Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Funktionalanalysis

Abgabe: Bis 21.06.2011, 12 Uhr Blatt 10

Sei (x_{ν})_{ν∈I} ein Netz in einem topologischen Raum X. Ein Teilnetz von (x_{ν})_{ν} ist ein Netz der Form (x_{p(μ)})_{μ∈J}, wobei p: J → I die folgenden Bedingungen erfüllt:

∀μ, μ′ ∈ J : μ ≤ μ′ ⇒ p(μ) ≤ p(μ′),  ∀ν ∈ I∃μ ∈ J : p(μ) ≥ ν.

Aufgabe 1. (a) Sei X ein topologischer Vektorraum und C ⊆ X konvex. Zeige

mit Hilfe von Netzen, dass der Abschluss von C wieder konvex ist.

(b) Sei (x_{ν})_{ν∈I} ein Netz in einem topologischen Raum X und sei x ∈ X. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

i) x ∈ ⋂_{ν∈I} \overline{\{x_{ν′} : ν′ ≥ ν\}}; ii) für jedes ν ∈ I und jede Umgebung U von x existiert ein ν′ ∈ I mit

ν′ ≥ ν und x_{ν′} ∈ U; iii) x = lim_{μ} x_{p(μ)} für ein Teilnetz (x_{p(μ)})_{μ∈J} von (x_{ν})_{ν∈I}. Sind diese Bedingungen erfüllt, so heißt x Häufungspunkt von (x_{ν})_{ν∈I}. (Hinweis: Verwende für ii)⇒iii) als Indexmenge J alle Paare (ν′, U) wie in ii).)

Aufgabe 2. Sei X ein topologischer Raum. Die Kompaktheit von X kann mit Hilfe von Netzen wie folgt charakterisiert werden.

(a) Sei A eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X mit der endlichen Durchschnittseigenschaft, das heißt, A_{1} ∩ ⋯ ∩ A_{n} ≠ ∅ für alle n ∈ ℕ und A_{1}, …, A_{n} ∈ A. Konstruiere ein Netz (x_{ν})_{ν∈I}, für das jeder Häufungspunkt in ⋂_{A∈A} A liegt. (Hinweis: Verwende als Indexmenge I das System aller endlichen Teilmengen F ⊆ A, geordnet durch Inklusion.)

(b) Zeige, dass X genau dann kompakt ist, wenn jedes Netz (x_{ν})_{ν} in X einen Häufungspunkt besitzt.

Die folgenden Aufgaben zeigen, warum bei der Betrachtung von L^{p}- und ℓ^{p}- Räumen stets 1 ≤ p ≤ ∞ angenommen wird: Für p ∈ (0, 1) ergibt die übliche Formel keine Norm. Man kann zwar eine sinnvolle Topologie definieren, aber diese ist nicht einmal lokal-konvex!

Aufgabe 3. Sei p ∈ (0, 1) und ℓ^{p} ⊂ ℓ^{∞} die Menge aller Folgen x = (x_{n})_{n} mit |x|_{p} := ∑_{n} |x_{n}|^{p} < ∞. Zeige:

(a) ℓ^{p} ⊂ ℓ^{∞} ist ein Unterraum und durch d(x, y) := |x − y|_{p} wird eine Metrik auf ℓ^{p} definiert.

(b) Bezüglich der Topologie, welche durch die Metrik aus (a) erzeugt wird, ist ℓ^{p} ⊂ ℓ^{∞} ein topologischer Vektorraum.

(c) Die Abbildung x ↦ (|x|_{p})^{1/p} ist keine Norm.

Aufgabe 4. Seien p, ℓ^{p}, | · |_{p} wie in Aufgabe 3 und x^{(k)} ∈ ℓ^{p} für jedes k ∈ ℕ definiert durch x_{n}^{(k)} := δ_{n,k}k^{p−1} für alle n ∈ ℕ. Zeige:

(a) Die Folge (x^{(k)})_{k} konvergiert gegen 0 und die Menge K := {0} ⋃{x^{(k)} : k ∈ ℕ} ist kompakt.

(b) Die konvexe Hülle conv(K) von K ist unbeschränkt in dem Sinn, dass sup{|x|_{p} : x ∈ conv(K)} = ∞. (Hinweis: Schätze |(x^{(1)} + ⋯ + x^{(k)})/k|_{p} für k = 2^{m} mit Standardmethoden ab.)

(c) Jede konvexe offene Teilmenge U von ℓ^{p} ist unbeschränkt. (Bemerkung: Daraus folgt, dass die Topologie von ℓ^{p} nicht lokal-konvex ist.)