Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 31.05.2011, 12 Uhr Blatt 8

Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt von erster Kategorie, falls sie eine abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen ist, und andernfalls von zweiter Kategorie.

Aufgabe 1. Seien 1 ≤ p < q ≤ ∞. Zeige:

(a) Es gilt ℓ^{p} ⊆ ℓ^{q}.

(b) Für jedes N ∈ ℕ ist A_{N} := {x ∈ ℓ^{p} : ∥x∥_{p} ≤ N} ⊆ ℓ^{q} abgeschlossen.

(c) Es gibt eine Folge (x^{(k)})_{k} von Elementen von ℓ^{q} mit ∥x^{(k)}∥_{p} = 1 für alle k ∈ ℕ und lim_{k} ∥x^{(k)}∥_{q} = 0.

(d) Der Teilraum ℓ^{p} ⊆ ℓ^{q} ist von erster Kategorie. Aufgabe 2. Sei f: ℝ → (0, ∞) stetig und lim_{n→∞} f(nt) = 0 für alle t ∈ (0, ∞). Zeige:

(a) Für jedes ϵ > 0 ist das Innere einer der Mengen (E_{n,ϵ})_{n∈ℕ} nicht leer, wobei

E_{ϵ,n} := {t ∈ [0, ∞) | ∀m ≥ n : |f(mt)| ≤ ϵ}.

(b) Ist (a, b) ⊆ (0, ∞), so gibt es ein N > 0 mit (N, ∞) ⊆ ⋃_{m∈ℕ}(ma, mb).

(c) lim_{t→∞} f(t) = 0. Aufgabe 3. Wir betrachten C([0, 1]) mit der Supremumsnorm und definieren

A_{n} := {f ∈ C([0, 1]) | ∃t ∈ [0, 1]∀s ∈ [0, 1] : |f(t) − f(s)| ≤ n|t − s|} ⊆ C([0, 1])

für jedes n ∈ ℕ. Zeige:

(a) Für jedes n ∈ ℕ ist A_{n} abgeschlossen.

(b) Für jedes n ∈ ℕ ist das Innere von A_{n} leer.

(c) Ist f ∈ C([0, 1]) in t ∈ [0, 1] differenzierbar, so gibt es ein n ∈ ℕ mit f ∈ A_{n}.

(d) Die nirgends differenzierbaren Funktionen bilden eine dichte Teilmenge von C([0, 1]), deren Komplement von erster Kategorie ist.

Achtung: Aufgabe 4 befindet sich auf der Rückseite!

Aufgabe 4. (Diese Aufgabe greift Aufgabe 1 von Blatt 2 nochmal auf.) Sei X die Menge aller Abbildungen f: [0, 1) → {0, 1}. Eine Teilmenge U ⊆ X heiße offen, falls für jedes f ∈ U eine endliche Teilmenge F ⊆ [0, 1) existiert mit {g ∈ X : g|_{F} = f|_{F} } ⊆ U. Die Folge (f_{n})_{n} in X sei definiert durch

f_{n}(t) = \begin{cases}0, & t ∈ [\frac{2k}{2^{n}} , \frac{2k+1}{2^{n}}) für ein k ∈ \{0, 1, …, 2^{n−1} − 1\}, \\ 1, & t ∈ [\frac{2k+1}{2^{n}}, \frac{2k+2}{2^{n}}) für ein k ∈ \{0, 1, …, 2^{n−1} − 1\}. \end{cases}

Sei (f_{n_{k}})_{k} eine Teilfolge von (f_{n})_{n}. Zeige:

(a) Für jedes k ∈ ℕ ist der Abschluss der Menge

A_{k} := {t ∈ [0, 1) | ∀l ≥ k : f_{n_{l}}(t) = f_{n_{k}}(t)} ⊆ [0, 1)

nirgends dicht.

(b) Die Menge aller t ∈ [0, 1), für welche die Folge (f_{n_{k}}(t))_{k} irgendwann konstant wird, ist nirgends dicht.

(c) Die Folge (f_{n_{k}})_{k} konvergiert nicht und X ist nicht folgenkompakt.