Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 07.06.2011, 12 Uhr Blatt 9

Aufgabe 1. Seien p, q ∈ [1, ∞] und sei (a_{i,j})_{i,j∈ℕ} eine unendliche Matrix komplexer Zahlen mit den folgenden Eigenschaften:

(a) Für jedes i ∈ ℕ ist (a_{i,j})_{j} ∈ ℓ^{p′}, wobei p′ bestimmt ist durch 1 = 1/p + 1/p′.

(b) Für jedes x = (x_{j})_{j} ∈ ℓ^{p} liegt Ax := (∑_{j} a_{i,j}x_{j})_{i} in ℓ^{q}.

Zeige, dass dann die Abbildung A: ℓ^{p} → ℓ^{q}, x ↦ Ax, stetig ist.

Aufgabe 2. Bezeichne C(𝕋) ⊆ C(ℝ) den Unterraum der 2π-periodischen Funktionen:

C(𝕋) := {f ∈ C(ℝ) : f(t) = f(t + 2π) für alle t ∈ ℝ}.

Für jedes f ∈ C(𝕋) definieren wir

• die Fourier-Koeffizienten f̂(k) := \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(t)\overline{e_{k}(t)}dt, wobei e_{k}(t) = exp(2πikt) für alle t ∈ ℝ, k ∈ ℤ,

• die Fourier-Reihe ∑_{k∈ℤ} f̂(k)e_{k} (deren Konvergenz zu untersuchen ist),

• die n-te Partialsumme der Fourier-Reihe T_{n}(f) := ∑_{k=−n}^{n} f̂(k)e_{k} ∈ C(𝕋),

• S_{n}: C(𝕋) → ℂ durch f ↦ ∑_{k=−n}^{n} f̂(k) = (T_{n}(f))(0).

Wir betrachten T_{n} als Abbildung C(𝕋) → C(𝕋). Bezeichne

D_{n}(t) := ∑_{k=−n}^{n} e_{k}(t) = ∑_{k=−n}^{n}(e^{2πit})^{k} = \frac{e^{2πi(n+1)t} − e^{−2πint}}{e^{2πit} − 1} = \begin{matrix}sin & (n + \frac{1}{2}t) \\ sin & (\frac{t}{2}) \end{matrix} ∈ C(𝕋)

den Dirichlet-Kern. Zeige:

(a) ∫_{0}^{2π} |D_{n}(t)|dt ≥ \frac{8}{π} ∑_{k=1}^{n} k^{−1}.

(b) lim_{n} ∥S_{n}∥ = lim_{n} ∥T_{n}∥ = ∞.

(Hinweis: Benutze ohne Beweis folgende einfache Aussage: Für jedes g ∈ C(T) gilt sup_{f∈C(T),∥f∥=1} ∫_{0}^{2π} f(t)g(t) = ∫_{0}^{2π} |g(t)|dt.)

(c) Es gibt eine Funktion f ∈ C(𝕋), für welche die Fourier-Reihe bzw. genauer die Folge der Partialsummen (T_{n}(f))_{n} nicht punktweise konvergiert.

Aufgabe 3. Wir benutzen die obigen Bezeichnungen und folgende Aussagen:

(a) (Riemann-Lebesgue-Lemma) Für jede Funktion f ∈ C(𝕋) verschwindet die Funktion f̂: k ↦ f̂(k) im unendlichen, also f̂ ∈ C_{0}(ℤ). (Bemerkung: Das sehen wir später mit Hilfe der Hilbertraum-Theorie.)

(b) Die Abbildung F: C(𝕋) → C_{0}(ℤ), f ↦ f̂, ist injektiv.

(Bemerkung: Das sehen wir später mit Hilfe des Satzes von Stone-Weierstrass.)

Zeige unter Verwendung dieser Aussagen, dass F stetig und nicht surjektiv ist. (Hinweis: Betrachte F(D_{n}).)

Aufgabe 4. Wir benutzen den bald in der Vorlesung folgenden Satz von Stone-Weierstrass: Die Polynome sind dicht in C([0, 1]) bezüglich der Supremumsnorm.

Sei (Q_{n})_{n} eine Folge von Funktionalen auf C([0, 1]) der Form

Q_{n}(f) = ∑_{k=1}^{N(n)} A_{k,n}f(t_{k,n}),

wobei N(n) ∈ ℕ, t_{1,n}, …, t_{k,N(n)} ∈ [0, 1] und A_{k,n} ∈ ℂ für jedes n ∈ ℕ. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

(a) lim_{n→∞} Q_{n}(f) = ∫_{0}^{1} f(t)dt für alle f ∈ C([0, 1]).

(b) lim_{n→∞} Q_{n}(p) = ∫_{0}^{1} p(t)dt für alle Polynome p und sup_{n} ∑_{k=1}^{N(n)} |A_{k,n}| < ∞.