Λ} konvergent gegen x bezüglich P, dann gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} < \frac{ϵ}{2}. Wähle für alle n ∈ \{0, 1, …, N\} ein μ_{n} ∈ Λ mit p_{n}(x_{λ} − x) < \frac{ϵ}{4} für alle λ ≥ μ_{n}. Wähle dann ein μ ≥ μ_{n} für alle n ∈ {0, 1, …, N}. Es folgt

d(x_{λ}, x) = ∑_{n=0}^{N} \frac{1}{2^{n}} \frac{p_{n}(x − y)}{1 + p_{n}(x − y)} + ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} \frac{p_{n}(x − y)}{1 + p_{n}(x − y)}

< ∑_{n=0}^{N} \frac{1}{2^{n}} · \frac{ϵ}{4} + ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} · 1 ≤ ϵ ,

d.h. Konvergenz bezüglich d von (x_{λ})_{λ∈Λ} gegen x. □

Definition 11.2 Ein metrisierbarer lokalkonvexer Vektorraum X, der bezüglich einer translations-invarianten Metrik vollständig ist, heißt Fréchet-Raum.

Bemerkung 11.3 Es läßt sich zeigen, daß diese Definition unabhängig von der Wahl einer translations-invarianten Metrik ist. Insbesondere kann die aus dem Halbnormensystem gewonnene Metrik genutzt werden.

Folgendes Kriterium ist nützlich zur Überprüfung der Vollständigkeit:

Lemma 11.4 Sei X ein lokalkonvexer Vektorraum mit abzählbarem Halbnormensystem P = {p_{n} : n ∈ ℕ} und d die induzierte Metrik nach Satz 11.1. Dann sind für eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} äquivalent:

i) (x_{k})_{k∈ℕ} ist Cauchy-Folge bezüglich d.

ii) (x_{k})_{k∈ℕ} ist Cauchy-Folge bezüglich P in folgendem Sinn: Für alle p_{n} ∈ P und ϵ > 0 gibt es ein (von p_{n} und ϵ abhängiges) N ∈ ℕ, so daß p_{n}(x_{k} − x_{l}) < ϵ für alle k, l ≥ N.

Beweis. Analog zu Satz 11.1.

Beispiel 11.5 C(ℝ) versehen mit dem Halbnormensystem p_{n}(f) := sup_{t∈[−n,n]} |f(t)| ist Fréchet-Raum. Sei (f_{k})_{k∈ℕ} Cauchy-Folge und t ∈ ℝ beliebig. Wähle ein n > |t|. Dann ist |f_{k}(t) − f_{l}(t)| ≤ p_{n}(f_{k} − f_{l}) < ϵ für alle k, l ≥ N, so daß (f_{k}(t))_{k∈ℕ} in 𝕂 konvergiert. Definiere eine Funktion f : ℝ → 𝕂 durch f(t) := lim_{k→∞} f_{k}(t). Dann konvergiert (f_{k})_{k∈ℕ} auf [−n, n] gleichmäßig gegen f, also ist f auf [−n, n] stetig. Dann ist aber f ∈ C(ℝ), und (f_{k})_{k∈ℕ} konvergiert gleichmäßig gegen f auf jedem Intervall [−n, n]. Damit ist (C(ℝ), P) Fréchet-Raum. ◁

Beispiel 11.6 Ohne Beweis erwähnen wir:

i) C^{∞}(ℝ) ist Fréchet-Raum bezüglich P = {p_{n,m} : n, m ∈ ℕ : p_{n,m}(f) =

sup_{t∈[−n,n]} |f^{(m)}(t)|}

ii) S(ℝ^{n}) ist Fréchet-Raum bezüglich P = {p_{m,α} : m ∈ ℕ , α ∈ ℕ^{n} : p_{m,α}(f) = sup_{t∈ℝ^{n}} |(1 + ∥t∥^{m})(∂^{α}f)(t)|} . ◁

Bemerkung 11.7 In Fréchet-Räumen gilt selbstverständlich der Satz von Baire. Damit übertragen sich auf Fréchet-Räume:

• das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit (Theorem 6.6, Banach-Steinhaus),

• der Satz von der offenen Abbildung (Theorem 6.10),

• der Satz vom inversen Operator (Folgerung 6.12),

• der Satz vom abgeschlossenen Graphen (Theorem 6.16).

Bemerkung 11.8 Für Abbildungen zwischen Fréchet-Räumen X, Y läßt sich ein Ableitungsbegriff einführen, die Gâteaux-Ableitung. Sei U ⊂ X offen, dann heißt F : U → Y Gâteau-differenzierbar in Richtung x ∈ X, falls für alle u ∈ U der Grenzwert

(DF)(u; x) := lim_{τ→0} \frac{1}{τ}(F (u + τx) − F (u))

existiert. Dabei ist der Limes τ → 0 bezüglich der Topologie von Y zu verstehen. Existiert der Grenzwert für alle x ∈ X, so heißt F Gâteaux-differenzierbar. Die Gâteaux-Ableitung ist homogen, (DF)(u; αx) = α(DF)(u; x), aber nicht notwendig additiv (damit nicht notwendig linear) in x. Ist jedoch DF : U × X → Y stetig (man sagt: F ist stetig Gâteaux-differenzierbar, kurz C^{1}), so ist (DF)(U, . ) : X → Y linear (vgl. partielle/totale Differenzierbarkeit).

Für festgehaltenes x können höhere Ableitungen definiert werden:

(D^{2}F)(u; x_{1}, x_{2}) := lim_{τ→0} \frac{1}{τ}(DF (u + τx_{2}; x_{1}) − DF (u; x_{1})) .

Für (genügend oft) stetig Gâteaux-differenzierbare Funktionen gelten im wesentlichen alle Rechneregeln der klassischen Analysis (ohne Beweis):

i) Kettenregel: (D(G ∘ F))(u; x) = (DG)(F (u); (DF)(u; x))

ii) Satz von Schwarz: (DF)(u; x_{1}, x_{2}) = (DF)(u; x_{2}, x_{1})

iii) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

F (v) − F (u) = ∫_{0}^{1} dτ (DF)(u + τ(v − u); v − u)

iv) Taylor-Formel: F (u + h) = F (u) + ∑_{l=1}^{k} \frac{1}{l!}(D^{l}F)(u; \underbrace{h, …, h}_{l}) + R_{k+1} mit

R_{k+1} = \frac{1}{k!} ∫_{0}^{1} dτ (1 − τ)^{k}(D^{k+1}F)(u + τh; \underbrace{h, …, h}_{k+1})

Das Integral ist jeweils Grenzwert Riemannscher Summen mit Konvergenz in der Fréchet-Topologie.

Teil III

Hilbert-Räume

12 Grundlegende Eigenschaften

Wir verwenden die Konvention der Physik für das Skalarprodukt. Diese erweist sich später bei der Behandlung von Operatoralgebren als sinnvoller als die in der Mathematik übliche Konvention.

Definition 12.1 Ein Skalarprodukt auf einem 𝕂-Vektorraum X ist eine Abbildung ⟨ , ⟩ : X × X → 𝕂 mit

i) ⟨w, λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}⟩ = λ_{1}⟨w, v_{1}⟩ + λ_{2}⟨w, v_{2}⟩ für alle v_{1}, v_{2}, w ∈ X und λ_{1}, λ_{2} ∈

𝕂.
ii) ⟨w, v⟩ = \overline{⟨v, w⟩} für alle v, w ∈ X.
iii) ⟨v, v⟩ ≥ 0 für alle v ∈ X und ⟨v, v⟩ = 0 genau dann, wenn v = 0.

(X, ⟨ , ⟩) heißt Prä-Hilbert-Raum (oder unitärer Vektorraum).

Satz 12.2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) In einem Prä-Hilbert-Raum (X, ⟨ , ⟩) gilt

|⟨w, v⟩|^{2} ≤ ⟨v, v⟩⟨w, w⟩ für alle v, w ∈ X

mit Gleichheit genau dann, wenn v und w linear abhängig sind.

Beweis. i) Sei w ≠ 0 (für w = 0 ist die Ungleichung offensichtlich erfüllt), somit ist ⟨w, w⟩ ≠ 0. Dann gilt für beliebiges λ ∈ 𝕂

0 ≤ ⟨λw − v, λw − v⟩ = λ\overline{λ}⟨w, w⟩ − \overline{λ}⟨w, v⟩ − λ⟨v, w⟩ + ⟨v, v⟩

= ⟨w, w⟩|λ − \frac{⟨w, v⟩}{⟨w, w⟩}|^{2} + \frac{1}{⟨w, w⟩}(⟨w, w⟩⟨v, v⟩ − |⟨w, v⟩|^{2}) .

Für λ = \frac{⟨w,v⟩}{∥w∥^{2}} wird direkt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz erhalten.

ii) Gilt das Gleichheitszeichen (und sind v, w ≠ 0), so folgt v = λw für λ = \frac{⟨w,v⟩}{⟨w,w⟩}. □

Folgerung 12.3 Ein Prä-Hilbert-Raum (X, ⟨ , ⟩) wird durch ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩} zu einem normierten Vektorraum, und das Skalarprodukt ist in der Norm-Topologie beidseitig stetig.

Beweis. Sei v_{n} → v und w_{n} → w, dann

|⟨v_{n}, w_{n}⟩−⟨v, w⟩| = |⟨v_{n}−v, w_{n}⟩+⟨v, w_{n}−w⟩| ≤ ∥v_{n}−v∥∥w_{n}∥+∥v∥∥w_{n}−w∥ → 0 .

□

Satz 12.4 Es sei (X, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum über 𝕂. Die Norm ∥ ∥ geht genau dann aus einem Skalarprodukt hervor, wenn die Parallelogrammgleichung gilt,

∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2∥v∥^{2} + 2∥w∥^{2} für alle v, w ∈ X .

Beweisidee. Die Richtung (⇒) ist einfaches Nachrechnen. Für die Umkehrung (⇐) definiert man über die Polarisationsformeln

⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2} − i∥v + iw∥^{2} + i∥v − iw∥^{2}) für 𝕂 = ℂ ,
⟨v, w⟩ = \frac{1}{4}(∥v + w∥^{2} − ∥v − w∥^{2})  für 𝕂 = ℝ

zunächst Abbildungen ⟨ , ⟩ : X × X → 𝕂, für die man dann die Eigenschaften des Skalarprodukts zeigen muß, wobei die Parallelogrammgleichung eingeht. Für die Linearität ist das eine sehr mühsame Rechnung! Siehe [Hirzebruch-Scharlau]. □

Definition 12.5 Ein Prä-Hilbert-Raum (X, ⟨ , ⟩), der bezüglich der induzierten Norm vollständig (also Banach-Raum) ist, heißt Hilbert-Raum.

Beispiel 12.6 Hilbert-Räume (jeweils über ℂ) sind:

i) ℂ^{n} mit ⟨v, w⟩ = ∑_{i=1}^{n} \overline{v_{i}}w_{i} wenn v = (v_{1}, …, v_{n}), w = (w_{1}, …, w_{n}).

ii) ℓ^{2} = ℓ^{2}(ℕ) mit ⟨v, w⟩ = ∑_{i=0}^{∞} \overline{v_{i}}w_{i} wenn v = (v_{i})_{i∈ℕ}, v = (w_{i})_{i∈ℕ}.

iii) L^{2}(X, μ) für beliebige Maßräume mit (X, μ) mit ⟨f, g⟩ = ∫_{X} dμ f̄g

iv) Sobolew-Raum H^{s}(ℝ^{n}). Sei f̂ ∈ L^{2}(ℝ^{n}) die kontinuierliche Fourier-Transformierte einer Funktion f ∈ L^{2}(ℝ^{n}), d.h. f̂(k) := \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} ∫_{ℝ^{n}} dλ f(x) e^{i⟨k,x⟩}. die kontinuierliche Fourier-Transformierte einer lokal-integrablen Funktion f. Der Sobolev-Raum zum Parameter s > 0 ist definiert als

H^{s}(ℝ^{n}) := \{f ∈ L^{2}(ℝ^{n}) : (1 + ∥k∥^{2})^{\frac{s}{2}} f̂(k) ∈ L^{2}(ℝ^{n})\} .

Er wird durch ⟨f, g⟩ := ∫_{ℝ^{n}} dλ (1 + ∥k∥^{2})^{\frac{s}{2}} \overline{f̂(k)}ĝ(k) zu einem Hilbert-

Raum. Die Sobolev-Räume spielen eine wichtige Rolle in der Theorie partieller Differentialgleichungen.

Lemma 12.7 Sei (X, ⟨ , ⟩) Prä-Hilbert-Raum und X̄ die Vervollständigung bezüglich ∥ ∥. Dann ist X̄ ein Hilbert-Raum.

Beweis. Die Norm ist stetig auf X̄. Damit setzt sich die Parallelogrammgleichung auf X̄ fort und definiert somit ein Skalarprodukt über die Polarisationsformeln. □

Wir werden Hilbert-Räume mit (H, ⟨ , ⟩) bezeichnen.

Satz 12.8 Jeder Hilbert-Raum ist reflexiv und gleichmäßig konvex. □

Lemma 12.9 Sei W ⊂ H abgeschlossene konvexe Teilmenge eines Hilbert-Raums H, dann gibt es zu v ∈ H genau ein w ∈ W mit ∥v − w∥ = d(v, W) = inf_{u∈W} ∥v − u∥.

Beweis. Das ist Satz 5.12. Im komplexen Fall betrachte die Einschränkung von H auf den reellen gleichmäßig konvexen normierten Vektorraum span_{ℝ}(v, w_{1}, w_{2}). Daraus folgt die Eindeutigkeit. □

Definition 12.10 Sei (H, ⟨ , ⟩) (Prä-)Hilbert-Raum.

i) Zwei Vektoren v, w ∈ H heißen orthogonal, geschrieben v ⊥ w, wenn ⟨v, w⟩ = 0.

ii) Ist W ⊂ H eine beliebige Teilmenge, dann heißt W^{⊥} := {v ∈ H : v ⊥ w für alle w ∈ W } der Orthogonalraum zu W.

Seien H_{1}, H_{2} (Prä-)Hilbert-Räume. Durch das Skalarprodukt ⟨(v_{1}, v_{2}), (w_{1}, w_{2})⟩ := ⟨v_{1}, w_{1}⟩ + ⟨v_{2}, w_{2}⟩, für v_{1}, w_{1} ∈ H_{1} und v_{2}, w_{2} ∈ H_{1} wird H_{1} × H_{2} zu einem (Prä- )Hilbert-Raum, der mit H_{1} ⊕ H_{2} bezeichnet wird. Diese Konstruktion heißt direkte Summe von Hilbert-Räumen.

Lemma 12.11 Sei H Hilbert-Raum.

i) Für beliebige Teilmengen W ⊂ H ist W^{⊥} abgeschlossener Untervektorraum von H.

ii) Ist X ⊂ H abgeschlossener Untervektorraum, so gilt H = X ⊕ X^{⊥} als direkte Summe von Hilbert-Räumen.

Beweis. i) klar ist, daß W^{⊥} Untervektorraum ist. Dieser ist abgeschlossen als W^{⊥} = ⋂_{w∈W} s_{w}^{−1}({0}) bezüglich der stetigen Abbildung s_{w} : H → 𝕂, s_{w}(v) = ⟨w, v⟩.

ii) Da X abgeschlossen und konvex ist, gibt es nach Lemma 12.9 genau ein x_{1} ∈ X mit ∥v − x_{1}∥ = d(v, X). Wir behaupten: x_{2} := v − x_{1} ∈ X^{⊥}. Wegen der Minimalitätseigenschaft gilt für beliebige 0 ≠ x ∈ X:

∥x_{2}∥^{2} = ∥v − x_{1}∥^{2} ≤ ∥v − x_{1} − \frac{⟨x, v − x_{1}⟩}{⟨x, x⟩}x∥ = ∥x_{2}∥^{2} − \frac{|⟨x, x_{2}⟩|^{2}}{∥x∥^{2}} ,

und damit x ⊥ x_{2} für alle x ∈ X. Ist x ∈ X∩X^{⊥}, so ⟨x, x⟩ = 0, also X∩X^{⊥} = {0}, so daß es nur eine Zerlegung v = x_{1} + x_{2} mit x_{1} ∈ X und x_{2} ∈ X^{⊥} gibt. Ist w = y_{1} + y_{2} die analoge Zerlegung für w ∈ H in y_{1} ∈ X und y_{2} ∈ X^{⊥}, so folgt ⟨v, w⟩ = ⟨x_{1}, y_{1}⟩ + ⟨x_{2}, y_{2}⟩. □

Satz 12.12 (Riesz) Sei H ein Hilbert-Raum, H′ = (H, ∥ ∥)′ sein Dualraum und j : H → H′ definiert durch j(v)(w) := ⟨v, w⟩. Dann gilt: i) j ist antilinear, d.h. j(λv + μw) = \overline{λ}j(v) + \overline{μ}j(w).

ii) j ist isometrisch, also injektiv.

iii) j ist surjektiv, also ein Anti-Isomorphismus. (gilt nicht für Prä-Hilbert-Räume!)

Beweis. i) folgt aus der Definition.

ii) Zu zeigen ist ∥j(v)∥ = ∥v∥ für alle v ∈ H. Das ist klar für v = 0. Ansonsten (v ≠ 0) betrachten wir

∥j(v)∥ = sup_{w∈H , ∥w∥≤1} |j(v)(w)| = sup_{w∈H , ∥w∥≤1} |⟨v, w⟩| ≤ ∥v∥ ,

also ∥j(v)∥ ≤ ∥v∥. Andererseits ist für die spezielle Wahl j(v)(\frac{v}{∥v∥}) = ∥v∥ und damit ∥j(v)∥ ≥ ∥v∥.

iii) Sei 0 ≠ f ∈ H′ und sei X := ker f ⊂ H. Wegen der Stetigkeit von f ist X abgeschlossener Untervektorraum. Wegen f ≠ 0 gibt es ein 0 ≠ v ∈ H mit f(v) ≠ 0. Damit ist X ≠ H, nach Lemma 12.11 also H = X ⊕X^{⊥} mit X^{⊥} ≠ {0}, d.h. es gibt ein v ∈ X^{⊥} mit ∥v∥ = 1. Setze λ := f(v), dann gilt für alle w ∈ H

f(f(w)v − f(v)w) = f(w)f(v) − f(v)f(w) = 0 ,

also f(w)v − f(v)w ∈ X. Weiter gilt

0 = ⟨\underbrace{v}_{∈X^{⊥}}, \underbrace{f(w)v − f(v)w}_{∈X}⟩ = f(w)∥v∥^{2} − f(v)⟨v, w⟩ ,

also f(w) = λ⟨v, w⟩ = ⟨\overline{λ}v, w⟩ und damit f = j(\overline{λ}v). □

Insbesondere gilt in H′ die Parallelogrammgleichung, so daß H′ mit dem Skalarprodukt aus der Polarisationsformel selbst ein Hilbert-Raum ist. Der Rieszsche Darstellungssatz wird in vielen Konstruktionen benötigt, z.B. bei der Definition des adjungierten Operators.

13 Summierbarkeit und Orthonormalbasen

Wir zeigen, daß jeder Hilbert-Raum H eine Orthogonalbasis besitzt, durch die H ≃ ℓ^{2}(I) für eine geeignete Index-Menge wird. In separablen Hilbert-Räumen (I – abzählbar) kann eine solche konstruiert werden über das Verfahren von Gram-Schmidt. Für den allgemeinen Fall müssen wir zunächst einen allgemeinen Summierbarkeitsbegriff einführen.

Definition 13.1 Sei (X, ∥ ∥) normierter Vektorraum und I ≠ ∅ eine Familie von Indizes. Sei (x_{i})_{i∈I} eine Familie von Elementen aus X. Sei Λ := {J ⊂ I endlich} versehen mit J_{1} ≤ J_{2} ⇔ J_{1} ⊂ J_{2}. Die Familie (x_{i})_{i∈I} heißt summierbar, falls es ein x ∈ X gibt, so daß das Netz der Partialsummen {s_{J}}_{J∈Λ} gegen x konvergent ist, mit s_{J} := ∑_{j∈J} x_{j}.

Anders gesagt ist (x_{i})_{i∈I} summierbar, wenn es zu jedem ϵ > 0 eine endliche Teilmenge J_{ϵ} ⊂ I gibt, so daß für alle endlichen Teilmengen J ⊂ I mit J_{ϵ} ⊂ J gilt |x − ∑_{j∈J} x_{j}| < ϵ. Im folgenden bezeichnet J, J_{0}, …, J_{n}, J_{ϵ}, J′ … immer eine endliche Teilfamilie einer Indexmenge I.

Lemma 13.2 Sei (X, ∥ ∥) ein Banach-Raum.

i) Cauchy-Kriterium: Eine Familie (x_{i})_{i∈I} in X ist genau dann summierbar, wenn es für alle ϵ > 0 ein J_{0} ⊂ I gibt mit ∥ ∑_{j∈J′} x_{j}∥ < ϵ für alle J′ ⊂ I mit J′ ∩ J_{0} = ∅.

ii) Die Familie (x_{i})_{i∈I} ist summierbar zu x genau dann, wenn höchstens abzählbar viele x_{j} ungleich 0 sind und wenn für jede Abzählung x_{1}, x_{2}, … dieser x_{j} ≠ 0 gilt lim_{N→∞} ∑_{n=1}^{N} x_{n} = x.

Beweis. Sei (x_{i})_{i∈I} summierbar zu x. Zu ϵ > 0 gibt es ein J_{0} mit ∥x−∑_{j∈J_{1}} x_{j}∥ < \frac{ϵ}{2} für alle J_{1} ⊃ J_{0}. Dann gilt für alle J′ ⊂ I mit J′ ∩ J_{0} = ∅

∥ ∑_{j∈J′} x_{j}∥ = ∥ ∑_{j∈J′∪J_{0}} x_{j} − ∑_{j∈J_{0}} x_{j}∥ ≤ ∥ ∑_{j∈J′∪J_{0}} x_{j} − x∥ + ∥x − ∑_{j∈J_{0}} x_{j}∥ < ϵ .

Umgekehrt gilt für beliebige I ⊃ J_{1}, J_{2} ⊃ J_{0}:

∥ ∑_{j∈J_{1}} x_{j} − ∑_{j∈J_{2}} x_{j}∥ = ∥ ∑_{j∈J_{1}\J_{0}} x_{j} − ∑_{j∈J_{2}\J_{0}} x_{j}∥ < 2ϵ .

Somit bilden die Partialsummen ( ∑_{j∈J} x_{j})_{J⊃J_{0}} ein Cauchy-Netz, welches wegen der Vollständigkeit von X gegen ein x ∈ X konvergiert.

ii) Zu jedem n ∈ ℕ \ {0} gibt es ein J_{n} ⊂ I, so daß für alle J ⊂ I mit J ∩ J_{n} = ∅ gilt: ∥ ∑_{j∈J} x_{j}∥ < \frac{1}{n}. Insbesondere ist ∥x_{i}∥ < \frac{1}{n} für alle i ∉ J_{n}. Sei I_{0} := ⋃_{n=1}^{∞} J_{n}, dann ist I_{0} abzählbar, und für i ∉ I_{0} gilt ∥x_{i}∥ < \frac{1}{n} für alle n, also x_{i} = 0.

Wir können I = I_{0} abzählbar annehmen. Sei {J_{n}}_{n=1}^{∞} eine beliebige Familie endlicher Teilmengen von I_{0} mit J_{n} ⊂ J_{n+1} und I_{0} = ⋃_{n=1}^{∞} J_{n}. Nach Definition der Summierbarkeit gibt es zu ϵ > 0 ein J_{0} ⊂ I_{0} mit ∥x − ∑_{j∈J} ∥ < ϵ für alle J ⊃ J_{0}. Da J_{0} endlich ist, gilt J_{0} ⊂ J_{N} für ein N ∈ ℕ. Also ist ∥x − ∑_{j∈J_{N}} ∥ < ϵ, und damit die Summe unabhängig von der Anordnung der Elemente.

Die Umkehrung von ii) ist klar. □

Beispiel 13.3 Die alternierende harmonische Reihe (\frac{(−1)^{n}}{n+1} )_{n∈ℕ} ist nicht summierbar. ◁

Absolute Summierbarkeit ist hinreichend:

Lemma 13.4 Sei (X, ∥ ∥) Banach-Raum. Ist (∥x_{i}∥)_{i∈I} summierbar in ℝ, so ist (x_{i})_{i∈I} summierbar in X, und es gilt ∥ ∑_{i∈I} x_{i}∥ ≤ ∑_{i∈I} ∥x_{i}∥.

Beweis. Zu ϵ > 0 gibt es ein J_{0} ⊂ I, so daß für alle J′ ∈ I mit J′ ∩ J_{0} = ∅ gilt ∑_{j∈J′} ∥x_{j}∥ < ϵ. Da es endliche Summen sind, gilt ∥ ∑_{j∈J′} x_{j}∥ ≤ ∑_{j∈J′} ∥x_{j}∥ < ϵ, d.h. (x_{i})_{i∈I} ist summierbar nach Lemma 13.2.i). Damit können wir nach Lemma 13.2.ii) eine Abzählung wählen, und die verallgemeinerte Dreiecksungleichung folgt dann wie üblich. □

Definition 13.5 Sei H ein (Prä-)Hilbert-Raum. Eine Familie (v_{i})_{i∈I} heißt Orthogonalsystem, falls v_{i} ⊥ v_{i′} für alle i, i′ ∈ I mit i ≠ i′, und Orthonormalsystem (ONS), falls zusätzlich ∥v_{i}∥ = 1.

Für Orthogonalsysteme in Hilbert-Räumen gilt die Umkehrung von Lemma 13.4:

Lemma 13.6 Sei H ein Hilbert-Raum und v_{i} ∈ H.

i) Ist (v_{i})_{i∈I} summierbar zu v, so folgt ⟨w, v⟩ = ∑_{i∈I}⟨w, v_{i}⟩ für alle w ∈ H.

ii) Pythagoras: Ist (v_{i})_{i∈I} ein Orthogonalsystem, so ist (v_{i})_{i∈I} genau dann in H summierbar, wenn (∥v_{i}|^{2})_{i∈I} in ℝ summierbar ist, und es gilt ∥ ∑_{i∈I} v_{i}∥^{2} = ∑_{i∈I} ∥v_{i}∥^{2}.

Beweis. i) Für eine beliebige Abzählung der v_{i} ≠ 0 konvergiert nach Lemma 13.2 die Folge ihrer Partialsummen gegen v. Das Skalarprodukt ist stetig, so daß Grenzwert und Skalarprodukt vertauschen.

ii) Wegen der Orthogonalität gilt ∥ ∑_{j∈J′} v_{j}∥^{2} = ∑_{j∈J′} ∥v_{i}∥^{2} für alle endlichen Teilmengen J′ ⊂ I. Sind ϵ, J_{0} gegeben, dann gilt für alle J′ mit J′ ∩ J_{0}:

(∥v_{i}∥^{2})_{i∈I} summierbar ⇔ ∑_{j∈J′} ∥v_{i}∥^{2} = ∥ ∑_{j∈J′} v_{j}∥^{2} < ϵ^{2} ⇔ (v_{i})_{i∈I} summierbar .

Schließlich folgt für v = ∑_{i∈I} v_{i} die Gleichung ⟨v, v⟩ = ∑_{i∈I}⟨v_{i}, v⟩ = ∑_{i,i′∈I}⟨v_{i}, v_{i′}⟩ = ∑_{i∈I}⟨v_{i}, v_{i}⟩. □

Satz 13.7 Für ein ONS (v_{i})_{i∈I} in einem Hilbert-Raum H gilt:

i) Besselsche Ungleichung: ∑_{i∈I} |⟨v_{i}, v⟩|^{2} ≤ ∥v∥^{2} für alle v ∈ H.

ii) Parsevalsche Gleichung: ∑_{i∈I} |⟨v_{i}, v⟩|^{2} = ∥v∥^{2} genau dann, wenn v =

∑_{i∈I}⟨v_{i}, v⟩v_{i}.

Beweis. Für alle endlichen Teilmengen J ⊂ I gilt

0 ≤ ∥v − ∑_{j∈J}⟨v_{j}, v⟩v_{j}∥^{2} = ∥v∥^{2} − ∑_{j∈J} |⟨v_{j}, v⟩|^{2} .

Damit existiert s := sup_{J⊂I} ∑_{j∈J} |⟨v_{j}, v⟩|^{2} ≤ ∥v∥^{2}, und (|⟨v_{i}, v⟩|^{2})_{i∈I} ist in ℝ summierbar zu s, wobei wegen s ≤ ∥v∥^{2} die Besselsche Ungleichung gilt. Gilt in der Besselschen Ungleichung Gleichheit, so folgt v = ∑_{i∈I}⟨v_{i}, v⟩v_{i}. □

Es wird nicht behauptet, daß das ONS (v_{i})_{i∈I} summierbar ist (was auch nicht gilt)! Dennoch sind (|⟨v_{i}, v⟩|^{2})_{i∈I} summierbar in ℝ und (⟨v_{i}, v⟩v_{i})_{i∈I} summierbar in H, und zwar für alle v ∈ H.

Satz/Definition 13.8 (Orthonormalbasis) Für ein ONS (v_{i})_{i∈I} in einem Hilbert-Raum H sind äquivalent:

i) (v_{i})_{i∈I} ist maximal, d.h. für jedes ONS (w_{i})_{i∈I}, welches (v_{i})_{i∈I} enthält, gilt (v_{i})_{i∈I} = (w_{i})_{i∈I} als Mengen.

ii) Gilt v ⊥ v_{i} für alle v ∈ X, so folgt v = 0.

iii) H = \overline{span\{v_{i} : i ∈ I\}} (Norm-Abschluß).

iv) Die Abbildung T : ℓ^{2}(I) ∋ (x_{i})_{i∈I} ↦ ∑_{i∈I} x_{i}v_{i} ∈ H ist ein isometrischer Isomorphismus mit Umkehrabbildung T^{−1}(v) = (⟨v_{i}, v⟩)_{i∈I}.

v) Für alle v ∈ H gilt v = ∑_{i∈I}⟨v_{i}, v⟩v_{i} (Fourier-Entwicklung).

vi) Für alle v, w ∈ H gilt ⟨v, w⟩ = ∑_{i∈I}⟨v, v_{i}⟩⟨v_{i}, w⟩.

vii) Für alle v ∈ H gilt ∥v∥^{2} = ∑_{i∈I} |⟨v_{i}, v⟩|^{2} (Parsevalsche Gleichung).

Ein ONS (v_{i})_{i∈I}, das eine (und damit alle) der Bedingungen i)–vii) erfüllt, heißt \underline{Orthonormalbasis} (ONB).

Beweis. i)⇒ii) Wäre v ≠ 0 und v ⊥ v_{i}, so wäre (x_{i})_{i∈I} ⋃\{\frac{v}{∥v∥}\} ein größeres ONS.

ii⇒iii) X := \overline{span\{v_{i} : i ∈ I\}} ist abgeschlossener Untervektorraum von H. Wäre X ≠ H, dann H = X ⊕ X^{⊥} mit X^{⊥} ≠ {0}. Somit gibt es ein 0 ≠ v ∈ X^{⊥} ⊂ H mit v ⊥ v_{i} für alle i ∈ I, im Widerspruch zu ii).

iii⇒iv) Nach Lemma 13.6.ii) ist (x_{i}v_{i})_{i∈I} in H summierbar genau dann, wenn (∥x_{i}v_{i}∥^{2})_{i∈I} in ℝ summierbar ist, d.h. wenn x ∈ ℓ^{2}(I) wegen ∥x_{i}x_{i}∥^{2} = |x_{i}|^{2}. Die Isometrie von T ist dann Lemma 13.6.ii) (Pythagoras). Es gilt span{v_{i} : i ∈ I} ⊂ T (ℓ^{2}(I)) ⊂ H, also ist T (ℓ^{2}(I)) dicht in H. Weiter gilt ℓ^{2}(I) = L^{2}(I, μ) für das Zählmaß μ, also ist ℓ^{2}(I) vollständig. Dann ist auch T (ℓ^{2}(I)) vollständig, insbesondere Norm-abgeschlossen, somit gleich H.

iv⇒v) Jedes v ∈ H besitzt eine eindeutige Darstellung v = ∑_{i∈I} x_{i}v_{i} mit (x_{i})_{i∈I} ∈ ℓ^{2}(I). Nach Lemma 13.6.i) gilt ⟨v_{j}, v⟩ = ∑_{i∈I} x_{i}⟨v_{j}, v_{i}⟩ = x_{j}. Insbesondere ist T^{−1}(v) = (⟨v_{i}, v⟩)_{i∈I}.

v⇒vi) Sei v = ∑_{i∈I}⟨v_{i}, v⟩v_{i} und w = ∑_{i′∈I}⟨v_{i′}, w⟩v_{i′}, dann gilt nach Lemma 13.6.i): ⟨v, w⟩ = ∑_{i,i′∈I} \overline{⟨v_{i}, v⟩}⟨v_{i′}, w⟩⟨v_{i}, v′_{i}⟩ = ∑_{i∈I}⟨v, v_{i}⟩⟨v_{i}, w⟩.

vi⇒vii) setze w = v.

vii⇒i) Existenz eines weiteren v ∈ H mit ∥v∥ = 1 und v ⊥ v_{i} für alle i ist im Widerspruch zu vii). □

Folgerung 13.9 Jeder Hilbert-Raum H ≠ {0} besitzt eine Orthonormalbasis.

Beweis. Die nichtleere Menge B der ONS in H ist geordnet. Sei K eine Kette, dann ist S := ⋃_{B⊂K} B eine obere Schranke von K. Nach dem Lemma 3.2 von Zorn besitzt B ein maximales Element, nach Satz/Definition 13.8.i) ist dieses eine ONB. □

Folgerung 13.10 Jeder Hilbert-Raum H ≠ {0} ist isometrisch isomorph zu ℓ^{2}(I) für eine geeignete Index-Menge I.

Beweis. Satz/Definition 13.8.iv) und Folgerung 13.9. □

Sei H separabel (in der Norm-Topologie), d.h. es gibt (nach Lemma 4.20) eine abzählbare Teilmenge A = \{x_{n} : n ∈ ℕ\} ⊂ H mit H = \overline{span(x_{n} : n ∈ ℕ\}}. Durch Entfernen überflüssiger Elemente kann (x_{n})_{n∈ℕ} als linear unabhängig angenommen werden. Das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt überführt (x_{n})_{n∈ℕ} dann in ein ONS (v_{n})_{n∈ℕ} mit H = \overline{span(v_{n} : n ∈ ℕ\}}. Nach Satz/Definition 13.8 ist dann (v_{n})_{n∈ℕ} eine ONB. Somit besitzt jeder separable Hilbert-Raum eine abzählbare ONB und ist isometrisch isomorph zum Hilbertschen Folgenraum ℓ^{2}(ℕ).

Satz 13.11 (Gram-Schmidt) Sei H ein (Prä-)Hilbert-Raum und (x_{n})_{n∈ℕ} eine linear unabhängige Familie von Vektoren. Dann gibt es ein ONS (v_{n})_{n∈ℕ} mit span{x_{n} : n ∈ ℕ} = span{v_{n} : n ∈ ℕ}.

Beweis. Aus der linearen Unabhängigkeit folgt x_{n} ≠ 0 für alle n. Setze v_{0} := \frac{x_{0}}{∥x_{0}∥} und konstruiere v_{n} per Induktion. Seien v_{0}, …, v_{k} bereits konstruiert, mit ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = δ_{ij} und span(x_{0}, …, x_{k}) = span(v_{0}, …, v_{k}). Setze ṽ_{k+1} := x_{k+1} − ∑_{j=0}^{k}⟨v_{k}, x_{k+1}⟩v_{k}. Dann ist ṽ_{k+1} ≠ 0, denn ansonsten wäre x_{k+1} ∈ span(v_{0}, …, v_{k}) = span(x_{0}, …, x_{k}). Nach Konstruktion gilt ṽ_{k+1} ⊥ v_{j} für alle j = 0, …, k. Setze v_{k+1} := \frac{ṽ_{k+1}}{∥ṽ_{k+1}∥}, dann ist (v_{0}, …, v_{k+1}) ein ONS. Nach Basisaustauschsatz (der linearen Algebra) gilt span(v_{0}, …, v_{k+1}) = span(v_{0}, …, v_{k}, ṽ_{k+1}) = span(v_{0}, …, v_{k}, x_{k+1}) = span(x_{0}, …, x_{k+1}). □

Beispiel 13.12 In den Übungen wird gezeigt: L^{2}([0, 2π]) ist separabel, und eine mögliche Orthonormalbasis ist gegeben durch (e_{n})_{n∈ℤ} mit e_{n}(t) = e^{int}. Die Dichtheit der stetigen 2π-periodischen Funktionen in L^{2}([0, 2π]) folgt daraus, daß die Treppenfunktionen dicht in L^{2}([0, 2π]) sind bezüglich ∥ ∥_{2}, und jede Treppenfunktion läßt sich bezüglich ∥ ∥_{2} durch stetige Funktionen approximieren. Die 2π-Periodizität ist für L^{2}([0, 2π]) unerheblich.

Somit gilt für beliebige Funktionen [f] ∈ L^{2}([0, 2π]) die Fourier-Entwicklung f = ∑_{n∈ℤ}⟨e_{n}, f⟩e_{n}, d.h. die Reihe konvergiert in L^{2}([0, 2π]) gegen f und damit fast überall punktweise. In den Übungen wurde als Folgerung des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit gezeigt, daß selbst für stetige 2π-periodische Funktionen die Fourier-Reihe nicht überall punktweise konvergiert. Dagegen gilt: Ist f stetig auf [0, 2π] und stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert die Fourier-Reihe von f sogar gleichmäßig gegen f. ◁

Analog ist auch L^{2}([a, b]) separabel für beliebige a, b ∈ ℝ mit a < b, und durch Translation und Skalierung der Fourier-ONB aus Beispiel 13.12 wird eine ONB in L^{2}([a, b]) erhalten. Es kann aber sinnvollere ONB geben, die sich z.B. durch Orthogonale Polynome ausdrücken:

Beispiel 13.13 i) (\sqrt{n + \frac{1}{2}}P_{n}(t))_{n∈ℕ} ist ONB in L^{2}(] − 1, 1[), dabei sind P_{n}(t) := \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{2} − 1)^{n} die Legendreschen Polynome. Andere wichtige ONB in L^{2}(] − 1, 1[) sind durch Jacobi-Polynome, Tschebyschew-Polynome und Gebenbauer-Polynome definiert.

ii) (e^{− \frac{t}{2}} L_{n}(t))_{n∈ℕ} ist ONB in L^{2}(]0, ∞[), dabei sind L_{n}(t) := \frac{1}{n!}e^{t} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (t^{n}e^{−t}) die Laguerreschen Polynome. Die zugeordneten Laguerre-Polynome definieren eine andere wichtige ONB in L^{2}(]0, ∞[).

iii) (\frac{1}{\sqrt{2^{n}\sqrt{π}n!}}e^{− \frac{t^{2}}{2}} H_{n}(t))_{n∈ℕ} ist ONB in L^{2}(ℝ), dabei sind H_{n}(t) :=

(−1)^{n}e^{t^{2}} \frac{d^{n}}{dt^{n}} (e^{−t^{2}}) die Hermiteschen Polynome. Diese ONB entstehen als Lösungen von Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Vereinfacht gesagt definieren diese Differentialgleichungen einen selbstadjungierten Operator T : H → H, für den es ein Eigenwertproblem gibt. Die zugehörigen Eigenfunktionen sind orthogonal und bilden damit die ONB. ◁

14 Operatoren auf Hilbert-Räumen

Sei H ein Hilbert-Raum. Wir nennen eine lineare stetige Abbildung A ∈ L(H) := L(H, H) einen linearen stetigen Operator auf H, meistens nur “Operator”. Unser Ziel ist die Konstruktion des zu A adjungierten Operators A^{∗}. Wir betrachten die allgemeinere Situation A ∈ L(H_{1}, H_{2}).

Satz/Definition 14.1 Seien H_{1}, H_{2} Hilbert-Räume und A ∈ L(H_{1}, H_{2}). Dann gibt es genau ein A^{∗} ∈ L(H_{2}, H_{1}), so daß für alle v ∈ H_{1} und w ∈ H_{2} gilt:

⟨w, Av⟩ = ⟨A^{∗}w, v⟩  (*)

Diese durch (*) eindeutig bestimmte lineare stetige Abbildung A^{∗} ∈ L(H_{2}, H_{1}) heißt der zu A adjungierte Operator. Es gilt ∥A^{∗}∥ = ∥A∥.

Beweis. Aus der Stetigkeit der Abbildung v ↦ Av und der Stetigkeit des Skalarprodukts folgt, daß für alle w ∈ H_{2} das lineare Funktional f(v) := ⟨w, Av⟩_{H_{2}} auf H_{1} stetig ist. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert genau ein Element A^{∗}w ∈ H_{1} mit ⟨w, Av⟩_{H_{2}} = f(v) = ⟨A^{∗}w, v⟩_{H_{1}}. Ist w = λ_{1}w_{1} + λ_{2}w_{2}, Dann gibt es auch zu w_{1}, w_{2} eindeutig bestimmte Vektoren A^{∗}w_{1}, A^{∗}w_{2} ∈ H_{1} mit ⟨w_{1}, Av⟩_{H_{2}} = ⟨A^{∗}w_{1}, v⟩_{H_{1}} und ⟨w_{2}, Av⟩_{H_{2}} = ⟨A^{∗}w_{2}, v⟩_{H_{1}}. Somit gilt

⟨A^{∗}w, v⟩_{H_{1}} = ⟨w, Av⟩_{H_{2}} = \overline{λ_{1}}⟨w_{1}, Av⟩_{H_{2}}+\overline{λ_{2}}⟨w_{2}, Av⟩_{H_{2}} = ⟨λ_{1}A^{∗}w_{1}+λ_{2}A^{∗}w_{2}, v⟩_{H_{1}} .

Subtrahieren wir ⟨A^{∗}w, v⟩_{H_{1}} und setzen v = λ_{1}A^{∗}w_{1} + λ_{2}A^{∗}w_{2} − A^{∗}w, so folgt die Linearität von A^{∗} : H_{2} → H_{1}. Für die Operatornormen gilt mit ∥w∥_{H_{2}} ≤ 1 und Cauchy-Schwarz

∥A^{∗}w∥_{H_{1}}^{2} = ⟨A^{∗}w, A^{∗}w⟩_{H_{1}} = ⟨w, AA^{∗}w⟩_{H_{2}} ≤ ∥w∥_{H_{2}}∥AA^{∗}w∥_{H_{2}} ≤ ∥A∥∥A^{∗}w∥_{H_{1}} ,

also ∥A^{∗}∥ ≤ ∥A∥. Durch analoge Abschätzung von ∥Aw∥_{H_{2}} beweist man die Umkehrung ∥A^{∗}∥ ≤ ∥A∥. Damit ist A^{∗} stetig. □

Einige offensichtiche Konsequenzen sind:

i) Seien A, A_{1}, A_{2} ∈ L(H_{1}, H_{2}) und λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝕂, dann gilt

(λ_{1}A_{1} + λ_{2}A_{2})^{∗} = \overline{λ_{1}}A_{1}^{∗} + \overline{λ_{2}}A_{2}^{∗} , (A^{∗})^{∗} = A .

ii) Ist H_{3} ein weiterer Hilbert-Raum und A ∈ L(H_{1}, H_{2}), B ∈ L(H_{2}, H_{3}), dann gilt (BA)^{∗} = A^{∗}B^{∗} ∈ L(H_{3}, H_{1}). Dabei ist AB := A ∘ B, und es

gilt ∥AB∥ ≤ ∥A∥ ∥B∥.

Weniger offensichtlich ist:

Satz 14.2 Seien H_{1}, H_{2} Hilbert-Räume und A ∈ L(H_{1}, H_{2}). Dann gilt:

i) ∥A^{∗}A∥ = ∥A∥^{2} (C^{∗}-Eigenschaft)
ii) ker A = (im A^{∗})^{⊥}
iii) ker A^{∗} = (im A)^{⊥}

Dabei bezeichent im A ⊂ H_{2} das Bild von A ∈ L(H_{1}, H_{2}).

Beweis. i) Nach Dreiecksungleichung gilt ∥A^{∗}A∥ ≤ ∥A^{∗}∥∥A∥ = ∥A∥^{2}. Für die Umkehrung gilt mit Cauchy-Schwarz

∥Av∥^{2} = ⟨Av, Av⟩ = ⟨A^{∗}Av, v⟩ ≤ ∥A^{∗}Av∥ ∥v∥ ≤ ∥A^{∗}A∥ ∥v∥^{2}

und dann ∥A∥ = sup_{v∈B_{H_{1}}} ∥Av∥ ≤ \sqrt{∥A^{∗}A∥}.

ii) Sei v ∈ H_{1} mit Av = 0. Für alle w ∈ H_{2} gilt 0 = ⟨w, Av⟩ = ⟨A^{∗}w, v⟩, also ker A ⊂ (im A^{∗})^{⊥}. Sei umgekehrt v ∈ (im A^{∗})^{⊥}, d.h. für alle w ∈ H_{2} gilt 0 = ⟨A^{∗}w, v⟩. Dann folgt ⟨w, Av⟩ = 0 für alle w ∈ H_{2}, insbesondere für w = Av, somit Av = 0.

iii) aus A^{∗∗} = A. □

Lemma 14.3 Sei H Hilbert-Raum und X ⊂ H Untervektorrraum. Dann gilt X̄ = (X^{⊥})^{⊥} =: X^{⊥⊥}.

Beweis. Sei w ∈ X^{⊥} und v ∈ X̄. Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein v_{ϵ} ∈ X mit ∥v − v_{ϵ}∥ < ϵ. Dann folgt |⟨v, w⟩| = |⟨v − v_{ϵ}, w⟩| ≤ ϵ∥w∥, also auch w ∈ X̄^{⊥}. Somit X̄^{⊥} = X^{⊥}. Nach Lemma 12.11 gilt: X^{⊥} ist abgeschlossen, und H = X^{⊥} ⊕ X^{⊥⊥}. Andererseits ist H = X̄^{⊥} ⊕ X̄, und aus der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt die Behauptung. □

Folgerung 14.4 Für A ∈ L(H_{1}, H_{2}) gilt \overline{im A} = (ker A^{∗})^{⊥} und \overline{im A^{∗}} = (ker A)^{⊥}. □

Folgerung 14.5 A ∈ L(H_{1}, H_{2}) injektiv ⇔ \overline{im A^{∗}} ⊂ H dicht. □

Die folgenden Definitionen besonderer Operatoren sind von großer Bedeutung.

Definition 14.6 Sei H Hilbert-Raum und A, N, E, P ∈ L(H). Mit 1_{H} ∈ L(H) werde der identische Operator bezeichnet, 1_{H}v = v für alle v ∈ H.

i) A heißt selbstadjungiert (oder hermitesch), falls A = A^{∗}.

ii) N heißt normal, falls N^{∗}N = NN^{∗}.

iii) E heißt idempotent, falls E^{2} = E.

iv) P heißt (Orthogonal-)Projektor oder (orthogonale) Projektion, falls P = P^{2} = P^{∗}.

Seien H_{1}, H_{2} Hilbert-Räume und U, S ∈ L(H_{1}, H_{2}).

vi) U heißt unitär, falls U^{∗}U = 1_{H_{1}} und UU^{∗} = 1_{H_{2}}.

vii) S heißt isometrisch oder Isometrie, falls S^{∗}S = 1_{H_{1}}.

viii) S heißt partielle Isometrie, falls S^{∗}S ∈ L(H_{1}) Projektor ist.

Einige offensichtliche Konsequenzen sind:

i) Jeder selbstadjungierte Operator (somit jeder Projektor) ist normal.

ii) Für jeden Operator B ∈ L(H_{1}, H_{2}) ist B^{∗}B ∈ L(H_{1}) selbstadjungiert. Für B ∈ L(H) ist B + B^{∗} selbstadjungiert. iii) Ist H komplexer Hilbert-Raum, dann besitzt jeder Operator B ∈ L(H) eine eindeutige Zerlegung B = A_{1}+iA_{2} mit A_{1}, A_{2} selbstadjungiert: Setze A_{1} := \frac{1}{2}(B + B^{∗}) und A_{2} := \frac{1}{2i}(B − B^{∗}).

iv) Jeder unitäre Operator ist isometrisch.

v) Ist U ∈ L(H) unitär, so ist U auch normal.

Lemma 14.7 i) S ∈ L(H_{1}, H_{2}) ist genau dann Isometrie, wenn ⟨Sv_{1}, Sv_{2}⟩_{H_{2}} = ⟨v_{1}, v_{2}⟩_{H_{1}} für alle v_{1}, v_{2} ∈ H_{1}, bzw. wenn ∥Sv∥ = ∥v∥

für alle v ∈ H_{1}.

ii) U ∈ L(H_{1}, H_{2}) ist genau dann unitär, wenn U \underline{surjektiv} ist und ⟨Uv_{1}, Uv_{2}⟩_{H_{2}} = ⟨v_{1}, v_{2}⟩_{H_{1}} für alle v_{1}, v_{2} ∈ H_{1}, bzw. wenn U surjektiv

ist und ∥Uv∥ = ∥v∥ für alle v ∈ H_{1}.

iii) A ∈ L(H) ist genau dann selbstadjungiert, wenn ⟨Av_{1}, v_{2}⟩ = ⟨v_{1}, Av_{2}⟩

für alle v_{1}, v_{2} ∈ H.

iv) N ∈ L(H) ist genau dann normal, wenn ⟨Av_{1}, Av_{2}⟩ = ⟨A^{∗}v_{1}, A^{∗}v_{2}⟩ für

alle v_{1}, v_{2} ∈ H.

Beweis. i) (⇒) ist klar. Gilt umgekehrt ⟨v_{1}, v_{2}⟩_{H_{1}} = ⟨Sv_{1}, Sv_{2}⟩_{H_{2}} = ⟨S^{∗}Sv_{1}, v_{2}⟩_{H_{1}} für alle v_{1}, v_{2} ∈ H_{1}, so folgt ⟨(S^{∗}Sv_{1}−v_{1}), v_{2}⟩_{H_{1}} = 0 für alle v_{2} ∈ H_{1}, insbesondere für v_{2} = S^{∗}Sv_{1}−v_{1}. Damit ist S^{∗}Sv_{1} = v_{1} für alle v_{1} ∈ H_{1}. Die weitere Äquivalenz ergibt sich aus den Polarisationsformeln.

ii) Ist U isometrisch und surjektiv, so ist U bijektiv, und nach dem Satz vom inversen Operator (Folgerung 6.12) ist U^{−1} ∈ L(H_{2}, H_{1}). Für alle v ∈ H_{1} und w ∈ H_{2} gilt

⟨v, U^{−1}w⟩_{H_{1}} = ⟨Uv, UU^{−1}w⟩_{H_{2}} = ⟨Uv, w⟩_{H_{2}} = ⟨v, U^{∗}w⟩_{H_{1}} .

also U^{−1} = U^{∗}. Ist umgekehrt UU^{∗} = 1_{H_{2}}, dann ist w = U(U^{∗}w) für alle w ∈ H_{2}, also U surjektiv.

iii) (⇒) ist klar. Gilt umgekehrt ⟨v_{1}, Av_{2}⟩ = ⟨Av_{1}, v_{2}⟩ für alle v_{1}, v_{2} ∈ H_{1}, so folgt ⟨(A^{∗}v_{1} − Av_{1}), v_{2}⟩ = 0 für alle v_{2} ∈ H, somit A^{∗} = A. Analog folgt iv). □

In endlich-dimensionalen Vektorräumen ist jede injektive lineare Abbildung auch surjektiv. Im Unendlich-dimensionalen gilt das nicht!

Beispiel 14.8 (einseitiger Shift) Sei H ein separabler unendlichdimensionaler Hilbert-Raum mit Orthonormalbasis (v_{n})_{n∈ℕ}. Der durch Sv_{n} := v_{n+1} für alle n ∈ ℕ und lineare Fortsetzung definierte lineare Operator S : H → H heißt einseitiger Shift. Ist v = ∑_{n=0}^{∞} λ_{n}v_{n}, mit ∥v∥^{2} = ∑_{n=0}^{∞} |λ_{n}|^{2}, dann ist Sv = ∑_{n=0}^{∞} λ_{n}v_{n+1} und damit ∥Sv∥ = ∥v∥ für alle v ∈ H, d.h. S ist Isometrie. Es gilt ⟨S^{∗}v_{n}, v_{m}⟩ = ⟨v_{n}, Sv_{m}⟩ = δ_{m,n+1}, also S^{∗}v_{n} = v_{n−1} für n ≥ 1 und S^{∗}v_{0} = 0. Damit ist ker S^{∗} = 𝕂v_{0}, und nach Satz 14.2.iii) folgt (im S)^{⊥} = 𝕂v_{0}. Somit ist S nicht surjektiv, also auch nicht unitär.

Sei jetzt P ∈ L(H) definiert durch P v = ⟨v_{0}, v⟩v_{0}. Dann ist P^{2} = P, außerdem gilt für beliebige v, w ∈ H

⟨w, P v⟩ = ⟨w, ⟨v_{0}, v⟩v_{0}⟩ = ⟨w, v_{0}⟩⟨v_{0}, v⟩ = ⟨⟨v_{0}, w⟩v_{0}, v⟩

und damit P = P^{∗} nach Lemma 14.7.iii), d.h. P ist Projektor. Dann ist auch 1_{H} − P Projektor (Übungen), und es gilt SS^{∗} = 1_{H} − P. Wegen SS^{∗} = (S^{∗})^{∗}S^{∗} ist S^{∗} eine partielle Isometrie. ◁

Lemma 14.9 Sei P ∈ L(H) Projektor. Dann gilt:

i) P = 0 oder ∥P ∥ = 1

ii) im P = ker(1_{H} − P), insbesondere ist im P abgeschlossen.

iii) H = im P ⊕ ker P.

Beweis. i) folgt aus ∥P ∥ = ∥P^{2}∥ = ∥P^{∗}P ∥ = ∥P ∥^{2}.

ii) Sei w ∈ im P, also w = P v für ein v ∈ H. Dann gilt (1_{H} − P)w = (P − P^{2})v = 0, also im P ⊂ ker(1_{H} − P). Ist umgekehrt (1_{H} − P)w = 0, dann w = P w ∈ im P.

iii) H = ker P ⊕ (ker P)^{⊥} = ker P ⊕ \overline{im P^{∗}} = ker P ⊕ im P. □

Bemerkung 14.10 Sei S ∈ L(H_{1}, H_{2}) eine partielle Isometrie, d.h. S^{∗}S = P für eine Projektion P ∈ L(H_{1}). Ist v ∈ im P, dann ist P v = v und damit S^{∗}Sv = v für alle v ∈ im P = (ker P)^{⊥} = im S^{∗}. Somit ist im S^{∗} abgeschlossen und dann (ker S)^{⊥} = im S^{∗} = (ker P)^{⊥} nach Satz 14.2.ii) und Lemma 14.3. Dadurch erklärt sich die Bezeichnung “partielle Isometrie”: Die Einschränkung von S auf (ker S)^{⊥} ist eine Isometrie. Der Untervektorraum (ker S)^{⊥} ist abgeschlossen in H, damit vollständig. Wegen ∥Sv∥ = ∥v∥ für alle v ∈ (ker S)^{⊥} ist dann auch im(S) vollständig, somit abgeschlossen. Damit ist S : (ker S)^{⊥} → im S = \overline{im S} = (ker S^{∗})^{⊥} surjektiv, also (in diesen Einschränkungen) unitär, und S^{∗} ist die inverse Abbildung S^{∗} : (ker S^{∗})^{⊥} → im S^{∗} = (ker S)^{⊥}. Somit ist auch SS^{∗} = id_{(ker S^{∗})^{⊥}}, d.h. auch SS^{∗} ist eine partielle Isometrie.

Wir diskutieren nun selbstadjungierte Operatoren. Unser Ziel ist zu zeigen:

Satz 14.11 In einem komplexen Hilbert-Raum H ist A ∈ L(H) genau dann selbstadjungiert, wenn ⟨v, Av⟩ reell ist für alle v ∈ H.

Beweis. (⇒) ⟨v, Av⟩ = ⟨Av, v⟩ = \overline{⟨v, Av⟩}.

(⇐) ⟨v, Av⟩ = \overline{⟨v, Av⟩} = ⟨Av, v⟩ = ⟨v, A^{∗}v⟩, also ⟨v, (A − A^{∗})v⟩ = 0 für alle v ∈ H. Die Behauptung folgt dann aus den folgenden beiden Lemmata von eigenem Interesse. □

Lemma 14.12 Es sei H ein Hilbert-Raum, A ∈ L(H_{1}, H_{2}) und v ∈ H_{1} sowie w ∈ H_{2}. Dann gilt

i) |⟨w, Av⟩| ≤ ∥A∥∥w∥∥v∥.

ii) Ist |⟨w, Av⟩| ≤ c∥w∥∥v∥ für alle v ∈ H_{1} und w ∈ H_{2}, dann ist ∥A∥ ≤ c.

iii) ∥A∥ = sup{|⟨w, Av⟩| : v ∈ B_{H_{1}} , w ∈ B_{H_{2}}}.

Beweis. i) folgt aus Cauchy-Schwarz und der Definition der Operatornorm.

ii) Es gilt ∥Av∥^{2} = ⟨Av, Av⟩ ≤ c∥Av∥∥v∥ ≤ c∥A∥∥v∥^{2} und damit ∥A∥ :=

sup_{v∈B_{H_{1}}} ∥Av∥ ≤ \sqrt{c∥A∥}.

iii) Insbesondere gilt ii) auch für ∥v∥ = 1 = ∥w∥, d.h. ist |⟨v, Aw⟩| ≤ c für alle v ∈ B_{H_{1}} und w ∈ B_{H_{2}}, dann ist ∥A∥_{op} ≤ c. Das ist erfüllt für c := sup{|⟨w, Av⟩| : v ∈ B_{H_{1}} , w ∈ B_{H_{2}}}. Die Umkehrung c ≤ ∥A∥ folgt aus i). □

Lemma 14.13 Gilt in einem komplexen Hilbert-Raum ⟨v, Av⟩ = 0 für alle v ∈ H, so folgt A = 0.

Beweis. Wir zeigen, daß dann auch ⟨v, Aw⟩ = 0 für alle v, w ∈ H gilt. Nach Lemma 14.12 ist dann ∥A∥ = 0, also A = 0. Zunächst gilt

0 = ⟨v + w, A(v + w)⟩ − ⟨v − w, A(v − w)⟩ = 2⟨v, Aw⟩ + 2⟨w, Av⟩ .

Ersetzung von v ↦ iv liefert 0 = −2i⟨v, Aw⟩ + 2i⟨w, Av⟩ für alle v, w ∈ H und damit A = 0. □

Damit ist Satz 14.11 bewiesen. Lemma 14.13 wäre falsch in reellen Hilbert-Räumen! Für selbstadjungierte Operatoren vereinfacht sich Lemma 14.12 wie folgt:

Satz 14.14 Ist A ∈ L(H) selbstadjungiert, dann gilt ∥A∥ = sup_{v∈B_{H}} |⟨v, Av⟩|.

Beweis. Es sei a := sup_{v∈B_{H}} |⟨v, Av⟩|. Dann gilt |⟨v, Av⟩| ≤ a∥v∥^{2} für alle v ∈ H. Nach Lemma 14.12 ist a ≤ ∥A∥. Wegen

⟨(v + w), A(v + w)⟩ − ⟨(v − w), A(v − w)⟩ = 2⟨v, Aw⟩ + 2⟨w, Av⟩ = 4Re(⟨w, Av⟩)

gilt mit der Parallelogrammgleichung für alle v, w ∈ H

4Re|⟨w, Av⟩| ≤ |⟨(v + w), A(v + w)⟩| + |⟨(v − w), A(v − w)⟩|
≤ a(∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2}) = 2a(∥v∥^{2} + ∥w∥^{2})

und damit sup_{v,w∈B_{H}} Re|⟨w, Av⟩| ≤ a. Für 𝕂 = ℝ ist das wegen Lemma 14.12.iii) die Behauptung. Für 𝕂 = ℂ können wir durch Drehung w ↦ e^{iα}w stets ⟨w, Av⟩ ∈ ℝ erreichen, so daß die Behauptung wieder aus Lemma 14.12.iii) folgt. □

Definition 14.15 Ein Operator A ∈ L(H) heißt positiv, geschrieben A ≥ 0, falls ⟨v, Av⟩ ≥ 0 für alle v ∈ H. Für selbstadjungierte Operatoren A, B ∈ L(H) schreiben wir A ≥ B, falls A − B ≥ 0.

Insbesondere gilt A = B ⇔ (A ≥ B und B ≥ A). Aus der Definition folgt, daß in einem komplexen Hilbert-Raum jeder positive Operator auch selbstadjungiert ist. Sind A, B positiv und α, β ∈ ℝ_{+}, so ist auch αA + βB ≥ 0. Für alle B ∈ L(H) ist A = B^{∗}B positiv, denn ⟨v, B^{∗}Bv⟩ = ⟨Bv, Bv⟩ ≥ 0 für alle v ∈ H. Insbesondere ist jeder Projektor positiv wegen P = P^{∗}P. Die Ordnungsrelation ≥ aus Definition 14.15 definiert damit eine partielle Ordnung auf der Menge der Projektoren, die viele wichtige Informationen enthält. Zunächst charakterisieren wir Projektoren wie folgt:

Lemma 14.16 Durch X = im P wird eine 1 : 1-Korrespondenz zwischen abgeschlossenen Untervektorräumen X ⊂ H und Projektoren P = P^{∗} = P^{2} ∈ L(H) erklärt.

Beweis. Ist P Projektor, dann ist X = im P abgeschlossener Untervektorraum nach Lemma 14.9.ii). Sei umgekehrt X ⊂ H abgeschlossener Untervektorraum, dann gibt es nach Lemma 12.11 eine eindeutige Zerlegung H = X ⊕ X^{⊥}, d.h. jeder Vektor v ∈ H besitzt eine eindeutige Zerlegung v = v_{1} + v_{2} mit v_{1} ∈ X und v_{2} ∈ X^{⊥}. Definieren wir P v := v_{1}, dann gilt P^{2} = P. Mit der analogen Zerlegung w = w_{1} + w_{2} folgt ⟨w, P v⟩ = ⟨w_{1} + w_{2}, v_{1}⟩ = ⟨w_{1}, v_{1}⟩ = ⟨w_{1}, v_{1} + v_{2}⟩ = ⟨P w, v⟩. Damit ist P selbstadjungiert. □

Satz 14.17 Seien P, Q ∈ L(H) Projektoren und X_{P} , X_{Q} die zugehörigen abgeschlossenen Untervektorräume von H nach Lemma 14.16. Dann sind äquivalent:

i) X_{P} ⊂ X_{Q}
ii) QP = P = P Q
iii) ∥P v∥ ≤ ∥Qv∥ für alle v ∈ H
iv) P ≤ Q

In diesem Fall gilt: Auch Q − P ist Projektor, und zwar auf den Orthogonalraum zu P (H) in Q(H).

Beweis. i)⇒ii) Für alle v ∈ H ist P v ∈ X_{P} ⊂ X_{Q} und damit QP v = P v, also QP = P. Es folgt P = P^{∗} = (QP)^{∗} = P^{∗}Q^{∗} = P Q.

ii)⇒iii) ∥P v∥ = ∥P Qv∥ ≤ ∥P ∥∥Qv∥ ≤ ∥Qv∥.

iii)⇒iv) ⟨v, (Q−P)v⟩ = ⟨v, Qv⟩−⟨v, P v⟩ = ⟨Qv, Qv⟩−⟨P v, P v⟩ = ∥Qv∥^{2} − ∥P v∥^{2} ≥ 0.

iv)⇒i) Für w ⊂ X_{P} gilt ∥w∥^{2} = ⟨w, P w⟩ ≤ ⟨w, Qw⟩ ≤ ∥Qw∥^{2} ≤ ∥w∥^{2}, d.h. sogar ∥Qw∥^{2} = ∥w∥^{2}. Da (1_{H} − Q)w und Qw orthogonal sind, gilt ∥w∥^{2} = ∥((1_{H} −Q)+Q)w∥^{2} = ∥(1_{H} −Q)w∥^{2} +∥Qw∥^{2}, also ∥(1_{H} −Q)w∥^{2} = 0 und damit Qw = w und X_{P} ⊂ X_{Q}.

Auch Q − P ist selbstadjungiert, und aus ii) folgt (Q − P)^{2} = Q^{2} − QP − QP + P^{2} = Q − P. □

Für α ∈ ℝ ist auch α 1_{H} selbstadjungiert, so daß sich selbstadjungierte Operatoren und reelle Zahlen vergleichen lassen. Dabei gilt −∥A∥ ≤ A ≤ ∥A∥. Wir können dann monotone und beschränkte Netze selbstadjungierter Operatoren betrachten:

Satz 14.18 Sei (A_{λ})_{λ∈Λ} ein monotones und beschränktes Netz selbstadjungierter Operatoren A_{λ} ∈ L(H), d.h. es gilt (für monoton wachsend) A_{λ} ≤ A_{μ} für alle λ, μ ∈ Λ mit λ ≤ μ sowie A_{λ} ≤ B für alle λ ∈ Λ. Dann ist (A_{λ})_{λ∈Λ} in der schwachen Operatortopologie konvergent gegen einen selbstadjungierten Operator A ∈ L(H), d.h. für alle v, w ∈ H gilt ⟨w, A_{λ}v⟩ → ⟨w, Av⟩.

Beweis (für monoton wachsend). Für v ∈ H ist das Netz (⟨v, A_{λ}v⟩)_{λ∈Λ} beschränkt in ℝ, besitzt also ein Supremum s. Somit gibt es zu ϵ > 0 ein μ ∈ Λ mit s − ϵ ≤ ⟨v, A_{μ}v⟩ ≤ s. Aus der Monotonie des Netzes folgt: s − ϵ ≤ ⟨v, A_{λ}c⟩ ≤ s für alle λ ≥ μ, d.h. (⟨v, A_{λ}v⟩)_{λ∈Λ} ist konvergent gegen s. Aus den Polarisationsformeln folgt, daß für alle v, w ∈ H das Netz (⟨w, A_{λ}v⟩)_{λ∈Λ} in 𝕂 konvergiert. Da die schwache Operator-Topologie eine Fréchet-Topologie ist, wird durch ⟨w, A_{λ}v⟩ → ⟨w, Av⟩ ein Operator A : H → H erklärt. Ähnlich wie beim Rieszschen Darstellungssatz beweist man die Linearität von A, und die Beschränktheit ist Teil der Voraussetzungen. Analog zur Linearität folgt A = A^{∗}. □

Die Aussage gilt auch in der starken Operatortopologie, benötigt dann aber Beweistechniken, die uns noch nicht zur Verfügung stehen.

Wir wenden diesen Satz auf Projektoren an:

Satz 14.19 Jedes monoton wachsendes Netz (P_{λ})_{λ∈Λ} von Projektoren ist konvergent in der schwachen Operatortopologie, und der Limes P ist wieder Projektor. Es gilt ker P = ⋂_{λ∈Λ} ker P_{λ}.

Beweis. Für jeden Projektor P_{λ} gilt P_{λ} ≤ 1_{H}. Nach Satz 14.18 konvergiert das Netz (P_{λ})_{λ∈Λ} in der schwachen Operatortopologie gegen einen selbstadjungierten positiven und durch 1_{H} beschränkten Operator P ∈ L(H). Das bedeutet insbesondere: Für alle ϵ > 0 und v, w ∈ H gibt es μ ∈ Λ, so daß die drei Abschätzungen

|⟨w, (P − P_{λ})v⟩| < ϵ , |⟨P w, (P − P_{λ})v⟩| < ϵ , |⟨(P − P_{λ})w, P_{λ}v⟩| < ϵ

gelten für alle λ ≥ μ. Es folgt

|⟨w, (P^{2} − P)v⟩| = |⟨w, P (P − P_{λ}) + (P − P_{λ})P_{λ} + (P_{λ} − P))v⟩| < 3ϵ

für alle v, w ∈ H und ϵ > 0. Damit gilt P^{2} = P.

Ist v ∈ ker P, so auch v ∈ ker P_{λ} für alle λ wegen P_{λ} ≤ P. Ist umgekehrt v ∈ ker P_{λ} für alle λ, dann ist ⟨P v, P v⟩ = lim_{λ}⟨P v, P_{λ}v⟩ = 0 und damit v ∈ ker P. □

Der Satz spielt eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von Spektralscharen.

15 Das Spektrum

Die Spektraltheorie verallgemeinert die Theorie der Eigenwertprobleme in endlich-dimensionalen Vektorräumen. Ergebnisse der Spektraltheorie sind von fundamentaler Bedeutung in der Theorie der Operatoralgebren. Uns interessieren vor allem Operatoren auf Hilbert-Räumen. Manche Aussagen gelten sogar allgemeiner auf Banach-Räumen.

Definition 15.1 Sei X ein Banach-Raum und A ∈ L(X) := L(X, X). Eine komplexe Zahl λ ∈ ℂ heißt Spektralwert von A, wenn die lineare stetige Abbildung A − λ1_{X} : X → X nicht bijektiv ist. Die Menge aller Spektralwerte von A heißt das Spektrum von A, bezeichnet mit sp(A). Dabei heißt λ Eigenwert, falls ker(A − λ1_{X}) ≠ {0}, und ein Vektor 0 ≠ v ∈ ker(A − λ1_{X}) heißt Eigenvektor.

Das Komplement R(A) := ℂ \ sp(A) ist die Resolventenmenge von A, und Werte μ ∈ R(A) heißen reguläre Werte von A. Die Funktion R(A) ∋ μ ↦ R_{μ}(A) := (A − μ1_{X}) ∈ L(X) heißt Resolventenfunktion.

Nach dem Satz vom inversen Operator (Folgerung 6.12) ist μ ∈ R(A) genau dann, wenn A − μ1_{X} beideitig beschränkt invertierbar ist.

Jeder Eigenwert ist Spektralwert, insbesondere auch die Eigenwerte quadratischer Matrizen. Es gibt aber auch andere Arten von Spektralwerten:

Beispiel 15.2 i) Sei (Y, μ) ein Maßraum und X = L^{p}(Y, μ). Dann definiert jede stetige beschränkte Funktion f ∈ C_{b}(Y) durch Multiplikation einen linearen beschränkten Operator f : X → X. Das Spektrum von f besteht dann aus den Funktionswerten: Denn ist f(y) = λ für ein y ∈ Y, so gibt es zu f − λ1 keine inverse Funktion. Aber λ ist (außer für f konstant) kein Eigenwert.

ii) Sei H unendlich-dimensionaler separabler Hilbert-Raum mit ONB {v_{n}} und Sv_{n} := v_{n+1} der Shift-Operator. Dann ist 0 Spektralwert, da S nicht surjektiv ist. Dagegen hat S keinen Eigenwert. ◁

Bemerkung 15.3 Man unterscheidet für A ∈ L(X) folgende Spektraltypen:

i) sp_{p}(A) = {λ ∈ 𝕂 : A − λ1_{X} nicht injektiv } heißt Punktspektrum.

ii) sp_{c}(A) = {λ ∈ 𝕂 : A − λ1_{X} injektiv, nicht surjektiv, aber mit dichtem Bild } heißt kontinuierliches Spektrum. iii) sp_{r}(A) = {λ ∈ 𝕂 : A − λ1_{X} injektiv, ohne dichtes Bild } heißt Residu-

alspektrum.

Lemma 15.4 Seien X, Y Banach-Räume, A ∈ L(X, Y) bijektiv und B ∈ L(X, Y) mit ∥A − B∥ < ∥A^{−1}∥^{−1}. Dann ist auch B bijektiv.

Beweis. Nach dem Satz vom inversen Operator ist A^{−1} stetig. Wir betrachten die

Abbildung C := ∑_{n=0}^{∞}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1} : Y → X mit (A^{−1}(A − B))^{0} = 1_{X}. Die

Reihe konvergiert nach dem Cauchy-Kriterium und der Vollständigkeit von X, denn sei ∥A − B∥ ≤ q∥A^{−1}∥^{−1} mit 0 ≤ q < 1, so gilt

∥ ∑_{n=N}^{M}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1}∥ ≤ ∑_{n=N}^{M} ∥(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1}∥

≤ ∑_{n=N}^{M}(∥A^{−1}∥∥A − B∥)^{n}∥A^{−1}∥ ≤ q^{N} \frac{1 − q^{M−N+1}}{1 − q} ∥A^{−1}∥ → 0 .

Weiter gilt

B ∑_{n=0}^{N}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1} = ∑_{n=0}^{N} AA^{−1}(B − A + A)(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1} ,

= A( ∑_{n=0}^{N}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1} − ∑_{n=1}^{N+1}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1})

= 1_{X} − A(A^{−1}(A − B))^{N+1}A^{−1}

( ∑_{n=0}^{N}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1})B = ∑_{n=0}^{N}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1}(B − A + A)A^{−1}A

= ( ∑_{n=0}^{N}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1} − ∑_{n=1}^{N+1}(A^{−1}(A − B))^{n}A^{−1})A

= 1_{X} − (A^{−1}(A − B))^{N+1} .

Für N → ∞ folgt BC = 1_{X} = CB. □

Folgerung 15.5 Für A ∈ L(X) ist die Resolventenmenge R(A) offen, das Spektrum sp(A) abgeschlossen.

Bweis. Ist A − μ_{1}1_{X} bijektiv, also beidseitig beschränkt invertierbar, und ist |μ_{2} − μ_{1}| genügend klein, so ist nach Lemma 15.4 auch A − μ_{2}1_{X} beidseitig beschränkt invertierbar. □

Satz 15.6 Sei X komplexer Banach-Raum und A ∈ L(X). Dann ist sp(A) kompakt, nicht leer, und enthalten in der Kreisscheibe in ℂ mit Mittelpunkt 0 und Radius ∥A∥.

Beweis. Sei |λ| > ∥A∥. Wegen λ ≠ 0 ist B := −λ1_{X} bijektiv mit ∥B^{−1}∥ = |λ|^{−1}. Damit gilt ∥(A − λ1_{X}) − B∥ = ∥A∥ < |λ| = ∥B^{−1}∥^{−1}, und nach Lemma 15.4 ist A − λ1_{X} beschränkt invertierbar, also λ regulärer Wert. Somit ist sp(A) beschränkt (durch ∥A∥), außerdem abgeschlossen nach Folgerung 15.5, d.h. kompakt.

Ist ζ ∈ ℂ regulärer Wert und z ∈ ℂ mit |z − ζ| < ∥(A − ζ1_{X})^{−1}∥^{−1}. Dann ist A − z1_{X} beschränkt invertierbar nach Lemma 15.4, und es gilt R_{z}(A) =

(A − z1_{X})^{−1} = ∑_{n=0}^{∞}(R_{ζ}(A)(z − ζ))^{n}R_{ζ}(A) = ∑_{n=0}^{∞}(R_{ζ}(A))^{n+1}(z − ζ)^{n}. Somit ist die

Resolventenfunktion ζ ↦ R_{ζ}(A) in jedem Punkt ζ ∈ R(A) holomorph (in eine Potenzreihe entwickelbar).

Angenommen, sp(A) wäre leer, die Resolventenfunktion somit eine ganze Funktion (auf ganz ℂ holomorph). Außerhalb der kompakten Kreisscheibe K mit Mittelpunkt 0 und Radius 2∥A∥ ist |R_{ζ}(A)| < \frac{1}{∥A∥}, und auf K ist R_{ζ}(A) beschränkt als stetige Funktion. Somit ist R_{ζ}(A) eine beschränkte ganze Funktion, nach dem Satz von Liouville (der für Potenzreihen mit Koeffizienten aus L(X) genauso gilt wie in ℂ) dann konstant, und wegen lim_{ζ→∞} R_{ζ}(A) = 0 identisch 0. Somit ist auch R_{0}(A) = A^{−1} = 0, Widerspruch. □

Nach dieser allgemeinen Theorie des Spektrums von Operatoren auf Banach-Räumen steuern wir nun auf die besondere Situation für normale Operatoren auf einem Hilbert-Raum zu. Es stellt sich heraus, daß Spektralwerte “nahezu” Eigenwerte sind. Als Vorbereitung dieses Ergebnisses benötigen wir Aussagen zum inversen Operator, die wir allgemein in normierten Vektorräumen zeigen.

Lemma 15.7 Seien X, Y normierte Vektorräume, S : X → Y linear und stetig und T : Y → X linear mit ST = 1_{Y}. Es sei a := inf{∥Sx∥ : x ∈ im(T) , ∥x∥ = 1}. Dann gilt: T ist genau dann stetig, wenn a > 0, und in diesem Fall gilt ∥T ∥ = a^{−1}.

Beweis. Wegen ST = 1_{Y} ist T injektiv, und betrachtet als T : Y → im(T) bijektiv mit Inversem S|_{im(T)}. Es gilt:

∥T ∥ = sup \{\frac{∥T y∥}{∥y∥} : y ∈ Y \ \{0\}\} = sup \{\frac{∥T y∥}{∥ST y∥} : y ∈ Y \ \{0\}\}

= sup \{\frac{∥x∥}{∥Sx∥} : x ∈ im(T) \ \{0\}\}

= sup {(∥Sx∥)^{−1} : x ∈ im(T) , ∥x∥ = 1} = a^{−1} .

Insbesondere ist T unbeschränkt für a = 0. □

Ist S bijektiv, so kann T als Inverses von S angenommen werden, und die Stetigkeits-Bedingung reduziert sich auf a := inf_{x∈B_{X}} ∥Sx∥ > 0 und dann ∥T ∥ = a^{−1}. Hier ist zu beachten, daß der Satz vom inversen Operator (Folgerung 6.12) nicht gilt, wenn X, Y nicht vollständig sind.

Lemma 15.8 Seien H Hilbert-Raum, A ∈ L(H) \underline{normal} und a := inf_{v∈B_{H}} ∥Av∥ > 0. Dann ist A beidseitig beschränkt invertierbar mit ∥A^{−1}∥ = a^{−1}.

Beweis. Für a > 0 ist ker A = {0}, d.h. A : H → im(A) ist bijektiv mit Inversem T : im(A) → H, mit ∥T ∥ = a^{−1}. Ist (v_{n}) Cauchy-Folge in im(A), so ist (T v_{n}) Cauchy-Folge in H, somit konvergent gegen ein w = T v ∈ H mit Aw = v. Damit ist im(A) vollständig, insbesondere abgeschlossen. Angenommen, es gibt ein 0 ≠ v ∈ (im(A))^{⊥} mit ∥v∥ = 1. Dann gilt

0 = ⟨v, AA^{∗}v⟩ = ⟨v, A^{∗}Av⟩ = ∥Av∥^{2} ≥ a^{2} > 0 ,

Widerspruch. Somit ist im(A) = H, und A ist auf ganz H beidseitig beschränkt invertierbar. □

Satz 15.9 Sei H Hilbert-Raum und A ∈ L(H) \underline{normal}. Eine Zahl λ ∈ ℂ ist genau dann Spektralwert, wenn es eine Folge (v_{n}) von Einheitsvektoren in H gibt mit ∥(A − λ1_{H})v_{n}∥ → 0 für n → ∞.

Beweis Mit A ist auch A − λ1_{H} normal. Aus Lemma 15.8 folgt:

λ Spektralwert ⇔ A − λ1_{H} nicht beschränkt invertierbar

⇔ a := inf_{v∈B_{H}} ∥(A − λ1_{H})v∥ = 0

⇔ es gibt (v_{n}) mit den genannten Eigenschaften. □

Theorem 15.10 Sei H Hilbert-Raum und A, P, U ∈ L(H).

i) Ist A = A^{∗} selbstadjungiert, so ist sp(A) eine kompakte Teilmenge des reellen Intervalls [−∥A∥, ∥A∥].

ii) Ist A ≥ 0 positiv, so ist sp(A) eine kompakte Teilmenge des reellen Intervalls [0, ∥A∥].

iii) Ist P = P^{∗} = P^{2} Projektor, so besteht sp(P) ⊂ {0, 1} höchstens aus den Zahlen 0 und 1.

iv) Ist U unitär, so ist sp(U) eine kompakte Teilmenge des Einheitskreises S^{1} ⊂ ℂ.

Ferner gilt (allgemein in L(X)): sp(A^{∗}) = {λ̄ : λ ∈ sp(A)}. Ist A invertierbar, dann gilt sp(A^{−1}) = {λ^{−1} : λ ∈ sp(A)}.

Beweis. In i)–iv) handelt es sich um normale Operatoren, so daß Satz 15.9 anwendbar ist. Die Kompakatheit und Beschränktheit durch ∥A∥ war in Satz 15.6 gezeigt.

i) Ist A selbstadjungiert und λ ∈ sp(A), dann gibt es eine Folge v_{n} von Einheitsvektoren in H mit ∥(A − λ1_{H})v_{n}∥ → 0 für n → ∞. Dann ist aber auch ⟨v_{n}, (A − λ1_{H})v_{n}⟩ = ⟨v_{n}, Av_{n}⟩ − ⟨v_{n}, λv_{n}⟩ → 0, d.h. (⟨v_{n}, Av_{n}⟩) konvergiert gegen λ. Aber ⟨v_{n}, Av_{n}⟩ ist für alle n reell, somit ist λ ∈ ℝ.

ii) Analog wie i), zusätzlich ist ⟨v_{n}, Av_{n}⟩ ≥ 0 und damit λ ≥ 0.

iii) Es gilt ∥P (P −λ1_{H})v_{n}∥ = ∥(1−λ)P v_{n}∥ = ∥(1−λ)(P −λ1_{H} +λ1_{H})v_{n}∥ → 0 für n → ∞, somit ∥(1−λ)λv_{n}∥ → 0. Wegen ∥v_{n}∥ = 1 für alle n muß λ(1−λ) = 0 gelten.

iv) Es gilt 1 = ⟨v_{n}, v_{n}⟩ = ⟨Uv_{n}, Uv_{n}⟩. Die rechte Seite konvergiert gegen |λ|^{2}⟨v_{n}, v_{n}⟩, somit |λ|^{2} = 1.

Ferner ist klar: A−λ1_{X} ist genau dann beschränkt invertierbar, wenn A^{∗}−λ̄1_{X} beschränkt invertierbar ist.

Sei A invertierbar (dann ist 0 regulärer Wert) und λ ≠ 0. Dann gilt A^{−1} − λ^{−1}1_{X} = (λ1_{X} − A)(A^{−1}λ^{−1}). Da A^{−1}λ^{−1} bijektiv ist, gilt: λ^{−1} ∈ sp(A^{−1}) ⇔ λ ∈ sp(A). □

Bemerkung 15.11 Es gelten alle Umkehrungen von Theorem 15.10.i)-iv) in folgendem Sinn: ist A ∈ L(H) mit sp(A) ⊂ ℝ (und H komplexer Hilbert-Raum!), so ist A = A^{∗}. Analog für ii)–iv). Diese Umkehrungen ergeben sich aus dem Spektralsatz für normale Operatoren.

Wir geben nun stetigen Funktionen f(A) selbstadjungierter Operatoren einen Sinn. Eine besonders wichtige Funktion wird die Quadratwurzel positiver Operatoren sein, so daß wir den Betrag eines Operators erklären können als |A| = \sqrt{A^{∗}A}.

Satz 15.12 Sei X komplexer Banach-Raum, A ∈ L(X). Jedes Polynom p = p(t) = ∑_{k=0}^{n} c_{k}t^{k} mit c_{k} ∈ ℂ einer Variablen t defininiert durch p(A) = ∑_{k=0}^{n} c_{k}A^{k}, mit A^{0} := 1_{X}, einen linearen stetigen Operator p(A) ∈ L(X). Es gilt sp(p(A)) = {p(λ) : λ ∈ sp(A)} =: p(sp(A)).

Beweis. p(A) ∈ L(X) ist klar. Sei λ ∈ sp(A). Dann gilt

p(A) − p(λ1_{X}) = ∑_{k=1}^{n} c_{k}(A^{k} − λ^{k}1_{X}) .

Für k ≥ 1 gilt (A^{k}−λ^{k}1_{X}) = ( ∑_{j=0}^{k−1} A^{j}λ^{k−1−j})(A−λ1_{X}), so daß p(A)−p(λ1_{X}) = B(A − λ1_{X}) für ein B ∈ L(X). Nach Voraussetzung ist (A − λ1_{X}) nicht bijektiv, damit ist auch p(A) − p(λ1_{X}) nicht bijektiv, somit p(λ) Spektralwert von p(A).

Sei umgekehrt μ ∈ sp(p(A)). Die Gleichung p(λ) − μ = 0 hat (nach Fundamentalsatz der Algebra) n mit Vielfachheit gezählte Lösungen λ_{1}, …, λ_{n}. Da komplexe Polynome in Linearfaktoren zerfallen, gilt

p(A) − μ1_{X} = c_{n}(A − λ_{1}1_{X})(A − λ_{2}1_{X}) ⋯ (A − λ_{n}1_{X}) .

Da μ Spektralwert von p(A) ist, können nicht alle A−λ_{k}1_{X} bijekiv sein. Also gilt λ_{j} ∈ sp(A) für mindestens ein j ∈ {1, …, n}. Aber μ = p(λ_{j}), d.h. sp(p(A)) ⊂ p(sp(A)). □

Folgerung 15.13 Ist A = A^{∗} ∈ L(H) selbstadjungiert, so ist zumindest eine der Zahlen ∥A∥ oder −∥A∥ Spektralwert.

Beweis. Das ist klar für A = 0. Ansonsten können wir durch Skalieren mit ∥A∥^{−1} annehmen: A = A^{∗} ∈ L(H) mit ∥A∥ = 1. Also gibt es eine Folge (v_{n}) von Einheitsvektoren in H mit ∥Av_{n}∥ → 1 für n → ∞. Für diese Folge gilt:

0 ≤ ∥(1_{H} − A^{2})v_{n}∥^{2} = ∥v_{n}∥^{2} + ∥A^{2}v_{n}∥^{2} − 2Re⟨v_{n}, A^{2}v_{n}⟩
= 1 + ∥A^{2}v_{n}∥^{2} − 2∥Av_{n}∥ ≤ 2 − 2∥Av_{n}∥ → 0 .

Nach Satz 15.9 ist 1 Spektralwert von A^{2}, damit 1 ∈ (sp(A))^{2} nach Satz 15.12 und schließlich 1 ∈ sp(A) oder −1 ∈ sp(A). □

Diese Aussage führt (zusammen mit der C^{∗}-Identität) auf eine rein algebraische Definition der Norm von A ∈ L(H): Es gilt

∥A∥ = sup{λ > 0 : A^{∗}A − λ^{2}1_{H} ist nicht bijektiv} .

Definition 15.14 Für A ∈ L(X) heißt r(A) := sup{|λ| : λ ∈ sp(A)} Spektralradius von A.

Es gilt r(A) ≤ ∥A∥, für selbstadjungierte A = A^{∗} ∈ L(H) sogar r(A) = ∥A∥ nach Folgerung 15.13.

Bemerkung 15.15 Über den holomorphen Funktionalkalkül beweist man für A ∈ L(H) die sehr wichtige Spektralradiusformel r(A) = lim_{n→∞} ∥A^{n}∥^{\frac{1}{n}}. Insbesondere existiert dieser Limes und kann dann durch n = 2^{k} verdichtet werden. Ist A normal, so folgt

r(A) = lim_{k→∞} ∥A^{2^{k}}∥^{\frac{1}{2^{k}}} = lim_{k→∞} ∥(A^{∗})^{2^{k}}A^{2^{k}}∥^{\frac{1}{2^{k+1}}} = lim_{k→∞} ∥(A^{∗}A)^{2^{k}}∥^{\frac{1}{2^{k+1}}}
= ∥(A^{∗}A)∥^{\frac{1}{2}} = ∥A∥ .

Theorem 15.16 (stetiger Funktionalkalkül) Ist H komplexer Hilbert-Raum, A = A^{∗} ∈ L(H) selbstadjungiert und f eine stetige Funktion auf sp(A) ⊂ [−∥A∥, ∥A∥], dann gibt es genau ein f(A) ∈ L(H) derart, daß die Zuordnung C(sp(A)) ∋ f ↦ f(A) ∈ L(H) stetig ist und für Polynome die elementare Bedeutung aus Satz 15.12 hat.

Beweis. sp(A) ist kompakter Hausdorff-Raum. Nach dem Satz von Stone-Weierstraß gibt es eine gegen f in der Supremums-Norm konvergente Folge (p_{k}) von Polynomen (vom Grad n_{k}), die somit eine Cauchy-Folge auf sp(A) bilden: zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß für alle k, l ≥ N gilt: sup_{t∈sp(A)} |p_{k}(t) − p_{l}(t)| < ϵ. Andererseits gilt für ein beliebiges Polynom p nach Satz 15.12

∥p(A)∥ = r(p(A)) = max{|μ| : μ ∈ sp(p(A))} = max{|p(λ)| : λ ∈ sp(A)} = ∥p∥ .

Somit gilt auch ∥p_{k}(A) − p_{l}(A)∥ = sup_{t∈sp(A)} |p_{k}(t) − p_{l}(t)| < ϵ für alle k, l ≥ N, d.h. (p_{k}(A)) ist Cauchy-Folge in L(H), die einen eindeutigen Grenzwert f(A) ∈ L(H) besitzt. Wieder durch polynomiale Approximation folgt, daß die Abbildung f ↦ f(A) stetig ist. □

Für f, g ∈ C(sp(A)) und α, β ∈ ℂ gilt:

i) ∥f(A)∥ = ∥f∥

ii) (αf + βg)(A) = αf(A) + βg(A)

iii) (fg)(A) = f(A)g(A)

iv) (f(A))^{∗} = f̄(A)

v) f(A) ist normal

vi) ∥f(A)∥ = ∥f∥ = sup_{t∈sp(A)} |f(t)|

Dabei ergibt sich vi) durch polynomiale Approximation und ∥p(A)∥ = ∥p∥, die anderen Eigenschaften sind klar.

Theorem 15.16 hat fundamentale Bedeutung für die Theorie der Operatoralgebren. Wir geben eine Reihe von Anwendungen an, die z.T. benutzen, daß die Umkehrungen von Theorem 15.10 gelten (Bemerkung 15.11).

Satz 15.17 Sei H komplexer Hilbert-Raum. Jeder selbstadjungierte Operator A = A^{∗} ∈ L(H) besitzt eine eindeutige Zerlegung A = A_{+} − A_{−} mit A_{+}, A_{−} ≥ 0 und A_{+}A_{−} = A_{−}A_{+} = 0. Es gilt ∥A∥ = max(∥A_{+}∥, ∥A_{−}∥). Insbesondere ist jeder lineare stetige Operator eine eindeutige Linearkombination von (höchstens) 4 positiven Operatoren.

Beweis. Wir betrachten die stetigen Funktion f(t) = t, f_{+}(t) = max(t, 0), f_{−}(t) = max(−t, 0). Für diese gilt f = f_{+} − f_{−} und f_{+}f_{−} = f_{−}f_{+} = 0. Dann haben A_{+} := f(A) und A_{−} := f_{−}(A) die behaupteten Eigenschaften, und ihr Spektrum ist positiv. Angenommen, es gibt eine weitere Zerlegung A = B −C mit B, C ≥ 0 und BC = CB = 0. Dann folgt A^{n} = B^{n}+(−C)^{n}, somit p(A) = p(B)+p(−C) für jedes Polynom p ohne konstante Komponente. Es gibt eine gegen f_{+} konvergente Folge solcher Polynome, so daß gilt f_{+}(A) = f_{+}(B) + f_{+}(−C). Aber f_{+}(−C) = 0 und f_{+}(B) = B, somit ist die Zerlegung eindeutig.

Theorem 15.18 Sei H komplexer Hilbert-Raum. Jeder positive Operator 0 ≤ A ∈ L(H) hat eine eindeutige positive Quadratwurzel 0 ≤ A^{\frac{1}{2}} ∈ L(H), mit A = (A^{\frac{1}{2}} )^{2}.

Beweis. Wegen sp(A) ⊂ [0, ∥A∥] ist f(t) := \sqrt{t} stetig auf sp(A). Wir setzen A^{\frac{1}{2}} := f(A), dann ist f(A) positiv und (f(A))^{2} = A. Angenommen, es gäbe ein weiteres 0 ≤ B ∈ L(H) mit B^{2} = A. Es gibt eine Folge (p_{n}) von Polynomen, die auf sp(A) gleichmäßig gegen f konvergiert. Sei q_{n}(t) := p_{n}(t^{2}). Wegen sp(A) = sp(B^{2}) = {t^{2} : t ∈ sp(B)} gilt lim_{n→∞} q_{n}(t) = lim_{n→∞} p_{n}(t^{2}) = f(t^{2}) = t gleichmäßig auf sp(B), und es folgt B = lim_{n→∞} q_{n}(B) = lim_{n→∞} p_{n}(B^{2}) = lim_{n→∞} p_{n}(A) = f(A). □

Definition 15.19 Sei H komplexer Hilbert-Raum und A ∈ L(H), dann heißt |A| := (A^{∗}A)^{\frac{1}{2}} ∈ L(H) der Betrag von A.

Theorem 15.20 (Polarzerlegung) Sei H komplexer Hilbert-Raum und A ∈ L(H), dann existiert eine partielle Isometrie S ∈ L(H) von (ker A)^{⊥} nach (ker A^{∗})^{⊥}, so daß gilt A = S|A|.

Beweis. Wir definieren einen Operator T : im |A| → im A durch T (|A|v) := Av für alle v ∈ H. Dann gilt ∥|A|v∥^{2} = ⟨v, |A|^{2}v⟩ = ⟨v, A^{∗}Av⟩ = ∥Av∥^{2} = ∥T (|A|v)∥^{2}, d.h. T ist eine Isometrie. Diese setzt sich stetig fort zu V : \overline{im |A|} → \overline{im A} = (ker A^{∗})^{⊥}: Wähle eine gegen w ∈ \overline{im |A|} konvergente Folge w_{n} aus im |A| und definiere T w := lim_{n→∞} T w_{n}. Die rechte Seite ist konvergent in \overline{im A}. Diese stetige Fortsetzung setzen wir zu S ∈ L(H) fort durch S|_{ker A} = 0 und S|_{(ker A)^{⊥}} = T. Dabei ist (im |A|)^{⊥} = ker |A|, und wegen ∥|A|v∥^{2} = ∥Av∥^{2} ist ker |A| = ker A, somit S die partielle Isometrie zu T : (ker A)^{⊥} → (ker A^{∗})^{⊥}. □

Es läßt sich zeigen, daß diese Polarzerlegung eindeutig ist.

Theorem 15.21 Sei komplexer Hilbert-Raum. Jeder Operator A ∈ L(H) ist Linearkombination von höchstens 4 unitären Operatoren.

Beweis. Es genügt zu zeigen: jeder selbstadjungierte Operator A = A^{∗} mit ∥A∥ ≤ 1 ist Linearkombination von 2 unitären. In diesem Fall ist sp(A) ⊂ [−1, 1], so daß f(t) = t + i\sqrt{1 − t^{2}} auf sp(A) stetig ist. Es gilt t = \frac{1}{2}(f(t) + f̄(t)) und f(t)f̄(t) = f̄(t)f(t) = 1. Setzen wir U := f(A), also U^{∗} = f̄(A), so folgt A = \frac{1}{2}(U + U^{∗}) und U^{∗}U = U^{∗}U = 1_{H}. □

16 Kompakte Operatoren

Viele Anwendungen führen auf sogenannte kompakte Operatoren, für die sich Eigenschaften zeigen lassen, die analog zur endlich-dimensionalen Situation sind. Das Spektrum kompakte Operatoren hat eine sehr einfache Struktur.

Definition 16.1 Seien X, Y Banach-Räume. Eine lineare Abbildung T : X → Y heißt kompakt, falls folgende äquivalente Bedingungen erfüllt sind:

i) \overline{T (B_{X})} ⊂ X (Norm-Abschluß) ist (Norm-)kompakt.

ii) Ist (x_{n}) eine beschränkte Folge aus X, so enthält (T x_{n}) eine in Y (Norm- )konvergente Teilfolge.

Mit K(X, Y) werde die Menge der kompakten Operatoren T : X → Y bezeichnet.

In metrischen Räumen sind Kompaktheit und Folgenkompaktheit äquivalent; daraus folgt die Äquivalenz. Es gelten:

i) Jeder kompakte Operator ist stetig (da kompakte Mengen beschränkt sind).

ii) Ist X endlich-dimensional und T stetig, so ist T kompakt (da \overline{T (B_{X})} endlich-dimensional, beschränkt und abgeschlossen).

iii) Ist T (X) endlich-dimensional und T stetig, so ist T kompakt (da \overline{T (B_{X})} endlich-dimensional, beschränkt und abgeschlossen).

iv) Ist X unendlich-dimensional, so ist 1_{X} nicht kompakt (da B_{X} nicht kompakt ist).

Lemma 16.2 Seien X, Y, Z Banach-Räume.

i) K(X, Y) ist abgeschlossener Untervektorraum von L(X, Y).

ii) Sei S ∈ L(Y, Z) und T ∈ L(X, Y). Ist S oder T kompakt, so auch S ∘ T.

Insbesondere gilt: K(X) := K(X, X) ist norm-abgeschlossene Unteralgebra von L(X).

Beweis. i) Seien T_{1}, T_{2} ∈ K(X, Y) und (x_{n}) beschränkt. Dann hat (T_{1}x_{n}) eine konvergente Teilfolge (T_{1}x_{n_{k}}), und (T_{2}x_{n_{k}}) hat konvergente Teilfolge (T_{2}x_{n_{kl}}). Somit hat ((T_{1} + T_{2})x_{n}) die konvergente Teilfolge ((T_{1} + T_{2})x_{n_{kl}}). Da λT_{i} trivialerweise kompakt, ist K(X, Y) ⊂ L(X, Y) Untervektorraum.

Verbleibt die Abgeschlossenheit. Sei T ∈ \overline{K(X, Y)}. Dann gibt es zu ϵ > 0 ein S ∈ K(X, Y) mit ∥T − S∥ < ϵ. Sei Y_{1} := S(B_{X}). Da \overline{Y_{1}} kompakt ist, wird \overline{Y_{1}}, und damit Y_{1}, von endlich vielen ϵ-Umgebungen aus Y mit Mittelpunkten {Sx_{1}, …, Sx_{n}} überdeckt. Somit folgt: für jedes x ∈ B_{x} gibt es ein i ∈ {1, …, n} mit ∥Sx − Sx_{i}∥ < ϵ. Für dieses i folgt

∥T x − T x_{i}∥ ≤ ∥T x − Sx∥ + ∥Sx − Sx_{i}∥ + ∥Sx_{i} − T x_{i}∥ < 3ϵ ,

d.h. endlich viele 3ϵ-Umgebungen überdecken T (B_{X}) und damit \overline{T (B_{X})}. Somit ist T kompakt.

ii) folgt direkt aus der Definition. □

Folgerung 16.3 Ist T ∈ L(X, Y) mit T = lim_{n→∞} T_{n} (Norm-Limes) und dim(T_{n}(X)) < ∞ für alle n ∈ ℕ, so ist T kompakt. □

Satz 16.4 Seien H_{1}, H_{2} Hilbert-Räume und T ∈ L(H_{1}, H_{2}). Dann sind äquivalent: i) T ist kompakt.

ii) T bildet schwach-konvergente Folgen in Norm-konvergente Folgen ab, d.h. ist (v_{n}) Folge in H_{1} mit ⟨w, v_{n}⟩ ⟶^{n→∞} ⟨w, v⟩ für alle w ∈ H_{1}, so

folgt ∥T v_{n} − T v∥ ⟶^{n→∞} 0.

iii) T^{∗}T ist kompakt.

iv) T^{∗} ist kompakt.

Beweis. i)⇒ii) Nach Folgerung 6.8 aus Banach-Steinhaus ist jede schwachkonvergente Folge beschränkt. Damit besitzt T v_{n} eine in H_{2} Norm-konvergente Teilfolge (ṽ_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Sei w̃ der Limes. Zu zeigen ist: Die gesamte Folge (T v_{n}) konvergiert gegen w̃. Angenommen, es gibt ein ϵ > 0 und eine Teilfolge (v_{n_{k}})_{k∈ℕ} mit ∥T v_{n_{k}} − w̃∥ > ϵ für alle k. Da v_{n_{k}} beschränkt ist, besitzt (T v_{n_{k}}) eine konvergente Teilfolge, die wir vereinfachend als (T v_{n_{k}}) selbst annehmen können. Sei w ihr Limes. Dann gilt:

∥w − w̃∥^{2} = lim_{k→∞}⟨T v_{n_{k}} − w̃, w − w̃⟩ = lim_{k→∞}⟨v_{n_{k}}, T^{∗}(w − w̃)⟩ − ⟨w̃, w − w̃⟩

= ⟨v, T^{∗}(w_{1} − w̃)⟩ − ⟨w̃, w − w̃⟩ = lim_{k→∞}⟨ṽ_{n_{k}}, T^{∗}(w − w̃)⟩ − ⟨w̃, w − w̃⟩

= lim_{k→∞}⟨T ṽ_{n_{k}}, w − w̃⟩ − ⟨w̃, w − w̃⟩ = 0 ,

Widerspruch.

ii)⇒i) Da H_{1} reflexiv ist, besitzt jede in H_{1} beschränkte Folge (v_{n}) nach Satz 4.29 eine schwach-konvergente Teilfolge v_{n_{k}}. Sei v der Limes. Nach Voraussetzung ist lim_{k→∞} ∥T v_{n_{k}} − T v∥ = 0, also T kompakt.

i)⇒iii) und iv)⇒iii) ist Lemma 16.2.ii).

iii)⇒ii) Ist (v_{n}) schwach-konvergent gegen v, so ist T^{∗}T v_{n} Norm-konvergent gegen T^{∗}T v nach i)⇔ii). Es folgt

∥T (v_{n} − v)∥^{2} = |⟨v_{n} − v, T^{∗}T (v_{n} − v)⟩| ≤ ∥v_{n} − v∥ ∥T^{∗}T (v_{n} − v)∥ ⟶^{n→∞} 0

wegen (v_{n} − v) beschränkt nach Folgerung 6.8.

i)⇒iv) Nach Lemma 16.2.ii) ist T T^{∗} kompakt, dann T^{∗} nach iii)⇒ii)⇒i) für T^{∗} statt T. □

Der folgende Satz charakterisiert eine wichtige Beispielklasse von kompakten Operatoren: die Theorie der Integralgleichungen.

Satz 16.5 Es sei (X, μ) und K ∈ L^{2}(X × X, μ × μ). Dann definiert

(T f)(x) := ∫_{X} dμ(y) K(x, y)f(y) , f ∈ L^{2}(X, μ)

einen kompakten Operator T ∈ L(L^{2}(X, μ)).

Beweis. Je nach Wahl der Integrationsvariable schreiben wir dx bzw. dy für dμ.

Zunächst existiert nach Fubini das Integral ∫_{X} dx( ∫_{X} dy |K(x, y)|^{2}), d.h. bis

auf eine Nullmenge N ⊂ X ist ∫_{X} dy |K(x, y)|^{2} < ∞ für alle x ∈ X \ N. Damit

existiert nach der Hölderschen Ungleichung das Integral ∫_{X} dy |K(x, y)f(y)| für

alle x ∈ X \ N, und außerhalb einer Nullmenge gilt mit Cauchy-Schwarz

|(T f)(x)|^{2} = | ∫_{X} dy K(x, y)f(y)|^{2} ≤ ∫_{X} dy |K(x, y)|^{2} ∫_{X} dy |f(y)|^{2} .

Damit gilt

∥T f∥_{2}^{2} = ∫_{X} dx |(T f)(x)|^{2} ≤ ∥K∥_{2}^{2}∥f∥_{2}^{2} ,

d.h. ∥T ∥ ≤ ∥K∥_{2} und T ∈ L(L^{2}(X, μ)).

Nach Definition der Integrierbarkeit gibt es zu K eine Folge (K_{n}) endlicher Treppenfunktionen mit lim_{n→∞} ∥K − K_{n}∥_{2} = 0. Nach Fubini dürfen wir K_{n}(x, y) = ∑_{j=1}^{r_{n}} c_{j}1_{A_{j}}(x)1_{B_{j}}(y) annehmen für Borelmengen A_{j}, B_{j} ⊂ B(X) mit μ(A_{j}), μ(B_{j}) < ∞. Dann ist

∫_{X} dy K_{n}(x, y)f(y) = ∑_{j=1}^{r_{n}} c_{j}1_{A_{j}}(x) ∫_{B_{j}} dy f(y)

wieder eine endliche Treppenfunktion auf X. Der Vektorraum der endlichen Treppenfunktionen ist endlich-dimensional. Somit ist das Bild einer beliebigen beschränkten Teilmenge in L^{2}(X, μ) unter T_{n} endlich-dimensional und beschränkt, sein Abschluß damit kompakt. Damit ist T_{n} ein kompakter Operator. Da (K_{n}) in L^{2}(X × X, μ × μ) norm-konvergent gegen K ist und die Abbildungen K ↦ T und K_{n} ↦ T_{n} stetig sind, ist auch T kompakt nach Folgerung 16.3. □

Satz 16.6 Definiert K(x, y) den kompakten Operator T ∈ K(L^{2}(X, μ)) entsprechend Satz 16.5, so definiert \overline{K(y, x)} den adjungierten Operator T^{∗}. Gilt also K(x, y) = \overline{K(y, x)} für alle x, y ∈ X, dann ist T selbstadjungiert.

Beweis. Für f, g ∈ L^{2}(X, μ) ist die Funktion (x, y) ↦ g(x)f(y) in L^{2}(X × X, μ × μ). Damit ist die Funktion (x, y) ↦ K(x, y)f(y)g(x) integrierbar, und nach Fubini gilt

⟨g, T f⟩ = ∫_{X} dx \overline{g(x)} ∫_{X} dy K(x, y)f(y) = ∫_{X} dy ( ∫_{X} dx K(x, y)\overline{g(x)})f(y)
= ∫_{X} dx \overline{( ∫_{X} dy \overline{K(y, x)}g(y))} f(x) =^{!} ⟨T^{∗}g, f⟩ .  □

93 Damit lassen sich Integralgleichungen der Form

Preliminary version – 8. Juli 2011

λf(x) = ∫_{X} dy K(x, y)f(y) , K(x, y) = \overline{K(y, x)} ∈ L^{2}(X × X, μ × μ) ,

welche sich z.B. aus Differentialgleichungen ergeben, auf das Eigenwertproblem T f = λf für kompakte selbstadjungierte Operatoren zurückführen. Insbesondere wird es nicht für alle λ eine Lösung geben. Eine erste Aussage zum Spektrum ist schnell zu erhalten:

Satz 16.7 Sei H Hilbert-Raum mit dim(H) = ∞ und T ∈ K(H) kompakt. Dann ist 0 ∈ sp(T), d.h. T ist nicht invertierbar.

Beweis. Wäre 0 ∉ sp(T), so ist T^{−1} ∈ L(H) und dann 1_{H} = T T^{−1} kompakt, somit H endlich-dimensional. □

Es gibt viele Beispiele von Differentialoperatoren D_{x}, deren Inverses ein kompakter Operator ist, z.B. ein Integraloperator. Das Inverse ist dann zu verstehen als D_{x} ∫_{X} dy K(x, y)f(y) = f(x). In diesen Fällen liefert die Spektraltheorie des kompakten Operators zu K wichtige Daten über das Spektrum des Differentialoperators.

Lemma 16.8 Seien H_{1}, H_{2} Hilbert-Räume, T ∈ K(H_{1}, H_{2}) und δ > 0. Sei (v_{i})_{i∈I} ein ONS in H_{1}. Dann gilt: J_{δ} := {i ∈ I : ∥T v_{i}∥ ≥ δ} ist endlich, somit I_{0} := {i ∈ I : T v_{i} ≠ 0} abzählbar.

Beweis Wäre J_{δ} nicht endlich, so gibt es eine Folge (i_{n}) in J_{δ} mit i_{n} ≠ i_{m} für alle n ≠ m. Nach Besselscher Ungleichung gilt für alle v ∈ H_{1}

∑_{n=0}^{∞} |⟨v, v_{i_{n}}⟩|^{2} ≤ ∥v∥^{2} .

Die Summe kann aber nur konvergieren, wenn ⟨v, v_{i_{n}}⟩ → 0 für n → ∞, d.h. (v_{i_{n}}) ist schwach-konvergent gegen 0. Nach Satz 16.4.ii) ist T v_{i_{n}} Norm-konvergent gegen 0, im Widerspruch zu ∥T v_{i}∥ ≥ δ.

Die Aussage zu I_{0} folgt aus I_{0} = ⋃_{n=1}^{∞} J_{\frac{1}{n}}. □

Folgerung 16.9 Seien H_{1}, H_{2} Hilbert-Räume und T ∈ K(H_{1}, H_{2}). Dann ist (ker T)^{⊥} ⊂ H_{1} separabel.

Beweis. Sei (v_{i})_{i∈I} eine ONB in H_{1} und I_{0} = {i ∈ I : T v_{i} ≠ 0}. Dann gilt H_{1} = ker T ⊕ (ker T)^{⊥}. Da (v_{i})_{i∈I\I_{0}} ONB von ker T ist, ist I_{0} ONB von (ker T)^{⊥}, damit (ker T)^{⊥} separabel. □

Satz 16.10 Für Hilbert-Räume H_{1}, H_{2} bezeichne F(H_{1}, H_{2}) = {T ∈ L(H_{1}, H_{2}) : dim(im T) < ∞} die Menge der Operatoren mit endlichem Rang. Dann gilt K(H_{1}, H_{2}) = \overline{F(H_{1}, H_{2})} (Norm-Abschluß).

Beweis. ⊃ ist Folgerung 16.3. Sei umgekehrt T ∈ K(H_{1}, H_{2}). Wir können uns in der Zerlegung H_{1} = (ker T)^{⊥} ⊕ (ker T) auf (ker T)^{⊥} beschränken und deshalb annehmen: H_{1} ist separabel und unendlich-dimensional (sonst ist bereits T ∈ F(H_{1}, H_{2}). Sei (v_{n})_{n∈ℕ} ONS in H_{1} und P_{k} die Projektion auf span(v_{1}, …, v_{k}). Für beliebige v ∈ H_{1} gilt nach der Parsevalschen Gleichung v − P_{k}v → 0 für k → ∞. Zu jedem k ∈ ℕ wählen wir ein w_{k} ∈ B_{H_{1}} mit ∥(T P_{k}−T)w_{k}∥ ≥ \frac{1}{2}∥T P_{k}−T ∥. Dann ist w_{k}−P_{k}w_{k} schwach-konvergent gegen 0, damit ∥(T P_{k}−T)w_{k}∥ Norm-konvergent gegen 0, somit ∥T P_{k} − T ∥ Norm-konvergent gegen 0. Wegen T P_{k} ∈ F(H_{1}, H_{2}) folgt die Behauptung. □

Theorem 16.11 Sei H komplexer Hilbert-Raum, D ⊂ ℂ offen und zusammenhängend und T : D → L(H) eine holomorphe Operator-wertige Funktion, so daß T (z) kompakt ist für alle z ∈ D. Dann gilt \underline{entweder}

i) (1_{H} − T (z))^{−1} existiert für kein z ∈ D,

\underline{oder}

ii) (1_{H} − T (z))^{−1} existiert für alle z ∈ D \ S, wobei S ⊂ D eine diskrete Menge ohne Häufungspunkt ist. In diesem Fall ist (1_{H} − T (z))^{−1} holomorph auf D \ S, und T (z_{p})w = w hat für jedes z_{p} ∈ S eine Lösung 0 ≠ w ∈ H.

Beweis. Wir zeigen, daß in einer Umgebung jedes Punktes z_{0} ∈ D entweder i) oder ii) gilt. Da D offen und zusammenhängend, somit wegzusammenhängend ist, wobei eine offene Umgebung des Weges in D liegt, gilt die Alternative i) oder ii) konstant auf D.

Nach Holomorphie-Voraussetzung gibt es zu z_{0} ∈ D ein r > 0, so daß ∥T (z)− T (z_{0})∥ < \frac{1}{2} für alle z ∈ U_{r}(z_{0}). Nach Satz 16.10 gibt es einen Operator R ∈ F(H) mit ∥T (z_{0}) − R∥ < \frac{1}{2}. Dann ist ∥T (z) − R∥ < 1, so daß nach Lemma 15.4 der Operator 1_{H} −T (z)+R für z ∈ U_{r}(z_{0}) invertierbar ist mit holomorphem Inversen.

Da R endlichen Rang hat, gilt R(v) = ∑_{i=1}^{N} R_{i}(v)e_{i}, wobei im R = span(e_{1}, …, e_{N}) und die R_{i} lineare Funktionale auf H sind. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz ist R_{i}(v) = ⟨w_{i}, v⟩ für ein w_{i} ∈ H, somit R(v) = ∑_{i=1}^{N}⟨w_{i}, v⟩e_{i}. Jedes w_{i} definiert eine Funktion U_{r}(z_{0}) ∋ z ↦ ϕ_{i}(z) := ((1_{H} − T (z) + R)^{−1})^{∗}w_{i} ∈ H. sowie eine Operator-wertige Funktion R(z) := R(1_{H} − T (z) + R)^{−1}), für die gilt

R(z)v = R((1_{H}−T (z)+R)^{−1})v) = ∑_{i=1}^{N}⟨w_{i}, (1_{H}−T (z)+R)^{−1})v⟩e_{i} = ∑_{i=1}^{N}⟨ϕ_{i}(z), v⟩e_{i} .

Es gilt 1_{H} − T (z) = (1_{H} − R(z))(1_{H} − T (z) + R), so daß folgt:

a) 1_{H} − T (z) ist bijektiv genau dann, wenn (1_{H} − R(z)) bijektiv ist,

b) T (z)w = w ist genau dann lösbar mit w ≠ 0, wenn R(z)w̃ = w̃ lösbar ist mit w̃ ≠ 0.

Sei nun R(z)w̃ = w̃ = ∑_{i=1}^{N}⟨ϕ_{i}(z), w̃⟩e_{i}, also w̃ = ∑_{i=1}^{N} β_{i}e_{i} und β_{n} = ∑_{i=1}^{N}⟨ϕ_{n}(z), e_{i}⟩β_{i}. Für festes z ist das ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der β_{i}, welches genau dann lösbar ist, wenn für die Determinante d(z) := det(δ_{mn} − ⟨ϕ_{m}(z), e_{n}⟩) gilt: d(z) = 0. Sei S_{r} := {z ∈ U_{r}(z_{0}) : d(z) = 0}. Da auch d(z) holomorph ist, gilt nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen: Entweder es gilt S_{r} = U_{r}(z_{0}) und damit Behauptung i), oder S_{d} hat keinen Häufungspunkt. Im zweiten Fall ist d(z) ≠ 0 für z ∈ U_{r}(z_{0})\S_{r}, und die Gleichung (1_{H} − R(z))w̃ = ṽ ist für alle ṽ ∈ H lösbar durch den Ansatz w̃ = ṽ + ∑_{i=1}^{N} α_{i}e_{i}, der auf

ṽ − ∑_{i=1}^{N}⟨ϕ_{i}(z), ṽ⟩e_{i} + ∑_{i=1}^{N} α_{i}e_{i} − ∑_{i,j=1}^{N} α_{j}⟨ϕ_{i}(z), e_{j}⟩e_{i} = ṽ

⇒ α_{n} = ⟨ϕ_{n}(z), ṽ⟩ + ∑_{j=1}^{N}⟨ϕ_{n}(z), e_{j}⟩α_{j}

führt. Wegen d(z) ≠ 0 ist dieses Gleichungssystem für alle ṽ ∈ H lösbar, d.h. (1_{H} − R(z)) und damit (1_{H} − T (z)) ist bijektiv für alle z ∈ U_{r}(z_{0}) \ S_{r}. Das ist die Behauptung ii). □

Folgerung 16.12 (Fredholmsche Alternative) Ist T ∈ K(H) kompakt, dann ist entweder (1_{H} − T) bijektiv, oder ker T ≠ {0}.

Beweis. Theorem 16.11 mit T (z) = zT für D = ℂ. Der Fall i) ist für z = 0 ausgeschlossen. □

Satz 16.13 Ist H komplexer Hilbert-Raum und T ∈ K(H) kompakter Operator, dann gilt:

i) sp(T) ist diskrete Teilmenge von ℂ ohne Häufungspunkt außer eventuell 0.

ii) Jedes 0 ≠ λ ∈ sp(T) ist Eigenwert, und die zugehörigen Eigenräume E_{λ} = ker(T − λ1_{H}) sind für λ ≠ 0 endlich-dimensional.

iii) Das Spektrum von T ist abzählbar oder endlich.

Beweis. i) Die Operator-wertige Funktion ℂ ∋ z ↦ T (z) := zT ∈ K(H) ist auf ganz ℂ holomorph. Nach Theorem 16.11 ist die Menge S := {z ∈ ℂ : zT v = v hat Lösung v ≠ 0\} diskret (da 0 ∉ S) und ohne Häufungspunkt. Ist \frac{1}{λ} ∉ S, dann existiert (T − λ1_{H})^{−1} = −\frac{1}{λ}(1_{H} − \frac{1}{λ}T)^{−1}, und für \frac{1}{λ} ∈ S gibt es nach Folgerung 16.12 einen Eigenvektor.

ii) Die Einschränkung von T auf den Eigenraum E_{λ} = ker(T − λ1_{H}) ist ebenfalls kompakt. Diese Einschränkung ist aber λ1_{E_{λ}}, so daß dim(E_{λ}) < ∞ für λ ≠ 0.

iii) Nach Folgerung 16.9 ist (ker T)^{⊥} separabel, so daß es höchstens abzählbar viele linear unabhängige Eigenvektoren zu λ ≠ 0 geben kann, somit höchstens abzählbar viele 0 ≠ λ ∈ sp(T). □

Lemma 16.14 Ist H komplexer Hilbert-Raum und T ∈ K(H) kompakt und normal. Seien λ ≠ μ verschiedene Eigenwerte von T (einer möglicherweise = 0), so gilt E_{λ} ⊥ E_{μ}.

Beweis. Ist T normal, so gilt ∥(T − λ1_{H})v∥ = ∥(T^{∗} − λ̄1_{H}))v∥ nach Lemma 14.7.iv), somit E_{λ}(T) = Eλ̄(T^{∗}). Ist 0 ≠ v_{λ} ∈ E_{λ} und 0 ≠ w_{μ} ∈ E_{μ}, so folgt

μ⟨v_{λ}, w_{μ}⟩ = ⟨v_{λ}, T w_{μ}⟩ = ⟨T^{∗}v_{λ}, w_{μ}⟩ = λ⟨v_{λ}, w_{μ}⟩

und damit ⟨v_{λ}, w_{μ}⟩ = 0. □

Theorem 16.15 (Spektralsatz für selbstadjungierte kompakte Operatoren) Es sei H ein Hilbert-Raum und T = T^{∗} ∈ K(H) ein selbstadjungierter kompakter Operator. Sei sp_{p}(T) := {λ ∈ ℝ : E_{λ} = ker(T − 1_{H}) ≠ {0}} das Eigenwertspektrum und P_{λ} : H → E_{λ} die orthogonale Projektion auf den Eigenraum E_{λ}. Dann gilt:

i) H = \overline{⨁_{λ∈sp_{p}(T)} E_{λ}} und T = ∑_{λ∈sp(T)} λP_{λ} mit Konvergenz der Reihe in der starken Operator-Topologie.

ii) H besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von T, wobei höchstens abzählbar viele Basiselemente zu Eigenvektoren aus sp_{p}(T)\{0} gehören.

Beweis. i) Nach Lemma 16.14 gilt E_{μ} ⊥ E_{λ} für λ ≠ μ. Sei dann H̃ := \overline{⨁_{λ∈sp_{p}(T)} E_{λ}} ⊂ H = H̃ ⊕ H̃^{⊥}. Wir zeigen H̃^{⊥} = \{0\}. Wegen T E_{λ} ⊂ E_{λ} ist T H̃ ⊂ H̃. Da T selbstadjungiert ist, ist T H̃^{⊥} ⊂ H̃^{⊥}, denn sei v ∈ H̃ und w ∈ H̃^{⊥}, dann gilt ⟨T w, v⟩ = ⟨w, T v⟩ = 0. Sei nun T̃ := T |H̃^{⊥} : H̃^{⊥} → H̃^{⊥} die Einschränkung. Wegen der Abgeschlossenheit von H̃^{⊥} ist T̃ ein kompakter selbstadjungierter Operator, sein Spektrum ist nicht-leer, und jeder Spektralwert ≠ 0 ist Eigenwert von T̃ und damit von T. Damit ist nach Konstruktion 0 der einzige Spektralwert von T̃, d.h. der Spektralradius ist r(T̃) = 0. Da für selbstadjungierte Operatoren T̃ gilt r(T̃) = ∥T̃∥, folgt T̃ = 0. Somit ist T̃w = 0w für alle w ∈ H̃^{⊥}, d.h. H̃^{⊥} ⊂ H̃.

Somit gibt es zu v ∈ H eine eindeutige Zerlegung v = ∑_{λ∈sp_{p}(T)} v_{λ} = ∑_{λ∈sp_{p}(T)} P_{λ}v, mit Norm-Konvergenz der Reihe. Damit folgt

T v = T ( ∑_{λ∈sp_{p}(T)} v_{λ}) = ∑_{λ∈sp_{p}(T)} T v_{λ} = ∑_{λ∈sp(T)} λv_{λ} = ∑_{λ∈sp(T)} λP_{λ}v = ( ∑_{λ∈sp(T)} λP_{λ})v .

Damit gilt T = ∑_{λ∈sp(T)} λP_{λ} in der starken Operator-Toplogie. Der mögliche Spektralwert 0 liefert keinen Beitrag zur Summe.

ii) Ist B_{λ} = {v_{1}^{(λ)}, …, v_{r_{λ}}^{(λ)})} Orthonormalbasis von E_{λ} für 0 ≠ λ ∈ sp(T) und B_{0} = {v_{i} : i ∈ I} eine Orthonormalbasis für E_{0} im Fall 0 ∈ sp(T), so ist B = ⋃_{λ∈sp(T)} B_{λ} eine Orthonormalbasis von H aus Eigenvektoren von T. □

Da sp(T) höchstens abzählbar ist, gilt für eine beliebige Abzählung {λ_{n} : n ∈ ℕ) der Spektralwerte T = ∑_{n=0}^{∞} λ_{n}P_{λ_{n}}. Ordnen wir |λ_{0}| > |λ_{1}| > …, dannn gilt |λ_{0}| = ∥T ∥ und λ_{n} → 0 für n → ∞.

Eine wichtige Anwendung ist der beschränkte Funktionalkalkül für kompakte selbstadjungierte Operatoren T = ∑_{λ∈sp(T)} λP_{λ}. Ist f : Λ → ℂ eine beschränkte Funktion, so werden durch

f(T) := ∑_{λ∈sp(T)} f(λ)P_{λ}  (*)

beschränkte Funktionen des kompakten Operators T definiert, mit Konvergenz in der starken Operator-Topologie. Für stetige Funktionen stimmt diese Konstruktion mit dem stetigen Funktionalkalkül aus Theorem 15.16 überein: wegen der Orthogonalität P_{λ}P_{μ} = 0 für λ ≠ μ folgt T^{n} = ∑_{λ∈sp(T)} λ^{n}P_{λ}, d.h. (*) gilt für Polynome und damit nach Stone-Weierstraß auch für stetige Funktionen, dann sogar mit Norm-Konvergenz der Reihe. Dagegen gilt (*) auch für bloß beschränkte Funktionen, aber die Reihe konvergiert i.a. nur in der starken Operator-Topologie.

Der Spektralsatz verallgemeinert sich auf weit größere Klassen von Operatoren.

Definition 16.16 Eine Abbildung ℝ ∋ λ ↦ P_{λ} ∈ L(H) heißt Spektralschar, wenn gilt

i) P_{λ} ist Projektor für jedes λ ∈ ℝ

ii) P_{λ} ≤ P_{μ} für λ ≤ μ

iii) lim_{λ→−∞} P_{λ} = 0 und lim_{λ→+∞} P_{λ} = 1_{H} in der schwachen Operator-Toplogie.

iv) λ ↦ P_{λ} ist rechtsseitig stetig, d.h. lim_{μ↘λ} P_{μ} = P_{λ}

Gilt statt iii) bereits P_{a} = 0 und P_{b} = 1_{H} für a < b ∈ ℝ, so hat die Spektralschar kompakten Träger.

Für v ∈ ℍ ist die Funktion λ ↦ ⟨v, P_{λ}v⟩ mononon wachsend und definiert ein Lebesque-Stieltjes-Maß d⟨v, P_{λ}v⟩. Ist f eine beschränkte Funktion auf dem Träger der Spektralschar, so kann man in sinnvoller Weise einen beschränkten linearen Operator A_{f} definieren durch

⟨v, A_{f}v⟩ := ∫_{a}^{b} f(λ) d⟨v, P_{λ}v⟩ oder A_{f} := ∫_{a}^{b} f(λ) dP_{λ}

im Sinne der schwachen Operator-Topologie. Man zeigt folgendes: Ist A = A^{∗} ∈ L(H) selbstadjungiert und P_{λ}^{A} die Projektion auf ker((A − λ1_{H})_{+}) (dabei ist B_{+} der positive Anteil von B), so bildet {P_{λ}^{A}} eine Spektralschar, und für stetige

Funktionen f stimmt das Integral f(A) = ∫_{a}^{b} f(λ) dP_{λ}^{A} mit der Konstruktion

aus Theorem 15.16 überein. Insbesondere gilt A = ∫_{a}^{b} λ dP_{λ}^{A}. Für jeden unitären

Operator U findet man einen selbstadjungierten Operator A mit sp(A) ∈ [−π, π], so daß gilt U = exp(iA). Dann lassen sich Funktionen unitärer Operatoren erklären als

f(U) = ∫_{−π}^{π} f(e^{iλ}) dP_{λ}^{A} .

Dadurch läßt sich die Spektraldarstellung auf unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren T : dom(T) → H erweitern. Man zeigt, daß U_{T} := (T − i1_{H})(T + i1_{H})^{−1} unitär ist, somit U_{t} = exp(iA). Dann gilt für v ∈ dom(T)

⟨v, T v⟩ = ∫_{]−π,π[} tan \frac{λ}{2} d⟨v, P_{λ}^{A}v⟩ .