Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 19.04.2011, 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Sei X ein topologischer Vektorraum und f: X → ℂ linear. Zeige:

(a) Wenn f nicht stetig ist, so existiert für jedes λ > 0 und jede Umgebung U von 0 ∈ X ein x ∈ U mit f(x) = λ.

(b) Wenn f nicht stetig ist, dann ist ker f ⊆ X dicht.

(c) f ist stetig genau dann, wenn ker f ⊆ X abgeschlossen ist.

Aufgabe 2. Sei n ≥ 1 und A = (a_{ij})_{i,j} ∈ M_{n}(ℂ). Bestimme obere Schranken^{∗} für die Operatornorm der Abbildung (ℂ^{n}, ∥ · ∥_{s}) → (ℂ^{n}, ∥ · ∥_{t}), x ↦ Ax, für

(a) s = t = 1, (b) s = ∞, t = 1, (c) s = 1, t = ∞, (d) s = t = 2,

wobei ∥x∥_{p} = (∑_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p})^{1/p} für p ∈ (1, ∞) und ∥x∥_{∞} = max{|x_{1}|, …, |x_{n}|}.

Aufgabe 3. Sei k ≥ 0, a < b und C^{k}([a, b]) der Vektorraum aller auf [a, b] stetigen und auf (a, b) k-mal stetig differenzierbaren Funktionen, versehen mit der Norm

∥f∥ := ∑_{l=0}^{k}(b − a)^{l} sup_{t∈(a,b)} |f^{(l)}(t)|.

(a) Zeige, dass C^{k}([a, b]) bezüglich dieser Norm vollständig ist.

(b) Prüfe, für welche Zahlen m ≥ 0 die Abbildungen D, I: C^{k}([a, b]) → C^{m}([a, b]),

(Df)(t) := f′(t),  (If)(t) := ∫_{a}^{t} f(t)dt,

wohldefiniert und stetig sind, und bestimme gegebenenfalls obere Schranken^{∗} für die Operatornormen ∥D∥ und ∥I∥.

Aufgabe 4. Sei X ein normierter Raum, CF(X) die Menge aller Cauchy-Folgen und [(x_{n})_{n}] = {(y_{n})_{n} ∈ CF(X) : lim_{n} ∥y_{n} −x_{n}∥ = 0} für jede Cauchy-Folge (x_{n})_{n}. Dann ist X̂ = {[(x_{n})_{n}] : (x_{n})_{n} ∈ CF(X)} ein normierter Raum, wobei

λ[(x_{n})_{n}] = [(λx_{n})_{n}], [(x_{n})_{n}] + [(y_{n})_{n}] = [(x_{n} + y_{n})_{n}], ∥[(x_{n})_{n}]∥ = lim_{n} ∥x_{n}∥.

∗geändert

(a) Zeige, dass X̂ vollständig ist.

(b) Konstruiere eine Abbildung ι_{X}: X → X̂ mit folgender universeller Eigenschaft: Zu jedem vollständigen normierten Raum Y und jedem T ∈ L(X, Y) gibt es genau ein T̃ ∈ L(X̂, Y) mit T = T̃ ∘ ι_{X}.

(c) Folgere^{†}: Ist Y ein normierter Raum, Ŷ analog zu X̂ definiert und T ∈ L(X, Y), so existiert genau ein T̂ ∈ L(X̂, Ŷ) mit T̂ ∘ ι_{X} = ι_{Y} ∘ T.

†In der letzten Formel wurde ein Fehler korrigiert