Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 10.05.2011, 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Sei X ein Vektorraum mit Halbnormen | · |_{1}, | · |_{2} und sei f ein Funktional auf X mit |f(x)| ≤ |x|_{1} + |x|_{2} für alle x ∈ X. Zeige:

(a) Durch |(x_{1}, x_{2})| := |x_{1}|_{1} + |x_{2}|_{2} wird auf X × X eine Halbnorm definiert.

(b) Es gibt Funktionale f_{1}, f_{2} auf X mit f = f_{1} +f_{2} und |f_{1}(x)| ≤ |x|_{1}, |f_{2}(x)| ≤ |x|_{2} für alle x ∈ X. (Hinweis: Anwendung von Hahn-Banach auf {(x, x) : x ∈ X} ⊆ X × X.)

Aufgabe 2. Sei X ein normierter Raum. Bezeichne ℓ^{∞}(ℕ; X′) den normierten Raum aller Folgen (f_{n})_{n} von Funktionalen auf X mit sup_{n} ∥f_{n}∥ < ∞, wobei λ(f_{n})_{n} = (λf_{n})_{n}, (f_{n})_{n} + (g_{n})_{n} = (f_{n} + g_{n})_{n}, ∥(f_{n})_{n}∥ = sup_{n} ∥f_{n}∥. Für jedes k ∈ ℕ sei ϵ_{k} ∈ (ℓ^{∞})′ definiert durch (λ_{n})_{n} ↦ λ_{k}. Zeige:

(a) Die Vorschrift T ↦ (ϵ_{k} ∘ T)_{k} definiert einen isometrischen Isomorphismus Φ: L(X, ℓ^{∞}) → ℓ^{∞}(ℕ, X′).

(b) Für jeden Unterraum Y ⊆ X ist die Abbildung L(X, ℓ^{∞}) → L(Y, ℓ^{∞}), T ↦ T |_{Y}, surjektiv. (Hinweis: Komponentenweise Anwendung von Hahn-Banach.)

Aufgabe 3. Sei (X, ≤) ein geordneter Vektorraum, also ein ℝ-Vektorraum mit einer Relation, die für alle x, y, z ∈ X, λ ∈ [0, ∞) folgende Bedingungen erfüllt:

x ≤ x, x ≤ y und y ≤ z ⇒ x ≤ z, x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z und λx ≤ λy.

Sei Y ⊆ X ein Unterraum und kofinal in dem Sinn, dass für jedes x ∈ X ein y ∈ Y mit x ≤ y existiert. Ferner sei f: Y → ℝ linear und positiv in dem Sinn, dass für alle y_{1}, y_{2} ∈ Y gilt: y_{1} ≤ y_{2} ⇒ f(y_{1}) ≤ f(y_{2}). Zeige schrittweise:

(a) Für jedes x ∈ X existieren y_{1}, y_{2} ∈ Y mit y_{1} ≤ x ≤ y_{2}.

(b) Die Funktion q: X → [−∞, ∞], definiert durch q(x) := inf{f(y) : y ∈ Y, x ≤ y}, nimmt nur endliche Werte an und ist sub-linear, also q(x + z) ≤ q(x) + q(z) und q(λz) = λq(z) für alle x, z ∈ X, λ ∈ [0, ∞).

(c) Es gibt eine positive lineare Fortsetzung g: X → ℝ von f.

Aufgabe 4*. (Auf diese Aufgabe gibt es zwei Zusatzpunkte.) Bezeichne ℓ_{ℝ}^{∞} den Raum aller beschränkten Folgen reeller Zahlen, sei S: ℓ_{ℝ}^{∞} → ℓ_{ℝ}^{∞} definiert durch S((x_{n})_{n}) = (x_{n+1})_{n} und sei

M := {x − S(x) : x ∈ ℓ_{ℝ}^{∞}} ⊆ ℓ_{ℝ}^{∞}.

Ferner sei 𝟙 = (1, 1, 1, …) ∈ ℓ_{ℝ}^{∞}. Zeige schrittweise:

(a) Falls x = (x_{n})_{n} ∈ ℓ_{ℝ}^{∞} und d(𝟙, x − S(x)) = 1 − ϵ, dann x_{1} − x_{N} ≥ (N − 1)ϵ für alle N ∈ ℕ. Insbesondere ist d(𝟙, M) = 1.

(b) Es gibt ein L ∈ (ℓ_{ℝ}^{∞})′ mit L(𝟙) = 1 = ∥L∥ und L ∘ S = L.

(Hinweis: Anwendung von Hahn-Banach auf ℝ𝟙 + \overline{M} ⊂ ℓ_{ℝ}^{∞}/\overline{M}.)

(c) L(x) ≥ 0, falls x = (x_{n})_{n} ∈ ℓ_{ℝ}^{∞} und x_{n} ≥ 0 für alle n ∈ ℕ. (Hinweis: Benutze ∥L∥ = 1 und L(𝟙) = 1.)

(d) Für jede Folge x = (x_{n})_{n} ∈ ℓ_{ℝ}^{∞} gilt lim inf_{n} x_{n} ≤ L(x) ≤ lim sup_{n} x_{n}. Insbesondere gilt L(x) = lim_{n} x_{n}, falls x = (x_{n})_{n} konvergiert. (Hinweis: Das ist eine Verfeinerung von (c). Es genügt, eine der beiden Ungleichung zu zeigen. Benutze, dass für jedes ϵ > 0 und hinreichend große N ∈ ℕ alle Komponenten von (lim sup_{k} x_{k} + ϵ)𝟙 − S^{N}(x) nichtnegativ sind.)

(Bemerkung: Ein Funktional L mit den Eigenschaften in (b,c,d) heißt Banach-Limes.)