Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Besprechung am 13.04.2011 Blatt 1

Aufgabe 1. (a) Was ist ein metrischer Raum?

(b) Welche der folgenden Abbildungen d_{1}, …, d_{4} : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ ist eine Metrik?

d_{1}(x, y) = \begin{cases}0, & x = y, \\ 1, & x ≠ y, \end{cases}  d_{2}(x, y) = \begin{cases}|x_{1} − y_{1}|, & x_{2} = y_{2}, \\ |x_{1}| + |x_{2} − y_{2}| + |y_{1}|, & x_{2} ≠ y_{2}, \end{cases}
d_{3}(x, y) = |x_{1} − y_{1}||x_{2} − y_{2}|, d_{4}(x, y) = (|x_{1} − y_{1}|^{p} + |x_{2} − y_{2}|^{p})^{1/p} , p ∈ (0, ∞).

Aufgabe 2. (a) Wann heißt ein metrischer Raum vollständig?

(b) Prüfe, welcher der folgenden metrischen Räume vollständig ist:

i) ℝ^{2} mit den Metriken aus Aufgabe 1(b);

ii) C([0, 1]) mit der L^{1}-Metrik d(f, g) = ∫_{[0,1]} |f(t) − g(t)|dt; iii) ℝ mit der Metrik d(x, y) = | arctan(x) − arctan(y)|.

Aufgabe 3. (a) Wann heißt ein metrischer Raum kompakt? Charakterisiere Kompaktheit mit Hilfe von i) Folgen, ii) offenen Überdeckungen, iii) abgeschlossenen Mengen.

(b) Prüfe, welcher der folgenden Räume kompakt ist:

i) X = ℝ ∪ {−∞} ∪ {∞} mit der Metrik d(x, y) = |f(x) − f(y)|, wobei

f: X → ℝ, x ↦ \begin{cases}−1, & x = −∞, \\ \frac{x}{1+|x|}, & x ∈ (0, ∞), \\ 1, & x = ∞; \end{cases}

ii) {f ∈ C([0, 1]) : ∥f∥_{∞} ≤ 1} mit der Metrik d(f, g) = ∥f − g∥_{∞}.
Dabei ist ∥f∥_{∞} = sup_{x∈[0,1]} |f(x)| die Supremums-Norm.

Aufgabe 4. Seien f: X → Y eine Abbildung topologischer Räume, X_{1}, X_{2} ⊆ X mit X_{1} ∪ X_{2} = X sowie f|_{X_{i}}: X_{i} → Y stetig für i = 1, 2. Zeige:

(a) Die Abbildung f braucht nicht stetig zu sein.

(b) Sind X_{1}, X_{2} beide offen, so ist f stetig.

(c) Sind X_{1}, X_{2} beide abgeschlossen, so ist f stetig.