Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 03.05.2011, 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 4

Der Abgabetermin für Blatt 3 wurde um eine Woche auf den 26.04. verschoben.

Aufgabe 1. Sei (X, μ) ein Maßraum. Beweise den folgenden Satz der Vorlesung:

(a) L^{∞}(X, μ) ist ein Vektorraum und ∥f∥_{∞} := inf{C : |f| ≤ C μ-fast-überall} definiert eine Halbnorm auf L^{∞}(X, μ).

(b) L^{∞}(X, μ) = L^{∞}(X, μ)/N (X, μ) ist bezüglich ∥ · ∥_{∞} ein Banachraum. (Hinweis: Hierzu braucht man vielleicht, dass eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen N_{m,n} (m, n ∈ ℕ) wieder eine Nullmenge ist).

(c) Für f ∈ L^{∞}(X, μ) und g ∈ L^{1}(X, μ) gilt fg ∈ L^{1}(X, μ) und ∥fg∥_{1} ≤ ∥f∥_{∞}∥g∥_{1}. (Hinweis: Nimm die Messbarkeit von fg ohne Beweis an.)

Aufgabe 2. Sei μ das Lebesgue-Maß auf [0, 1] und X_{p} = L^{p}([0, 1], μ) für jedes p ∈ (1, ∞). Ferner seien r, s, t ∈ (1, ∞) mit 1/r + 1/t = 1. Zeige:

(a) Für alle g ∈ X_{t}, h ∈ X_{s} gibt es ein T ∈ L(X_{r}, X_{s}) mit ∥T ∥ ≤ ∥h∥_{s}∥g∥_{t} und

(T (f))(x) = ∫_{[0,1]} h(x)g(y)f(y)dμ(y) für alle f ∈ X_{r}, x ∈ [0, 1].

(b) Für jedes K ∈ C([0, 1] × [0, 1]) gibt es ein S ∈ L(X_{r}, X_{s}) mit

(S(f))(x) = ∫_{[0,1]} K(x, y)f(y)dμ(y) für alle f ∈ X_{r}, x ∈ [0, 1].

(Hinweis: Erstens: Die Messbarkeit der durch die obige Gleichung definierten Funktion S(f) darf als gegeben angenommen werden. Zweitens: Benutze die Funktion x ↦ (∫_{[0,1]} |K(x, y)|^{t}dμ(y))^{1/t}.)

Aufgabe 3. Sei X ein normierter Raum, Id_{X}: X → X die Identität und S, T: X → X lineare Abbildungen mit ST − T S = Id_{X}. Zeige:

(a) Für alle n ≥ 1 gilt ST^{n+1} − T^{n+1}S = (n + 1)T^{n} (Hinweis: Induktion.)

(b) Wenn ∥T^{n}∥ = ∥T ∥^{n} für alle n ∈ ℕ gilt, dann kann nicht S, T ∈ L(X) gelten. (Bemerkung: Leider fehlte in der ursprünglichen Aufgabenstellung die Voraussetzung ∥T^{n}∥ = ∥T ∥^{n}. Die Aussage ist auch ohne diese Voraussetzung richtig, kann aber in der Allgemeinheit erst mit Hilfe der Spektraltheorie bewiesen werden.)

Aufgabe 4. Sei I eine endliche Indexmenge, (X_{i})_{i∈I} eine Familie normierter Räume, X := ∏_{i∈I} X_{i} der Produkt-Vektorraum (mit komponentenweiser Skalarmultiplikation und Addition), und seien für jedes i = 1, …, n die Abbildungen ι_{i}: X_{i} → X und π_{i}: X → X_{i} die kanonische Einbettung beziehungsweise Projektion.

(a) Definiere eine Norm ∥ · ∥_{×} auf X mit folgender universeller Eigenschaft: Für jeden normierten Raum Y und jede Familie von Operatoren S_{i} ∈ L(Y, X_{i}) (i ∈ I) existiert genau ein S ∈ L(Y, (X, ∥ · ∥_{×})) mit S_{i} = π_{i} ∘ S für alle i ∈ I. (Hinweis: Denke an das Maximum.)

(b) Definiere eine Norm ∥ · ∥_{+} auf X mit folgender universelle Eigenschaft: Für jeden normierten Raum Z und jede Familie von Operatoren T_{i} ∈ L(X_{i}, Z) (i ∈ I) existiert genau ein T ∈ L((X, ∥ · ∥_{+}), Z) mit T_{i} = T ∘ ι_{i} für alle i ∈ I. (Hinweis: Denke an die Summe.)

(c) Zeige, dass die Normen ∥ · ∥_{×} und ∥ · ∥_{+} äquivalent sind und X bezüglich dieser Normen genau dann vollständig ist, wenn X_{i} für jedes i = 1, …, n vollständig ist.