Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 12.04.2011, 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Sei X die Menge aller Abbildungen f: [0, 1] → {0, 1}. Eine Teilmenge U ⊆ X heiße offen, falls für jedes f ∈ U eine endliche Teilmenge F ⊆ [0, 1] existiert mit {g ∈ X : g|_{F} = f|_{F} } ⊆ U. Zeige:

(a) Die offenen Mengen erfüllen die Axiome einer Topologie.

(b) Eine Folge (f_{n})_{n} in X konvergiert genau dann gegen ein f ∈ X, wenn lim_{n} f_{n}(t) = f(t) für jedes t ∈ [0, 1] gilt.

(c) Die unten rekursiv definierte Folge (f_{n})_{n} besitzt keine konvergente Teilfolge:

f_{1}(t) = \begin{cases}0, & 0 ≤ t < 1/2, \\ 1, & 1/2 ≤ t ≤ 1 \end{cases} , f_{n+1}(t) = \begin{cases}f_{n}(2t), & 0 ≤ t < 1/2, \\ f_{n}(2t − 1), & 1/2 ≤ t ≤ 1 \end{cases} (n ≥ 1).

(Bemerkung: Nach dem Satz von Tychonoff ist X kompakt und nach (c) nicht folgenkompakt.)

Aufgabe 2. Sei X ein topologischer Vektorraum. Eine Menge A ⊆ X heißt konvex, falls λx + (1 − λ)y ∈ A für alle x, y ∈ A und λ ∈ [0, 1]. Zeige:

(a) Ist A ⊆ X offen, so ist auch die kleinste A enthaltende konvexe Teilmenge von X offen.

(b) Ist A ⊆ X kompakt und B ⊆ X abgeschlossen, so ist auch A + B abgeschlossen. (Hinweis: Verwende offene Überdeckungen.)

Aufgabe 3. Sei Lip([0, 1]) der Raum aller Funktionen f: [0, 1] → ℂ, für die gilt:

L(f) := sup \{\frac{|f(s) − f(t)|}{|s − t|} : s, t ∈ [0, 1], s ≠ t\} < ∞.

Zeige:

(a) Die Abbildung f ↦ ∥f∥ := L(f) + |f(0)| ist eine Norm auf Lip([0, 1]).

(b) Bezüglich dieser Norm ist Lip([0, 1]) ein Banachraum. (Hinweis: Verwende eine Isometrie (Lip([0, 1]), ∥ · ∥) → (C_{b}(Ω), ∥ · ∥_{∞}) für einen geeigneten Raum Ω.)

Aufgabe 4. Sei K ∈ C([0, 1] × [0, 1]) nicht-negativ und T_{K}, S_{K}: C([0, 1]) → C([0, 1]) definiert durch

(T_{K}(f))(x) = ∫_{0}^{1} K(x, y)f(y)dy,  (S_{K}(f))(x) = ∫_{x}^{1} K(x, y)f(y)dy.

(a) Zeige: ∥T_{K}∥ = max_{0≤y≤1} ∫_{0}^{1} K(x, y)dx, d.h. ∥T_{K}(f)∥_{∞} ≤ ∥f∥_{∞} max_{0≤y≤1} ∫_{0}^{1} K(x, y)dx für alle f ∈ C([0, 1]).

(b) Berechne ∥S_{K}∥.