Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 17.05.2011, 12 Uhr, in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Sei X ein normierter Raum. Zwei abgeschlossene Unterräume M, N ⊆ X heißen topologisch komplementär, falls M + N = X und M ∩ N = {0}.

Sei M ⊆ X ein endlich-dimensionaler Unterraum mit Basis x_{1}, …, x_{n}. Zeige:

(a) M ist abgeschlossen. (Hinweis: Benutze, dass jeder normierte endlichdimensionale Raum vollständig ist.)

(b) Es gibt δ_{1}, …, δ_{n} ∈ X′ mit δ_{i}(x_{j}) = δ_{i,j} für alle i, j = 1, …, n, wobei δ_{i,j} das Kronecker-Symbol ist. (Hinweis: Anwendung von Hahn-Banach.)

(c) M und N := ⋂_{i=1}^{n} ker δ_{i} sind topologisch komplementär.

Aufgabe 2. Sei wieder X ein normierter Raum und sei M ⊆ X ein abgeschlossener Teilraum mit endlicher Kodimension, also dim X/M < ∞. Zeige: Dann existiert ein abgeschlossener Teilraum N ⊆ X mit der Eigenschaft, dass M, N topologisch komplementär sind. (Hinweis: Benutze eine Basis von X/M.)

Aufgabe 3. Sei c_{0} ⊂ ℓ^{∞} der Unterraum aller Nullfolgen und (−|−): ℓ^{1}×ℓ^{∞} → ℂ definiert durch (x|y) := ∑_{n} x_{n}y_{n} für alle x = (x_{n})_{n} ∈ ℓ^{1}, y = (y_{n})_{n} ∈ ℓ^{∞}. Ferner sei für jedes k ∈ ℕ die Folge ϵ^{(k)} = (ϵ_{n}^{(k)})_{n} ∈ c_{0} ∩ ℓ^{1} definiert durch ϵ_{n}^{(k)} = δ_{k,n}. Zeige:

(a) Für jedes x ∈ ℓ^{1} ist (x|−): c_{0} → ℂ, y ↦ (x|y), linear und stetig, und für jedes y ∈ ℓ^{∞} ist (−|y): ℓ^{1} → ℂ, x ↦ (x|y), linear und stetig.

(b) Die Abbildungen ℓ^{1} → (c_{0})′, x ↦ (x|−), und ℓ^{∞} → (ℓ^{1})′, y ↦ (−|y), sind isometrisch.

(c) Die Abbildungen in (b) sind surjektiv. (Hinweis: Betrachte für ϕ ∈ (c_{0})′ die Folge (ϕ(ϵ^{(k)}))_{k} und für ψ ∈ (ℓ^{1})′ die Folge (ψ(ϵ^{(k)}))_{k}.)

(d) c_{0} ist nicht reflexiv.

Aufgabe 4. Sei Y ein normierter Raum (ungleich 0) und X ein kompakter Hausdorff-Raum mit einem endlichen Maß μ, also μ(X) < ∞. Bezeichne C(X, Y) den Vektorraum aller stetigen Funktionen von X nach Y mit punktweise definierter Skalarmultiplikation und Addition. Zeige:

(a) Durch ∥f∥_{∞} := sup_{x∈X} ∥f(x)∥ wird eine Norm ∥ · ∥_{∞} auf C(X, Y) definiert.

(b) Für jedes f ∈ C(X, Y) ist die folgende lineare Abbildung I_{f} stetig:

I_{f}: Y′ → ℂ, ϕ ↦ ∫_{X} ϕ ∘ fdμ.

(c) Die Abbildung I: C(X, Y) → Y′′, f ↦ I_{f}, ist linear und ∥I∥ = μ(X).

(d) Ist Y reflexiv, so existiert für jedes f ∈ C(X, Y) genau ein y ∈ Y mit ϕ(y) = ∫_{X}(ϕ ∘ f)dμ für alle ϕ ∈ Y′. (Bemerkung: Man schreibt dann y = ∫_{X} fdμ.)