Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 24.05.2011, 12 Uhr Blatt 7

Eine stetige lineare Abbildung T zwischen normierten Räumen heißt kontraktiv, wenn ∥T ∥ ≤ 1.

Aufgabe 1. Sei X ein normierter Raum, M ⊆ X ein abgeschlossener Unterraum, M^{⊥} := {ϕ ∈ X′ : M ⊆ ker ϕ} und p: X → X/M die Projektion x ↦ x + M. Zeige:

(a) Die Vorschrift (Φ(ϕ))(x+M) = ϕ(x) definiert eine eine injektive, kontraktive Abbildung Φ: M^{⊥} → (X/M)′.

(b) Die Abbildung Φ und die Abbildung p^{∗}: (X/M)′ → M^{⊥}, ϕ ↦ ϕ ∘ p, sind zueinander inverse isometrische Isomorphismen.

(c) Die Vorschrift Ψ(ϕ + M^{⊥}) = ϕ|_{M} definiert einen isometrischen Isomorphismus Ψ: X′/M^{⊥} → M′. (Hinweis: Benutze Hahn-Banach.)

(d) Wenn X reflexiv ist, dann ist auch X/M reflexiv. (Hinweis: Benutze Lemma 4.5 der Vorlesung.)

Aufgabe 2. Sei X ein komplexer Vektorraum.

(a) Sind ϕ, ψ: X → ℂ lineare Abbildungen mit ker ϕ ⊆ ker ψ, so gilt ψ = λϕ für ein λ ∈ ℂ.

Seien nun ϕ_{1}, …, ϕ_{n}: X → ℂ lineare Abbildungen und T die Initialtopologie bezüglich ϕ_{1}, …, ϕ_{n}, also die gröbste Topologie auf X, die ϕ_{1}, …, ϕ_{n} stetig macht. Ferner sei ψ: X → ℂ eine lineare Abbildung, die bezüglich T stetig ist. Zeige:

(b) Es gibt ein C > 0 mit |ψ(x)| ≤ C max_{1≤k≤n} |ϕ_{k}(x)| für alle x ∈ X. (Hinweis: Betrachte Mengen der Form U_{ϵ} := ⋂_{k=1}^{n} ϕ_{k}^{−1}((−ϵ, ϵ)) mit ϵ> 0.)

(c) ⋂_{k=1}^{n} ker ϕ_{k} ⊆ ker ψ.

(d) Ist ϕ: X → ℂ^{n} definiert durch x ↦ (ϕ_{1}(x), …, ϕ_{n}(x)), so existiert ein lineare Abbildung f: ℂ^{n} → ℂ mit ψ = f ∘ ϕ. Insbesondere gibt es λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ mit ψ = λ_{1}ϕ_{1}+⋯+λ_{n}ϕ_{n}. (Hinweis: Betrachte die Abbildung ϕ(x) ↦ ψ(x).)

(Bemerkung: Die Folgerung in (d) könnte man auch aus (a) und einer Abwandlung von Aufgabe 1 von Blatt 5 erhalten.)

Aufgabe 3. Sei (x_{n})_{n} eine Folge in einem normierten Raum X, die schwach gegen ein x ∈ X konvergiert. Zeige:

(a) ∥x∥ ≤ lim inf_{n} ∥x_{n}∥.

(b) Es gibt eine Folge von Konvexkombinationen der Folgenglieder, die in Norm gegen x konvergiert.

(c) Gib im speziellen Fall X = ℓ^{p} mit 1 < p < ∞ und x_{n} = e_{n} für alle n ∈ ℕ sowie x = 0 (vergleiche Beispiel 4.10 der Vorlesung) eine Folge von Konvexkombinationen wie in (b) an.

Aufgabe 4. Sei X ein reeller normierter Raum. Für jedes A ⊆ X und B ⊆ X′ sind

A^{∘} := {ϕ ∈ X′ : |ϕ(x)| ≤ 1 für alle x ∈ A} ⊆ X′,
∘B := {x ∈ X : |ϕ(x)| ≤ 1 für alle ϕ ∈ B} ⊆ X

die jeweilige Polare von A und Präpolare von B. Sei nun A ⊆ X nicht leer. Zeige:

(a) A^{∘} ist abgeschlossen, konvex und balanciert in dem Sinne, dass −(A^{∘}) = A^{∘}. Insbesondere ist 0 ∈ A^{∘}.

(b) A ⊆ ^{∘}(A^{∘}) und falls A ⊆ C ⊆ X, so gilt C^{∘} ⊆ A^{∘}.

(c) (^{∘}(A^{∘}))^{∘} = A^{∘}. (Hinweis: Verwende ohne separaten Beweis die zu (b) analoge Aussage für Präpolare.)

(d) ^{∘}(A^{∘}) ist die kleinste abgeschlossene konvexe balancierte A enthaltende Teilmenge von X. (Hinweis: Verwende die zu (a) analoge Aussage für Präpolare sowie Hahn-Banach in der Form von Folgerung 3.19 und zeige mit den dort verwendeten Bezeichnungen x′/μ ∈ A^{∘} für μ := x′(x) + δ/2.)

(Bemerkung: Aussage (d) ist der Bipolarensatz. Dieser gilt analog für komplexe normierte Räume.)